Árboles de Expansión Mínima. Matemática Discreta. Agustín G. Bonifacio UNSL

Transcripción

1 UNSL Árboles

2 Definiciones y Ejemplos Caracterización Un árbol T es un grafo simple que satisface lo siguiente: si v y w son vértices en T, entonces existe una trayectoria simple única de v a w. Un árbol con raíz es un árbol en el que un vértice específico se designa como raíz. Si designamos como raíz el vértice e del árbol T, obtenemos el árbol con raíz T.

3 Definiciones y Ejemplos Caracterización En un árbol con raíz, el nivel de un vértice v es la longitud de la trayectoria de la raíz a v. La altura de un árbol con raíz es el número máximo de nivel que ocurre en él. Ejemplo Por ser raíz, e es el único vértice en el nivel cero. Los vértices b,d,f y g están en el nivel 1. Los vértices a,c,i y h están en el nivel 2. El vértice j es el único en el nivel 3. El árbol T tiene altura 3.

4 Definiciones y Ejemplos Caracterización Ejemplo Por ser raíz, v 1 es el único vértice en el nivel cero. Los vértices v 2 y v 3 están en el nivel 1. Los vértices v 4,v 5,v 6 y v 7 están en el nivel 2. Este árbol tiene altura 2. Usos (a) Especificar relaciones jerárquicas (organigramas). (b) Sistemas de archivos en computadoras, organizando carpetas y archivos. Por ejemplo, en Windows, la raíz del árbol es el Escritorio. (c) Etc.

5 Definiciones y Ejemplos Caracterización Sea T un árbol con raíz v 0. Supongamos que x,y y z son vértices en T y que (v 0,v 1,...,v n ) es una trayectoria simple en T. Entonces: (a) v n 1 es el padre de v n, v n es hijo de v n 1 ; (b) v 0,...,v n 1 son ancestros de v n ; si x es ancestro de y, y es descendiente de x; (c) Si x e y son hijos de z, x e y son hermanos; (d) Si x no tiene hijos, es un vértice terminal (o una hoja); (e) Si x no es terminal, es un vértice interno (o una rama); (f) El subárbol de T con raíz en x es el grafo cuyo conjunto de vértices V está formado por x y sus descendientes, y cuyo conjunto de aristas es el conjunto de aristas que pertenecen a una trayectoria simple de x a algún vértice en V.

6 Definiciones y Ejemplos Caracterización Ejemplo g es padre de i y de h. Los vértices terminales son a,c,d,f,j y h. i es descendiente de g y de e, además i es ancestro de j. Cuál es el subárbol de T con raíz en g? Un grafo sin ciclos se denomina acíclico.

7 Definiciones y Ejemplos Caracterización Teorema Sea T un grafo con n vértices. Son equivalentes: (a) T es un árbol. (b) T es conexo y acíclico. (c) T es conexo y tiene n 1 aristas. (d) T es acíclico y tiene n 1 aristas. Prueba. (a) = (b). Sea T un árbol. Como existe una trayectoria de cualquier vértice a cualquier otro, T es conexo. Supongamos que T tiene un ciclo (simple) C. Entonces C = (v 0,...,v n ) con v 0 = v n. Como C es simple, no es lazo y tiene al menos 2 vértices distintos v i y v j, con i < j. Entonces (v i,v i+1,...,v j ) y (v i,v i 1,...,v 0,v n 1,...,v j ) son dos trayectorias simples distintas de v i a v j, lo que contradice la def. de árbol. Por lo tanto, T es acíclico.

8 Definiciones y Ejemplos Caracterización (b) = (c). Sea T conexo y acíclico. Veamos que tiene n 1 aristas. Razonemos por inducción sobre n (el número de vértices). Si n = 1, como T es conexo y acíclico, debe tener 0 aristas. Supongamos que el resultado es cierto para un grafo conexo y acíclico de n vértices. Sea T un grafo conexo y acíclico de n+1 vértices y consideremos una trayectoria P sin aristas repetidas de longitud máxima. Como T es acíclico, P no tiene ciclos y, por lo tanto, tiene un vértice v de grado 1. Sea T el árbol que se obtiene eliminando v y la arista incidente en v. Por H.I., T tiene n 1 aristas, por lo que T tiene n aristas. El resultado vale entonces para cualquier n 1. (c) = (d). Sea T conexo con n 1 aristas. Veamos que es acíclico. Supongamos que T tiene un ciclo. Podemos eliminar aristas del grafo hasta obtener un nuevo grafo T conexo y acíclico. Entonces T es conexo, acíclico y tiene n vértices. Por la parte (b) = (c), se sigue que T tiene n 1 aristas. Pero entonces T tiene más de n 1 aristas, un absurdo. Por lo tanto, T es acíclico.

9 Definiciones y Ejemplos Caracterización (d) = (a). Supongamos que T es acíclico y tiene n 1 aristas. Veamos que es un árbol. Primero, notemos que es un grafo simple ya que es acíclico. Segundo, veamos que es conexo. Supongamos que no. Sean T 1,...,T k las componentes (conexas) de T. Entonces k > 1. Supongamos que cada T i tiene n i vértices. Cada T i es conexo y acíclico, por lo que usando la parte (b) = (c) llegamos a que T i tiene n i 1 aristas. Por lo tanto, n 1 = (n 1 1)+(n 2 1)+...+(n k 1) < (n 1 +n n k ) 1 = n 1, lo que es absurdo. Por lo tanto, T es conexo. Supongamos que existen trayectorias simples distintas P 1 y P 2 de a a b en T. Sea (v 0,...,v r) la porción de P 1 de d = v 0 a e = v r. Sea (w 0,...,w m) la porción de P 2 de d = w 0 a e = w m. Entonces (v 0,...,v r = w m,...,w 0 ) es un ciclo en T, lo que contradice la aciclicidad de T. Entonces hay una única trayectoria entre a y b. Se concluye que T es un árbol.

10 Algoritmos Problema: encontrar un subgrafo T de un grafo G tal que T es un árbol que contiene todos los vértices de G. Un árbol T es un árbol de expansión de un grafo G si T es un grafo de G que contiene todos los vértices de G. Observación En general, un grafo tiene varios árboles de expansión

11 Algoritmos Teorema Un grafo tiene un árbol de expansión si y sólo si es conexo. Prueba. (= ) Supongamos que G tiene un árbol de expansión T, y sean a y b dos vértices de G. Como a y b son también vértices de T y T es árbol, existe una trayectoria P en T de a a b. Entonces P también está en G. Por lo tanto, G es conexo. ( =) Supongamos G conexo. Si G es acíclico, por Teorema es un árbol. Supongamos entonces que tiene un ciclo. Podemos ir eliminando aristas de G hasta producir un grafo conexo y acíclico T que mantiene todos los vértices de G. Por Teorema 9.2.3, T es un árbol. Como T contiene todos los vértices de G, es de expansión.

12 Algoritmos Cómo encontrar un árbol de expansión para un grafo? Búsqueda a lo ancho 1 Se selecciona un orden de los vértices de G. 2 Se elige el primer vértice como raíz: a 3 Se agregan, en orden, todas las aristas {a,x} y vértices en los cuales inciden que no produzcan ciclos: {a,b},{a,c},{a,g} (si hay paralelas, una cualquiera) 4 Se repite el proceso con los vértices del nivel 1 b,c,g en orden: {b,d},{c,e} 5 Se repite el proceso con los vértices del nivel 2 d,e en orden: {d,f} 6 Se repite el proceso con el vértice del nivel 3 f: {f,h} 7 Como no se pueden agregar más aristas, el proceso termina.

13 Algoritmos Algoritmo de búsqueda a lo ancho de un árbol de expansión Input: Grafo G = (V,E) conexo con vértices ordenados V = {v 1,v 2,...,v n }. Output: Árbol T = (V,E ) de expansión de G. Algoritmo: S = (v 1 ) V = {v 1 } E = while (verdadero) for x S, en orden for y V \V, en orden if {x,y} es arista agregar {x,y} a E y agregar y a V if no se agregaron aristas return T S = hijos de S, en orden

14 Algoritmos Cómo encontrar un árbol de expansión para un grafo? Búsqueda en profundidad 1 Se selecciona un orden de los vértices de G. 2 Se elige el primer vértice como raíz: a 3 Se agrega la arista {a,x} con x mínima: {a,b} 4 Se avanza de nivel y se repite el proceso: Se agregan las aristas: {b,d},{d,c},{c,e},{e,f} y {f,h}. 5 Cuando se llega al vértice terminal h, regresamos al padre de ese vértice, f, y tratamos de agregar una arista. Como esto no es posible, seguimos subiendo hasta e. Agregamos {e, g} 6 Como ya no quedan aristas que agregar en e, seguimos subiendo y llegamos a a y el proceso termina.

15 Algoritmos Algoritmo de búsqueda en profundidad de un árbol de expansión Input: Grafo G = (V,E) conexo con vértices ordenados V = {v 1,v 2,...,v n }. Output: Árbol T = (V,E ) de expansión de G. Algoritmo: V = {v 1 } E = w = v 1 while (verdadero) while hay arista {w,v} que al agregarla a T no crea un ciclo en T elegir {w,v k } con k mínima, que al agregarla a T no crea un ciclo en T agregar {w,v k } a E y agregar v k a V w = v k if w == v 1 return T w = padre de w en T

16 Problema: Dadas 6 ciudades y los costos de construir rutas entre pares de ciudades, se desea construir el sistema de rutas de menor costo que conecte las 6 ciudades. La solución va a ser un árbol de expansión en el que la suma de los pesos sea mínima.

17 Sea G un grafo ponderado. Un árbol de expansión mínima (aem) para G es un árbol de expansión de G con peso mínimo.el peso del árbol se define como la suma de los pesos de sus aristas. aem con peso 20. aem con peso 12.

18 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 {1, 3} 2 {1, 5} 3

19 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 {1, 3} 2 {1, 5} 3

20 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3}

21 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {1, 5} 3 {3, 4} 1 {3, 5} 6 {3, 6} 3

22 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {1, 5} 3 {3, 4} 1 {3, 5} 6 {3, 6} 3

23 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3} 4 {3, 4}

24 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {1, 5} 3 4 {3, 4} {2, 4} 5 {3, 5} 6 {3, 6} 3 {4, 6} 6

25 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {1, 5} 3 4 {3, 4} {2, 4} 5 {3, 5} 6 {3, 6} 3 {4, 6} 6

26 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3} 4 {3, 4} 5 {1, 5}

27 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {2, 4} 5 4 {3, 4} {3, 6} 3 5 {1, 5} {4, 6} 6 {5, 6} 2

28 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {2, 4} 5 4 {3, 4} {3, 6} 3 5 {1, 5} {4, 6} 6 {5, 6} 2

29 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3} 4 {3, 4} 5 {1, 5} 6 {5, 6}

30 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {2, 4} 5 4 {3, 4} 5 {1, 5} 6 {5, 6}

31 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 {1, 2} 4 3 {1, 3} {2, 4} 5 4 {3, 4} 5 {1, 5} 6 {5, 6}

32 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3} 4 {3, 4} 5 {1, 5} 6 {5, 6} 2 {1, 2}

33 Cómo encontrar un árbol de expansión mínima? Se comienza con un vértice fijo. Se agrega al árbol actual, en cada iteración, una arista de peso mínimo que no completa un ciclo. Vértice Arista Arista Peso 1 3 {1, 3} 4 {3, 4} 5 {1, 5} 6 {5, 6} 2 {1, 2}

34 Input: Grafo ponderado G = (V,E) conexo con V = {1,...,n} y vértice inicial s. Si {i,j} E, w({i,j}) es el peso de {i,j}; si {i,j} E, w({i,j}) =. Output: Conjunto de aristas en un aem de G. Algoritmo: for i = 1 to n v(i) = 0 v(s) = 1 E = for i = 1 to n 1 mín = for j = 1 to n if v(j) == 1 for k = 1 to n if v(k) == 0 y w({j,k}) < mín agregar-vértice= k e = {j,k} mín = w({j,k}) v(agregar-vértice) = 1 E = E {e} return E

35 El algoritmo de Prim es un algoritmo ambicioso, es decir, un algoritmo que optimiza la elección en cada iteración (hace lo mejor localmente ). Pero optimizar en cada paso no lleva necesariamente a una solución óptima del problema original. Sin embargo, el algoritmo de Prim es correcto. Por ejemplo, un algoritmo de la ruta más corta en el que en cada paso se agrega una arista disponible con peso mínimo no genera siempre la ruta más corta. Comenzando en a, un tal algoritmo genera la trayectoria (a,c,z), pero la ruta más corta de a a z es (a,b,z).

36 Teorema El algoritmo de Prim es correcto. El árbol que genera es un árbol de expansión mínima. Prueba. Sea T i el grafo construido por el algoritmo de Prim después de la i-ésima iteración del ciclo for. T 0 consiste en el único vértice s y ninguna arista, mientras que T n 1 es por construcción un árbol de expansión de G. Veamos por inducción que cada T i está contenido en un aem, lo que implica que T n 1 es un aem. Paso base: i = 0. Al ser T 0 sólo un vértice (s), está contenido en todo aem. Paso Inductivo: H.I: T i está contenido en un aem T. Sea V el conjunto de vértices de T. T i+1 se generá al agregar a T i una arista de peso mínimo {j,k} con j V y k / V. (1) Si {j,k} está en T, entonces T i+1 está en el aem T. (2) Si {j,k} no está en T, T {j,k} contiene un ciclo. Sea {x,y} {j,k} con x V y y / V. Entonces w({x,y}) w({j,k}). Por lo tanto, el grafo T = [T {j,k}]\{x,y} tiene peso menor o igual que T. Además, como T es árbol de expansión, T es aem y se sigue que T i+1 está contenido en un aem. Como se verifica el paso inductivo, la prueba está completa.