Información de la práctica

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1 P-SLM-3 PRÁCTICA DE LABORATORIO NÚM 3 Página 1 de 14 Rev. nº 1. Fecha 7/7/1 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Equation Chapter 1 Section 1 Información de la práctica Título: Asignatura: Autores: Horas: ALUMNO Conocimientos previos: DIFRACCION EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Óptica Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera Fernández 3 horas Haberse leído el principio de funcionamiento Repasar conceptos de óptica, en particular la difracción en campo cercano, de la asignatura Óptica. MATERIAL Material necesario: Esquema: Equation Chapter 1 Section 1

2 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. de 14 Control de versión y tareas realizadas VERS. FECHA COMENTARIO Realización 1. 3/6/1 Diseño de práctica Luis Miguel Sánchez Brea 1. 1/6/1 Realización de las imágenes Luis Miguel Sánchez Brea 1. 4/6/1 Realización de la práctica Luis Miguel Sánchez Brea, José María Herrera Fernández Índice INFORMACIÓN DE LA PRÁCTICA... 1 CONTROL DE VERSIÓN Y TAREAS REALIZADAS... ÍNDICE... 1 OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA... 3 INTRODUCCIÓN TEÓRICA Semiplano Rendija Abertura circular DESARROLLO EXPERIMENTAL Esquema de montaje Montaje experimental REALIZACIÓN EXPERIMENTAL Semiplano Rendija Abertura circular Abertura cuadrada Lentes de Fresnel... 13

3 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 3 de 14 Advertencias: En esta práctica se emplea como fuente de luz un haz láser; debe evitarse mirar directamente la luz que emite o cualquier reflejo directo. El modulador de luz es un sistema delicado. Si tocamos el modulador con los dedos, etc. lo romperemos. Está terminantemente prohibido tocar el modulador. 1 Objetivos de la práctica Observación de diferentes diagramas de difracción Principios de funcionamiento de la lente de Fresnel Introducción teórica La aproximación de Fresnel se basa en la siguiente ecuación k 1 i x y ikz z E( x, y, z) e (, )e dd iz E (1) donde el campo incidente a la salida del elemento difractor E (, ) (, ) (, ) t E se obtiene como la multiplicación del campo incidente por la transmitancia de dicho elemento difractor, según la aproximación de elemento delgado. inc.1 Semiplano Sea una onda plana monocromática en incidencia normal que ilumina un semiplano. El problema puede ser tratado como unidimensional y la ec. (1) se transforma en Ex, y, z k i i ( x ) ikz z e t( ) ( ) e d z E, () siendo para este caso particular 1 t( ). (3)

4 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 4 de 14 Fig. 1. Esquema de la difracción en campo cercano por un semiplano Realizando un cambio de variable, k / ( z)( x ), obtenemos que la integral resulta i / (4) 1 z / k e d donde 1 x k / z. Asimismo, sabiendo que las definiciones del coseno de Fresnel y el seno de Fresnel resultan ( ) cos / C t dt ( ) sin / S t dt (5) C( ) 1/ S( ) 1/ La integral resulta Fig.. Funciones C(x) y S(x).

5 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 5 de 14 1 i / i / i / e d e d e d 1 Esta integral tambien se puede resolver mediante 1 1 C i S C is C is 1/ 1 1/ 1 (6) sabiendo que Si definimos Fig. 3 b ax bxc c b 4a e dx e erf ax a a (7) 1 i C( z) is( z) erf (1 i) z. (8) l, [ C( ) C( )] [ S( ) S( )] (9) Fig. 3. Función l, entonces la intensidad para un semiplano resulta (Fig. 4) 1 I x, z Il 1, (1) 1 Fig. 4. Intensidad en campo lejano generada por un semiplano.

6 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 6 de 14 La distribución de intensidad en el campo cercano no es abrupta sino que aumenta de forma gradual realizando posteriormente un rizado alrededor del valor máximo. Muy lejos del borde la intensidad es la que geométricamente esperábamos, pero esto no ocurre así cerca del borde. Asimismo, La posición más cercana I x, z al borde que cumple I sucede cuando z x. (11) Claro está que cuanto más cerca estemos del borde o la longitud de onda sea menor, más nos acercaremos al modelo geométrico de difracción por un borde.. Rendija El caso de la rendija es muy similar al del semiplano excepto por los límites de integración d / k i i ( x ) ikz z Ex, y, z e E e d z (1) d / cuyo resultado anteriormente se ha obtenido 1 I x, z Il 1, (13) con d 1 / (1 / ) d k z x d y k / z (1 x / d ) Fig. 5. Campo cercano a distintas distancias de la rendija a) muy cerca, b) distancia intermedia, c) lejos de la rendija. c) empieza aparecerse al resultado obtenido con la aproximación de Fraunhofer. Obviamente, la aproximación de Fresnel también es válida para campo lejano, pero es más complicada y se llega a los mismos resultados que la aproximación de Fraunhofer.3 Abertura circular Sea el caso de la abertura circular de radio R donde iluminamos con una onda plana en incidencia normal Einc (, ) E.

7 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 7 de 14 Fig. 6. Abertura circular. Considerando el cambio de coordenadas a polares obtenemos que el campo a una distancia z resulta ser ikz k R k e i ' i 'cos( ) z z iz E P E e d d e (14) Esta integral es complicada de resolver analíticamente. En la Fig. 7 se muestra la intensidad difractanda para diversas distancias. Se observa que cuando estamos muy cerca del objeto, la intensidad se parece a la geométrica excepto por una serie de anillos de luz cerca de los bordes. Sin embargo, enla zona central la intensidad es bastante uniforme. No obstante, a medida que nos separamos el comportamiento se separa del geométrico apareciendo máximos y mínimos de luz en el centro del círculo. Fig. 7. Intensidad obtenida mediante la aproximación de Fresnel para una abertura de radio a.5mm, iluminada con un haz plano con longitud de onda.5m para las distancias z 1mm, z 55.6mm, z 6.5mm, z 166.7mm, z 5mm y z 5mm

8 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 8 de 14 Podemos analizar este comportamiento estudiando analíticamente la intensidad en el eje, puesto que esta integral sí es resoluble. Tomando (14) para ' ikz k R k e i ' i z z iz E P E e d d e (15) La primera integral se resuelve trivialmente y la segunda que se puede resolver obteniéndose k i R ikz z EP Ee e 1 k I P 4z 4 E sin R. y cuando z, mediante un desarrollo en series se obtiene (16) teniendo un decaimiento cuadrático. I P R E (17) z Fig. 8. Distribución de intensidad en el eje. A partir de una cierta distancia el decaimiento es inversamente cuadrático.

9 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 9 de 14 3 Parte experimental 3.1 Esquema de montaje 3. Montaje experimental Figura 1: Esquema de montaje. El montaje experimental que se debe montar corresponde al de la Figura. Sin introducir ningún objeto, gire el polarizador y observe como de este modo puede variar la intensidad que llega a la cámara CCD, ya que el láser está linealmente polarizado. Las líneas verticales que aparecen cuando la intensidad es elevada se producen por saturación de la cámara CCD y no siempre pueden eliminarse en los experimentos de difracción que se van a realizar. En cualquier caso, en cada experiencia gradúe la intensidad con el polarizador hasta ver una figura de difracción nítida. Figura : Montaje experimental

10 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 1 de 14 4 Realización experimental 4.1 Semiplano En el laboratorio se dispone de varias funciones creadas en MATLAB y que se han explicado en la práctica 1: Adecuación y calibración de un modulador espacial de luz (SLM). Comenzaremos observando la difracción producida por una imagen en la que se muestra el borde de un objeto (Figura 3). Para ello en el montaje de la Figura desplazamos la lente convergente hasta que la cámara CCD recoja una imagen lo más nítida posible. Si hemos realizado bien este procedimiento Figura 3: Borde y figura de difracción. Como podemos observar, la frontera entre los dos niveles de color no es abrupta haciendo evidente que en esta situación la óptica geométrica ha dejado de ser válida produciéndose la difracción. 4. Rendija A continuación vamos a observar este mismo fenómeno utilizando como objeto difractor una rendija a la que vamos a ir aumentando el tamaño. Figura 4: Rendija de μm, 4 μm, 6 μm, 8 μm, 1 μm

11 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 11 de Abertura circular Figura 5: Figuras de difracción producidas por la Figura 4 En la Figura 5 vemos que al ir aumentando el tamaño de la rendija en la imagen objeto también se produce un aumento en la figura difractada, sin embargo volvemos a tener presente una clara difracción observándose en el interior de la rendija los órdenes. Otra de las aberturas típicas que se utiliza en la óptica difractiva es la abertura circular que al igual que antes variaremos de tamaño tal y como indica la Figura 6 Figura 6: Aberturas circulares de 4 μm, 3 μm, μm, 1 μm, 5 μm obteniendo la figuras de difracción que vemos a continuación

12 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 1 de 14 Figura 7: Difracción producida por las aberturas de la Figura 6 En la Figura 7 podemos ver las figuras de difracción producidas al ir variando el tamaño de la abertura circular. Como vemos, la disminución del tamaño conlleva una mejor observación de las fluctuaciones cercanas al borde. 4.4 Abertura cuadrada En la abertura cuadrada se vuelve a observar el mismo comportamiento. Figura 8 circulares de 3 μm, μm, 1 μm, 5 μm

13 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 13 de Lentes de Fresnel Figura 9: Difracción producida por las aberturas cuadradas de la Figura 8 La Lente de Fresnel, es un diseño de lente que permite la construcción de lentes de gran apertura y una corta distancia focal sin el peso y volumen de material que debería usar en una lente de diseño convencional. Cuando las lentes son grandes, su grosor puede hacerse excesivo, pues hacen la lente muy pesada y cara. Por ello, se puede mantener los radios de curvatura de las lentes separándolas en anillos circulares. El grosor de la lente en cada anillo es diferente, eliminando el enorme espesor que tendría la lente de ser sus superficies continuas, mientras que la superficie presenta un aspecto escalonado. Se emplean en lupas planas con formato de tarjeta de crédito, linternas de los faros, faros de los automóviles, indicadores de dirección, etc. En nuestro caso, vamos a enviar al modulador una lente de Fresnel en la que hemos ido variando el tamaño de la focal. Figura 1: Lente de Fresnel de focal de 1 cm, 5 cm, cm A la hora de la fabricación material de estas lentes debido a las técnicas actuales conviene que el la lente sea diseñada de forma binarizada, es decir, que en vez de en escala de grises como las que

14 P-SLM-3 DIFRACCIÓN EN CAMPO CERCANO CON UN SLM Pág. 14 de 14 hemos mostrado en la Figura 1 solo estén en blanco y negro. Esta mayor facilidad a la hora de la fabricación no resulta gratuita ya que lleva consigo una perdida en la eficiencia difractiva. En la Figura 11 podemos ver las lentes de Fresnel de la Figura 1 binarizadas. Figura 11: Lente de Fresnel de focal de 1 cm, 5 cm, cm y binaria