Estadística Descriptiva

Transcripción

1 Nociones de Probabilidades y Estadística Estadística Descriptiva Luis A. Salomón Departamento de Ciencias Matemáticas Escuela de Ciencias, EAFIT Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso 2016

2 Índice 1 Introducción 2 Conceptos básicos 3 Datos agrupados 4 Medidas descriptivas 5 Representaciones gráficas Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

4 En que consiste la Estadística? Orígenes El término Estadística proviene del latín statisticum collegium (Consejo de Estado) Economista alemán [ ] Comenzó a utilizar la palabra alemana statistik para designar el análisis de datos estatales. Gottfried Achenwall (1749) Los orígenes de la estadística están relacionados con el gobierno y los datos estatales. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

5 En que consiste la Estadística? Definiciones... Existen varias definiciones de Estadística Rama de las matemáticas que estudia la recolección, análisis, interpretación y presentación de masas de información numérica. Se ocupa esencialmente de procedimientos para analizar información, en especial aquella que en algún sentido vago tenga un carácter aleatorio. Es una disciplina que abarca la ciencia de basar inferencias en datos observados y todo el problema de tomar decisiones frente a una incertidumbre. La estadística se encarga de la recopilación e interpretación de datos experimentales. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

6 En que consiste la Estadística? Ramas generales de la Estadística Estadística Descriptiva Se refiere a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de los datos, que pueden ser presentados en forma numérica o gráfica. Inferencia Estadística Se refiere a la generación de los modelos y predicciones relacionadas a los fenómenos estudiados, teniendo en cuenta el aspecto aleatorio y la incertidumbre en las observaciones. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

8 Definiciones básicas Experimento aleatorio: Es un experimento en el cual, bajo las mismas condiciones iniciales, ocurren resultados diferentes, o sea, cada resultado experimental no se puede predecir con antelación. Lanzamiento de un dado. El resultado de un partido de fútbol. El tiempo de llegada de un bus. Espacio muestral: Se define así al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Usualmente se denota por la letra griega Ω. Ω = {Cara, Sello}. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.? Lanzamiento de dos dados. Ω =?.? Tres autos en una intersección pueden tomar al azar 3 direcciones: tomar a la izquierda, seguir recto o tomar a la derecha. Ω =?. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

9 Definiciones básicas Población: Se define así al mayor grupo de elementos (personas, máquinas, animales, plantas...) por los cuales se tiene un cierto interés en un momento dado. Muestra: Puede definirse simplemente como una parte representativa de la población. Usualmente en estadística se trabaja con muestras. Variable: Es cualquier característica cuyo valor puede cambiar de un objeto a otro en la población. Parámetro: No es más que la magnitud poblacional de interés. Es un valor desconocido. Estadístico: Es una función de la muestra, que usualmente, se relaciona con el parámetro de interés. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

10 Clasificación de las variables Tipos de Variables Variables discretas: Son variables que toman un número finito de valores o a lo sumo numerable. Admisiones diarias en un hospital. Variedades de helados. Color de los ojos. Variables continuas: Son variables que pueden tomar cualquier valor en un intervalo, ya sea finito o infinito. Estatura de las personas. Temperatura ambiental. Distancia entre cuerpos celestes. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

11 Clasificación de las variables Escalas de Medición (Variables cualitativas) Nominal: Es una variable asociada a fenómenos cualitativos y solamente permite identificar atributos o rasgos de individuos para clasificar. No se puede establecer un orden. El sexo de las personas. Géneros musicales. Color de los ojos. Ordinales: Es una variable de escala nominal que tiene implícita una relación de orden. Categorías docentes. Grados militares. Nivel socio-económico. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

12 Clasificación de las variables Escalas de Medición (Variables cuantitativas) Intervalo: Es una variable asociada a datos cuantitativos que permite realizar comparaciones y las operaciones aritméticas de suma y resta. El valor cero no indica la ausencia de la característica o atributo bajo análisis. O sea, es una variable con escala ordinal y una distancia definida entre sus valores. Temperatura en grados Celsius. Test de Inteligencia. Razón: Es una variable con escala de intervalo, pero con un cero absoluto, es decir, el valor cero indica la ausencia total de la característica. Se pueden realizar todas las operaciones aritméticas. Estatura de las personas. Temperatura en Kelvin. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

13 Clasificación de las variables Ejemplos Meses del año. Presión arterial. Estado civil. Peso. Grupos sanguíneos. Tiempo. Número de roturas. Intensidad del dolor. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

14 Clasificación de las variables Ejemplos Meses del año. Presión arterial. Estado civil. Peso. Grupos sanguíneos. Tiempo. Número de roturas. Intensidad del dolor. Discreta. Continua. Discreta. Continua. Discreta. Discreta o Continua? Discreta. Discreta. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

15 Clasificación de las variables Ejemplos Meses del año. Presión arterial. Estado civil. Peso. Grupos sanguíneos. Tiempo. Número de roturas. Intensidad del dolor. Discreta. Continua. Discreta. Continua. Discreta. Discreta o Continua? Discreta. Discreta. Cualitativa Ordinal. Cuantitativa de Razón. Cualitativa Nominal. Cuantitativa de Razón. Cualitativa Nominal. Cuantitativa de Razón. Cuantitativa de Razón. Cualitativa Ordinal. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

17 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Recordemos los principios de la Estadística Descriptiva Descripción Recopilación de Datos Visualización Resumen Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

18 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Dos ejemplos Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Consumo de Energía Datos relacionados con el número de horas que durmieron 45 pacientes de un hospital después de la administración de un cierto anestésico: Número de horas de sueño Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

19 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Definiciones básicas Frecuencia Absoluta (n i ) Representa el número de observaciones que pertenecen a una clase o categoría. Frecuencia Relativa (f i ) Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de datos de la muestra. Frecuencia Absoluta Acumulada (N i ) Representa el número de observaciones se tienen hasta una categoría o clase. Es la suma de todas las frecuencias absolutas hasta la clase que se está analizando. Debe existir un orden en las clases o categorías para que esta magnitud tenga algún sentido. Frecuencia Relativa Acumulada (F i ) Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta acumulada entre el total de datos de la muestra. Debe existir un orden en las clases o categorías para que esta magnitud tenga algún sentido. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

20 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Datos cualitativos nominales Tabla de Frecuencias Clases Frecuencia Frecuencia absoluta relativa d i n i f i d 1 n 1 f 1 = n 1 d 2 n 2 f 2 = n 2 d 3 n 3 f 3 = n 3 n... d k n k f k = n k n Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

21 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Datos cualitativos ordinales y cuantitativos discretos Tabla de Frecuencias Clases Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia Frecuencia relativa absoluta acumulada relativa acumulada d i n i N i f i F i d 1 n 1 N 1 = n 1 f 1 = n 1 F 1 = f 1 d 2 n 2 N 2 = n 1 + n 2 f 2 = n 2 F 2 = f 1 + f 2 d 3 n 3 N 3 = n 1 + n 2 + n 3 f 3 = n 3 n F 3 = f 1 + f 2 + f d k n k N k = k n i = n f k = n k n F k = k f i = 1 i=1 i=1 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

22 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Datos cuantitativos continuos Tabla de Frecuencias Clases Marca Frecuencia Frecuencia absoluta Frecuencia Frecuencia relativa (Intervalos) de clase absoluta acumulada relativa acumulada I i m i n i N i f i F i [L 0, L 1 ) m 1 = L 1 +L 0 2 n 1 N 1 = n 1 f 1 = n 1 n F 1 = f 1 [L 1, L 2 ) m 2 = L 2 +L 1 2 n 2 N 2 = n 1 + n 2 f 2 = n 2 n F 2 = f 1 + f [L k 1, L k ] m k = L k +L k k 1 2 n k N k = n i = n f k = n k k n F k = f i = 1 i=1 i=1 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

23 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Datos cuantitativos continuos Número de clases o intervalos (k): Se utilizan métodos empíricos. k = 1 + log 2 n 1 + 3,322 log 10 n. (Regla de Sturges). k = n. Amplitud del intervalo (h) h = R k. R = x (n) x (1). x (1) : Mínimo datos. x (n) : Máximo datos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

24 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia Datos de una encuesta acerca de la preferencia de las personas entre cuatro estilos musicales: Bachata, Rock, Pop, Salsa. Preferencia Musical P S S B B P B R P S R P R B S R P P B S P S P R P R P R Variable cualitativa nominal. Tabla de Frecuencias Frecuencia Frecuencia Clases absoluta relativa d i n i f i Bachata Pop Rock Salsa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

27 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia Datos relacionados con el número de horas que durmieron 45 pacientes de un hospital después de la administración de un cierto anestésico: Número de horas de sueño Variable cuantitativa discreta. Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

30 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala Situación arquitectónica E B M R R E B R R B R R M R B B M E M E B B R E R Variable cualitativa ordinal. Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

33 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia Variable cuantitativa continua. Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: k = 50 7 R = 9,98 2,98 = 7 h = R/k = 1 Consumo de Energía Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

36 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares. El interés ahora radica analizar si el consumo fue bajo (menos de 6.5), medio (mayor o igual que 6.5 y menor o igual que 8.4) y alto (más de 8.4). Variable cuantitativa continua. Transformación Variable cualitativa ordinal. Consumo de Energía Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Bajo Medio Alto Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

40 Tablas de Frecuencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Frecuencia En un maratón de 24Km realizado en el 2010 se tomaron las distancias recorridas por un grupo de los participantes en dicho maratón. Complete la tabla de frecuencias Clases m i n i N i f i F i [3; 6) [6; 9) 36 [9; 12) 0.25 [12; 15) 0.85 [15; 18) [18; 21) [21; 24] Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

41 Tablas de Contingencia. Datos agrupados Tabla de Contingencia X Y B 1 B 2 B r Total A 1 O 11 O 12 O 1r n 1 A 2 O 21 O 22 O 2r n A k O k1 O k2 O kr n k Total n 1 n 2 n r n A i : Clases de la variable X (cualitativa o cuantitativa). B j : Clases de la variable Y (cualitativa o cuantitativa). O ij : Frecuencia absoluta observada conjuntamente en las clases A i y B j. n i : Frecuencia absoluta de la clase A i. n j : Frecuencia absoluta de la clase B j. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

42 Tablas de Contingencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Contingencia Datos relacionados con los resultados de aptitud para una plaza de trabajo de 100 personas que provienen de 3 ciudades diferentes: A, B, C. Datos Individuos Prueba Procedencia 1 Apto A 2 No apto C 3 No apto B 4 Apto B 5 No apto A Apto C Prueba Dos variables cualitativas. Procedencia A B C Total Apto No apto Total Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

45 Tablas de Contingencia. Datos agrupados Construcción de Tablas de Contingencia Datos relacionados con la presión arterial de 250 personas que padecen hipertensión, asma o diabetes. Una variable cualitativa y otra cuantitativa. Datos Individuos Enfermedad Presión 1 Diabetes 80 2 Asma 60 3 Diabetes 95 4 Hipertensión Diabetes Asma 70 Enfermedad Presión [40-70] (70-90] (90-140] Total Asma Diabetes Hipertensión Total Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

49 Medidas descriptivas. Existen cuatro grandes grupos 1 Medidas de Tendencia Central 1 Son valores numéricos que tienden a localizar el centro de un conjunto de datos. 2 Medidas de Posición 1 Dividen al conjunto ordenado en grupos con la misma cantidad de elementos. 3 Medidas de Dispersión 1 Valores que describen la variabilidad de los datos alrededor de las medidas centrales. 4 Medidas de Forma 1 Son valores numéricos que describen la forma de la distribución de los datos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

50 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Elementos básicos Media. Mediana. Moda. Media recortada. Media armónica. Media geométrica. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

51 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Media Promedio aritmético de un conjunto de datos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: x = x 1 + x x n n = 1 n n x i. i=1 Ejemplo: (3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 3, 4). x = ,11. 9 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

52 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Media Promedio aritmético de un conjunto de datos. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: x A = 1 n k m i n i. i=1 Ejemplo: d i m i n i Notación: x A = ,11. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

53 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Media Promedio aritmético de un conjunto de datos. Tiene sentido en las escalas cuantitativas. En las escalas de tipo cualitativas se debe prestar atención a su interpretación. Un conjunto de valores solamente posee una sola media. Resulta muy útil para comparar dos o más poblaciones. Se afecta por valores extremos y por ende puede conducir a interpretaciones erróneas. Los valores de x y x A pudieran no coincidir. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

54 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Mediana Es el valor central de los datos ordenados, o sea, es el valor que divide a la muestra ordenada en dos conjuntos con la misma cantidad de elementos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: { x(m+1) n = 2m + 1 x = x (m) +x (m+1). 2 n = 2m Ejemplo: (7, 3, 5, 6, 8) (3, 5, 6, 7, 8). Notación: x = 6. (7, 3, 5, 6) (3, 5, 6, 7). Notación: x = = 5,5. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

55 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Mediana Es el valor central de los datos ordenados, o sea, es el valor que divide a la muestra ordenada en dos conjuntos con la misma cantidad de elementos. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: ( n2 N imed 1 x A L imed + n imed ) h imed. i med : Es el índice de la clase que contiene a la posición 2 n. L imed : Es el límite inferior de dicha clase (clase mediana). n imed : Es la frecuencia absoluta de la clase mediana. N imed 1: Es la frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior. h imed : Es la amplitud de la clase mediana. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

56 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Mediana Es el valor central de los datos ordenados, o sea, es el valor que divide a la muestra ordenada en dos conjuntos con la misma cantidad de elementos. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: ( n2 N imed 1 x A L imed + n imed ) h imed. Ejemplo: d i m i n i N i f i F i [1,5; 3) [3; 4,5) [4,5; 6) Notación: ( ) x A 4,5 + 1,5 = 4, Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

57 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Mediana Es el valor central de los datos ordenados, o sea, es el valor que divide a la muestra ordenada en dos conjuntos con la misma cantidad de elementos. Es robusta. No se ve afectada por valores extremos. Es relativamente fácil de calcular. En su determinación no intervienen todos los valores de la variable. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

58 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Moda Es el valor que más se repite en los datos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Notación: x mod Ejemplo: (3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 3, 4). x mod = 4. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

59 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Moda Es el valor que más se repite en los datos. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: x mod,a m imod ( x mod,a L imod + n imod n imod 1 (n imod n imod 1) + (n imod n imod +1) ) h imod. i mod : Es el índice de la clase con mayor frecuencia absoluta. m imod : Es la marca de clase de la clase modal. L imod : Es el límite inferior de dicha clase (clase modal). n imod : Es la frecuencia absoluta de la clase modal. n imod 1: Es la frecuencia absoluta de la clase anterior. n imod +1: Es la frecuencia absoluta de la clase posterior. h imod : Es la amplitud de la clase modal. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

60 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Moda Es el valor que más se repite en los datos. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: x mod,a m imod ( x mod,a L imod + n imod n imod 1 (n imod n imod 1) + (n imod n imod +1) ) h imod. Ejemplo: d i m i n i N i f i F i [1,5; 3) [3; 4,5) [4,5; 6) Notación: x mod,a 5,25 ( x mod,a 4, (12 3) + (12 0) ) 1,5 5,35. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

61 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Moda Es el valor que más se repite en los datos. No se ve afectada por valor extremos. Es fácil de calcular. Un conjunto de valores puede tener: Una moda (unimodal). Dos modas (bimodal). Varias modas (multimodal). En algunos datos no existe el valor modal. Usualmente en datos continuos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

62 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Media Recortada o Truncada (100α %) Se calcula igual que la media, pero eliminando de los datos ordenados el 100α % de los valores más pequeños y el 100α % de los valores más grandes. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: α = β/n. x R = x (β+1) + + x (n β). n 2β Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). Ejemplo: (0,3, 0,6, 1,5, 2,4, 2,5, 3,6, 4,7, 9, 1, 9,7). (Muestra ordenada) β = 2 x R = 1,5 + 2,4 + 2,5 + 3,6 + 4,7 9 4 = 2,94. (x 3,82). Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

63 Medidas descriptivas. Medidas de Tendencia Central Media Recortada o Truncada (100α %) Se calcula igual que la media, pero eliminando de los datos ordenados el 100α % de los valores más pequeños y el 100α % de los valores más grandes. Elimina en parte la variabilidad de la media causada por valores extremos. Es fácil de calcular. Puede no ser adecuada si la distribución de los datos no es simétrica. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

64 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Elementos básicos Cuantil. Cuartiles. Quintiles. Deciles. Percentiles. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

65 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Cuantil (de nivel α (0, 1)) Es el valor de los datos que divide la muestra ordenada en dos grupos, de tal forma que el 100α % de la muestra ordenada es menor o igual que dicho valor. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: { x([αn+1]) αn no es entero x α =. x (αn) +x (αn+1) 2 αn es entero Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4, 4,5). Ejemplo: (0,3, 0,6, 1,5, 2,4, 2,5, 3,6, 4,5, 4,7, 9, 1, 9,7). (Muestra ordenada) α = 0,15 αn = 1,5 = x 0,15 = x ([1,5+1]) = x ([2,5]) = x (2) = 0,6. α = 0,2 αn = 2,0 = x 0,2 = x (2) + x (2+1) 2 = 0,6 + 1,5 2 = 1,05. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

66 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Cuantil (de nivel α (0, 1)) Es el valor de los datos que divide la muestra ordenada en dos grupos, de tal forma que el 100α % de la muestra ordenada es menor o igual que dicho valor. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: x α,a L iα + i α : Es el índice de la clase que satisface: iα 1 f i α, L iα : Es el límite inferior de clase. i=1 n iα : Es la frecuencia absoluta de la clase. ( αn Niα 1 n iα ) h iα, iα f i > α. N iα 1 : Es la frecuencia absoluta acumulada de la clase previa. h iα : Es la amplitud de la clase. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26 i=1

67 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Cuantil (de nivel α (0, 1)) Es el valor de los datos que divide la muestra ordenada en dos grupos, de tal forma que el 100α % de la muestra ordenada es menor o igual que dicho valor. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: x α,a L iα + ( αn Niα 1 n iα ) h iα, Ejemplo: d i m i n i N i f i F i [1,5; 3) [3; 4,5) [4,5; 6) Notación: α = 0,35 ( ) 0, x 0,35,A 3 + 1,5 = 4. 3 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

68 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Cuartiles Son tres valores que dividen la muestra ordenada en cuatro partes o grupos con la misma cantidad de elementos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: Q 1 = x 0,25. Q 2 = x 0,50 = x. Q 3 = x 0,75. Se calculan utilizando las fórmulas vistas para el cuantil. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

69 Medidas descriptivas. Medidas de Posición Percentiles Son 99 valores que dividen la muestra ordenada en 100 partes o grupos con la misma cantidad de elementos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: P 1 = x 0,01.. P 99 = x 0,99. Se calculan utilizando las fórmulas vistas para el cuantil. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

70 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Elementos básicos Varianza. Desviación estándar. Rango. Rango intercuartil. Coeficiente de Variación. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

71 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Varianza Es una medida de la variabilidad de los datos respecto a la media. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: s 2 = 1 n 1 n ni=1 (x i x) 2 xi 2 n(x) 2 =. n 1 i=1 Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). ni=1 s 2 xi 2 n(x) 2 = = n 1 226,66 9(3,82) ,9. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

72 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Varianza Es una medida de la variabilidad de los datos respecto a la media. Datos agrupados: Tabla de Frecuencias. Notación: s 2 A = 1 n 1 k n i (m i x A ) 2. i=1 Ejemplo: Notación: d i m i n i N i f i F i [1,5; 3) [3; 4,5) [4,5; 6) x A = s 2 A = 1 n k m i n i = 3,675 i=1 1 n 1 k n i (m i x A ) 2 2,1375. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26 i=1

73 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Varianza Es una medida de la variabilidad de los datos respecto a la media. Tiene sentido en las escalas cuantitativas. Resulta muy útil para comparar la variabilidad de dos o más poblaciones. Utiliza toda la información de la muestra. También se utiliza la siguiente expresión: σ 2 = 1 n n (x i x) 2 = i=1 ni=1 x 2 i n x 2 Se afecta por valores extremos. No se encuentra en la misma escala de los datos por ende puede resultar difícil su interpretación. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

74 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Desviación estándar Se define como la raíz de la varianza. Notación: s = s A = n s 2 i=1 = x2 i n(x) 2 n 1 s 2 A = 1 k n i (m i x A ) n 1 2. i=1 Ejemplo: s = s A = s 2 = 11,9 3,45. s 2 A = 2,1375 1,462. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

75 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Desviación estándar Se define como la raíz de la varianza. Se encuentra en la misma escala de los datos originales. Es fácil de interpretar. Utiliza toda la información de la muestra. Se afecta por valores extremos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

76 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Rango Es simplemente la diferencia entre el valor máximo y mínimo de los datos Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: R = x (n) x (1). Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). Ejemplo: (0,3, 0,6, 1,5, 2,4, 2,5, 3,6, 4,7, 9, 1, 9,7). (Muestra ordenada) R = x (n) x (1) = 9,7 0,3 = 9,4 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

77 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Rango Es simplemente la diferencia entre el valor máximo y mínimo de los datos Es fácil de calcular. Solamente utiliza dos valores de la muestra. Se afecta por valores extremos. No disminuye cuando aumenta el tamaño de la muestra. O sea, se queda invariante o aumenta. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

78 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Rango intercuartil Mide la variabilidad de la mitad central de los datos. Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil. Muestra: (x 1, x 2,, x n ) Muestra ordenada: (x (1), x (2),, x (n) ). Notación: R IC = Q 3 Q 1 = x 0,75 x 0,25. Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). Ejemplo: (0,3, 0,6, 1,5, 2,4, 2,5, 3,6, 4,7, 9, 1, 9,7). (Muestra ordenada) Q 1 = x 0,25 = x (3) = 1,5 Q 3 = x 0,75 = x (7) = 4,7 R IC = Q 3 Q 1 = x 0,75 x 0,25 = 4,7 1,5 = 3,2. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

79 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Rango intercuartil Mide la variabilidad de la mitad central de los datos. Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil. Es fácil de calcular. Se afecta menos por valores extremos. Se utiliza como medida de variabilidad para acompañar a la mediana. Solamente analiza la variabilidad central de los datos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

80 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Coeficiente de Variación Mide la variabilidad relativa de un conjunto de datos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: Ejemplo. Ejemplo: x = 0,12, s = 0,05. CV = s 100. x x = 48,4, s = 15,2. CV = s 100 = 0, ,6 %. x 0,12 CV = s 100 = 15, ,4 %. x 48,4 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

81 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Coeficiente de Variación Mide la variabilidad relativa de un conjunto de datos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: Ejemplo. Ejemplo: x = 0,12, s = 0,05. CV = s 100. x x = 48,4, s = 15,2. CV = s 100 = 0, ,6 %. x 0,12 CV = s 100 = 15, ,4 %. x 48,4 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

82 Medidas descriptivas. Medidas de Dispersión Coeficiente de Variación Mide la variabilidad relativa de un conjunto de datos. Es fácil de calcular. Valores altos indican mayor variabilidad. Valores pequeños indican poca variabilidad. (Usualmente cuando CV < 20 %) Permite comparar la variabilidad de dos o más poblaciones con escalas diferentes. Emplea toda la información de la muestra. Se afecta por valores extremos. No mide variabilidad respecto a ninguna medida de tendencia central. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

83 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Elementos básicos Asimetría. (Skewness) Curtosis. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

84 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Asimetría (Skewness) Mide el grado de simetría o asimetría de los datos. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: ni=1 (x i x) 3 AS = ns 3.(Coeficiente de asimetría de Fisher) Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). x 3,82, s 3,45. ni=1 (x i x) 3 AS = ns 3 0,6929. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

85 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Asimetría (Skewness) Mide el grado de simetría o asimetría de los datos. Datos agrupados: Tabla de frecuencias. Notación: ki=1 n i (m i x A ) 3 AS A = ns 3. A Ejemplo: d i m i n i N i f i F i [1,5; 3) [3; 4,5) [4,5; 6) Notación: x A 3,675, s A 1,462. ki=1 n i (m i x A ) 3 AS A = ns 3 0,5187. A Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

86 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Asimetría (Skewness) Mide el grado de simetría o asimetría de los datos. Interpretación: AS > 0: Datos asimétricos positivos. Datos concentrados a la derecha. AS < 0: Datos asimétricos negativos. Datos concentrados a la izquierda. AS = 0: Datos simétricos. Existen otros coeficientes de asimetría: Coeficiente de asimetría de Pearson: AS p = x x mod. s Coeficiente de asimetría de Bowley: AS B = Q 3 + Q 1 2 x R IC. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

87 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Curtosis (Kurtosis) Mide el grado de concentración de los datos alrededor de la media. Muestra: (x 1, x 2,, x n ). Notación: γ K = n n i=1 (x i x) 4 (n 1) 2 s 4 (Coeficiente Curtosis) β K = γ K 3 (Excess Kurtosis) Ejemplo: (2,5, 0,6, 3,6, 4,7, 9,7, 9,1, 1,5, 0,3, 2,4). x 3,82, s 3,45. γ K = n n i=1 (x i x) 4 (n 1) 2 s 4 = 2,2534 β K = γ K 3 = 0,7466 Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

88 Medidas descriptivas. Medidas de Forma Curtosis (Kurtosis) Mide el grado de concentración de los datos alrededor de la media. Interpretación: γ K < 3 o β K < 0 Distribución platicúrtica γ K = 3 o β K = 0 Distribución mesocúrtica γ K > 3 o β K > 0 Distribución leptocúrtica Interpretación alternativa Su valor se puede asociar con la cantidad de valores extremos de una muestra γ K < 3 o β K < 0 Se esperan pocos valores extremos γ K > 3 o β K > 0 Se esperan muchos valores extremos Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

89 Medidas descriptivas... Skewness Análisis de la simetría Si x = x = x mod, entonces se dice que la distribución de los datos es simétrica. Si x > x > x mod, entonces se dice que la distribución de los datos es asimétrica o sesgada a la derecha, o sea, la mayor parte de los datos se ubican a la izquierda de la media. Si x < x < x mod, entonces se dice que la distribución de los datos es asimétrica o sesgada a la izquierda, o sea, la mayor parte de los datos se ubican a la derecha de la media. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

90 Medidas descriptivas... Skewness Análisis de la simetría (x = x = x mod ) Simétrica (AS = 0) Mediana ( x) Media (x) Moda (x mod ) Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

91 Medidas descriptivas... Skewness Análisis de la simetría (x > x > x mod ) Asimétrica a la derecha (AS > 0) Moda (x mod ) Mediana ( x) Media (x) Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

92 Medidas descriptivas... Skewness Análisis de la simetría (x < x < x mod ) Asimétrica a la izquierda (AS < 0) Moda (x mod ) Mediana ( x) Media (x) Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

93 Medidas descriptivas... Skewness Regla Empírica Aplicable si los datos son aproximadamente simétricos y unimodales. Entre [x s; x + s] se encuentran aproximadamente el 68 % de los datos. Entre [x 2s; x + 2s] se encuentran aproximadamente el 95 % de los datos. Entre [x 3s; x + 3s] se encuentran aproximadamente el 99 % de los datos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

94 Medidas descriptivas... Kurtosis Comportamiento estándar de la distribución (γ K < 3 o β K < 0) Distribución platicúrtica Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

95 Medidas descriptivas... Kurtosis Comportamiento estándar de la distribución (γ K = 3 o β K = 0) Distribuciónp mesocúrtica Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

96 Medidas descriptivas... Kurtosis Comportamiento estándar de la distribución (γ K > 3 o β K > 0) Distribución leptocúrtica Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

97 Medidas descriptivas... Outliers Detección de outliers Valor atípico (outlier) Es una observación, x, que es numéricamente distante del resto de los datos Cuán distante debe estar? x > x 0,75 + 1,5R IC. x < x 0,25 1,5R IC. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

99 Representaciones gráficas. Gráficos usuales Diagrama de sectores. Gráfico de barras. Polígonos de frecuencia. Histogramas. Diagrama de tallos y hojas. Diagrama de cajas y bigotes. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

100 Representaciones gráficas Diagrama de sectores Datos de una encuesta acerca de la preferencia de las personas entre cuatro estilos musicales: Bachata, Rock, Pop, Salsa. Pop Bachata Tabla de Frecuencias Frecuencia Frecuencia Clases absoluta relativa d i n i f i Bachata Pop Rock Salsa % 25 % Rock 19 % 21 % Salsa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

101 Representaciones gráficas Diagrama de sectores Datos de una encuesta acerca de la preferencia de las personas entre cuatro estilos musicales: Bachata, Rock, Pop, Salsa. Pop Bachata Tabla de Frecuencias Frecuencia Frecuencia Clases absoluta relativa d i n i f i Bachata Pop Rock Salsa % 25 % Rock 19 % 21 % Salsa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

102 Representaciones gráficas Diagrama de sectores Datos relacionados con el número de horas que durmieron 45 pacientes de un hospital después de la administración de un cierto anestésico: 4 3 Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i % 16 % 4 % 17 % 7 11 % 11 % 9 % 16 % Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

103 Representaciones gráficas Diagrama de sectores Se utiliza para representar las frecuencias relativas de los datos. Es uno de las representaciones gráficas más sencillas. Es muy fácil de interpretar. Se puede emplear para variables cualitativas y cuantitativas. No es muy práctico para variables con muchas clases. La información visual que brinda puede no ser muy exacta. No se debe emplear para comparar dos o más datos. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

104 Representaciones gráficas Gráfico de barras Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

105 Representaciones gráficas Gráfico de barras Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelen- Frecuencia Absoluta te, Buena, Regular y Mala 8 Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente n i 6 4 Mala Regular Buena Excelente Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

106 Representaciones gráficas Gráfico de barras Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala Frecuencia Relativa Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente f i 0,3 0,2 Mala Regular Buena Excelente Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

107 Representaciones gráficas Gráfico de barras Comparar dos o más poblaciones Datos relacionados con las temperaturas en cierta zona durante el mismo período de tiempo en tres años diferentes. (Bajas: T < 15, Medias: 15 T 29, Altas: T > 29) Resumen de Temperatura T d i n i n i n i Bajas Medias Altas n i Bajas Medias Altas Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

108 Representaciones gráficas Gráfico de barras Se utiliza para representar las frecuencias absolutas o relativas. Es uno de las representaciones gráficas más utilizadas. Usualmente se utiliza para variables discretas. Resulta muy útil para comparar el comportamiento de una variable en varias poblaciones. No es muy práctico para variables con muchas clases. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

109 Representaciones gráficas Polígonos de Frecuencia Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala f i Frecuencia relativa. Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente M R B E d i Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

110 Representaciones gráficas Polígonos de Frecuencia Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala f i Frecuencia relativa. Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente M R B E d i Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

111 Representaciones gráficas Polígonos de Frecuencia Datos de la situación arquitectónica de 25 edificios en cierta zona urbana: Excelente, Buena, Regular y Mala Frecuencia relativa acumulada. F i Tabla de Frecuencias d i n i N i f i F i Mala Regular Buena Excelente M R B E d i Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

112 Representaciones gráficas Polígonos de Frecuencia Se utiliza para representar las frecuencias relativas y relativas acumuladas. Permite visualizar la forma de la distribución de los datos. La forma de los polígonos de frecuencia se suaviza cuando aumentan las clases, siempre que esto sea posible. Resulta muy útil para comparar el comportamiento de una variable en varias poblaciones. El polígono de frecuencia acumulada no se utiliza para datos nominales. Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

113 Representaciones gráficas Histogramas Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Frecuencia absoluta Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Frecuencia relativa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

114 Representaciones gráficas Histogramas Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Frecuencia absoluta Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Frecuencia relativa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

115 Representaciones gráficas Histogramas Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Frecuencia relativa Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Frecuencia relativa Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

116 Representaciones gráficas Histogramas Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Frecuencia absoluta Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Utilizando 3 clases Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26

117 Representaciones gráficas Histogramas Datos relacionados con el consumo de energía durante cierto período de tiempo en 50 hogares: Frecuencia absoluta Tabla de Frecuencias I i m i n i N i f i F i [2.98; 3.98) [3.98; 4.98) [4.98; 5.98) [5.98; 6.98) [6.98; 7.98) [8.98; 8.98) [8.98; 9.98] Utilizando 15 clases Luis A. Salomón (EAFIT) Inspira Crea Transforma Curso / 26