Funciones. Efraín Soto Apolinar

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1 Funciones Efraín Soto Apolinar

2 TÉRMINOS DE USO Derechos Reservados c 010. Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. Soto Apolinar, Efraín. Funciones Primera edición. Incluye índice. Méico El contenido de este libro corresponde al curso de Matemáticas para Bachillerato: Cuarto Semestre Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentra en este material, bajo las siguientes condiciones: Atribución: Debe dar crédito al autor del libro, independientemente del medio que se utilice para su divulgación (impresa, electrónica, en línea, etc.) Uso no comercial: No se permite el uso de este material ni de su contenido con fines comerciales y/o lucro en forma alguna. Puede utilizarlo con fines educativos o de divulgación de las ciencias. Se permite el uso por instituciones educativas públicas o privadas sin fines de lucro, con la condición de que no se aplique cargo, ni en especie ni en moneda, ni en cualquier otra forma, a los usuarios finales de este material, sean estos profesores, autoridades educativas, estudiantes o público en general interesado en la enseñanza y/o el aprendizaje de las matemáticas. No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este material. Usted tiene permiso para utilizarlo «como está y es». No se permite ni agregar, ni eliminar, ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsecciones, o secciones, o capítulos o combinaciones de las anteriores o parte alguna del libro. Permisos: Puede contactar al autor de este material directamente a la cuenta de correo electrónico que aparece en los créditos. Si usted tiene una copia de este libro en formato PDF y desea publicarlo en algún sitio de Internet, primero solicite permiso al autor a través de un mensaje a la cuenta de correo electrónico que aparece en los créditos. No requiere de permiso alguno para imprimir una copia de este material para uso personal. Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgo o daño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o interpretación de las definiciones que se incluyen en este diccionario. Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

3 ii Efraín Soto A.

4 Índice 1 Relaciones y funciones Relaciones y funciones Clasificación y transformación de funciones Tipos de funciones Función Inversa Funciones especiales Graficación de funciones Funciones polinomiales 49.1 La función polinomial Concepto de función polinomial La función constante La función lineal La función cuadrática Funciones polinomiales de grados 3 y Funciones racionales La función racional Concepto de Función Racional Gráficas de las funciones racionales Variación inversa Funciones eponencial y logarítmica Función eponencial Concepto de función eponencial Variación eponencial El número e Función logarítmica Concepto de función logarítmica Logaritmos comunes y naturales Ecuaciones eponenciales y logaritmicas Efraín Soto A.

5 iv ÍNDICE Efraín Soto A.

6 Chapter 1 Relaciones y funciones Por aprender Relaciones y funciones 1.. Clasificación y transformación de funciones Tipos de funciones 1... Funciones inversas Funciones especiales Transformación de gráficas de funciones Por qué es importante... Las funciones son los objetos matemáticos que sirven para describir cómo se relacionan dos cantidades. Por ejemplo, el área del cuadrado es una función de la longitud de su lado. Efraín Soto A.

7 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Efraín Soto A.

8 1.1 Relaciones y funciones RELACIONES Y FUNCIONES En matemáticas, una relación es un conjunto de pares ordenados. Como si se tratara de coordenadas de puntos, un conjunto de pares ordenados, forma una relación. RELACIÓN Es un conjunto no vacío de pares ordenados de valores. Definición 1 Por ejemplo, el siguiente conjunto es una relación: {(1, ),(, 3),(1, 5),(7, 1),(, 1)} En cierta manera podemos imaginar a una relación como una forma de indicar cómo se relacionan dos variables. Por ejemplo, en una lista de asistencia, la relación consistiría en asignar un número de la lista a cada persona que se encuentra en esa lista. No. Nombre 1 Avendaño Apolinar Aarón Arcadio Domínguez Joas L. 3 Bravo Cruz Julio César. 4 Chamlati Guillén Geordi. 5 Chargoy Rosas Claudia I. 6 González Flores Grabriel. 7 Flores Sobrevilla David. 8 Motilla Zapata Guillermo. 9 Sobrevilla Santos Isaac. 10 Sobrevilla Teniente Gabriela B. El concepto central de todo este semestre es el concepto de función. FUNCIÓN Es una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda a lo más, un elemento del contradominio. Definición Puedes imaginar a una función como una máquina que transforma números. Nosotros le damos un número y esta máquina nos devuelve otro número (único). No es posible que al darle un valor la función nos devuelva dos o más valores, pero sí es posible que nosotros le demos un valor y la función no nos pueda devolver valor alguno. En este último caso decimos que el valor que le dimos a la función no pertenece al dominio de la función, precisamente porque no lo puede transformar. NOTACIÓN FUNCIONAL Cuando se refiere a una función f, se refiere al dominio de la función, se refiere al contradominio, es un elemento del dominio, y f ( ) es el valor del contradominio que le corresponde al valor del dominio de la función. Definición 3 Utilizando la analogía de la máquina que transforma números, f es el nombre que le damos a esa máquina, es decir, es la función, es el número que nosotros le damos a la máquina, el conjunto de todos los valores que esta máquina puede transformar se denota por ( ), f () es el valor que la máquina nos devuelve cuando le damos y es el conjunto de todos los valores que la máquina nos devuelve (f () ). Efraín Soto A.

9 4 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES El siguiente diagrama puede ayudarte a entender mejor el concepto de función: Función Dominio f Contradominio f () Valores que le damos a la función Valores que nos devuelve la función Ejemplo 1 Las siguientes epresiones son funciones. f ( ) =, f ( ) = + 1, f ( ) = + 1, f ( ) = + 1, 7 f ( ) = + 1, f ( ) = 1 + 1, f ( ) = log + 1, f ( ) = e, f ( ) = e + ln(). Para identificar una función debemos verificar que se cumple la condición que dice: «para cada valor del dominio le corresponde a lo más un valor del contradominio.» Si no se cumple esta condición, entonces se trata de una relación que no es una función. Veremos una forma sencilla de verificarlo en el siguiente ejemplo. Ejemplo Las siguientes son relaciones que no son funciones. + y = 4, porque cuando graficamos esta relación, obtenemos una circunferencia. Si es elemento del dominio, y y es elemento del contradominio, no se cumple que para todo elemento del dominio haya a lo más un elemento del contradominio. Efraín Soto A.

10 1.1 Relaciones y funciones 5 y + y = 4 y y 0 En este caso, para un valor que le damos 0 la relación nos devuelve dos: y 0 y y 0. y =, porque cuando graficamos obtenemos una parábola horizontal: y = y Ahora, para = 3, obtenemos dos valores, 3 y 3. Para diferenciar una función de una relación que no es función frecuentemente utilizamos el criterio de la línea vertical. CRITERIO DE LA LÍNEA VERTICAL Si al dibujar una recta vertical sobre la gráfica de una función ésta puede ser cortada en dos puntos, entonces la relación no es una función. Definición 4 En el ejemplo anterior, al dibujar una recta vertical es posible cortar la función con la recta en dos de sus puntos. Esto nos indica que la gráfica corresponde a una relación que no es una función. Porque si fuera una función, para cada valor de debería eistir a lo más un solo valor de y, pero en cada caso hay dos valores, por lo que ya no se puede tratar deuna función. Nota: No todas las relaciones son funciones, pero por definición, todas las funciones son relaciones. Entonces, cuando desees verificar sin una relación es o no una función, la graficaremos y le aplicaremos el criterio de la recta vertical. Las funciones se aplican muy frecuentemente. Por ejemplo, cuando vas a enviar un paquete a través del correo postal, el importe del envío depende del peso del paquete. En términos matemáticos decimos que el importe está en función del peso del paquete. Si I es el importe que debemos pagar por un paquete de peso p, entonces, I = f (p). Efraín Soto A.

11 6 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES En el correo postal un paquete enviado a nivel nacional con un peso de p gramos cuesta I pesos, de acuerdo a la siguiente tabla: Peso (gr) Importe ($) Peso (gr) Importe ($) Ejemplo 3 0 < p < p < p < p < p < p < p < p < p < p Representa esta relación entre las variables una función? Para verificar si se trata de una función debemos verificar que satisface la definición. Si a cada elemento del dominio (peso) le corresponde a lo más un elemento del contradominio (importe), entonces sí se trata de una función. Ahora podemos convertir la pregunta a: «Eiste un peso para el cual se asignen dos importes?» Como para cada peso del paquete se le asigna un único importe, entonces sí se trata de una función. Ahora vamos a aplicar la regla de la recta vertical. Para eso, primero debemos graficar la función: 70 I ($) p (gr) Puedes dibujar una recta vertical que corte en dos puntos a la gráfica de la función? Pues no, porque se trata de una función. Observa que la gráfica no está definida para p = 0, porque si no vas a enviar un paquete, no hay necesidad de calcular el importe. Efraín Soto A.

12 1.1 Relaciones y funciones 7 La función que graficamos se conoce como una función definida por intervalos, porque los valores que va tomando la función están definidos por distintas epresiones. Dependiendo del valor del dominio que le demos será la epresión que utilizará para calcular el valor que nos va a devolver. Otro ejemplo de función definida por intervalos es la siguiente: f () = 1 si < si 0 Cuando los valores de que le damos son negativos, es decir, si < 0, entonces utilizamos 1 para calcular el valor que la función nos devolverá. Pero si 0, entonces usamos Si graficas estas dos ramas de la función, obtienes la gráfica que está definida por intervalos como se indicó. Cuando se deja caer una piedra desde 10 metros de altura, la distancia y desde el suelo a la piedra, t segundos después de haberse soltado puede calcularse con la ecuación: y = t Ejemplo 4 Verifica si esta ecuación es una función. Lo más sencillo en este caso es graficar la ecuación que nos dieron y verficar si se trata de una función aplicando la regla de la recta vertical. y (m) y = t t (s) Como no es posible cortar la gráfica con una recta vertical en dos de sus puntos, se trata de una función. A lo largo del curso seguirás viendo más aplicaciones de las funciones en problemas cotidianos, técnicos y matemáticos. Efraín Soto A.

13 8 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Ejemplo 5 Los tais cobran $7.40 pesos por solicitar en servicio y $4.40 pesos por kilómetro recorrido. Encuentra la función que transforma los kilómetros recorridos ( ) en el importe que debemos pagar al taista (y ). Si recorremos cero kilómetros debemos pagar solamente el importe por solicitar el servicio. Si recorremos un kilómetro debemos pagar, además $4.40, esto hace un total de $ $4.40 = $11.80 pesos. Si recorremos dos kilómetros debemos pagar: $ $4.40 = $16.0 pesos. En general, si recorremos kilómetros, debemos pagar: Esta es la función que nos pidieron encontrar. y = Por ejemplo, si deseamos conocer cuánto debemos pagar si recorremos 5 kilómetros en el tai, basta evaluar la función en = 5: y = (5) = pesos. Esta epresión es una función porque a cada valor de (elemento de su dominio) le asigna a lo más un valor y (elemento de su contradominio).s Se te queda como ejercicio graficar esta función. La evaluación de una función en un punto nos ayuda a conocer el valor de la función en ese punto. En el ejemplo anterior pudimos calcular el importe gracias a este procedimiento. Por eso es muy importante. Para evaluar la función, simplemente sustituye el valor de donde quieres evaluarla y realiza todos los cálculos que quedan indicados por la función. El resultado que obtengas es el valor que toma la función en ese punto. Por ejemplo, la función f () = 3 evaluada en = es 3 = 9. Observa que solamente basta sustituir 3 en lugar de. Realizamos los cálculos y el resultado obtenido es el valor que tiene la función en ese punto. Dados f () =, 0 = 5, y c = 1, calcula: Ejemplo 6 a. f ( 0 ) b. f ( 0 + c) c. f ( 0 ) + c d. c f ( 0 ) e. f (c 0 ) f. f ( 0 c) g. f ( 0 ) c Sabemos que 0 = 5 y que c = 1. Primero calculamos f ( 0 ): f () = f ( 0 ) = 0 0 f (5) = 5 5 = 3 5 = 7 Efraín Soto A.

14 1.1 Relaciones y funciones 9 Para calcular f ( 0 + c), antes de sustituir 0 debemos sumarle c, porque la epresión dice: «el valor de f evaluada en el punto 0 + c». Pero 0 + c = = 6. Entonces, f ( 0 + c) = 0+c ( 0 + c) f (6) = 6 6 = = 8 f ( 0 ) + c lo único que nos pide es que sumemos c al valor que obtuvimos de f ( 0 ), esto es: f ( 0 ) + c = = 8 De manera semejante, c f ( 0 ) nos pide que multipliquemos el valor de f ( 0 ) por c : c f ( 0 ) = (1) (7) + 1 = 7 f (c 0 ) nos indica que multipliquemos los números c y 0 y el resultado lo sustituyamos en f : Pero f (c 0 ) = f (1 0 ) = f ( 0 ), porque c = 1. Entonces, f (c 0 ) = f (1 5) = f (5) = 7. Ahora calcularemos f ( 0 c). Primero calculamos 0 c = 5 1 = 4. Entonces, f ( 0 c) = 0 c ( 0 c) f (4) = 4 4 = = 0 Finalmente, f ( 0 ) c nos pide que restemos c unidades al valor f ( 0 ). f ( 0 ) c = f (5) 1 = 7 1 = 6 Dado que las funciones nos devuelven números después de transformarlos, realizar una operación (suma, resta, etc.) a un par de funciones se puede realizar siempre que éstas estén definidas. Por ejemplo si f y g son dos funciones definidas en un intervalo, entonces, podemos calcular f ()+ g (), f () g (), f () g () en cualquier caso y f () g () siempre que g () 0. Otra operación importante sobre funciones es la composición que se estudia en la sección 1..3, página 9 Determina si las siguientes relaciones son o no son funciones. Ejercicios 1.1 1) f () = + 1 Si ) f () = Si 3) f () = + 1 Si 4) f () = + 1 Si Efraín Soto A.

15 10 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES 5) f () = ) f () = ( + 1)( 1) 7) f () = + Si 8) f () = 1 Si 9) f () = 1 + Si + 1 si 1 10) f () = + 1 si 1 No Si Si 11) f () = + 1 si 10 1 si > si < k 1) f () = 1 1 si > k + 1 solicitados a partir de f, 0 y c. 13) f () = 1, 0 = 4, c = 1. Si 1 En cada uno de los siguientes ejercicios calcula los valores Si f ( 0 ) 15 f ( 0 + c) 4 f ( 0 ) + c 16 f (c) 0 14) f () = + 1, 0 = 1, c = 3. f ( 0 ) c f ( 0 ) 6 f (c 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 c) 7 15) f () = ( 1)( + 1), 0 = 1, c =. f ( 0 ) 143 f ( 0 ) 143 f ( 0 ) 143 f ( 0 c) 99 f ( 0 ) c 141 c f ( 0 ) 86 16) f () = 1 + 1, 0 = 5, c = 1. f ( 0 + c) 15/ f ( 0 ) + c 1/ f ( 0 c) 35/ f ( 0 ) c 5/ c f ( 0 ) 1/ f (c 0 ) 1/ ) f () =, 0 = 5, c = 1. Efraín Soto A.

16 1.1 Relaciones y funciones 11 f ( 0 ) 3 f ( 0 ) 1/3 f ( 0 ) 3 f ( 0 c) 16 f ( 0 ) c 31 f ( 0 + c) f ( 0 ) c 3 18) f () =, 0 = 3, c = 1. f ( 0 ) 7 f ( 0 ) 1/7 f ( 0 ) 19) f () = 5, 0 = 3, c = 1. 7 f ( 0 ) 4 f ( 0 ) 4 f ( 0 ) 4 f ( 0 c) 4 f ( 0 ) c 6 f ( 0 + c) f ( 0 ) c 9 f ( 0 c) 3 f ( 0 ) c 3 f ( 0 + c) f ( 0 ) c 1 0) f () = ( 1) 3, 0 = 5, c = 1. f ( 0 ) 64 f ( 0 ) 16 f ( 0 ) 64 f ( 0 c) 7 f ( 0 ) c 63 f ( 0 + c) f ( 0 ) c 61 Efraín Soto A.

17 1 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Efraín Soto A.

18 1. Clasificación y transformación de funciones CLASIFICACIÓN Y TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES En esta sección vamos a conocer la forma en como se han clasificado las funciones para su estudio. También vamos a conocer ciertas funciones que «hacen la transformación inversa» que realiza una función dada, conocidas como funciones inversas y finalmente vamos a aprender a graficar funciones sin necesidad de tabular TIPOS DE FUNCIONES En matemáticas hay varias formas de clasificar las funciones. FUNCIÓN ALGEBRAICA Las funciones algebraicas son las funciones que pueden obtenerse a partir de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, raíz) entre polinomios. Definición 1 Las siguientes funciones son algebraicas. Ejemplo 1 f () = + 4 f () = 1 f () = f () = f () = f ( ) = f () = + 6 f () = f () = f ( ) = + 1 f () = f () = f () = + 1 FUNCIÓN TRASCENDENTE Las funciones trascendentes son las funciones eponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las trigonométricas inversas. Definición Las siguientes funciones son trascendentes. Ejemplo f () = log + f () = ln( e ) f () = ln f () = log + 1 f () = e 1 1 f () = ep + 1 Efraín Soto A. f () = sin f () = cos( π) 1 + f () = tan 1 f () = sec + tan f () = csc() + cot(3) f () = arctan arcsin

19 14 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Definición 3 FUNCIÓN CONTÍNUA (DEFINICIÓN INFORMAL) Una función es contínua si su gráfica tiene solamente una rama. En otras palabras, si su gráfica consta de una sola línea ininterrumpida. La definición formal de función contínua indica que si al dar un valor 0 a la función y = f ( ), y damos un incremento muy al valor de, el valor de f () también debe cambiar, pero ese cambio debe ser más pequeño conforme damos incrementos más pequeños a 0, es decir, si hacemos que se haga casi cero, el valor de f ( 0 + ) debe estar muy cerca del valor de f ( 0 ). La siguiente gráfica ilustra esta situación. y f ( 0 + ) f ( 0 ) y = f () 0 Conforme hacemos más pequeño, el valor de f ( 0 + ) se acerca más al valor de f ( 0 ). Por eso concluimos que la función es contínua. Si esta condición se cumple solamente para algún intervalo, decimos que la función es contínua en él, pero posiblemente presente discontiuidades fuera de ese intervalo. Definición 4 FUNCIÓN DISCONTÍNUA Una función es discontínua si no es contínua. Geométricamente una función discontínua presenta al menos un «salto» en su gráfica. En la sección anterior (página 6) se menciona la forma como se cobra el envío a través de una oficina postal. La gráfica de esta función es discontínua. Esto es evidente de la gráfica misma. Observa que I (700) = Si damos incrementos a 700 cada vez más pequeños, siempre vamos a obtener 55.0, independientemente de lo pequeño que sea el incremento. Esto nos indica que la gráfica de la función dio un salto, lo cual es característico de esta función. Otro ejemplo de la gráfica de una función discontínua es el siguiente: y y = f () Efraín Soto A.

20 1. Clasificación y transformación de funciones 15 En cualquier caso, la gráfica consta de varias ramas, es decir, segmentos de líneas que forman la gráfica de la función. Precisamente por esa razón estas funciones se llaman «discontínuas», porque no es posible dibujar su gráfica con una sola línea contínua. FUNCIÓN CRECIENTE Una función es creciente en un intervalo I si para cualesquiera 1, I, se cumple que si > 1, entonces f ( ) > f ( 1 ). Definición 5 Geométricamente esto indica que conforme nos movemos a la derecha de la gráfica en un intervalo que es creciente, la gráfica va hacia arriba. La siguiente gráfica muestra un caso: 6 y y = En la gráfica de esta parábola, a partir del origen, la función empieza a crecer. FUNCIÓN DECRECIENTE Una función es creciente en un intervalo I si para cualesquiera 1, I, se cumple que si > 1, entonces f ( ) < f ( 1 ). Definición 6 Este es el caso contrario al anterior. Si la gráfica de la función va hacia abajo cuando nos movemos a la derecha en un intervalo, entonces la función es decreciente en ese intervalo. Inmediatamente observamos que la función y = es decreciente en el intervalo (, 0). También hemos mencionado que esa misma función es creciente en el intervalo (0, ). UNO A UNO Una función se dice que es «uno a uno» cuando a elementos distintos de su dominio le corresponden diferentes elementos de su contradominio. Es decir, si a = b, entonces, f (a ) = f (b) y si a b, entonces f (a ) f (b). Definición 7 Por ejemplo, la función y = 7 +1 es una función uno a uno, porque a distintos valores de le corresponden distintos valores de y. Efraín Soto A.

21 16 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Demostrar lo anterior es muy sencillo: f (a ) = f (b) 7a + 1 = 7b + 1 7a = 7b a = b La función y = no es uno a uno, porque si = la función asigna y = 4, pero también asigna el mismo valor a y cuando =. A las funciones uno a uno también se les conoce como funciones inyectivas. Si una función es inyectiva, entonces, es posible asociar los elementos de su dominio con los elementos de su contradominio de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponda eactamente un elemento de su contradominio y viceversa, a cada elemento de su contradominio le corresponda eactamente un elemento de su dominio. Entonces, otra forma de definir a las funciones inyectivas es decir que «nunca toman el mismo valor dos veces», es decir, una vez que la función ha asignado un valor de y 0 a su correspondiente 0, jamás lo volverá a asignar a algún otro valor de que le demos. Esto es, Si a b, entonces f (a ) f (b) Para verificar si una función es uno a uno, basta trazar una recta horizontal y ver si corta a la gráfica de la función en dos de sus puntos. Si es así, entonces no es una función uno a uno, porque asigna el mismo valor de y a diferentes valores de. En la gráfica ahora puedes justificar por qué no es uno a uno. 6 y y = Definición 8 FUNCIÓN SOBRE Una función se dice que es «sobre» cuando a cada elemento de su contradominio le corresponde a lo menos un elemento de su dominio. Por ejemplo, la función f () = 3 es sobre.piensa un número. Siempre puedes encontrar un número tal que al elevarlo al cubo obtengas el número que pensaste, no importa cuál sea 1. A las funciones sobre también se les conoce como funciones «sobreyectivas». 1 Ese número es igual a la raíz cúbica del número que pensaste. Efraín Soto A.

22 1. Clasificación y transformación de funciones 17 Indica a qué tipo de función corresponde cada una de las siguientes. Una sola función puede ser, por ejemplo, trascendente, contínua, creciente, etc. En caso de ser posible, indica además el dominio y el contradominio de la función. Ejercicios ) f () = 1 Algebraica/Contínua/Decreciente ) f () = sin(π) Trigonométrica/Trascendente/Contínua 3) f () = ) f () = 1 5) f () = + 1 Algebraica/Discontinua Algebraica/Discontinua/Creciente Algebraica/Discontinua 6) f () = arctan() 1 Trigonométrica/Trascendente/Continua 1 7) f () = Algebraica/Contínua 8) f () = 3 1 Algebraica/Creciente/Contínua 9) f () = Algebraica/Contínua 10) f () = tan 1 sin 11) f () = e e e + e Trascendente/Discontínua Trascendental/Contínua 1) f () = ) f () = e + e Algebraica/Discontinua Trascendental/Contínua 14) f () = sin + cos Trascendental/Trigonométrica 15) f () = Algebraica/Discontínua 16) f () = 1 + e Trascendente/Contínua/Creciente 17) f () = 1 + Algebraica/Continua/Creciente 18) f () = 1 Algebraica/Discontinua/Decreciente 19) f () = 1 + Algebraica/Discontinua/Decreciente 0) f () = e Trascendente/Contínua/Decreciente 5 En cada uno de los siguientes ejercicios dibuja la grafica la función en el intervalo ( 10, 10) para su dominio e indica si es uno a uno, sobre, biyectiva o ninguno de los casos anteriores. Recuerda que si dices que es biyectiva, estás diciendo que es uno a uno y sobre. Sugerencia: Utiliza la calculadora científica para realizar los cálculos para las funciones trascendentales. 1) f () = Biyectiva Efraín Soto A.

23 18 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES ) f () = Uno a uno 3) f () = Ninguno de los casos 4) f () = 5 Biyectiva 5) f () = 1 3 Biyectiva 6) f () = e Uno a uno 7) f () = 7 Ninguno de los casos 8) f () = 3 + Sobre 9) f () = 1 + Ninguno de los casos 30) f () = e Ninguno de los casos 31) f () = 1 Biyectiva 3) f () = 3 + Sobre 33) f () = cos(π) Ninguno de los casos 34) f () = ln Uno a uno 35) f () = 1 ( 5)( + 5) 5 Sobre 36) f () = ) f () = 1 38) f () = ) f () = ) f () = Ninguno de los casos Sobre Ninguno de los casos Sobre Biyectiva 1.. FUNCIÓN INVERSA Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente eiste a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función. Imagina que tienes la función y = f (). Tú le das un valor ( ) y ella te devuelve otro (f ()). Una buena idea sería encontrar una función que cuando le demos el valor f () nos devolviera, es decir, una máquina que haga la transformación inversa de f (). En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona la función f sobre los números que le damos. Efraín Soto A.

24 1. Clasificación y transformación de funciones 19 FUNCIÓN INVERSA Sea f una función con dominio f y contradominio f. Si eiste una función g con dominio g y contradominio g tal que: i. f (g ()) = para toda g Definición 1 ii. g (f ()) = para toda f entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra. f 1 denota la función inversa de f. En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por (, f ()) obtenemos (f (),), que no son sino los puntos de la función inversa f 1. Es decir, el dominio de f es el contradominio de f 1 y el contradominio de f es el dominio de f 1. Importante : f 1 () no significa 1 f ( ). Utilizando el diagrama de función, podemos eplicar el nuevo concepto: Función Dominio f Contradominio y f 1 Valores que le damos a la función Inversa Valores que nos devuelve la función No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función. Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio. Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa). En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa. Esto implica que para dos valores a,b distintos, entonces f (a ) f (b). En otras palabras solamente para las funciones «uno a uno» podemos calcular su función inversa. Ya se había mencionado en la sección anterior que si la función f es uno a uno (inyectiva), entonces cumple con: Si a b, entonces f (a ) f (b) y además, si g es la inversa de f, entonces, g (f (a )) = a y g (f (b)) = b, por lo que si f (a ) = f (b), se sigue que a = b. Lo anterior nos indica que: La notación de función inversa sugiere alguna relación con los eponentes, pero no es así. Efraín Soto A.

25 0 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Teorema 1 Si la funcion f tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos a,b en el dominio de f que cumplen a b, se tiene que f (a ) f (b). Ejemplo 1 En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función es uno a uno, entonces tiene unversa. Si y 0 está en el contradominio de la función f, entonces este valor tiene asociado un único valor 0 a partir del cual se le calculó usando f. Es decir, y 0 = f ( 0 ). Si definimos la función g que toma como su dominio al contradominio de f y asignamos al contradominio de g los elementos del dominio de f, estamos diciendo que g es la función inversa de f. Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que «a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio», impuesto por la definición de función. Calcula la función inversa de la función: y = + 7 Por definición de función inversa, para cada le corresponde un y y viceversa. La función «directa» es: y = + 1. La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve. En otras palabras, la variable independiente de la función «directa» viene siendo la variable independiente de la función inversa. Y la variable dependiente de la función «directa» juega el papel de la variable independiente en la función inversa. Así que vamos a despejar en términos de y. y = + 7 y 7 = y 7 = Esta epresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y y ésta nos devuelve el valor de. Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa: Con esto hemos terminado. f 1 () = 7 Vamos a verificar que el resultado del ejemplo anterior es correcto. Para eso, vamos a calcular valores de y para la función «directa» y después vamos a hacer los cálculos resectivos para la función inversa. y = + 7 y Efraín Soto A. 4 15

26 1. Clasificación y transformación de funciones 1 y = 7 y Vamos a llamar F a la función y = + 7, y G a la función y = ( 7)/. De las tablas vemos que si damos 0 a la función F obtenemos 7. Por otra parte, si damos 7 la función G obtenemos 0. Si damos 3 a F ésta nos devuelve 13, y si damos 13 a G nos devuelve 3. Esto está de acuerdo con la definición de función inversa. Es decir, G = F 1, la función G es la función inversa de la función F. Es evidente de las tablas que el dominio de F es el contradominio de G y que el dominio de G es el contradominio de F. 3 Puedes asignar otros valores y verás que para todos se cumple que G (F ( )) =. Es decir, cuando sustituimos el valor que nos devuelve la función F (una vez que le damos un valor ), en la función G obtenemos. Si la función directa no es uno a uno, entonces su dominio no es igual al contradominio de su inversa. También, su contradominio no es igual al dominio de su inversa. Calcula la función inversa de la función: y = f () = 1 Ejemplo Vamos a utilizar el mismo procedimiento. Despejamos y después cambiamos las literales de lugar. El problema ahora consiste en que tendremos que resolver una ecuación cuadrática. Por eso tendremos que usar la fórmula general: = b ± b 4a c a Empezamos escribiendo la ecuación cuadrática en su forma general: Entonces, en este caso: a = 1, b = y, y = 1 y = 1 y 1 = 0 3 Recuerda que F () está en el contradominio de F y que está en su dominio. Efraín Soto A.

27 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES c = 1. Ahora sustitumos en la fórmula general: = ( y ) ± ( y ) 4(1)( 1) (1) = y ± 4y + 4 = y ± 4(y + 1) = y ± y + 1 = y ± y + 1 Observa que el símbolo ± nos indica que para cada valor de le corresponden dos valores de y. Esto se debe a que la función cuadrática y = a + b + c no es uno a uno. Así que tendremos que considerar solamente una parte de esta función. Vamos a considerar solamente la parte que tiene el signo de suma. Entonces, la función inversa de f es: f 1 () = Debido a la forma como se define la función inversa, ésta tiene cierta simetría con la función directa. Al graficar f y su inversa nos damos cuenta. El siguiente muestra eso. Calcula la función inversa de la función: Ejemplo 3 y = f () = y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas. Primero vamos a calcular la inversa: y = y 4 = 3 y 4 3 = Y esto implica que la función inversa es: y = 4 3 A partir de esta función podemos llegar a la función «directa». Para este fin necesitamos calcular su inversa. Efraín Soto A.

28 1. Clasificación y transformación de funciones 3 Utilizamos el mismo procedimiento: y = 4 3 3y = 4 3y + 4 = Ahora cambiamos las literales de posición y obtenemos la función «directa». y = Entonces, la función inversa de la función inversa es la función «directa». Lo anterior se cumple para cualquier función uno a uno. La siguiente gráfica muestra ambas funciones: 10 y y = y = y = La recta y = sirve como referencia. Puedes eplicar por qué? Al observar las gráficas de las funciones fácilmente puedes verificar que las coordenadas de de la función «directa» son las coordenadas de y de la función inversa y viceversa. Esto se puede observar inmediatamente en la siguiente tabla: f f y y donde f es la función y = 3 + 4, mientras que f 1 es la función: y = ( 4)/3. Efraín Soto A.

29 4 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Esto te debe permitir observar claramente que el dominio de f es el contradominio de f 1 y que el contradominio de f es el dominio de f 1. Esto es así porque la función es uno a uno. Cuando desees calcular la función inversa de una función que no sea uno a uno esto último no se cumplirá. El siguiente ejemplo muestra otro caso. Ejemplo 4 Calcula la función inversa de la función: y = f () = 1 y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas. En este caso parece muy sencillo el despeje: y = 1 y = 1 = 1 y = 1 y Observa que solamente hemos considerado la parte positiva del despeje. Del resultado tenemos que: f 1 () = 1. La gráfica de la función directa y su inversa se muestran enseguida: y y f f Observa que la función inversa solamente puede tomar valores no negativos de. Puedes eplicar por qué? Como solamente consideramos los valores positivos del contradominio de f, en la función inversa, la el dominio de f 1 solamente toma valores positivos. La gráfica dada en el ejemplo muestra este resultado. Esto ocurrirá cada vez que la función no sea uno a uno. Calcula la función inversa de la función: Ejemplo 5 y = f () = 3 y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas. Efraín Soto A.

30 1. Clasificación y transformación de funciones 5 Primero calculamos la inversa: y = 3 y 1/3 = 3 y = Entonces, f 1 = 3. La gráfica de la función y su inversa se muestra enseguida: y f () = 3 y = f 1 () = En este caso, el dominio de f corresponde con el contradominio de f 1 y el contradominio de f con el dominio de f 1. Esto gracias a que f es uno a uno. Puedes calcular f 1 ( ) si f () = 3? En los siguientes capítulos estudiaremos varios tipos de funciones. Algunas de ellas tendrán inversa en intervalos adecuadamente definidos. En segundo semestre estudiamos las funciones trigonométricas, y = sin, y = cos, y = tan, Sus inversas son las funciones y = arcsin, y = arccos y y = arctan, respectivamente, las cuales muy frecuentemente se escriben y = sin 1, y = cos 1 y y = tan 1, para denotar las inversas de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, en las calculadoras científicas se utiliza más esta notación. Las funciones eponenciales y logarítmicas también son uno a uno y por tanto, tienen inversa. Estas funciones serán estudiadas en el capítulo cuatro de este semestre. Para cada una de las siguientes funciones calcula su función inversa y grafica ambas funciones en el mismo sistema de coordenadas. Ejercicios 1.. 1) f () = + 5 f 1 ( ) = 5 Efraín Soto A.

31 6 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES ) f () = 1 7 f 1 () = 1 3) f () = m + b f 1 () = b 4) f () = + 16 f 1 () = 16 5) f () = 16 f 1 () = 16 6) f () = + f 1 ( ) = 7) f () = ) f () = m f 1 () = 1 7 f 1 () = ) f () = m + b f 1 () = a b a m 1 10) f () = 1 4 f 1 () = 11) f () = f 1 () = 81 4 y c 1) f () = a + c f 1 () = a 13) f () = f 1 () = 1 +, f 1 () = 1 14) f () = f 1 () = +, f 1 () = 15) f () = k + k f 1 () = k 16) f () = f 1 () = 3 + 1, f 1 () = ) f () = f 1 () = + 1, f 1 () = 1 18) f () = f 1 () = + 3, f 1 () = 3 19) f () = k + k + a f 1 () = k + a, f 1 () = k a 0) f () = f 1 () = (6 + ) 1..3 FUNCIONES ESPECIALES En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático. Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales. Función constante El caso especial: f ( ) = a 0, con a 0 es una función polinomial de grado cero, conocida como función constante. En este caso, f en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora. Efraín Soto A.

32 1. Clasificación y transformación de funciones 7 Por ejemplo, si nosotros asignamos =, la máquina siempre nos devolverá el valor a 0. Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a. Por eso no los transforma. Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de f () no cambia: f () a 0 f () = a Observa que la función no involucra a la literal, pues los valores que nos devolverá f no dependen de ninguna manera de los valores que nosotros le vayamos dando. También es una buena idea notar que la gráfica de esta función corta al eje vertical (y ) en y = a 0. Esto es obvio, puesto que f () siempre es igual a a 0, independientemente del valor del que nosotros asignemos. En particular, cuando = 0, y = f ( ) = a 0. Por eso la ordenada al origen de esta función es el punto (0,a 0 ). Funciones escalonadas Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la sección??, página 6, se eplica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos. Peso (gr) Importe ($) Peso (gr) Importe ($) 0 < p < p < p < p < p < p < p < p < p < p Al graficar los datos de la tabla obtenemos la siguiente gráfica escalonada: Efraín Soto A.

33 8 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES 70 I ($) p (gr) En el ejemplo mencionado se eplica por qué esta relación sí es una función. Además, se trata de una función escalonada. Ejemplo 1 Grafica la función piso, que se denota por: y =, y que se define como sigue: = mayor entero Por ejemplo, π = 3, porque 3 es el número entero más grande que es menor que π = 5, porque 5 es el número entero más grande que es menor que 6. Considerando que e = , entonces, e =. sin 45 o = 0, porque sin 45 o = cos 30 o = 0, porque cos 30 o = Observa que la función piso solamente ignora los decimales del número y lo deja como un entero. Otra forma de definir la función es: «es la función que trunca todos los dígitos a la derecha del punto decimal del número». La gráfica de esta función es la siguiente: Efraín Soto A.

34 1. Clasificación y transformación de funciones 9 7 y Puedes justificar por qué está definida en el punto (k,k + 0.5) (k ) a partir de la definición? Otra función escalonada es la función cielo que se denota por f () =, y que se define por: = menor entero Por ejemplo π = 4, porque 4 es el menor número entero que es mayor que π. Se te queda como ejercicio elaborar la gráfica de esta función. Funciones compuestas La composición de funciones se puede interpretar de dos maneras distintas. (a) Suma de dos o más funciones diferentes para obtener una nueva función. (b) Sustituir una función en otra función para obtener una nueva función. Considera la función: y = + como una función compuesta y muestra sus funciones componentes, es decir, sus distintas partes. Ejemplo La función y = + está compuesta como la suma de las funciones: f 1 () = f () = El dominio de la función f 1 es el conjunto de todos los números reales El dominio de la función f es el conjunto de los números reales no negativos. Efraín Soto A.

35 30 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Entonces, el dominio de la función compuesta: es 0, con. y = f 1 ( ) + f ( ) = + Observa que tomamos la intersección de los dominios de las funciones f 1 y f, porque, por ejemplo, si = 5, la función f 1 sí puede transformar este valor, es decir, = 5 sí está en el dominio de f 1, pero no está en el dominio de f porque 5 /. En este sentido, una función polinomial y = a 0 + a 1 + a + a a n n es una función compuesta cuyas funciones componentes son los monomios: a 0, a 1, a, a 3 3,, a n n En el siguiente capítulo veremos por qué el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales. Esto se debe a que el dominio de cada una de las funciones elementales tiene el mismo dominio:. Para el caso (b), primero vamos a dar la definición de la operación composición de funciones. Definición 1 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean y = f () y y = g () dos funciones. La composición de f en g, denotado por f g = f (g ()) se obtiene sustituyendo la epresión que le corresponde a g en f. Considera las funciones: Ejemplo 3 f () = y g () = + 1 Calcula f g. Para calcular f g basta sustituir g en f y simplificar la epresión, si es posible: 7(g ()) + 1 f g = f (g ()) = (g ()) + 1 = 7( + 1) + 1 ( + 1) + 1 = Con esta definición de composición de funciones, podemos enunciar una propiedad de las funciones inversas: Comentario Propiedad de simetría de las funciones inversas Sean f y g funciones inversas. Entonces, f g = f (g ()) = y g f = g (f ()) = Ejemplo 4 En la página 4 se muestra que f () = 3 tiene por función inversa a la función g () = 3. Verifica que cumplen con la propiedad antes mencionada. Efraín Soto A.

36 1. Clasificación y transformación de funciones 31 Vamos a verificarlo sustituyendo de acuerdo a como se menciona en la propiedad: f g = f (g ()) = g () 3 = 3 3 = 1/3 3 = g f = g (f ()) = 3 f ( ) = 3 3 = 3 1/3 = Entonces, estas funciones si satisfacen esa condición. En la lista de ejercicios se te pide que verifiques que las funciones que se estudiaron en la sección anterior (??) cumplen con la propiedad de simetría de las funciones inversas. Para las siguientes funciones, indica si se trata de una de las funciones especiales que se estudiaron en esta sección. En caso afirmativo, grafícala. Ejercicios ) f () = 1 ) f () = 0 3) f () = 1 4) f () = No 5) f () = 5 6) = No 7) f () = + 1 8) f () = 9) f () = 0 si < 0 si 0 No 10) f () = 0 si < 0 1 si 0 11) f () = + No 1) f () = 3 No 13) f () = ) f () = 15) f () = 1 16) Encuentra (o inventa) 3 aplicaciones prácticas (comercio, industria, etc.) de las funciones escalonadas. Grafica cada función y calcula su dominio y contradominio. 17) De los ejemplos que se resolvieron en la sección?? verifica que cada función y su inversa cumplen con la condición de simetría. Obviamente, el último ejemplo no requieres hacerlo. 18) De la lista de ejercicios de la sección?? verifica que cada función y su inversa cumplen con la condición de simetría. En caso necesario grafíca ambas funciones: tanto a f como a f 1. Efraín Soto A.

37 3 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Efraín Soto A.

38 1.3 Graficación de funciones GRAFICACIÓN DE FUNCIONES La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máimo, etc. Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de en la función y calcular los valores correspondientes para y, ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave. En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo. El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa. Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos. Por ejemplo, cuando queremos saber si la población de una especie en peligro de etinción va a salir de esa denominación: «en peligro de etinción», debemos estudiar cómo se comporta el modelo matemático (que en este caso en una función que nos dice cuántos individuos de esa población habrá dependiendo del tiempo). No nos interesa saber cuántos habrá en diez o veinte años, sino si crecerá lo suficiente como para que ya no corra el peligro de etinguirse. Grafica la función: y =. Ejemplo 5 La gráfica de esta función es inmediata. Esta función, estrictamente hablando, no transforma los valores de que le damos. En palabras dice: el mismo valor que me des de, se lo asignaré a la variable y, sin hacerle ningún cambio. En realidad no requerimos tabular distintos valores de y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45 con ambos ejes: 3 y y = En la gráfica se observa claramente que a cada valor de le corresponde un valor de y. En este caso y =, que es como se definió la función. Efraín Soto A.

39 34 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES Encuentra el dominio y el contradominio de esta función. Recuerda que esta función es polinomial. Ejemplo 6 Grafica la función: y = + 1. La gráfica de esta función es hermana de la anterior. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de le sumaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y. De nuevo, no requerimos tabular distintos valores de y calcular los valores de y. La gráfica de esta función forma un ángulo de 45 con ambos ejes, como la anterior, pero ahora no pasa por el origen del sistema de coordenadas: y = y y = La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = ) les sumo 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = una unidad hacia arriba y obtengo la gráfica de la función y = + 1. Ejemplo 7 Grafica la función: y = 1. La gráfica de esta función es hermana de las dos anteriores. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de le restaré 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y. Como la gráfica anterior, ésta no pasa por el origen del sistema de coordenadas. La gráfica de la función fue trasladada en una unidad también, pero ahora hacia abajo: Efraín Soto A.

40 1.3 Graficación de funciones 35 y = y y = y = La gráfica en palabras nos dice: A los antiguos valores de y (de la función y = ) les resto 1; en otras palabras, estoy moviendo la gráfica de la función y = una unidad hacia abajo y obtendo la gráfica de la función y = 1. A partir de estos tres ejemplos tú fácilmente puedes graficar la función y = + k, donde k es un número real. TRANSLACIÓN VERTICAL Si a la gráfica de la función y = f () la trasladamos verticalmente k unidades, obtenemos la gráfica de la función y = f () + k. Definición Ahora veremos una nueva transformación. Grafica la función: y =. Ejemplo 8 La gráfica de esta función es hermana de las anteriores. Esta función, en palabras dice: al valor que me des de lo multiplicaré por, y ese valor se lo asignaré a la variable y. Efraín Soto A.

41 36 CHAPTER 1. RELACIONES Y FUNCIONES 4 3 y y = y = Al comparar las dos gráficas, vemos que la transformación consistió en aumentar al doble las alturas de los puntos de la gráfica de la función. Ejemplo 9 Grafica la función: y = 1. La gráfica de esta función es el reflejo de la función y = respecto a la función y =. Esta función, en palabras dice: «al valor que me des de lo multiplicaré por 1, y ese valor se lo asignaré a la variable y». Efraín Soto A.