Óptica geométrica. Espejos esféricos, dióptricos esféricos y lentes delgadas; superficies planas. Aumentos laterales y axiales.

Transcripción

1 Física III Licenciatura en Óptica Ocular y Optometría Óptica geométrica. Espejos esféricos, dióptricos esféricos y lentes delgadas; superficies planas. Aumentos laterales y axiales. La óptica, o estudio de la luz, constituye un ejemplo de ciencia milenaria. Ya Arquímedes en el siglo III antes de Cristo era capaz de utilizar con fines bélicos los conocimientos entonces disponibles sobre la marcha de los rayos luminosos a través de espejos y lentes. Sin planteamientos muy elaborados sobre cuál fuera su naturaleza, los antiguos aprendieron, primero, a observar la luz para conocer su comportamiento y, posteriormente, a utilizarla con diversos propósitos. Es a partir del siglo XVII con el surgimiento de la ciencia moderna, cuando el problema de la naturaleza de la luz cobra una importancia singular como objeto del conocimiento científico. Óptica geométrica La óptica geométrica parte de las leyes fenomenológicas de Snell para la reflexión y la refracción. A partir de ellas, basta hacer geometría con los rayos luminosos para la obtención de las fórmulas que corresponden a los espejos, dióptricos y lentes (o sus combinaciones), obteniendo así las leyes que gobiernan los instrumentos ópticos a que estamos acostumbrados. La imagen en el espejo del baño, la observación de la Luna con un telescopio, las configuraciones de un caleidoscopio, son todos ejemplos de imágenes. En cada caso, el objeto que se está observando parece estar en un lugar diferente de su posición real; su reflejo está del otro lado del espejo, la Luna parece estar mucho más cerca cuando se ve con un telescopio, y los objetos vistos en un caleidoscopio parecen estar en muchos lugares al mismo tiempo. En cada caso, los rayos de luz que provienen de un punto en un objeto son desviados mediante reflexión o refracción (o una combinación de las dos), de modo que convergen en un punto, o parecen divergir de él, llamado punto imagen. La propagación de la luz La luz emitida por las fuentes luminosas es capaz de viajar a través de materia o en ausencia de ella, aunque no todos los medios permiten que la luz se propague por ella (medios absorbentes). Desde este punto de vista, las diferentes sustancias materiales se pueden clasificar en opacas, transparentes y traslucidas. Aunque la luz es incapaz de traspasar las opacas, puede atravesar las otras. Las sustancias transparentes tienen, además, la propiedad de que la luz sigue en su interior una sola dirección. Este es el caso del agua, el vidrio o el aire. En cambio, en las traslucidas la luz se dispersa, lo que da lugar a que a través de ellas no se puedan ver las imágenes con nitidez. El papel vegetal o el cristal esmerilado constituyen algunos ejemplos de objetos traslúcidos. En un medio que además de ser transparente sea homogéneo, es decir, que mantenga propiedades idénticas en cualquier punto del mismo, la luz se propaga en línea recta. Esta característica, conocida desde la antigüedad, constituye una ley fundamental de la óptica geométrica. 1

2 Leyes de Snell Cuando la luz, que se propaga por un medio homogéneo e isótropo, se encuentra con otro medio, también homogéneo e isótropo, parte se refleja y parte se transmite. Las direcciones del rayo incidente, del rayo reflejado y del rayo transmitido, satisfacen las denominadas leyes de Snell. La definición de un material isótropo (para la luz) necesita una idea contenida en el modelo electromagnético de la luz, la idea de polarización. Por ahora aceptemos que un material no isótropo o anisótropo, es el que no cumple las leyes de Snell. No todos los medios son homogéneos. El aire cerca de la superficie de la tierra caliente es un buen ejemplo de inhomogeneidad. Los espejismos se producen por este fenómeno. Más adelante veremos como este fenómeno se puede utilizar para producir un nuevo tipo de elementos ópticos (lentes GRIN). S incidente n ni i r S reflejado nt t Plano de incidencia, i S transmitido 1) S r y S t están en el plano i, 2) i = r 3) n i sen ( i ) = n t sen ( r ) Leyes de Snell El plano de incidencia está formado por el rayo incidente y la normal (perpendicular) a la superficie de separación entre los medios, n es el índice de refracción de cada uno de los medios. Objetos e imágenes En ocasiones los rayos de luz que, procedentes de un objeto, alcanzan el ojo humano y forman una imagen en él, han sufrido transformaciones intermedias debidas a fenómenos ópticos tales como la reflexión o la refracción. Todos los aparatos ópticos, desde el más sencillo espejo plano al más complicado telescopio, proporcionan imágenes más o menos modificadas de los objetos. 2

3 La determinación de las relaciones existentes entre un objeto y su imagen correspondiente, obtenida a través de cualquiera de estos elementos o sistemas ópticos, es uno de los propósitos de la óptica geométrica. Su análisis riguroso se efectúa, en forma matemática, manejando convenientemente el carácter rectilíneo de la propagación luminosa junto con las leyes de la reflexión y de la refracción. Pero también es posible efectuar un estudio gráfico de carácter práctico utilizando diagramas de rayos, los cuales representan la marcha de los rayos luminosos a través del espacio que separa el objeto de la imagen. Nuestro propósito será encontrar las alteraciones que sufren los rayos que salen del objeto (luminosos, como una vela, o iluminado, como una mano) al reflejarse o refractarse en el elemento óptico considerado. Si luego de esas transformaciones los rayos convergen hacia un lugar tendremos ahí una imagen. En este caso la imagen es real y se puede observar en una pantalla o registrarse en una película fotográfica; si los rayos divergen de un lugar, la imagen es virtual y para observarla se necesita un elemento o sistema óptico adicional, el ojo por ejemplo. Qué ve el pez? Al gato, o a su imagen? Al concluir este capítulo estaremos en condiciones de calcular la posición de la imagen con respecto a un sistema de referencia, encontrar el tamaño y discutir sus deformaciones con respecto al objeto original. En lo que sigue se presentarán las ecuaciones válidas para elementos ópticos con superficies esféricas (las superficies planas son un caso límite de las esféricas con radio de curvatura muy grande). Estas superficies son las más fáciles de tallar y las más comunes en elementos de vidrio. Actualmente los elementos ópticos se construyen cada vez más de plástico inyectado con moldes que no requieren ser esféricos; la óptica asférica permite soluciones baratas a problemas de diseño complicado. Las ecuaciones, los sistemas de referencia para los cuales fueron deducidas y las convenciones de signos empleadas, no pueden aislarse, forman un conjunto inseparable. Ese conjunto no es único, el lector podrá encontrar tantos como libros consulte. Todos los conjuntos son válidos, ninguno es mejor que otro: elija uno y respételo! Bibliografía Animaciones: Existen en la web numerosos programas para experimentar con lentes y espejos sobre la base de la óptica geométrica. Algunos ejemplos: Thin Lens Java applet written by Fu-Kwun Hwang trica/a_thinlens/thinlens.html Espejos esféricos Si la superficie reflectora está situada en la cara interior de la esfera se dice que el espejo es cóncavo. Si está situada en la cara exterior se denomina convexo. Las características ópticas fundamentales de todo espejo esférico son las siguientes: Centro de curvatura C: Es el centro de la superficie esférica que constituye el espejo. Radio de curvatura R: Es el radio de dicha superficie. Vértice V: Coincide con el centro del espejo. 3

4 Eje principal: Es la recta que une el centro de curvatura C con el vértice V. i) objeto puntual cóncavo = hueco i r u u h S C S P O a) Física: ley de Snell, i = r b) Gemetría: u + i =, + r = u, la ley de la reflexión indica i = r, entonces: - u = u, - o sea u + u = 2 c) Aproximación paraxial: Consideremos aberturas pequeñas (h << c) o directamente ángulos pequeños, de manera que: u, y u, << 1 (radián), de manera que los ángulos se puedan reemplazar por sus tangentes, h h h 2 SP S P CP Pero, para ángulos pequeños, OP es pequeño por lo que, 4

5 h h h 2 SP S P CO d) Sistema de referencia y convención de signos. Como hemos dicho en la introducción, existen tantas convenciones como libros. Nosotros utilizaremos la forma europea, contenida en la norma DIN 1335, 1) Se usa un sistema de ejes cartesianos x, y con origen en el vértice (intersección del eje óptico con el elemento); 2) El eje x positivo se toma contrario a la incidencia de la luz; 3) x indica la coordenada del objeto, x la coordenada de la imagen y c la coordenada del centro de curvatura del elemento; pueden ser positivas o negativas según de que lado del origen se encuentren; y x S C S O luz Con la elección del sistema de referencia de la figura, le ecuación que relaciona la posición del objeto con la de la imagen queda: 1 / x + 1 / x = 2 / c x = coordenada del objeto x = coordenada de la imagen c = coordenada del centro de curvatura Foco Imagen: Si el objeto está muy lejos (x ), la imagen se forma en el foco imagen; x = c/2 = f imagen. Los rayos que inciden paralelos al eje pasan por el foco imagen. Foco Objeto: lugar donde debe estar el objeto para que la imagen se forme en el infinito (x ); x = c/2 = f objeto. Los rayos que inciden pasando por el foco objeto salen paralelos al eje óptico. En un espejo esférico los dos focos coinciden. ii) Objetos de tamaño finito Para encontrar la imagen de la punta de la flecha se utilizan 3 rayos principales que pasan por la punta de la flecha: 5

6 1) Un rayo que incide paralelo al eje y pasa por el foco imagen; 2) Un rayo que incide pasando por el foco objeto y emerge paralelo; 3) Un rayo que incide pasando por el centro de curvatura y se refleja sin desviarse Ob. y A F F C o Im. y Aumentos Aumento lateral o transversal. El aumento lateral o transversal es la relación de alturas entre el objeto y la imagen. El signo indica la orientación relativa. m = y / y = -FO tg / AF tg = -f / (x f), Utilizando 1/x + 1/x = 1/f, resulta: Aumento longitudinal o axial. m = -x / x donde módulo de f = OF. Si el objeto se extiende una cantidad dx en la dirección del eje x, la imagen se extenderá una cantidad dx. Se define como aumento longitudinal o axial a la relación dx /dx. Derivando 1/x + 1/x = 1/f, resulta: l = aumento longitudinal = dx /dx = -x 2 / x 2 = - m 2 espejos). ( siempre negativo!, para los Espejos planos. Se pueden considerar como el caso límite cuando c, entonces resulta, Espejos planos x = - x; m = 1; l = -1 l = - m 2 Como m y = m z = 1 y m x = -1, una mano derecha se convierte en una mano izquierda al reflejarse en un espejo plano. d) Sistema de referencia y convención de signos. Como hemos dicho en la introducción, existen tantas convenciones como libros. Nosotros utilizaremos la forma europea, contenida en la norma DIN 1335, 6

7 1) Se usa un sistema de ejes cartesianos x, y con origen en el vértice (intersección del eje óptico con el elemento); 2) El eje x positivo se toma contrario a la incidencia de la luz; 3) x indica la coordenada del objeto, x la coordenada de la imagen y c la coordenada del centro de curvatura del elemento; pueden ser positivas o negativas según de que lado del origen se encuentren; Resumen Foco: Es un punto del eje por el que pasan o donde convergen todos los rayos reflejados que inciden paralelamente al eje. En los espejos esféricos se encuentra en el punto medio entre el centro de curvatura y el vértice. Cuando un rayo incidente pasa por el centro de curvatura, el rayo reflejado recorre el mismo camino, pero en sentido inverso debido a que la incidencia es normal o perpendicular. Asimismo, cuando un rayo incide paralelamente al eje, el rayo reflejado pasa por el foco, y, viceversa, si el rayo incidente pasa por el foco el reflejado marcha paralelamente al eje. Es ésta una propiedad fundamental de los rayos luminosos que se conoce como reversibilidad. Con estas reglas, que son consecuencia inmediata de las leyes de la reflexión, es posible construir la imagen de un objeto situado sobre el eje principal cualquiera que sea su posición. Para los elementos ópticos que consideraremos en este curso se derivan las siguientes ecuaciones para las relaciones entre las posiciones del objeto y de la imagen y para los aumentos laterales y longitudinales. FORMULARIO convención de signos DIN 1335 Elemento Ecuación objeto / imagen Aumentos transversal longitudinal Espejo esférico 1/x +1/x = 2/c -x /x -(x /x) 2 Espejo plano x = - x 1-1 Dióptrico esférico n i /x n t /x = (n i -n t )/c n i x / n t x (n i /n t ) (n i x / n t x) 2 Diótrico plano x = n t x / n i 1 n i /n t (elevación aparente) Lente delgada 1/x 1/x = (n m /n l 1) (1/c 1-1/c 2 ) x /x (x /x) 2 Foco objeto 1/f o = - (n m /n l 1) (1/c 1-1/c 2 ) Foco imagen 1/f i = (n m /n l 1) (1/c 1-1/c 2 ) Potencia P(dioptrias) = 1 / f i (m) Lentes adosadas P = P i 7

8 Ejercicios adicionales. Problema 1. Un aficionado a los autos antiguos pule la "taza" de una rueda hasta que sea un buen espejo esférico de ambos lados. Cuando mira desde un lado de la taza ve la imagen de su cara a 30 cm detrás de la taza y cuando la da vuelta vuelve a ver su imagen pero a 10 cm por detrás de la taza. Represente la marcha de los rayos en cada caso. a) Cuál el radio de curvatura de la esfera? b) A que distancia está la cara de la taza? Problema 2. Utilizar los dibujos que siguen para deducir las ecuaciones de la tabla anterior correspondientes a un dióptrico esférico. normal i t h u u S O C S Eligiendo el sistema de referencia con el eje x positivo hacia el lado de donde viene la luz, Y X O Sistema de referencia Problema 3. Dióptricos esféricos. Una varilla de vidrio muy larga tiene un extremo terminado en una superficie hemisférica convexa de 5 cm de radio. Su índice de refracci6n es n = 1.5. Un objeto de 1 cm de alto está en el aire y situado sobre el eje a una distancia de 20 cm de la superficie. Hallar la imagen mirando desde el vidrio, establecer si es real o virtual y calcular su tamaño. Repetir para un objeto muy lejos de la superficie. Dibujar un diagrama de rayos para este caso. Repetir el punto (a) para el caso en que la varilla este sumergida en agua. 8

9 Sistemas ópticos centrados Se denomina sistema óptico a cualquier conjunto de superficies reflectantes y /o refractoras. Un grupo particularmente importante de los sistemas ópticos son los sistemas centrados, que son aquellos en los que los centros de curvatura se encuentran todos sobre un mismo eje, que recibe el nombre de eje óptico. En este caso la imagen final se obtiene por aplicaciones sucesivas de las transformaciones que realiza cada superficie. La imagen que produce una superficie intermedia actúa como objeto para la siguiente y así sucesivamente hasta la última. El aumento total del sistema es el producto de los aumentos que produce cada superficie. Veamos un ejemplo resuelto donde hay una combinación de dióptricos y espejos. Una pecera esférica de radio R con paredes delgadas está llena de agua ( n = 1,33) y tiene un hemisferio espejado, como indica la figura. Calcular la posición de la imagen de un objeto muy alejado de la pecera para un observador que mira hacia el espejo. Se desprecia el efecto del vidrio delgado de la pecera. Objeto alejado observador pecera espejo i) refracción aire agua. Datos + ecuación resultado ii) x O C C n i = 1 n t = 4/3 c = -R x = reflexión espejo esférico n i / x - n t /x = (n i - n t )/c x = - 4R x C x = -2R O c = R 1 / x + 1 /x = 2/c x = 2/5 R iii) O refracción agua aire C x n i = 4/3 n t =1 c = R x = 8 R /5 n i / x - n t /x = (n i - n t )/c x = 2R Rta.: la imagen final se encuentra en el vértice espejado. Es una imagen virtual. 9

10 Problema 4. Un espejo plano esta suspendido verticalmente en el centro de un frasco esférico de 10 cm de radio lleno de agua. Un observador, a 70 cm del espejo, mira hacia el frasco. Dónde se encuentra la imagen del ojo? Que tamaño relativo tiene? Lentes Las lentes son objetos transparentes, limitados por dos superficies esféricas o por una superficie esférica y otra plana, que se hallan sumergidas en un medio, asimismo transparente, normalmente aire. Desempeñan un papel esencial como componentes de diferentes aparatos ópticos. Con lentes se corrigen los diferentes defectos visuales, se fabrican los microscopios, las máquinas fotográficas, los proyectores y muchos otros instrumentos ópticos. Tipos de lentes De la combinación de los tres posibles tipos de superficies límites, cóncava, convexa y plana, resultan las diferentes clases de lentes. Según su geometría, las lentes pueden ser bicóncavas, biconvexas, plano-cóncavas, plano convexas y cóncavo-convexas. Desde el punto de vista de sus efectos sobre la marcha de los rayos es posible agrupar los diferentes tipos de lentes en dos grandes categorías: lentes convergentes y lentes divergentes. Las lentes convergentes se caracterizan porque hacen converger, en un punto denominado foco, cualquier haz de rayos paralelos que incidan sobre ellas. En cuanto a su forma, todas ellas son más gruesas en la zona central que en los bordes. Las lentes divergentes, por su parte, separan o hacen diverger los rayos de cualquier haz paralelo que incida sobre ellas, siendo las prolongaciones de los rayos emergentes las que confluyen en el foco. Al contrario que las anteriores, las lentes divergentes son menos gruesas en la zona central que en los bordes. Formación de imágenes. Para estudiar la formación de imágenes por lentes, es necesario mencionar algunas de las características que permiten describir de forma sencilla la marcha de los rayos. Centro óptico O. Es el centro geométrico de la lente. Tiene la propiedad de que todo rayo que pasa por él no sufre desviación alguna. Eje principal. Es la recta que pasa por el centro óptico y por los focos. Distancia focal f. Es la distancia entre el centro óptico O y el foco F. Lentes convergentes. Para proceder a la construcción de imágenes debidas a lentes convergentes, se deben tener presente las siguientes reglas: Cuando un rayo incide sobre la lente paralelamente al eje, el rayo emergente pasa por el foco imagen Fi. Inversamente, cuando un rayo incidente pasa por el foco objeto Fo, el rayo emergente discurre paralelamente al eje. Finalmente, cualquier rayo que se dirija a la lente pasando por el centro óptico se refracta sin sufrir ninguna desviación. Lentes divergentes. La construcción de imágenes formadas por lentes divergentes se lleva a cabo de forma 10

11 semejante, teniendo en cuenta que cuando un rayo incide sobre la lente paralelamente al eje, es la prolongación del rayo emergente la que pasa por el foco objeto Fo. Asimismo, cuando un rayo incidente se dirige hacia el foco imagen Fi de modo que su prolongación pase por él, el rayo emergente discurre paralelamente al eje. Finalmente y al igual que sucede en las lentes convergentes, cualquier rayo que se dirija a la lente pasando por el centro óptico se refracta sin sufrir desviación. Problema 5. Lentes delgadas. Se coloca un objeto de 1 cm de alto a 10 cm a la izquierda de una lente delgada divergente de 50 cm de distancia focal. Dibujar un diagrama de rayos cuidadoso para hallar la posición y tamaño de la imagen y comprobar el resultado utilizando la ecuación de la lente delgada. Problema 6. En un cuarto oscuro se tiene una vela encendida a 1,5 m de una de las paredes y se coloca una lente de manera que se forme la imagen de la vela sobre la pared. Si la lente se mueve 90 cm hacia la pared también se enfoca la imagen de la vela. haga una marcha de rayos aproximada para los dos casos y caracterice las dos imágenes (derechas, invertidas, menores, mayores, etc). Calcule la distancia focal de la lente utilizada y las dos distancias entre la vela y la lente para que la imagen esté enfocada en la pared. Nota: la distancia entre la vela y la pared no se modifica nunca. Problema 7. (a) En qué posiciones se podrá colocar una lente convergente de + 15 cm de distancia focal para obtener la imagen de un objeto sobre una pantalla situada a 80 cm de él. (b) Cómo son los aumentos? Problema 8. Una esfera maciza de 6 cm de diámetro tiene un índice n = 2.. Sobre ella inciden rayos paralelos. a) Donde se enfocan? b) Compare con el resultado de la lente delgada. Problema 9. Muestre que para una distancia entre objeto e imagen mayor a 4 veces la distancia focal, una lente convergente puede formar una imagen nítida para dos posiciones del objeto. Muestre que esas posiciones son simétricas; si una es x, la otra es L x, donde L es la distancia objeto imagen. Muestre que para dos lentes delgadas adosadas de distancias focales f1 y f2, la distancia focal del conjunto está dada por, 1/f = 1/f1 + 1/f2 11