Estructura de Datos Tema 6. Árboles. Contenido 14/06/2018

Transcripción

1 Estructura de Datos Tema 6. Árboles Presenta: David Martínez Torres Universidad Tecnológica de la Mixteca Instituto de Computación Oficina No. Contenido 1. Definición y operaciones 2. Implementación de árboles binarios. Recorrido de árboles binarios 4. Implementación de árboles AVL. Árboles n-arios: La estructura TRIE 6. Referencias 1

2 1. Definición y operaciones En estructura de datos, la forma más simple de un árbol, es un Árbol Binario Consiste de: Un nodo (llamado raiz) y Sub-árboles Izquierdo y Derecho Ambos sub-árboles son áboles binarios raiz izq \ der nodos Note la Definición recursiva Sub árbol izquierdo \ \ 8 \ \ 4 \ hojas 1. Definición y operaciones Estructura de dato typedef struct arbol{ int info; //datos struct arbol *p; //apuntador al padre struct arbol *izq; //apuntador al hijo izq. struct arbol *der; //apuntador al hijo der. }tipoarbol; typedef tipoarbol *tipoarbolptr; 2

3 1. Definición y operaciones Los árboles binarios no necesariamente deben tener sus dos hijos 1. Definición y operaciones Árbol binario estrictamente Un nodo que no es hoja tiene subárboles que no son vacíos Un árbol estrictamente binario con n hojas tiene siempre 2n-1 nodos

4 1. Definición y operaciones Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Profundidad= Nivel de F=2 Altura de A=4 Grado de C=2 Nivel La profundidad de un árbol binario es el máximo nivel de cualquier hoja del árbol. 1. Definición y operaciones Altura: Es el nivel de la hoja en el camino mas largo desde la raiz mas 1. Por definición, la altura de un arbol vacío es -1 Grado: Es el número de hijos que tiene en ese momento el nodo Nivel de un nodo: es su distancia desde la raiz al nodo Orden: Número potencial de hijos que puede tener cada elemento de un arbol. 4

5 1. Definición y operaciones Estructuras que no son árboles binarios 1. Definición y operaciones Insertar elementos Eliminar elementos Buscar elementos Recorrer el árbol Modificar elementos Mínimo Máximo Predecedor Sucesor Guardar datos al archivo Leer datos del archivo

6 2. Implementación de árboles binarios Sea x un nodo en un árbol de búsqueda binaria. Si y es un nodo del sub-árbol izquierdo de x, entonces la clave de y clave de x. Si z es un nodo del sub-árbol derecho de x, entonces la clave de x clave de z. Por ejemplo, dos árboles de búsqueda binaria son: y x x 8 x z La propiedad del árbol de búsqueda nos permite imprimir o recorrer sus nodos en el orden de sus claves haciendo uso de un simple algoritmo recursivo. 2. Implementación de árboles binarios void insertar(tipoarbolptr *ra, int dato){ tipoarbolptr nuevo, ant, act; nuevo=crearnodo(dato); if(!nuevo) printf( No hay memoria ); else { if(*ra==null) *ra=nuevo; else { ant=*ra; act = *ra; while (act!= NULL && dato!=ant->info){ ant = act; if ( dato < ant->info) act = act->izq; else act= act->der; } if(dato == ant->info) printf( dato ya existe"); else { if(dato<ant->info) ant->izq=nuevo; else ant->der=nuevo; nuevo->p=ant; } } } } 6

7 Eliminación en un árbol de búsqueda binaria Casos: 1. Que el elemento sea un nodo hoja. 2. Que el elemento sea un nodo sin hijo izquierdo o derecho. En este caso, su único sub-árbol sube para toma el lugar del nodo.. Que el elemento posea dos sub-árboles. La eliminación puede ser por sucesor o predecesor. Si es por sucesor, el sucesor no posee hijo izquierdo, luego éste puede ser movido desde su posición a la del elemento a eliminar, pero el nodo que se liberará la memoria será el sucesor. Eliminación en un árbol de búsqueda binaria: CASO 1 Nodo hoja z

8 Eliminación en un árbol de búsqueda binaria: CASO 2. Nodo con un solo hijo 1 z Eliminación en un árbol de búsqueda binaria: CASO. Nodo con sus dos hijos (por sucesor) z z z

9 Eliminar un elemento en un árbol de búsqueda binaria Algoritmo: Verificar que el árbol no esté vacío Introducir el elemento a eliminar Buscar el elemento Si se encontró, imprimir el árbol actual indicando el elemento a eliminar. llamar a la función eliminar, pasándole como parámetros el apuntador de la raíz del árbol por referencia y el apuntador del elemento encontrado La función eliminar debe considerar los tres casos de eliminación Al eliminarlo, liberar la memoria del elemento y mostrar el árbol sin el elemento.. Recorrido de árboles binarios En orden En preorden En postorden 9

10 Ejemplo del recorrido en orden del árbol En orden (recursivo) Recorrer el árbol izquierdo en orden Visitar la raíz Recorrer el árbol derecho en orden void enorden(tipoarbolptr raiz){ if(raiz!=null){ enorden(raiz->izq); printf("%d",raiz->num); enorden(raiz->der); } } Ejemplo del recorrido en preorden del árbol En preorden Visitar la raíz Recorrer el árbol izquierdo en preorden Recorrer el árbol derecho en preorden

11 Ejemplo del recorrido en postorden del árbol En postorden Recorrer el árbol izquierdo en postorden Recorrer el árbol derecho en postorden Visitar la raíz Modificar algún elemento Prototipo de función void modificar(*raiz,dato); Algoritmo: 1. Buscar el elemento 2. Si se encontró el elemento Pedir que campo modificar. Sino Informar que no se encontró el elemento 4. Fin 11

12 . Árboles balanceados Es un árbol binario de búsqueda que tiene como objetivo realizar reacomodos o balanceos después de inserciones o eliminaciones de elementos. AVL B 2-. Árboles balanceados AVL Estos árboles fueron nombrados por sus desarrolladores Adelson-Velskii y Landis Agrega la propiedad de altura para balancear el árbol en caso necesario. typedef struct arbolavl{ int info; int fe; //factor de equilibrio struct arbolavl *izq; //apuntador al hijo izq. struct arbolavl *der; //apuntador al hijo der. }tipoarbolavl; typedef tipoarbolavl * tipoarbolavlptr; 12

13 . Árboles balanceados AVL Propiedad: Que la altura de los subárboles de cada nodo difiere en no más de 1. Esto es, la altura B=h d -h i : -1<=B<=1 Para mantenerlo balanceado es necesario saber la altura o la diferencia en alturas de todos los subárboles. Se necesita un campo FE (Factor de Equilibrio) en cada nodo, como un contador de la diferencia entre las alturas de sus subárboles. Principal característica: excelente tiempo de ejecución para las operaciones de (búsqueda, altas y bajas) Ejemplo, árbol balanceado AVL 1

14 Inserción en AVL La inserción se hace siguiendo el camino de búsqueda Puede aumentar la altura de una rama, por lo cual cambiará el factor de equilibrio de dicho nodo. Implica que se retornará por el camino de búsqueda para actualizar el FE de cada nodo Se puede llegar a desbalancear por tanto rebalancear. O puede mejorar. Si el arbol A se le inserta el 2, resultará en perfectamente balanceado. Pero si se le inserta el se desbalancea El proceso termina cuando se llega a la raíz o cuando termina el rebalanceo del mismo Árbol A Árbol A + Nodo Reestructuración AVL Hay 4 casos posibles a tener en cuenta, según donde se hizo la Inserción. 1. Inserción en el Subárbol IZQ De la Rama IZQ de 2. Inserción en el Subárbol DER De la Rama DER de. Inserción en el Subárbol DER De la Rama IZQ de 4. Inserción en el Subárbol DER De la Rama IZQ de Solución: La ROTACION le devuelve el equilibrio al árbol. Rotación Simple: Caso 1 y 2: Implica a y su descendiente Rotación Doble: Caso y 4: Implica a los nodos Soluciones simétricas: En c/caso, las ramas están opuestas. 14

15 AVL: Rotación Simple AVL: Rotación Simple Luego de Insertar el Nodo 2 el árbol quedó desbalanceado. Según que rama ha crecido, la Rotación Simple puede ser por la izquierda(ii) o por la derecha(dd). Movimientos de apuntadores (ptr s). n es ptr al nodo problema. II (nuestro ej). n1 apunta a rama IZQ n->izq=n1 >der n1->der=n n=n1 DD. n1 apunta a rama DER n->der=n1 >izq n1->izq=n n=n1 n1 n n n

16 AVL: Rotación Doble AVL: Rotación Doble Movimientos de apuntadores (ptr s). n apunta al nodo problema; n1 al hijo de n con problemas, n2 al hijo de n1 DI(nuestro ej). Derecha izquierda n1->izq=n2 >der n2 >der=n1 n->der=n2 >izq n2 >izq=n n=n2 ID: izquierda derecha n1->der=n2 >izq n2 >izq=n1 n->izq=n2 >der n2 >der=n n=n2 n n1 n La solución consiste en subir el 40, pender el 0 a su izquierda y el 60 a su derecha. n2 40 n1 n

17 Ejemplos de rotaciones simples de nodos Rotación simple a la Izquierda (II) n->izq=n1 >der n1->der=n n=n1 n1 Raiz -2 n n Raiz n Raiz n1 n a) b) c) Ejemplos de rotaciones simples de nodos Rotación simple a la derecha (DD) Raiz -2 n n1 n->der=n1 >izq n1->izq=n n=n1 n1raiz n a) 1 b) 1

18 1 n1 Ejemplos de rotaciones dobles de nodos -1 Rotación izquierda derecha(id) n1->der=n2 >izq n2 >izq=n1 n->izq=n2 >der n2 >der=n Raiz n=n n2 n n1 n2 Raiz n 9 6 a) b) Ejemplos de rotaciones dobles de nodos Rotación derecha izquierda (DI) n1->izq=n2 >der n2 >der=n1 Raiz -2 n2-1 n 1 n1 12 Raiz n2 n n->der=n2 >izq n2 >izq=n n=n2 n1 6 a) b) 18

19 Ejemplo: Crear el arbol AVL a partir de la inserción de las siguientes claves. 6, 0, 2, 0, 82, 68 y 9 19

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21 Eliminación en AVL La operación de eliminación en árboles balanceados consiste en quitar un nodo del árbol sin violar los principios que definen a un árbol balanceado. Se distinguen los mismos casos que en árboles binarios: CASO 1. Si el elemento a borrar es hoja, simplemente se suprime. CASO 2. Si el elemento a borrar tiene sólo un hijo, entonces tiene que sustituirse por él. CASO. Si el elemento a borrar tiene los dos hijos, entonces tiene que sustituirse por su sucesor o predecesor, dependiendo de la opción que se elija. Eliminación en AVL Para eliminar un nodo en un árbol balanceado lo primero que debe hacerse es localizar su posición en el árbol. Se elimina siguiendo los criterios establecidos anteriormente y se regresa por el camino de búsqueda, actualizando el FE de los nodos visitados. Si en alguno de los nodos se viola el criterio de equilibrio, entonces debe reestructurarse el árbol. El proceso termina cuando se llega hasta la raíz del árbol. 21

22 Eliminación en AVL Ejemplo. Dado el siguiente árbol AVL, eliminar las siguientes claves: 40,, 20, 0 y. Árboles n-arios: La estructura TRIE Un trie es una estructura de árbol en la que: Cada nodo (excepto la raíz) está etiquetado con un caracter (a,..., z) o una marca de fin (símbolo $). Un camino de la raíz a una hoja (etiquetada con $) corresponde a una palabra del diccionario. Cada nodo (excepto la raíz y las hojas) es un prefijo del conjunto. 22

23 . Árboles n-arios: La estructura TRIE Representación de diccionarios de palabras. Muchas palabras implica mucha memoria y operaciones lentas Muchas palabras tienen prefijos comunes. P. ej.: operador, operando; encontrado, -a, -os, -as... Implementaciones de Tries: Nodo-vector. cada nodo es un vector de apuntadores para acceder a los subárboles directamente. Nodo-lista. cada nodo es una lista enlazada por apuntadores que contiene las raíces de los subárboles.. Árboles n-arios: La estructura TRIE Ejemplo de representación de un árbol TRIE, con las siguientes palabras: cris, cruz, javi, juan, rafa, raquel 2

24 . Árboles n-arios: La estructura TRIE Nodo-vector [4]. Árboles n-arios: La estructura TRIE Nodo-lista 24

25 . Árboles n-arios: La estructura TRIE Aplicaciones de los árboles TRIE Diccionarios Soporta operaciones de búsqueda de palabras Comparaciones de subcadenas -> procesamiento de textos, biología computacional, etc. Referencias 1. Tenenbaum, Aaron & Langsam, Yedidyah & Augenstein, Moshe Estructuras de Datos en C. Prentice-Hall, México Deitel & Deitel Como programar en C/C++. Prentice-Hall, México. Wirth, Niklaus Algoritmos y estructura de Datos. Prentice-Hall, México. 4. Javier Campos. Técnicas Avanzadas de Programación 2