TABLAS DINAMICAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA

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1 TABLAS DINAMICAS DE MORTALIDAD Y SUPERVIVENCIA Ana Debón 1 Ramón Sala 2 Universitat de Valencia Resumen: Es una realidad que la esperanza de vida está aumentando en todos los países desarrollados. Así pues, la tabla de mortalidad, como modelo asociado al comportamiento de la mortalidad de un colectivo, es bastante conservadora y poco realista si se basa en la hipótesis de estacionariedad. Las salidas del colectivo no sólo dependen de la edad sino también del año de nacimiento del individuo, puesto que las probabilidades cambian en los diferentes años por diferentes motivos (avances de la medicina, disminución del riesgo laboral, control de las catástrofes naturales,...). Surge así la idea de elaborar una tabla para cada generación, entendiendo por generación los individuos nacidos en el mismo año. La tabla base que se toma para la formación de todas éstas es la llamada tabla dinámica, con dos parámetros fundamentales: la edad o tiempo biométrico y el tiempo cronológico (edad biométrica y edad cronológica). Siguiendo estas ideas, se han elaborado unas nuevas tablas de mortalidad españolas, dinámicas, denominadas PERM/F En este trabajo tratamos de analizar su aplicación y sugerimos ideas para realizar una experiencia similar con un colectivo más reducido, la Universidad de Valencia. Palabras clave: mortalidad, estacionariedad, generación, edad biometrica, edad cronológica. 1 Florida Universitaria. amdebon@florida-uni.es 2 Departamento de Economía Financiera y Matemática. Ramon.Sala@uv.es

2 1 INTRODUCCIÓN El presente trabajo trata de cubrir varios objetivos. Por una parte, revisar el concepto de tabla de mortalidad, información que debe recoger y principal utilidad. Por otra, establecer las principales diferencias entre una tabla estática y una tabla dinámica, resaltando claramente las ventajas de la segunda, así como la explicación de la reciente tabla de experiencia española. Y para finalizar, posibles consideraciones prácticas relativas a los datos particulares de la Universidad de Valencia. Es por ello que la estructura será la siguiente: definiciones, conceptos básicos y presentación de los mismos. Establecimiento de las principales hipótesis, definición de tabla dinámica, utilización e historia de las PERM/F 2000, y el balance de salidas de un colectivo especifico. Para después establecer algunas líneas de estudio en nuestro colectivo, evolución y relaciones entre la tabla PERM/F 2000 y el colectivo asegurado. Para finalizar con un análisis de las dificultades que entraña el estudio de colectivos específicos y las futuras líneas de investigación. 2 TABLAS DE MORTALIDAD En un principio, en los seguros, los contratos solían ser a corto plazo. El problema de los contratos de larga duración y el establecimiento de las reservas apropiadas, requería establecer una teoría de la probabilidad, una estadística de la mortalidad y un instrumento matemático adecuado. Por su parte Halley (1693), elabora el primer trabajo conocido de tablas de mortalidad completas a partir de la hipótesis de estacionariedad de la población. Posteriormente, Nicolás Titens, Jorge Barret y F. Bayly idearon los símbolos de conmutación que permitieron una agilización definitiva en el cálculo de las operaciones de Seguro. Una tabla de mortalidad es una serie temporal que indica la reducción paulatina de un grupo inicial de individuos debido a los fallecimientos, así pues, lo que realmente contiene son los sobrevivientes. Por tanto, viene expresada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, supervive. 2

3 La tabla de mortalidad es una abstracción matemática que representa un modelo de comportamiento de la evolución y constante decrecimiento de un colectivo, construida a partir de las observaciones de un colectivo real. La estructura básica de la tabla es la siguiente: x l x d x q x p x Las columnas de la tabla representan: x: la edad, donde ω representa la edad de final (límite). l x : nº de los que superviven a la edad x. d x = l x - l x+1 es el número de individuos que fallecen entre la edad x y x+1. q x = d x /l x. tanto anual de fallecimiento a la edad x. Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de no alcanzar la x+1. p x = l x+1 /l x. tanto anual de supervivencia a la edad x. Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de supervivir un año más. Las tablas también contienen los símbolos de conmutación: D x, N x, S x, C x, M x, R x. Dichos símbolos son unas relaciones o notación matemática que facilitan enormemente la aplicación práctica de los cálculos de primas, reservas y demás elementos correspondientes a las operaciones de seguros.. Así pues de las tablas demográficas y biométricas, y para determinados colectivos, pueden obtenerse las probabilidades de eliminación de diversas situaciones entre dos edades consecutivas, expresadas en años enteros, estas probabilidades pueden discriminarse por sexos. 3 TABLAS DINAMICAS El fenómeno de la supervivencia se caracteriza porque sus sucesos hacen referencia al hecho de que un individuo perteneciente a un grupo específico alcance y supere una edad concreta. Al intentar modelar el fenómeno de la supervivencia, procede considerar el parámetro fundamental, la edad. A la que la denominaremos tiempo biométrico para diferenciarla del tiempo cronométrico (el carácter relativo de la dimensión temporal se ve con claridad al comparar un individuo de 40 años en 1900 y otro con la misma edad en 1995). 3

4 Los postulados constituyen la base fundamental de las deducciones que han de conducirnos a la construcción de una tabla estática: 3.1 Principio de Homogeneidad Todos los individuos de un grupo son equivalentes en lo que se refiere a la mortalidad, en el sentido de que tienen la misma función de distribución de probabilidad asociada a la variable edad de muerte. El grupo es homogéneo. 3.2 Principio de Independencia Los individuos que integran un determinado grupo se definen con variables estocásticamente independientes. Esto equivale a decir que el suceso de que un cierto individuo sobreviva o no a una determinada edad, tiene una probabilidad que no depende de la supervivencia de cualquier otro individuo del grupo. 3.3 Principio de Estacionariedad Todas las consideraciones y formulaciones que se hagan vendrán referidas a la edad o tiempo biométrico, es decir, sin hacer referencia al tiempo cronométrico. Con todas estas hipótesis, la probabilidad de que los n individuos sobrevivan a las edades x 1, x 2,..., x n respectivamente, viene dada por: P(ξ 1 <x 1, ξ 2 <x 2,..., ξ n <x n )=F(x 1, x 2,..., x n)= F(x 1 ).F(x 2 )....F(x n ) Es evidente que si el estudio del fenómeno de la supervivencia se refiere solo al tiempo biométrico es porque se admite, implícitamente, la hipótesis de estacionariedad del fenómeno. Pero un estudio completo debería tener en cuenta ambos conceptos temporales, es decir, la expresión matemática del fenómeno de la supervivencia depende de dos parámetros: tiempo físico (cronométrico) y el tiempo biométrico (edad), ello daría lugar a las tablas dinámicas. Las elaboradas en España, PERM/F 2000, se construye una tabla para cada generación, entendiendo por generación individuos nacidos todos en el mismo año. La tabla base que se toma para la formación de todas estas es la llamada tabla dinámica, con dos parámetros fundamentales: la edad o tiempo biométrico y el tiempo cronométrico. Como reflexión a la comparación teórica de las tablas estáticas y dinámicas, añadir que las primeras nacen con una fecha de caducidad implícita, puesto que la mortalidad desciende y la esperanza de vida aumenta con el paso de los años, de forma que necesitaríamos exigir al asegurado una dotación adicional cuando pasaran un 4

5 número determinado de años, mientras que con las segundas las posibles modificaciones serían menores. 4 TABLAS PERM/F 2000 En la práctica, el organismo de control de cada país tiene la facultad de aprobar o no la tabla de mortalidad que deben adoptar las entidades aseguradoras, así como el tipo de interés técnico para los cálculos. 3 En España tenemos que las tablas PERM/F (tablas generacionales españolas de supervivencia masculina/femenina) sustituirán a las aplicadas hasta ahora, las suizas GRM/F-80, corregidas en dos años de edad actuarial. Éstas incorporan la necesaria dinamicidad y constituyen las primeras tablas generacionales de las que se ha dispuesto en este país. Para construir las tablas dispuestas en España PERM/F se consideraron diferentes métodos de proyección. La idea básica (que se muestra en el gráfico1) es: tomando las tasas de mortalidad del pasado para una edad fija x, predecir las tasas de mortalidad en los años futuros para esa misma edad x. Suponemos que los tantos de mortalidad van disminuyendo a lo largo del tiempo y se ajusta una función a esa disminución. Se utilizó la fórmula exponencial, pese a que implica una tasa de mejora constante lo cual no es demasiado real, si es muy usada y da buenos resultados. Esta función tiene además la ventaja de que no se anula, funciona aun con pocos datos y no presenta problemas en la práctica. La función es: q x, t = q - (t -t0) x, t e λx 0 Siendo: q la mortalidad de base e x, t 0 -λx (t t0) : factor de proyección λ x : tasa media anual de mejora ( t- t 0 ): años entre las mediciones. 3 Así pues, en España, tenemos la reciente Resolución de 3 de octubre de 2000 de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones por la que se da cumplimiento a lo previsto en el número 5 de la 5

6 q x, t0 t-t0 años q x,t Gráfico 1 A continuación explicamos el uso de dichas tablas resumiendo la citada resolución: Las Tablas PERM/F-2000P serán de aplicación a la nueva producción que se efectúe desde la entrada en vigor de la resolución, así como a las incorporaciones que se produzcan a partir de la misma fecha a pólizas colectivas ya en vigor. Las Tablas PERM/F-2000C serán de aplicación a la cartera de pólizas en vigor en la misma fecha. Ambas tablas constan de las siguientes columnas: Año de Tabla Base. q x ( en tanto por mil ) Factor de mejora de q x ( λ ) Nacimiento Hombres Mujeres Hombres Mujeres Y dan lugar a las llamadas tablas de generación, para cuyo cálculo necesitamos saber: Edad x en el 2000, de la cual obtenemos el año de nacimiento A= 2000-x. Sexo, pues hay tablas diferentes para hombre o mujer. Nueva contratación o ya en cartera, puesto que la tabla base a utilizar es diferente. Veamos como obtener q(x+t;a) para t = 0, 1, 2... Para ello se aplicará la siguiente fórmula: q(x+t;a) = q(x+t;tabla Base)*e [ - Donde: λ x+ t * t] q(x+t;tabla Base) es el tanto anual de mortalidad consignado en la tabla base para el año de nacimiento = 2000 (x + t), disposición transitoria segunda del Reglamento de Ordenación y supervisión de los seguros privados, aprobado por Real Decreto 2486/1998, de 20 de noviembre. 6

7 λ x+t el factor de mejora de la supervivencia reflejado para el citado año de nacimiento. Así por ejemplo, el tanto anual de mortalidad a los 60 años de la tabla a aplicar a un hombre que cumplió 35 años en el ejercicio 2000 (por tanto, nacido en 1965) se calculará, en el caso de nueva producción: q(60;1965) = q(60;tabla base )*e [ - 60 λ * (60-35) ] donde q(60;tabla base ) es el consignado para el año 1940 ( ) yλ 60 es el factor de mejora consignado también para el año 1940 q( 60;1965) = *e ( - 0,015 * 25) = 0, Observar que de una generación a otra lo que diferencia claramente las tablas es el factor e [- λ x+ t *t] en su término t= año de generación año correspondiente al tanto en las tablas = edad actuarial del asegurado edad en el año La comparación de generaciones se muestra en el gráfico siguiente Gráfico 2 Hemos visto que la tabla a aplicar a cada asegurado depende de su año de nacimiento y se calculará a partir de la tabla base que corresponda, para más tarde una vez determinada la tabla de su generación efectuar los cálculos tomando su edad actuarial exacta en cada momento. Esto implica que por ejemplo a dos asegurados nacidos el mismo año pero uno en cualquiera de los 6 primeros meses y el segundo en los siguientes, se les aplique la misma tabla por nacer el mismo año (1959), pero la 7

8 probabilidad de sobrevivir a para el asegurado nacido al principio le vendrá dada por l 51, mientras que para el segundo vendrá dada por l 50, atendiendo a su edad actuarial. En cambio, las coberturas de supervivencia de asegurados nacidos en distinto año cronológico se regirán por tablas distintas, si bien cada asegurado tendrá una sola tabla para todas las edades y sucesivos ejercicios económicos (hasta tanto no se declare la falta de adecuación de las tablas que ahora se aprueban). 5 PROPUESTA DE CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA PARA EL PERSONAL DE LA UNIVERSIDAD DE VALENCIA La forma más usual de cálculo de una tabla de mortalidad es la que se propone determinar la tasa anual de mortalidad conociendo el número de fallecimientos ocurridos en cada año, clasificados por edades, en comparación con el número de individuos expuestos a riesgo también clasificados por edades. Los datos brutos así obtenidos son ajustados por los métodos gráfico, mecánico o analítico, utilizando los procedimientos ideados por conocidos autores. Para construir una tabla para la Universidad de Valencia, con el objetivo de establecer su comportamiento para valorar un plan de pensiones, será necesario reemplazar el concepto de vivo por activo y de fallecimiento por salida.. En la mayoría de los casos se suele diferenciar entre población masculina y femenina, pues tienen un comportamiento diferente, respecto a la mortalidad, pero nuestro colectivo es demasiado pequeño como para subdividirlo de forma que los resultados sean significativos. En primer lugar debemos calcular los tantos de salida sin ajustar. Cálculo de la variable E x exposición inicial al riesgo, que es el periodo potencial de tiempo trabajado por la población activa de la Universidad con edades comprendidas entre x y x+1 años durante los años 1997 y E x = (P x + P 98 x ) + ½(Sal 97 x + Sal 98 x ) donde: P 97 x población activa con edades x y x+1 el P 98 x población activa con edades x y x+1 años el Sal 97 x número de salidas del colectivo durante 1997 de individuos con edades entre x y x+1 8

9 Sal 98 x número de salidas del colectivo durante 1998 de individuos con edades entre x y x+1 Se supone que las salidas de los individuos con edades x y x+1 años se distribuye de forma uniforme entre esas edades, es decir durante el periodo de observación. Además, supongamos que el número de salidas de individuos con edades comprendidas entre los x y los x+1 años durante el periodo de observación (Sal x = Sal 97 x + Sal 98 x ) es una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros E x y q x, es decir: Sal x ~Bi(E x,q x ) Ésta hipótesis es necesaria para estimar los verdaderos tantos de mortalidad correspondientes a las diferentes edades y sólo es válida en la medida en que seguir activo o salir del colectivo sea sucesos independientes entre los individuos, puesto que la variable binomial es suma de variables Bernouilli independientes. El estimador maximo-verosímil de q x es: Sal qˆ x = E Además es fácil comprobar que es un estimador insesgado, ya que [ qˆ x ] q x La varianza, Var[ qˆ ] x x x x E =. q x (1 q x) = se demuestra que coincide con la cota de E Cramer-Rao, por tanto, se puede afirmar que es el estimador insesgado de mínima varianza y, en consecuencia, el mejor de los insesgados. Este estimador goza de buenas propiedades y se utilizará, por tanto, para determinar los tantos de mortalidad, q x, de la población universitaria, para su cálculo y posterior análisis se utilizará el programa SPSS. 9

10 6 CONCLUSIONES Y LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN FUTURAS. En un colectivo específico nos encontramos con la dificultades de tamaño, puede no ser suficiente, como para tener clara la observación de la contingencia jubilación o abandono del colectivo. Por otra parte la población de activos no se mantiene constante, incorporándose nuevos trabajadores año a año, y además, pueden haber cambios de categoría. De los datos brutos de probabilidades de salida del colectivo, se deduce que es un colectivo muy estable y para alguna edades no se observan salidas, esto puede ser debido al comportamiento normal del colectivo pero debemos estar seguros de que este no cambia al observar durante más tiempo, o en otro momento diferente. Finalizado el cálculo de los tantos brutos, ajustamos unas funciones clásicas del tipo Gompertz-Makeham que deben maximizar el logaritmo de la función de verosimilitud, con la dificultad de aquellos tantos que sean cero, no vamos a poder calcular el logaritmo. Por lo que pensamos en un ajuste por splines. Ambas funciones nos darán resultados en los que analizaremos la bondad del ajuste, mediante diferentes métodos: residuos, coeficiente de varianza explicada por el modelo, error cuadratico medio y algunas gráficas. Esta metodología la utilizaremos durante diferentes años para observar la evolución del colectivo desde el punto de vista dinámico. Para finalmente evaluar un plan de previsión para la Universidad de Valencia, utilizando el principio de equivalencia, la información dada u obtenida para el colectivo para evaluar las aportaciones del colectivo según la tabla dinámica, 10

11 6 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS García Villalón, J. (1994): Manual de Matemáticas Financiero- Actuariales. Madrid, ed. Fernández Ciudad, S L. Jornada técnica sobre las tablas de mortalidad y supervivencia PERM/F Madrid, 11 de diciembre de Navarro, E. (1991): Tablas de mortalidad de la población española Metodología y fuentes. Madrid, ed. Mapfre. Nieto de Alba, U.; Vegas, J: (1993): Matemática Actuarial. Madrid, ed. Mapfre. Palacios, H. E. (1996): Introducción al cálculo actuarial. Madrid, ed. Mapfre. Resolución de 3 de octubre de 2000 de la Dirección General de Seguros y Fondos de Pensiones. Vegas, A. (1982): Estadística. Aplicaciones Econométricas y Actuariales. ed:piramide. 11