v (a), f 2 r(v) (a) + r(v), con lim
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- María Isabel Silva Ortiz de Zárate
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1 1. Funciones Diferenciables Definición 1.1. Sea f = (f 1, f 2, f 3,..., f n ) : U R m R n una función y U un subconjunto abierto en R m. Diremos que f es una función diferenciable en un punto a U si las derivadas direccionales de cada función coordenada de f existen en el punto a y el vector ( (1.1) v = 1 v, 2 v,..., ) n v satisface para cada v R m. f(a + v) f = r(v) + r(v), con lim v v 0 v = 0, Si f : U R m R n es una función diferenciable en un punto a U es común denotar al vector (1.1) por f v y llamarle la derivada de f en el punto a. La notación para f v el vector (1.1) es natural, pues la derivada de f en el punto a es una transformación lineal. Esta transformación lineal en relación a las bases canónicas de R n y R m tiene la representación matricial ( ) i Jf = x j. n m Esta matriz es llamada la matriz jacobiana de f en el punto a. Enunciamos el siguiente teorema que nos será de mucha utilidad Teorema 1.2. Una función f : U R n R n es diferenciable en el punto a U si y sólo si cada una de sus funciones coordenadas f 1, f 2,..., f n : U R n es diferenciable en ese punto. Ejemplo 1.3. Sea f : R 2 R 3 definida por f(x, y) = (xy, y 2, x + 2y). En este caso las funciones coordenadas de f son f 1 (x, y) = xy, f 2 (x, y) = y 2, f 3 (x, y) = x + 2y. Observamos que las derivadas parciales para f 1 en un punto (x, y) vienen dadas por 1 (x, y) = y, 1 (x, y) = x, las cuales son funciones continuas sobre R 2, lo que hace de f 1 una función de clase C 1 y por ende una función diferenciable sobre R 2. De igual manera se prueba que f 2 y f 3 son 1
2 2 funciones diferenciables sobre R 2. Por lo tanto, por el Teorema 1.2 f es diferenciable sobre cualquier punto (x, y) R 2. Ahora bien, desde se sigue que 2 (x, y) = 2xy 2, 2 (x, y) = 2 y, 3 (x, y) = 1, 3 (x, y) = 2, f ((x, y)) (u, v) = ( yu + xv, 2xy 2 u + 2 yv, u + 2v ), es la derivada de f en el punto (x, y) aplicada en el vector (u, v). Esta transformación lineal tiene por matriz jacobiana a y x Jf(x, y) = 2xy 2 2 y 1 2 En particular si (x, y) = (2, 3) entonces Jf(2, 3) = y f (2, 3) (u, v) = u v = (3u + 2v, 36u + 24v, u + 2v). Desde el ejemplo anterior notamos que para obtener la derivada de una función f = (f 1, f 2,... f n ) en un punto a = (a 1, a 2,... a m ) se debe realiazar lo siguiente (1) Se obtienen las derivadas parciales i x j para cada función coordenada f i de f en el punto a. (2) Se obtienen la diferencial df i = grad f i = f i en el punto a. ( ) i x 1, i,..., i de cada
3 3 (3) Estas diferenciales son las filas de la matriz jacobiana de f en a 1 x Jf = x n x 1 n n (4) Jf es la representación matricial de la derivada de f en a, f : R m R n (5) Para obtener el valor de f en un vector v = (v 1, v 2,... v m ) R m basta realizar 1 x v 1 2 x v n x 1 n n v m ( ) (6) De lo que se concluye que f v = 1 v, 2 n v,..., v. 2. Regla de la Cadena Tal como en el caso de campos escalares, surge la pregunta natural de como obtener la derivada de la composición de dos funciones diferenciables que sean, en esta ocasión, campos vectoriales. Teorema 2.4 (Regla de la Cadena). Sean U R m, V R n abiertos, f : U R n diferenciable en el punto a U, con f(u) V, g : V R p diferenciable en el punto f. Entonces g f : U R p es diferenciable en el punto a, con (g f) = g (f) f : R m R p. La riqueza del Teorema 2.4 está en, al menos, dos importantes corolarios que se derivan de este y que son muy útiles para el cálculo. ( ) ( ) Corolario 2.5. Sean Jf = i x j, Jg(f) = gi x j (f) y J(g f) = ( (gi f i ) las matrices jacobianas de las funciones f, g y f g en los puntos indicados. Suponga que f es diferenciable en el punto a y g es diferenciable en el punto f, entonces se tiene que J(g f) = Jg(f) Jf. Ejemplo 2.6. Sean f : R 2 R 3 definida por f(x, y) = (xy, y 2, x + 2y) y g : R 3 R 4 definida por g(x, y, z) = ( + y 2, + z 2, y 2 + z 2, + y 2 + z 2 ). x j )
4 4 Desde el ejemplo 1.3 se tiene que la matriz jacobiana de f en un punto (x, y) R 2 viene dada por y x Jf(x, y) = 2xy 2 2 y 1 2 Facilmente se prueba que g es una función diferenciable sobre R 4, obtengamos su matriz jacobiana en un punto (x, y, y) R 3. Se tiene que las derivadas parciales de las funciones coordenadas de g son g 1 ((x, y, z)) = 2x, g 2 ((x, y, z)) = 2x, g 3 ((x, y, z)) = 0, g 4 ((x, y, z)) = 2x, g 1 ((x, y, z)) = 2y, g 2 ((x, y, z)) = 0, g 3 ((x, y, z)) = 2y, g 4 ((x, y, z)) = 2y, g 1 ((x, y, z)) = 0. g 2 ((x, y, z)) = 2z. g 3 ((x, y, z)) = 2z. g 4 ((x, y, z)) = 2z. Así, la matriz jacobiana de g en un punto (x, y, z) es 2y 0 2x 0 2z Jg(x, y, z) = 0 2y 2z 2y 2z Note que la derivada de g en (x, y, z) evaluada en un punto (u, v, w) R 3 está definida matricialmente por 2y 0 u 2x 0 2z ( ) v 0 2y 2z = 2xu + 2yv 2xu + 2zw 2yv + 2zw 2xu + 2zw w 2y 2z Esto es, g (x, y, z) (u, v, w) = (2xu + 2yv, 2xu + 2zw, 2yv + 2zw, 2xu + 2zw).
5 Con las matrices jacobianas de f (x, y) y g (x, y, z) podemos obtener la derivada de (g f) en un punto (x, y) R 2. Desde que 2(xy) 2( y 2 ) 0 2(xy) 0 2(x + 2y) Jg(f((x, y))) = 0 2(x 2 y 2 ) 2(x + 2y) 2(xy) 2( y 2 ) 2(x + 2y) es la matriz jacobiana de g (f(x, y)) se sigue vía el Corolario 2.5 que 2xy 2 + 4x 3 y 4 2 y + 4x 3 y 4 2xy Jg(f(x, y)) Jf(x, y) = 2 + 2x + 4y 2 y + 4x + 8y 4x 3 y 4 + 2x + 4y 4x 3 y 4, + 4x + 8y 2xy 2 + 4x 3 y 4 + 2x + 4y 2 y + 4x 3 y 4 + 4x + 8y es la matriz jacobiana de (g f) (x, y) : R 2 R 4. Así 2xy 2 + 4x 3 y 4 2 y + 4x 3 y 4 2xy 2 + 2x + 4y 2 y + 4x + 8y u 4x 3 y 4 + 2x + 4y 4x 3 y 4 = + 4x + 8y v 2xy 2 + 4x 3 y 4 + 2x + 4y 2 y + 4x 3 y 4 + 4x + 8y 2xy(yu + xv) + 2 y 2 (2xy 2 u + 2xy 2 v) 2xy(yu + xv) + (2x + 4y)(u + 2v) 2x 2 y 2 (2xy 2 u + 2xy 2 v) + (2x + 4y)(u + 2v) 2xy(yu + xv) + 2 y 2 (2xy 2 u + 2xy 2 v) + (2x + 4y)(u + 2v) Es la representación matricial de (g f) (x, y) (u, v). 5 En particular si (x, y) = (1, 2), se sigue que (g f) (1, 2) : R 2 R 4 está definida por (g f) (1, 2) (u, v) = (72u + 68v, 18u + 24v, 74u + 84v, 82u + 88v) Un buen ejercicio es realiazar (g f)(x, y) y obtener (g f) (x, y) directamente. Desde el ejemplo anterior obtenemos un método que nos permite calcular la derivada de la composición (g f)
6 6 (1) Obtener la matriz jacobiana para f : U R m R n y g : V R n R p. (2) Cada componente de la matriz jacobiana Jg(x 1,,..., x n ) es una función para f(x 1,,..., ). (3) Realizar la evaluación correspondiente de la cual se obtiene la matriz jacobiana Jg(f(x 1,,..., )). (4) La multiplicación Jg(f(x 1,,..., )) Jf(x 1,,..., ) es la representación matricial de (g f) (x 1,,... ) : U R p. (5) Si u = (u 1, u 2,..., u m ) R m entonces la multplicación Jg(f(x 1,,..., )) Jf(x 1,,..., ) [u] es la representación matricial de (g f) (x 1,,..., ) (u 1, u 2,..., u m ). Corolario 2.7. Sean f, g : U R m diferenciable en un punto a U R m y c un número real. Entonces f + g : U R n y cf : U R n son diferenciables en un punto a, con (f + g) = f + g y (cf) = cf. Cuando n = 1 y g(x) 0 para todo x U entonces f/g : U R es diferenciable en el punto a, con ( ) f = gf fg g g Teorema de la Función Inversa Sea f : U R m R n una función biyectiva y diferenciable en a R n, si denotamos por g : f(u) R n R m a la inversa de f y ésta es diferenciable en f entonces por el Corolario 2.5 la representación matricial de (g f) viene dada por Jg(f) Jf. Evidentemente (g f) = a luego (g f) = I d : R m R m cuya matriz jacobiana es I n n. De esta manera De igual manera se prueba que Jg(f) Jf = I n n. Jf(g(b)) Jg(b) = I m m, b = f. Por lo tanto, Jf es invertible y se sigue que Jg(f) = (Jf) 1 es la matriz jacobiana de g (b) : R n R n, b = f V.
7 Definición 3.8. Sean U R m, V R n dos conjuntos abiertos y f : U V una función. Si f es una función biyectiva, con inversa f 1 : V U, tal que f es una función diferenciable sobre U y f 1 es una función diferenciable sobre V, diremos entonces que f es un difeomorfismo. 7 En conjunto con esta definición y el comentario del inicio de la sección podemos concluir dos importantes hechos, el primero es que dado un difeomorfismo f : U R m V R n entonces f : R m R n es un isomorfismo, donde Jf 1 (b) = [Jf] 1 es la matriz jacobiana de (f 1 ) (b) : R m R m con b = f. El segundo es que dado que f : R m R n es un isomorfismo entonces m = n, esto es, para que una función f : U R m V R n sea un difeomorfismo es necesario que m = n. Podemos resumen esto como un corolario de la regla de la cadena. Corolario 3.9. Si una función f : U R m, es definida sobre un abierto U R m es diferenciable en un punto a U, y tiene inversa g = f 1 : V R n, definida en el abierto V R n es diferenciable en el punto b = f, entonces f : R m R n es un isomorfismo, cuya transformación lineal inversa es g (b) : R n R n. En particular m = n. Ejemplo Sea U := {(x, y) : x, y R + } y f : U R 2 U R 2 una función definida por f(x, y) = (2x + 2y, ). (1) f es inyectiva. Desde la igualdad f(x, y) = f(u, v) se sigue que 2x + 2y = 2u + 2v y = u 2. Así x = u, luego x = u entonces 2x + 2y = 2x + 2v y v = y. (2) f es sobreyectiva. Si (x 0, y 0 ) R 2, escogemos ( y 0, x 0 /2 y 0 ) U donde f( y 0, x 0 /2 y0 ) = (x 0, y 0 ). (3) f es un difeomorfismo. Note que f es una función diferenciable sobre U pues cada una de sus funciones coordenadas los son. De igual manera se concluye que f 1 (x, y) = ( y, x/2 y) es una función diferenciable sobre U. Entonces, por el Corolario 3.9 f (x, y) : R 2 R 2 es un isomorfimo. La matriz jacobiana de f en un punto (x, y) está dada por Jf(x, y) = 2 2 2x 0
8 8 Para calcular (f 1 ) (x 0, y 0 ) : R 2 R 2 con f(x, y) = (x 0, y 0 ), simplemente hacemos [Jf(x, y)] 1 = 0 1/(2x) = Jf 1 (x 0, y 0 ) 1/2 2 Ahora note que (2x + 2y, ) = (x 0, y 0 ), esto es, x = y 0 e y = x 0 /2 y 0. Así Jf 1 (x 0, y 0 ) = 0 1/(2 y 0 ) 1/2 2 es la matriz jacobiana de (f 1 ) (b) : R 2 R 2, b = f(x, y). De lo anterior se desprende que para encontrar la derivada la función inversa de un difeomorfismo f basta realizar: (1) Encontrar la matriz jacobiana de f en un punto a, Jf. (2) Encontrar la inversa de Jf, [Jf] 1. (3) Evaluar [Jf] 1 en f 1 (b). (4) La matriz [Jf(f 1 (b))] 1 es la matriz jacobiana de (f 1 ) (f). Sea f : U R m V R n, una función. Si f es una función continua, biyectiva, con inversa g = f 1 : V U continua, decimos que f es un homeomorfismo. Probar que si f : U R m V R n es un homeomorfismo entonces m = n es un teorema clásico de la Topología Algebráica. El lector puede reflexionar en el hecho de que requerir que f sea un difeomorfismo es más restricitivo que solicitar que f sea un homeomorfismo. El hecho interesante del corolario 3.9 es que bajo ciertas hipótesis el recipróco es válido. Definición Una función f : U R n, definida en un conjunto abierto U R m, se dice fuertemente diferenciable en un punto a U cuando existe una transformación lienal T : R m R n tal que, para x, y U se satisface f(x) f(y) = T (x y) + r a (x, y), con r a (x, y) lim (x,y) (a,a) x y = 0. Observación Si f : U R n es una función fuertemente diferenciable en un punto a U entonces f es diferenciable en a, basta escoger y = a en la definición de arriba. Para que f
9 sea fuertemente diferenciable en a basta que la función f : U L(R m, R n ) sea continua en a. Concluimos con el teorema que le da el nombre a esta sección. Teorema 3.13 (de la función inversa). Sea f : U R m, definida en un abierto U R m, fuertemente diferenciable en un punto a U y f : R m R m es un isomorfismo. Entonces f es un homeomorfismo de un abierto V, con a V, sobre un abierto W, con f W. El homeomorfismo inverso f 1 : W V es fuertemente diferenciable en el punto f y su derivada en ese punto es [f ] 1. En escencia el teorema anterior dice que si f : U R m R m es una función biyectiva, diferenciable en un punto a U y, f : R m R m es un isomorfismo entonces existen vecindades tales que f 1 es diferenciable en f y Jf 1 (b) = [Jf] 1. 9
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