FEINA DE MATEMÀTIQUES 4t ESO SETEMBRE. Fer un resum-esquema de cadascú dels apartats següents:

Transcripción

1 EINA DE MATEMÀTIQUES t ESO SETEMBRE er un resum-esquema de cadascú dels apartats següents: Càlcul amb nombres enters, fraccions i decimals. Exemples d aplicació. Potenciació i radicació. Propietats i operacions. Exemples d aolicació. Arrodoniments i estimacions. Càlcul dels errors absolut i relatiu. Exemples. Monomis.Polinomis. Totes les operacions. Aplicació del teorema del residu. Equacions de r i n grau.tipus d equacions. Solució. Inequacions. Iintervals de solució. Problemes d aplicació. Geometría básica, rectes notables del triangle, Gràfics. Teoremes: Tales, Pitàgores, altura, catet. Aplicacions. Raons trigonomètriques. Trigonometria bàsica. Vectors i operacions. uncions i representació de funcions Estudiar els mateixos apartats abans d aplicar-los en les activitats. A presentar: Tria activitats d aplicació dels apartats anteriors (poden ser dels exercicis fets a clase), explicar la raó d escollir-les i indiques quin concepte o objectiu treballes en l activitat. Presentar-les amb l enunciat copiat i resoltes en una llibreta. Exemple: Trio aquest exercici per treballar el concepte d equació, l estratègia per a resoldre problemes i aplicar els passos per trobar la solución. Un camp de futbol fa 0 m més de llargada que d amplada, i la seva área és de 7000 m. Calcula les seves dimensions. Més a més Les activitats proposades en l apartat feines d estiu de la pàg web del Centre, en el curs corresponent i la matèria a treballar. Totes les activitats amb enunciat i fetes es presentaran en una llibreta o dossier esclusiu per les matemàtiques. Pots copiar el pdf, no cal imprimir-lo. Pots fer més activitats de reforç (autocorrectives) si entres en

2 TROBAR OBJECTIU EL MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE (M.C.M.) DE DOS NOMBRES El mínim comú múltiple de dos nombres és el més petit dels seus múltiples comuns. Siguin els nombres i. Els seus múltiples són: Múltiples de {0,,, 6, 8, 60, 8, 96,...} Múltiples de {0,, 8, 6,...} Per tant, el mínim comú múltiple de i és: m.c.m. (, ) 8 Com el trobem? Per trobar el mínim comú múltiple de dos nombres seguim aquests passos. r Descomponem els dos nombres en factors primers. n Multipliquem els factors primers comuns i no comuns a tots dos que estiguin elevats a l exponent més gran m.c.m. (, ) 7 8 Troba el mínim comú múltiple d aquests nombres, descomponent-los en factors primers. a) i 0 c) 60 i m.c.m. (, 0) 0 m.c.m. (60, 0) 0 b) i 88 d) i m.c.m. (, 88) 6 m.c.m. (, 80) 70 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

3 OBJECTIU REPRESENTAR I OPERAR AMB NOMBRES ENTERS Representem els nombres enters positius i negatius sobre una recta dividida en intervals de la mateixa longitud. 0 Representa i ordena, de més petit a més gran, aquests nombres enters: 7,,,, 0,,, 7 i. Els representem sobre la recta: Ordenar-los és immediat: 7 < < < 0 < < < < 7 Representa i ordena aquests nombres enters:,,,,,, 7 i 7. Indica el signe < (més petit que) o > (més gran que), segons que correspongui en cada cas. a) > 7 c) 7 e) 0 b) 0 9 d) f) VALOR ABSOLUT D UN NOMBRE ENTER El valor absolut d un enter positiu és ell mateix:, 0 0 El valor absolut d un enter negatiu és el seu oposat:, Opera i troba el valor absolut dels nombres enters. a) b) 7 + c) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) (7 ) ( ) ( ) e) ( ) : (7 8) ( ) : ( Efectua les operacions següents amb nombres enters. a) [( ) + ] : ( ) [ + ] : ( ) : ( ) 6 b) [ + ] ( ) [ (7 )] ( ) ( ) [ ] + ADAPTACIÓ CURRICULAR c) [( ) 6 ] : [ 6] : 9 : 9 6 d) ( ) ( + ) ( ) 7 e) [( + ) ] : ( 7) [( ) ] : ( ) ( ) : ( ) MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

4 REPRESENTAR OBJECTIU NOMBRES RACIONALS I OPERAR-HI Representem els nombres racionals sobre una recta en la qual els nombres fraccionaris estiguin compresos entre els nombres enters. 7/ / / 0 Per veure com es representa un nombre fraccionari, en donem un exemple. Per representar el nombre 8 seguim aquests passos: r Simplifiquem la fracció fins a obtenir-ne la fracció irreductible: 0 n En calculem la part entera i la part decimal: + r Agafem sobre la recta l interval format pels dos nombres enters entre els quals està comprès el nombre, en aquest cas [, ], i el dividim en un nombre de parts igual que el denominador de la fracció, en aquest cas, en parts. Marquem des del nombre tantes parts com indiqui el numerador, en aquest cas : / 0 Representa els nombres fraccionaris següents. a) 0 0 r Simplifiquem: n Calculem: 0 + r Assenyalem sobre la recta l interval [0, ]. El dividim en parts iguals. Hi marquem parts i indiquem la posició. 0 / b) 0 0 r Simplifiquem: n Calculem: + r Assenyalem sobre la recta l interval [, ]. El dividim en parts iguals. Hi marquem part i indiquem la posició / c) 0 r Simplifiquem: n Calculem: r Assenyalem sobre la recta l interval [0, ], i representem la fracció. /7 0 6 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

5 d) 0 r Simplifiquem: n Calculem: 0 r Assenyalem sobre la recta l interval [0, ] i representem la fracció. / 0 SUMA (O RESTA) DE NOMBRES RACIONALS Per sumar (o restar) fraccions amb denominador diferent, les reduïm a comú denominador i després sumem els numeradors. Efectua: + 7 Trobem el mínim comú múltiple dels denominadors: m.c.m. (, ) es les operacions següents: a) m.c.m. (, ) 6 b) + m.c.m. (, ) em primer la suma del parèntesi: c) m.c.m. (, ) em primer la resta del parèntesi: 9 ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 7

6 PRODUCTE (O QUOCIENT) DE NOMBRES RACIONALS Per multiplicar dues fraccions, efectuem el producte dels numeradors i el dividim entre el producte dels denominadors. Per dividir dues fraccions, multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona. 7 7 : : : Efectua les operacions següents: ( ) 7 ( ) a) b) 7 : ( ) 7 ( ) ( ) c) : ( ) : ( ) : ( ) 7 d) : 7 : 7 7 : 00 POTÈNCIA D UNA RACCIÓ Per elevar una fracció a una potència, elevem el numerador i el denominador a aquesta potència. ( ) 7 es aquestes operacions: a) b) c) MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

7 OPERACIONS COMBINADES AMB NOMBRES RACIONALS La jerarquia de les operacions és: Primer es fan les operacions dels parèntesis. Després, es calculen les potències, si n hi ha. A continuació, s efectuen les multiplicacions i les divisions. Per últim, es resolen les sumes i les restes. Sempre s opera respectant l ordre en què estan escrites les operacions, d esquerra a dreta. + : + 7 Hi ha dos blocs amb els quals hem d operar per separat: Operem i simplifiquem: : : Efectua les operacions. a) 7 0 b) c) ADAPTACIÓ CURRICULAR d) e) + : 89 : 00 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

8 EXPRESSAR OBJECTIU 6 UN NOMBRE DECIMAL EN ORMA DE RACCIÓ I A LA INVERSA Per expressar un nombre fraccionari en forma decimal es divideix el numerador entre el denominador ) a), decimal exacte c),88...,8 decimal periòdic mixt ) b) 7, ,8 decimal periòdic pur Per expressar un nombre decimal en forma de fracció, operem de manera diferent en cada un dels tres casos anteriors. a) Decimal exacte: b) Decimal periòdic pur:. 6, Es resta la part entera ), c) Decimal periòdic mixt: Posem tants 9 com xifres tingui la part periòdica ) , Posem tants 9 com xifres tingui la part periòdica i tants 0 com xifres tingui l anteperíode Xifres de la part entera i la part decimal no periòdica Troba la fracció generatriu dels nombres següents: 87 ) a) 0,87 d), 7 00 ) b) 0, e) 0,0 ). 7 c),7 f), ) g) 6, ) MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

9 OBJECTIU 7 APROXIMAR UN NOMBRE DECIMAL Per truncar les xifres decimals d un nombre fins a un ordre determinat eliminem les xifres que vénen a continuació d aquest ordre.,7 truncat als dècims és,7. 0,87 truncat als centèsims és 0,8.,6 truncat als mil lèsims és,. Trunca els nombres decimals a la xifra dels dècims, dels centèsims i dels mil lèsims. a) 0,76 b), c) 8,7 d) 6,98 0, 0,7 0,76 Per arrodonir un nombre decimal fins a un ordre determinat mirem si la xifra de l ordre següent és més petita que o més gran que i, en funció d això, deixem la xifra anterior com està o la incrementem en una unitat.,7 arrodonit als dècims és,8. 0,87 arrodonit als centèsims és 0,8.,6 arrodonit als mil lèsims és,. Arrodoneix els nombres decimals als dècims, centèsims i mil lèsims. a) 0,76 b), c) 8,7 d) 6,9 0, 0,8 0,77 Efectua les operacions amb nombres decimals, i arrodoneix el resultat als centèsims. a) (,67 +,87),8 b) (,6,8) (9,67 +,76) 9,99, 76 7, 77 c), 8 6,,, 7 6,99 6,96 d) 7,9 e), 7 0, 89 6, 6 8, 987 0,9 0, ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 6

10 CALCULAR OBJECTIU 8 L ERROR COMÈS QUAN APROXIMEM UN NOMBRE DECIMAL L error absolut que cometem quan aproximem un nombre decimal és igual al valor absolut de la diferència entre el nombre donat i el nombre aproximat. Es representa amb Ea. Sigui el nombre,76. Quin error absolut es comet quan l aproximem als centèsims? Podem aproximar el nombre de dues maneres: truncant-lo o arrodonint-lo. Si el trunquem als centèsims, el nombre és,7, i l error absolut serà: E a,76,7 0,006 Si l arrodonim als centèsims, el nombre és,8, i l error absolut serà: E a,76,8 0,00 Com que l error comès quan arrodonim és menor, aquesta forma d aproximació és millor que el truncament. Calcula l error que cometem en aproximar els nombres decimals següents als mil lèsims. a),77 Per truncament queda,7. Per arrodoniment queda,8. E a,77 0,0007 E a,77 0,000 b) 07,89 Per truncament queda: Per arrodoniment queda: E a 07,89 0,000 E a 07,89 0,000 El màxim error absolut que cometem en fer una aproximació s anomena cota o marge d error. Quan trobem amb la calculadora el valor de, obtenim:,7008 Però és una aproximació per arrodoniment que fa la calculadora a 7 xifres decimals i, per tant, no és el valor exacte de. Com que no podem trobar l error absolut, perquè no en coneixem el valor exacte, calcularem una cota de l error absolut comès. Si aproximem, per exemple, als centèsims:,7 < <,7 L error que cometem serà menor o, com a màxim, igual que la diferència entre,7 i,7, és a dir: és a dir:,7,7 0,0. Així, resulta que 0,0 és una cota de l error comès quan aproximem als centèsims. Troba una cota d error quan aproximem als mil lèsims.,7 < <,7,7,7 6 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

11 OPERAR OBJECTIU AMB POTÈNCIES: MULTIPLICACIÓ, DIVISIÓ I POTÈNCIA DE POTÈNCIA POTÈNCIA Un nombre a, anomenat base, elevat a un exponent n és igual al resultat de multiplicar a per ell mateix n vegades: n vegades a a a a a a a n Es llegeix: «a elevat a n». a n n: exponent, indica quantes vegades es multiplica la base per ella mateixa. a: base Es llegeix: «sis elevat a tres». Completa. a) b) c) d) «Set elevat a quatre» MULTIPLICACIÓ DE POTÈNCIES Com que les potències són multiplicacions, les fem servir quan multipliquem o dividim: 7 6 exponent Per unificar-ne l exponent, les potències han de tenir la mateixa base. (no es pot posar amb el mateix exponent) La fórmula general per multiplicar potències de la mateixa base és: a n a m a n+m es les operacions següents: a) 0 0 d) 6 g) b) e) h) c) f) 7 i) 66 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

12 DIVISIÓ DE POTÈNCIES Per dividir potències de la mateixa base, es deixa la base i es resten els exponents: a n : a m a n m. La divisió entre potències de base diferent no es pot fer, i ha de quedar indicada. 7 : Opera amb les potències següents: 6 a) 6 : b) 7 : c) : d) 6 : e) 7 : 7 es aquestes divisions. a) : c) 6 : e) 7 : b) : 7 7 d) 7 : f) 6 : 6 De vegades es combinen les operacions de multiplicació i divisió. En aquests casos, es fan les diverses operacions, pas a pas: S ha de tenir en compte que només es pot operar quan s unifiquin les bases de les potències: Completa les operacions següents: 7 a) ( ) : ( ) ADAPTACIÓ CURRICULAR b) ( ) : ( ) c) (0 : 0 ) 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 67

13 POTÈNCIA D UNA POTÈNCIA Si elevem una potència a una altra potència, el resultat és una altra potència amb la mateixa base i l exponent de la qual és el producte dels exponents: (a n ) p a n p (7 ) (7 7) (7 7) (7 7) (7 7) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 Completa les operacions següents: a) (7 ) 7 e) ( ) 8 b) ( ) f) ( ) c) (6 ) 6 g) ( ) d) (9 ) 9 h) (0 ) 0 També hi ha operacions combinades que presenten les tres operacions que hem estudiat fins ara. a n a m a n+m a m : a n a m n (a n ) m a n m Multiplicació Divisió Potència d una potència 9 ( ) : ( ) 6 ( ) 7 Efectua aquestes operacions. a) ( : ) ( ) b) ( 7 : ) ( 6 : ) c) (0 ) : (0 0 ) d) ( ) ( ) e) (6 : 6 ) (6 ) 68 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

14 POTÈNCIA D EXPONENT NEGATIU Quan efectuem una divisió de potències, el resultat pot ser una potència d exponent negatiu: : Si hi ha exponents negatius, els podem transformar en una fracció: En general, les potències d exponent negatiu es defineixen: a n Les potències d exponent negatiu compleixen les propietats que ja coneixem per a les potències d exponent natural. 8 a n a n 8 Opera amb potències d exponents negatius. a) b) 7 c) 6 6 ( ) 6 d) 8 8 ( ) 8 9 Expressa en forma de potència de la base indicada en cada cas. OPERACIÓ BASE RESULTAT : 8 ADAPTACIÓ CURRICULAR ( 9 ) (6 : ) (9 ) : MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 69

15 EXPRESSAR OBJECTIU UN NOMBRE EN NOTACIÓ CIENTÍICA Per expressar un nombre en notació científica, l escrivim amb una sola xifra, diferent de zero, com a part entera i les altres xifres decimals, multiplicat per una potència de 0 amb exponent igual a: el nombre de xifres que hem passat a la part decimal, o menys el nombre de posicions que hem saltat per aconseguir que la primera xifra sigui entera..8,8 0 xifres hem hagut de passar a decimals.,7,7 0 xifra hem hagut de passar a decimal xifres hem hagut de passar a decimals. 0,0078 7,8 0 salts hem hagut de fer per aconseguir que la primera xifra, 7, estigui a la part entera. 0,6,6 0 salt hem hagut de fer per aconseguir que la primera xifra,, estigui a la part entera. 0,069 6,9 0 salts hem hagut de fer per aconseguir que la primera xifra, 6, estigui a la part entera. Expressa en notació científica els nombres següents. a) , b).000 e) 0 c) 00 f) d) 700 g) Expressa en notació científica aquests nombres amb part entera i part decimal. a) 990,8 9,908 0 b) 0, f) 0,0,00 c) 6, 6, g) 7,986,7986 d) 67.76, h), e), i), Expressa els nombres decimals en notació científica. a) 0,067,67 0 b) 0,0000, f) 0,007 c) 0, g) 0,0000 d) 0,09 h) 0,0007 e) 0,67,67 i) 0,76 70 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

16 RACIONALITZAR DENOMINADORS Racionalitzar un denominador és el procés mitjançant el qual fem desaparèixer el radical del denominador de la fracció. Aquest procés consisteix a multiplicar el numerador i el denominador per un nombre que faci que s elimini l arrel del denominador. ( + ) ( ) ( + ) + 7 En aquest cas, apliquem la propietat que una suma per una diferència de dos nombres és igual a una diferència de quadrats: ( ) ( + ) ( ) 9 7 Racionalitza els denominadors de les fraccions. a) b) c) + ( ) ( + ) ( ) 0 d) ( + ) ( ) ( + ) + e) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) f) 0 g) 7 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

17 RECONÈIXER OBJECTIU EL GRAU I ELS ELEMENTS QUE ORMEN UN POLINOMI Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma algebraica de monomis, que són els termes del polinomi. Un polinomi és reduït quan no té monomis semblants. El grau d un polinomi reduït és el grau del terme de grau més gran. Un polinomi és complet quant té termes de tots els graus inferiors al grau del polinomi. Donat el polinomi P(x) x x + x + : a) Troba n el polinomi reduït. b) Determina el grau del polinomi. c) Quants termes té? Quin és el terme independent? d) És un polinomi complet? Si és incomplet, digues quin terme falta. a) Per reduir un polinomi, primer hem d operar: P(x) x x + x + P(x) x x Polinomi reduït b) El polinomi és de grau : P(x) x x. c) El polinomi té tres termes i n és el terme independent. P(x) x x d) P(x) x x es un polinomi complet. grau: 0 és el terme independent. Té tres termes. Q(x) 7x + x + és un polinomi complet o incomplet? Q(x) 7x + x + és un polinomi incomplet, ja que no té terme de grau. grau: 0 Redueix els polinomis següents: a) P(x) x + x x + b) P(x) x x + x x + x x 76 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

18 Redueix el polinomi i ordena l, de grau més gran a grau més petit. P(x) x x + x + x x + x + P(x) Té El terme independent és El grau del polinomi és termes. Com és el polinomi, complet o incomplet? Redueix el polinomi i ordena l, de grau més gran a grau més petit. P(x) x x + + 7x + x x P(x) Té El terme independent és El grau del polinomi és termes. Com és el polinomi, complet o incomplet? Digues si els polinomis següents són complets o incomplets. Completa la taula POLINOMI COMPLET INCOMPLET ALTEN ELS TERMES P(x) x + x Q(x) x + 0 R(x) 0x 0x + 0 S(x) 0 T(x) x + x + Donat el polinomi Q(x) x + x x, indica: a) Si el polinomi és ordenat. b) Si el polinomi està reduït. c) Si el polinomi és complet. d) El grau del polinomi. e) El terme independent. ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 77

19 OBJECTIU DETERMINAR EL VALOR NUMÈRIC D UN POLINOMI El valor numèric d un polinomi P(x), per a un valor de la variable x a, s obté substituint la variable x per a i operant. En un polinomi, per exmple P(x) x +, s hi pot introduir qualsevol valor a substituint la x: Per a x : P() + P() + P() 8 + P() 9 El valor del polinomi quan introduïm el valor és 9. Per a x 0: P(0) 0 + P(0) 00 + P(0) 00 + P(0) 0 El valor del polinomi quan introduïm el valor 0 és 0. Calcula el valor numèric dels polinomis per a x. a) P(x) x + x P( ) + b) P(x) x + c) P(x) x + d) P(x) x + Troba el valor numèric de cada polinomi per al valor de la variable indicat. a) A(x) x +, per a x c) C(x) 9x + 7x +, per a x b) B(x) x 6x +, per a x d) D(x) x + x + x +, per a x 78 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

20 Calcula la suma i la resta d aquests polinomis. a) P(x) x + x x Q(x) x x 9x + P(x) P(x) + Q(x) Q(x) P(x) + Q(x) P(x) Q(x) b) P(x) x 7 8x + Q(x) x + x 6 P(x) P(x) + Q(x) Q(x) P(x) + Q(x) P(x) Q(x) c) P(x) 0x + x + Q(x) x +7x x P(x) P(x) + Q(x) Q(x) P(x) + Q(x) P(x) Q(x) d) P(x) x x Q(x) x x x P(x) P(x) + Q(x) Q(x) P(x) + Q(x) P(x) Q(x) e) P(x) x x Q(x) 6x x x + 7 P(x) P(x) + Q(x) Q(x) P(x) + Q(x) P(x) Q(x) 80 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

21 OBJECTIU OPERAR AMB POLINOMIS: MULTIPLICACIÓ El producte de dos polinomis es troba multiplicant cada un dels monomis d un dels polinomis per tots els monomis de l altre i sumant (o restant) els polinomis obtinguts en aquestes multiplicacions. Per multiplicar dos polinomis cal aplicar la propietat distributiva. Multiplica els polinomis següents: P(x) 7x + x + x 7i Q(x) x + Resoldrem l exercici multiplicant en línia: P(x) Q(x) (7x + x + x 7) (x + ) Es multipliquen tots els monomis d un polinomi per tots els monomis de l altre polinomi. 7x x + 7x + x x + x + x x + x 7 x + 7 7x + x + x + 6x + x + x 7x 7x + x + x x + x P(x) Q(x) 7x + x + x x + x Només se sumen termes semblants. Multiplica els polinomis següents. a) P(x) x 7x + i Q(x) x + P(x) Q(x) (x 7x + ) (x + ) Multiplica els monomis. + Suma els termes. P(x) Q(x) b) P(x) x i Q(x) x x + ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 8

22 OBJECTIU OPERAR AMB POLINOMIS: DIVISIÓ Per dividir dos polinomis, P(x) i Q(x), s ha de tenir en compte que el grau del polinomi P(x) ha de ser més gran o igual que el grau del polinomi Q(x). Donats dos polinomis P(x) i Q(x), hi ha dos polinomis C(x) i R(x) que compleixen que: P(x) Q(x) C(x) + R(x) P(x) és el polinomi dividend. Q(x) és el polinomi divisor. C(x) és el polinomi quocient. R(x) és el polinomi residu. Si el residu de la divisió és nul, és a dir, si R(x) 0: La divisió és exacta. El polinomi P(x) és divisible per Q(x). En cas contrari, diem que la divisió és entera. Divideix els polinomis següents: P(x) x + x + x 7i Q(x) x + x + x + x 7 x + S ha de triar un monomi que multiplicat per x ens doni x : x x. En aquest cas, x. x + x + x 7 x + x x + x + x x x + x 0x 7 Multipliquem x per cada un dels termes del polinomi quocient (x, ), canviem de signe els resultats i els col loquem a la columna que els correspon. A continuació, fem la suma. Hem de buscar un monomi que multiplicat per x ens doni x, en aquest cas. x + x + x 7 x + x x + x + x x x + x 0x 7 x x 0x x + x 0x Multipliquem per cada un dels termes del polinomi quocient (x, ), ), canviem de signe els resultats i els col loquem a la columna que els correspon. A continuació, fem la suma. Hem de buscar un monomi que multiplicat per x ens doni 0x, però no n hi ha cap. Per tant, la divisió acaba. Polinomi dividend: P(x) x + x + x 7 Polinomi divisor: Q(x) x + Polinomi quocient: C(x) x + Polinomi residu: R(x) 0x En aquest cas, la divisió és entera, ja que el residu obtingut és diferent de zero. ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 8

23 Calcula les divisions de polinomis, i digues si són exactes o enteres. a) P(x) x, Q(x) x c) P(x) x, Q(x) x + b) P(x) x x + 6, Q(x) x d) P(x) x x + x, Q(x) x Efectua aquestes divisions i comprova que P(x) Q(x) C(x) + R(x). a) P(x) x, Q(x) x c) P(x) x, Q(x) x b) P(x) x, Q(x) x + d) P(x) x +, Q(x) x 8 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

24 OBJECTIU 6 IDENTIICAR I DESENVOLUPAR IGUALTATS NOTABLES QUADRAT D UNA SUMA El quadrat d una suma és igual al quadrat del primer terme, més el doble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon: (a + b) a + ab + b Això es pot fer com una multiplicació normal: (a + b) (a + b) (a + b) a + ab + ab + b a + ab + b (x + ) (x + ) (x + ) x + x + x + 9 x + 6x + 9 (x + y) (x + y) (x + y) 6x + xy + xy + y 6x + 8xy + y Desenvolupa les igualtats següents: a) (x + y) (x + y) (x + y) b) (x + ) c) (x + y) QUADRAT D UNA DIERÈNCIA El quadrat d una diferència és igual al quadrat del primer terme, menys el doble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon: (a b) a ab + b Això es pot fer com una multiplicació normal: (a b) (a b) (a b) a ab ab + b a ab + b (y ) (y ) (y ) y 6y 6y + 9 y y + 9 (x ) (x ) (x ) x x x + x x + ADAPTACIÓ CURRICULAR Desenvolupa les igualtats. a) (6x y) (6x y) (6x y) b) (x ) c) (x a ) MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 8

25 PRODUCTE D UNA SUMA PER UNA DIERÈNCIA El producte d una suma per una diferència és igual al quadrat del primer menys el quadrat del segon: (a + b) (a b) a b Això es pot fer com una multiplicació normal: (a + b) (a b) a ab + ab + b a b (x + ) (x ) 9x 6x + 6x 9x (x y) (x + y) x + xy xy 9y x 9y Desenvolupa els productes següents: a) (7x + x ) (7x x ) b) (y + x ) (y x ) c) (x + x ) (x x ) d) (a b ) (a + b) Desenvolupa els productes. a) (x + ) b) (y 7) c) (xy + yz) (xy yz) d) (abc + ) e) (7 x) f) (9v + z) (9v z) g) (xy + x ) Desenvolupa: a) (x + ) (x + ) (x ) b) (x + ) (x ) 86 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

26 OBJECTIU RESOLDRE EQUACIONS DE PRIMER GRAU Resoldre una equació és trobar el valor de la incògnita que compleix l equació. Per resoldre una equació de primer grau, transposem termes, cosa que consisteix a passar a un membre (normalment, a l esquerre) tots els termes amb x, i a l altre membre (el dret), tots els nombres o termes independents (termes sense x). Cal que tinguem en compte les regles següents: Regla de la suma: un terme que està sumant en un membre de l equació passa a l altre membre restant, i si està restant, passa sumant. Regla del producte: un terme que està multiplicant en un membre de l equació passa a l altre membre dividint, i si està dividint, passa multiplicant. Resol aquesta equació de primer grau per transposició: x x + Sumem en els dos membres: x + x + + x x + Per eliminar el terme amb x del segon membre, restem x en els dos membres: x x x + x x Per aïllar la incògnita x, dividim els dos membres de l equació entre : x x 7 Resol per transposició les equacions de primer grau següents: a) 7x 9 x d) 7 7x + x 8 + x 0 + x b) x x + 9 x e) x 8 + x 7 x c) x 0 x 7 + 8x f) x 0 + 0x x x ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 89

27 OBJECTIU EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB PARÈNTESIS Per resoldre una equació de primer grau que conté parèntesis, primer que res cal treure ls, i hem de prestar atenció als canvis de signe quan hi hagi un signe negatiu davant del parèntesi. Resol l equació de primer grau següent: ( + x) (x ) (x + ) + (x ) Traiem els parèntesis: + x x + x + + x Reduïm termes semblants: x + 7 x Transposem termes: x x 7 8x 8 8 Aïllem la x: x 8 Comprovem la solució: ( + x) (x ) (x + ) + (x ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) 0 6 La solució és correcta, perquè el resultat final de les operacions és el mateix nombre en els dos membres de l equació. Resol aquestes equacions de primer grau i comprova n la solució: a) ( x) + (x ) (x ) + x d) 7x ( x) (x + ) b) (7 6x) (x + ) (x + ) x e) (x ) ( x) 7 c) ( x) 9 (x + ) f) 6(x 8) 80x + 90 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

28 EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DENOMINADORS Per eliminar els denominadors, n hem de calcular el mínim comú múltiple (m.c.m.) i multiplicar els dos membres de l equació per aquest valor. Resol l equació de primer grau següent: Calculem el m.c.m. (, ) 6 x x + + Multipliquem els dos membres de l equació per 6: 6( x ) 6( x + ) (x ) (x + ) + 6 Traiem els parèntesis: x 0 x Reduïm termes semblants: x x + 9 Transposem termes: x x 9 + x x x x Comprovem la solució: Resol les equacions següents i comprova n les solucions: a) x x + b) x + x + x x + 0 c) x x x x ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

29 RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE SEGON GRAU COMPLETES La fórmula general per resoldre una equació de segon grau completa és: x b b ac ± a Segons sigui el valor del discriminant, es poden donar tres casos: PRIMER CAS. Si b ac > 0, hi haurà dues solucions: x + b ac i x b SEGON CAS. Si b ac 0, hi ha una única solució, x. a TERCER CAS. Si b ac < 0, l arrel b ac no és un nombre real i l equació no té solució. b ac PRIMER CAS. A l equació x 8x + 0, els coeficients són a, b 8 i c. Com que b ac ( 8) 6 60, tenim que: b b ac x ± ( 8) ± 8 ± a x x Comprovem les solucions: Per a x : x 8x Per a x : x 8x SEGON CAS. A l equació x 0x + 0, els coeficients són a, b 0 i c. Com que b ac ( 0) , tenim que: b b ac x ± ( 0) ± 0 0 a Comprovem la solució: x 0x TERCER CAS. A l equació x + x + 0, els coeficients són a, b i c. Com que b ac 9 8 9, i no existeix 9, l equació no té solució. Resol les equacions de segon grau següents i comprova n les solucions: a) x + x b) x x c) x x MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

30 OBJECTIU RESOLDRE PROBLEMES AMB EQUACIONS DE PRIMER I SEGON GRAU Recorda els quatre passos que has de seguir per resoldre un problema correctament: a) Llegir acuradament l enunciat. b) Plantejar el problema, en aquest cas, l equació. c) Resoldre el problema, en aquest cas, l equació. d) Comprovar el resultat. Troba un nombre que compleixi que, si a les seves dues terceres parts hi restem, obtenim. El nombre ENUNCIAT parts del nombre parts del nombre menys parts del nombre menys és igual a EXPRESSIÓ ALGEBRAICA x x x x Resolem l equació: x x x 6 x 8 Comprovem la solució: 8 6 Calcula tres nombres consecutius que sumin. (Amb els nombres x, x + i x +, planteja l equació corresponent.) Troba un nombre que verifiqui que la seva meitat és unitats menor que el seu triple. A partir de la taula, resol l equació. ENUNCIAT EXPRESSIÓ ALGEBRAICA El nombre La seva meitat El seu triple x x x unitats menor que el seu triple x La seva meitat és unitats menor que el seu triple x x 96 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

31 El perímetre d un camp de futbol és de 80 m, i sabem que fa 0 m més de llargada que d amplada. Troba n les dimensions (llargada i amplada). El perímetre d un polígon és igual a la suma dels seus costats: P x + (x + 0) + x + (x + 0) x + (x + 0) 80 x + 0 x En Pep té dos anys més que la seva germana Maria i tres anys més que en Joan. Si sumem les edats de tots tres, el resultat és 0. Determina l edat que té cada germà. Anomenem x edat d en Pep, x edat de la Maria i x edat d en Joan El pare dels germans de l exercici anterior té 6 anys. Si sabem que en Pep té anys, la Maria té anys i en Joan té anys, calcula quant temps ha de passar perquè la suma de les edats de tots tres iguali l edat del pare. En el problemes en què apareixen edats actuals i futures convé elaborar una taula com la següent: EDAT ACTUAL D AQUÍ A x ANS Plantegem l equació: + x + + x + + x 6 + x Pep + x Maria + x Joan + x 6 Pare x La mare d en Pep, la Maria i en Joan té anys. Calcula quants anys han de passar perquè l edat d en Pep sigui la meitat que l edat de la mare. EDAT ACTUAL D AQUÍ A x ANS Plantegem l equació: + x + x ADAPTACIÓ CURRICULAR Pep + x Mare + x MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 97

32 SISTEMES OBJECTIU DE DUES EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES Un sistema de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la forma següent: ax + by k' a'x + b'y k' Coeficients de les incògnites: a, a', b, b' Termes independents: k, k' Una solució d un sistema d equacions amb dues incògnites és un parell de nombres que verifiquen les dues equacions. x y Les incògnites són x i y. x + y Els coeficients de les incògnites són,, i. Els termes independents són i. Els parells de valors de la taula Els parells de valors de la taula compleixen la primera equació: compleixen la segona equació: x 0 x 0 y 7 y 0 Com podem comprovar, el parell de valors (, ) verifica les dues equacions, per tant, serà la solució del sistema. Si representem els parells de valors (x, y) de les taules anteriors, obtenim dues rectes, r i s, que es tallen en el punt (, ), que és la solució del sistema. r (, ) s X Troba els parells de valors que són solucions de les equacions del sistema i determina quina és la solució. Representa les rectes que corresponen a cadascuna de les equacions i comprova que el punt en el qual es tallen és la solució del sistema. x + y 8 x y 7 X 00 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

33 Dos sistemes d equacions són equivalents si tenen la mateixa solució. x y x y Els sistemes i són equivalents, perquè tenen la mateixa solució: x, y x + y 6 x + y 8 Si representem gràficament els dos sistemes, obtenim: Recta r: x y Recta t: x y x 0 x 0 y 7 y Recta s: x + y 6 x 0 Recta u: x + y 8 x 0 y 6 y 8 6 r r s ru s t X X El punt on es tallen els dos parells de rectes és el mateix, (, ), que és la solució dels dos sistemes. Són sistemes equivalents. Representa gràficament les dues equacions d aquests sistemes. Són equivalents? a) x y b) x y 6 x + y 0 x + y Recta r: x y x y 0 Recta t: x y 6 x y 0 Recta s: x + y 0 Recta u: x + y x 0 x 0 y y X X ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0

34 OBJECTIU RESOLDRE SISTEMES DE DUES EQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES Una solució d un sistema de dues equacions amb dues incògnites és un parell de nombres que verifiquen les dues equacions. Si un sistema té solució, diem que és compatible. Resoldre un sistema d equacions amb dues incògnites és trobar la solució o les solucions d aquest sistema. x y Estudia si el parell de nombres (, ) és la solució del sistema d equacions. x + y 8 Per saber si el parell de nombres (, ) és la solució del sistema, hem de comprovar si verifiquen o no les dues equacions. Si substituïm en els dues equacions, tenim: Verifica l equació. x + y Verifica l equació. Per tant, el parell de nombres (, ) és una solució del sistema, i el sistema és compatible. x y Per resoldre un sistema d equacions amb dues incògnites hi ha tres mètodes de resolució: (I) Mètode de substitució. (II) Mètode d igualació. (III) Mètode de reducció. Per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites pel mètode de substitució: Aïllem la incògnita en una de les equacions. Substituïm l expressió obtinguda a l altra equació. Resolem l equació amb una incògnita que resulta. Substituïm els valor obtinguts en qualsevol de les equacions per trobar l altra incògnita. Comprovem que la solució aconseguida verifica totes dues equacions. x y Resol el sistema d equacions següent pel mètode de substitució: x + y 8 Elegim per aïllar la incògnita x de la segona equació: x 8 y Substituïm aquesta incògnita en la primera equació: x y (8 y) y Resolem l equació amb la incògnita y obtinguda: 6 y y 6 y y 6 y y Substituïm el valor y en qualsevol de les dues equacions, per exemple en la primera: x y x x x Comprovem la solució que hem obtingut. Per fer-ho, hem de substituir el parell de valors (, ) en les dues equacions: Verifica l equació. x + y Verifica l equació. Per tant, el parell de valors x, y és la solució del sistema, i el sistema és compatible. x y 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

35 Resol els sistemes següents pel mètode de substitució i comprova les solucions: a) x y x + y c) x + y 9 x 9y b) x y x y d) x y 0 x y Resol pel mètode de substitució i comprova la solució del sistema d equacions amb fraccions següent: x + + y 6 x + y Per resoldre l, seguim aquests passos: r En cada equació reduïm a comú denominador: x + 6y x y + r Resolem per substitució el sistema que en resulta i comprovem la solució: x + 6y 9 x + 9y n Traiem els denominadors: x + + 6y x + 9y ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 0

36 6 Resol el sistema següent pel mètode de reducció i comprova la solució: x y 7 x + y 9 Obtenim un sistema equivalent: En aquest cas, la variable x o la variable y no apareixen multiplicades per en cap dels membres de les equacions, així és que en podem escollir l una o l altra. Triem, per exemple, la variable y. Per aconseguir que els dos termes amb variable y tinguin el mateix coeficient, hem de multiplicar la primera equació per i la segona per, de manera que: (x y 7) 9x 6y (x + y 9) x + 6y 8 Sumem les dues equacions per eliminar els termes amb y: 9x 6y + x + 6y 8 x + 6y 9 Resolem l equació que hem obtingut: x Substituïm aquest valor en qualsevol de les dues equacions per trobar el valor de y: Comprovem la solució: 7 Resol pel mètode de reducció els sistemes següents i comprova les solucions: a) 7x + y b) x y x + y x + y 7 ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 07

37 8 Resol els sistemes següents pels tres mètodes. Comprova la solució i determina quin dels mètodes és més senzill per resoldre cada sistema. a) x y 0 x y Per substitució: b) x y x y 9 Per substitució: Per igualació: Per igualació: Per reducció: Per reducció: En aquest cas, el mètode més adequat és En aquest cas, el mètode més adequat és 08 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

38 OBJECTIU RELACIÓ ENTRE ÀREES DE IGURES SEMBLANTS 6 El quocient entre les àrees de dues figures semblants és igual al quadrat de la raó de semblança. l l' a b a' b' c c' a a' S l S r raó de semblança r r raó de semblança r S' l' S' Un pagès ha col locat una tanca de filferro al voltant de l hort que té la forma i les dimensions de la figura. a) Quants metres de filferro necessitaria per tancar un hort semblant, de la meitat de superfície que l anterior? b) I si volgués tancar un hort semblant que fos tres vegades més gran? 0 m 0 m a) L hort inicial té aquesta superfície: S m. Com que el nou hort té la meitat 800 de superfície que l anterior, farà: 00 m. Si apliquem la relació entre les dues 800 superfícies, obtenim la raó de semblança: r r 00 Així, el nou hort serà de: x 0 m x y 0 m y b) Com que el nou hort té una superfície tres vegades més gran que el primer, serà de: m. Si apliquem la relació entre les dues superfícies, obtindrem la raó de semblança: r r r Per tant, el nou hort farà: 0 0 x x 0 0 y y Si saps que la relació de semblança entre els dos triangles de la figura és, troba l àrea del segon triangle m 0 0 m x x y y y ADAPTACIÓ CURRICULAR x MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 7

39 6 OBJECTIU ESCALES L escala és la raó de semblança entre l objecte original i la seva representació, que pot ser un plànol, un mapa, una maqueta, etc. L escala pot estar representada de manera numèrica o gràfica. Escala numèrica: : 00 Escala gràfica: En tots dos casos, unitat sobre el plànol representa 00 unitats a la realitat Calcula les dimensions de les habitacions del pis al qual correspon el plànol següent, representat a escala : 00. Si mesurem amb el regle graduat les diferents habitacions, obtenim: Sala:, cm cm 00 cm 600 cm m 6 m Cuina:, cm cm 00 cm 00 cm m m Dormitori:, cm cm 00 cm 00 cm m m Cambra de bany:, cm, cm 00 cm 00 cm m m CUINA SALA DORMITORI BAN Mesura amb el regle i escriu l escala numèrica que correspon a aquestes escales gràfiques: CENTÍMETRES QUILÒMETRES METRES Dibuixa les escales gràfiques que corresponen a les escales numèriques següents: a) : 00 b) : c) : En un mapa de carreteres a escala : mesurem la distància que hi ha en línia recta entre dues ciutats, que és de, cm. Quina distància en quilòmetres hi ha a la realitat? 8 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

40 7 RAONS OBJECTIU TRIGONOMÈTRIQUES Donat un triangle rectangle, definim les raons trigonomètriques d un dels angles aguts α: b a sinus b sin α a (catet oposat dividit entre hipotenusa) c α cosinus c cos α a (catet contigu dividit entre hipotenusa) tangent b tg α c (catet oposat dividit entre catet contigu) Determina les raons trigonomètriques de l angle α en el triangle de la figura. α sin α b a cos α c a tg α b c Completa les igualtats i comprova que les raons trigonomètriques són independents de la mida del triangle que s ha escollit. Si apliquem el teorema de Pitàgores a cadascun dels tres triangles de més petit a més gran, trobem b, b' i b'': 6 b α b' b'' b b' b'' b b' b'' sin α sin α sin α c c' c'' cos α cos α cos α a a' a'' b b' b'' tg α tg α tg α c c' c'' Troba les raons trigonomètriques dels angles A $ i B $. 90 A $ B $ 8 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

41 OBJECTIU RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DELS ANGLES DE 0º, º I 60º 7 Les raons trigonomètriques dels angles de 0º i 60º les deduïm a partir d un triangle equilàter de costat l. Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular-ne l altura: h l (l/) l l / l / h l / l 0 h 60 Les raons trigonomètriques de l angle de 60º són: l / l/ sin 60 cos 60 tg 60 l / l l l/ l / / Dedueix les raons trigonomètriques de l angle de 0º a partir del triangle equilàter anterior. Les raons trigonomètriques de l angle de 0º són: l/ l / sin 0 ; cos 0 ; tg 0 l l l l/ / / / Les raons trigonomètriques de l angle de º les deduïm a partir d un quadrat i la seva diagonal. Apliquem el teorema de Pitàgores per calcular-ne la diagonal. d l + l l d l Les raons trigonomètriques de l angle de º són: l l d l l sin cos tg l l l l Completa la taula següent amb les raons trigonomètriques d angles notables: sin ADAPTACIÓ CURRICULAR cos tg no existeix 0 no existeix 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

42 OBJECTIU APLICACIONS DE LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 7 Calcula quant fan els costats a i b, i l angle β del triangle de la figura. Com que els tres angles d un triangle sumen 80, tenim que: β β80 7 Per calcular l altre catet, b, apliquem la definició de tg 7 i fem servir la calculadora per trobar tg 7 : b tg 7 b 0,7 Per trobar la hipotenusa a poden utilitzar tres mètodes: r Aplicar el teorema de Pitàgores. n Utilitzar la definició de sin 7. r er servir la definició de cos 7. a b 7 Utilitzarem el segon mètode: sin 7 a a 06, De cada triangle, calcula els costats i els angles que s indiquen: a) β, a i c c) β, b i c c 66,8 a 8 0 c 7 β b b) α i b d) a, b i c b c α α b Troba l àrea del triangle següent: a ADAPTACIÓ CURRICULAR Tracem l altura, ens fixem en un dels triangles a que es formen i trobem h i la meitat de la base,. 0 m 0 m 0 a 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

43 8 IDENTIICAR OBJECTIU ELS ELEMENTS D UN VECTOR Vector: segment orientat AB determinat per dos punts: A (a, a ), origen del vector, i B (b, b ), extrem del vector. Coordenades del vector: AB (b a, b a ) Mòdul: AB ( b a ) + ( b a ) Calcula les coordenades i el mòdul del vector següent: Origen: A (, ) B A X Extrem: B (, ) Coordenades: AB (, ) (, ) Mòdul: AB ( ) + ( ) + 9 Quines són les coordenades i el mòdul dels vectors següents? B A C J D G E I H X Donats els punts A(, 6), B(, 0), C(0, ) i D(, 7), representa i calcula les coordenades i el mòdul dels vectors AB, BC, CD i DA. X 8 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

44 8 OBJECTIU EECTUAR OPERACIONS AMB VECTORS Per sumar gràficament dos vectors u i v, n agafem un, u, i amb origen al seu extrem dibuixem un vector equivalent a v. La suma u + v és un altre vector que té d origen l origen de u, i l extrem és l extrem de v. En coordenades, si les coordenades de u són (u, u ) i les coordenades de v són (v, v ), el vector suma és: u + v (u + v, u + v ) Per restar gràficament dos vectors u i v, agafem vectors que hi siguin equivalents i que tinguin el mateix origen, i la diferència és un altre vector que té com a origen l extrem de v, i, com a extrem, l extrem de u. En coordenades, si les coordenades de u són (u, u ) i les coordenades de v són (v, v ), el vector diferència és: u v (u v, u v ) Donats els vectors u i v de la figura, calcula gràficament i per coordenades els vectors u + v i u v. v u X u + v Vector equivalent a v Vector equivalent a u Vector equivalent a v u v Vector equivalent a u X X u ( ( ), ( )) (, ) v ( ( ), ) (, ) u + v ( + ( ), + ) (, ) u v ( ( ), ) (, ) Les coordenades dels punts A, B, C i D són: A (, ) B (0, 6) C (, 7) D (, 0) Calcula el resultat d aquestes operacions: a) AB + CD b) AB CD c) CD AB d) AB AB e) CD + CD f) AB CD Troba gràficament el vector suma u + v i el vector diferència u v. u v X X 0 MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

45 9 La gràfica d una funció és la representació del conjunt de punts que defineixen aquesta funció. La taula expressa la relació entre els litres de llet que comprem i el preu. Determina la gràfica i la fórmula que representa la relació entre totes dues magnituds. LITRES DE LLET PREU ( ) 0,7,0,,,, 0, O X Donada la funció mitjançant la fórmula y x, determina n la taula de valors i la gràfica. x y f (x) 0 O X Donada la funció mitjançant la fórmula y x, troba n la taula de valors i la gràfica. x y f (x) 0 O X Donada la funció mitjançant la fórmula y x +, determina n la taula de valors i la gràfica. x y f (x) 0 O X ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 9

46 9 Una funció té un màxim en un punt si, a l esquerra d aquest punt, la funció és creixent i, a la dreta, la funció és decreixent. Una funció té un mínim en un punt si, a l esquerra d aquest punt, la funció és decreixent i, a la dreta, la funció és creixent. f (a) Creixent Màxim a Decreixent X f (a) Decreixent Mínim a Creixent X Donada la funció y x, construeix-ne la taula de valors, representa-la i estudia si és contínua o discontínua, el creixement i el decreixement, i si té màxims i mínims. A la taula següent apareixen les temperatures mitjanes enregistrades durant un any en una població: MES T ( C) Gen. ebr. Març Abril Maig Juny Juliol Ag. Set. Oct. Nov. Des a) Dibuixa una gràfica a partir de la taula. b) La funció representada, és contínua? c) Digues quins són els intervals de creixement i decreixement. d) Té cap màxim o mínim? ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

47 OBJECTIU 6 CONÈIXER LES UNCIONS DEINIDES PER TROSSOS DE RECTA 9 x + si x < Considerem la funció definida per: f(x) si x x + si < x Aquesta funció té tres trossos rectes que determinen el domini format pels nombres reals. Per a cada interval construïm la taula de valors i dibuixem la gràfica. x x 0 x f(x) 0 f(x) f(x) 9/ 7/ X X X X Senyalem amb un punt ( ) per indicar que el punt està inclòs en aquest tros de recta. La funció f(x) és discontínua a x i a x ; és creixent en el primer tros i decreixent en el tercer. Representa aquesta funció: si x < x si x < 0 f(x) x si 0 x x + si x < si x ADAPTACIÓ CURRICULAR MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

48 0 TRANSLACIONS VERTICALS I HORITZONTALS La gràfica de y (x h) + k és una paràbola com la gràfica de y x, però amb el vèrtex al punt (h, k). Representa la funció y (x ) +. N obtenim la taula de valors: x 0 P(0, 7) y 7 7 Si traslladem la paràbola y x unitats a la dreta, obtenim la paràbola y (x ). Si, tot seguit, traslladem aquesta paràbola unitats cap amunt, obtenim la paràbola d equació y (x ) +. El vèrtex de y (x ) + és al punt (h, k) (, ). V(, ) X L eix de simetria és la recta x, que és paral lela a l eix. A partir de la paràbola y x, representa les paràboles següents sobre el mateix sistema d eixos, amb colors diferents, i explica com ho fas. a) y (x + ) b) y (x + ) + c) y (x ) Troba les coordenades dels vèrtexs i del punt de tall amb l eix, igualant x 0. ADAPTACIÓ CURRICULAR X MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.

49 0 OBJECTIU REPRESENTAR LA UNCIÓ QUADRÀTICA y ax + bx + c Per representar una funció quadràtica y ax + bx + c cal que seguim aquests passos: r Calculem els punts de tall amb l eix X. Després, trobem el punt de tall amb l eix, si n hi hagués. n Trobem el vèrtex, que té d abscissa x b, i que és el valor que ha de coincidir a amb l abscissa del punt mitjà entre els dos punts de tall amb l eix X. Representa la funció y x 9x 8. r Calculem els punts de tall amb l eix X igualant y 0. x 9x 8 0 x ± + ± Els punts de tall amb l eix X són P(6, 0) i Q., 0 Per trobar el punt de tall amb l eix fem x 0 y 8 R(0, 8). b n El vèrtex tindrà d abscissa el valor x V 9 9. a El valor de l ordenada y V l obtenim si substituïm el valor de x V a l equació de la paràbola: 9 y V x V 9x V Així, el vèrtex és el punt V,. 8 Q O P X L eix de simetria de la paràbola 9 y x 9x 8 és la recta x. R V Representa les paràboles següents: a) y x + 6x 8 b) y x x MATEMÀTIQUES ESO MATERIAL OTOCOPIABLE GRUP PROMOTOR / SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.