APROXIMACIÒN A LA SOLUCIÒN DE UNA ECUACION INTEGRAL BIVARIADA Y SU APLICACIÒN A UN PROBLEMA DE FINANZAS.

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1 APROXIMACIÒN A LA SOLUCIÒN DE UNA ECUACION INTEGRAL BIVARIADA Y SU APLICACIÒN A UN PROBLEMA DE FINANZAS. F. J. Domínguez Mota, S. Mendoza Armenta, J. G. Tinoco Ruiz. F.C.F.M. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. jtinoco@umich.mx. C. G. Pacheco-González, Departamento de Matemáticas, CINVESTAV-IPN. Resumen La distribución de los montos de reclamaciones agregadas obedece una ecuación integral del tipo Volterra en dos dimensiones cuya solución analítica es desconocida. Se pueden obtener aproximaciones a la solución mediante simulación estocástica, pero los resultados se obtienen solo en puntos escogidos y de manera lenta. En este artículo mostramos una alternativa de aproximación de la solución que da resultados satisfactorios tanto en tiempo de ejecución, como en la cantidad de puntos en que se obtiene. Palabras clave: Monto de Reclamaciones Acumuladas, Integración Numérica, Ecuaciones Integrales, Mallas lógicamente rectangulares. Introducción El modelo clásico para el monto de reclamaciones agregadas en una compañía de seguros está dado por la siguiente suma aleatoria donde es una sucesión de variables aleatorias positivas independientes idénticamente distribuidas, que representan el monto de la reclamación y es un proceso de renovación, i.e. con una sucesión de variables aleatorias independientes positivas idénticamente distribuidas llamadas usualmente tiempos entre llegadas (representan el tiempo entre reclamaciones). Convenimos en que, para i.e. antes del primer salto el proceso es 0. El modelo (1) es bien conocido, y tiene una gran variedad de aplicaciones; para un estudio más extenso se consultar (Asmussen, 2003), (T. Rolski, 1999). Esta suma aleatoria pertenece a una clase general de sumas aleatorias conocida como caminatas aleatorias a tiempo continuo (CTRW), ver (Scalas, 2005), (Whitt, 2002). Existe una vasta literatura para esta clase de procesos, y cuando los intervalos de tiempo entre llegadas están distribuidos exponencialmente, el proceso es simplemente un proceso de Poisson compuesto. Debido a las propiedades de renovación del proceso, es posible derivar una ecuación integral para la densidad de los CTRW (E. Scalas, 2004). Tal ecuación es en general de tipo Volterra, y es posible resolverla numéricamente por procesos estándar. Existen numerosos trabajos que hablan del tratamiento numérico de la solución (Atkinson, 1997)(Cheney, 2001)(H. Brunner, 1986)(Brunner, 1989). Otros trabajos (1) (2)

2 relacionados son (Thorin O., 1970) (Thorin O., 1973), donde se estudian las llamadas probabilidades de ruina por medio de una ecuación integral de Thorin. Otro modelo popular similar a (1) es el monto de reclamaciones agregadas descontadas, el cual toma en cuenta el valor presente del flujo de efectivo. El modelo está dado por Donde está definido por (2), (tiempos de llegada), igual que en el caso no descontado y es la tasa de interés a tiempo continuo. Aunque el proceso descontado (3) ha sido estudiado también, no se ha dicho mucho acerca de la distribución de. Existe interés por estudiar tal proceso, ya que representa el valor presente del flujo de efectivo el cual se vuelve aleatorio con el tiempo. Se puede demostrar que existe una ecuación integral en dos dimensiones del tipo Volterra para. El principal problema para su resolución es que el dominio de integración no es rectangular; en este artículo proponemos un método numérico para aproximar su solución. Las ecuaciones integrales. El escribir la deducción de las ecuaciones integrales que satisfacen las distribuciones (1) y (3) cae fuera de nuestro objetivo. Nos limitaremos entonces a enunciarlas, el lector interesado puede consultar (E. Scalas, 2004). Para el caso no descontado, denotemos (4) Y con y las funciones de densidad de, respectivamente. La función Para y. satisface la ecuación integral de tipo Volterra en dos dimensiones: (5) En este trabajo, consideramos el caso especial y, i.e. el proceso es un proceso de Poisson compuesto con saltos exponenciales. Entonces podemos sustituir las probabilidades en (5) para obtener (6) Resolver analíticamente esta ecuación integral no es tarea fácil, por lo tanto parece natural recurrir al uso de métodos numéricos. (3) Ahora, en el caso con descuento (3), denotamos ecuación integral en dos variables satisfecha por es La (7)

3 El caso especial de nuestro interés, se obtiene considerando que, y conduce a la ecuación integral y (8) Método numérico para las ecuaciones integrales Primero que nada, debemos notar que el caso sin descuento es un caso especial del caso descontado cuando el interés es nulo y por eso nos avocaremos a la solución numérica de (8). Nuestra meta es obtener aproximaciones al valor de en una cantidad finita de puntos. Para y fijas, la integral que aparece en el lado derecho está calculada sobre un dominio no rectangular (a menos que ), limitado por las rectas, y la curva (Fig. 1). Si se quiere aproximar el valor de en este punto, se necesita una aproximación a la integral. La estrategia tradicional es superponer una malla rectangular; sin embargo, esto ocasionará la pérdida de una buena cantidad de información correspondiente a los rectángulos que no están totalmente contenidos en la región. Además, esto conllevará el realizar todos los cálculos nuevamente cada vez que cambiemos los valores de y, debido a que la curva que limita la región de integración por la parte superior es distinta para cada uno de ellos (Fig. 2). Figura 1 Figura 2 Para disminuir este tipo de error, aproximaremos nuestra región de integración usando una malla lógicamente rectangular; esto es, una colección de cuadriláteros convexos que no se traslapan, que aproximan la región y que pueden ser identificados por dos índices, los cuales nos indican cuales son sus vecinos de manera automática. Dicho de otra manera: una malla lógicamente rectangular se puede caracterizar por medio de una colección de puntos tal que los conjuntos describen la aproximación a la frontera de la región. El cuadrilátero es aquél cuyos vértices son. Para una discusión más completa consultar (P. Barrera- Sánchez, ) donde también se trata el tema de generación de estas mallas en regiones complicadas. En este trabajo, la malla ocupada es muy simple.

4 Figura 3 Tomamos la partición uniforme del intervalo : ; de manera similar el intervalo lo dividimos uniformemente:. Los puntos de nuestra malla serán donde los son las ordenadas sobre la curva correspondientes a los valores de ; es decir,. De esta manera se aproxima mucho mejor la región de integración (Fig. 3) y se tienen solo curvas bajo las cuales hay que realizar la cuadratura numérica. Pasamos ahora a la parte de la cuadratura. Aquí se utilizará la fórmula de cuadratura más simple: el integrando en cada celda se considera constante. En nuestro caso, el valor que usaremos será el de la esquina superior derecha. Nuestro procedimiento se puede modificar para incluir otras fórmulas de cuadratura más precisas. Así pues, para cada punto de la malla, la integral correspondiente se aproxima por donde es la aproximación al valor de, ; el área de la celda es y. Haciendo la sustitución de esta aproximación en (8), obtenemos la expresión de la cual podemos obtener explícitamente (9) El superíndice de la suma significa que se toman todos los valores para de la fórmula anterior, excepto el correspondiente a ; es decir, se extrajo el último término. Esta última expresión nos proporciona la aproximación requerida en el punto una vez que conocemos las aproximaciones correspondientes a los valores

5 con índices menores o iguales; claramente se conocen los valores correspondientes a ( ) y ( ) que son, respectivamente y. Para obtener los restantes aplicaremos (9) haciendo un barrido por capas, ya sea horizontales o verticales. Resultados Numéricos. En esta sección, aplicamos el método numérico antes descrito para resolver las ecuaciones integrales (6) y (8). Escribimos un código en MATLAB para realizar los cálculos. En la tabla 1. Mostramos los resultados obtenidos para con los parámetros en la ecuación (6); esto es, en el caso sin descuento. Corresponden a una malla sobre la región tomando una partición de subintervalos de igual longitud en cada eje. Cabe mencionar que los resultados se muestran en nodos específicos, aunque el método los proporciona para todos los nodos de la malla. Para verificar los valores obtenidos, adicionalmente se obtuvieron estimaciones para sobre los nodos de la Tabla 1. Por medio de simulación. Esto es, se corrieron 100,000 trayectorias del proceso con,y se calcularon las proporciones para } y. Los resultados se muestran en la Tabla 2 y son comparables a los de la Tabla 1. Similarmente en la Tabla 3, presentamos los resultados obtenidos numéricamente para la ecuación (8), con para una malla con y en la Tabla 4, los correspondientes al Método de Simulación para los mismos nodos. Finalmente, los datos que se muestran en la Tabla 5 se obtienen con nuestro método para

6 Conclusiones y trabajo futuro Como podemos observar, los resultados obtenidos numéricamente son muy similares a los obtenidos por simulación, sin que haya una manera de precisar cuales son mejores. Algunas ventajas de nuestro método son: Nuestro acercamiento es completamente elemental. Con el enfoque numérico, se pueden obtener valores para muchos más puntos que con el de simulación, a saber todos los nodos de la malla, sin esfuerzo extra. Si se requiere obtener aproximaciones para puntos que no estén en la malla, se pueden obtener por interpolación. Es fácil obtener resultados más precisos ya sea refinando la malla o usando una fórmula de cuadratura de mayor orden. Este acercamiento es mucho más rápido que el de simulación. Se plantea continuar el trabajo para las ecuaciones integrales que resulten de considerar otras distribuciones e incursionar en áreas similares, por ejemplo el de la Teoría de Ruinas. Referencias S. Asmussen, Applied Probability and Queues. Springer, K. E. Atkinson, The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge University Press, P. Barrera-Sánchez, F. J. Domínguez-Mota, G. González-Flores, and J. G. Tinoco- Ruiz. Generating quality structured convex grids on irregular regions. Electronic transactions on Numerical Analysis. Volume 34 ( ). pp H. Brunner and J.P. Kauthen, The numerical solution of two-dimensional Volterra integral equations by collocation and iterated collocation, IMA Journal of Numerical Analysis, , H, Brunner and P.J. van der Houwen, The numerical solution of Volterra equations, CWI Monographs, North-Holland, W. Cheney, Analysis for Applied Mathematics. Springer, T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, and J. Teugels, Stochastic Processes for Insurance and Finance. John Wiley, & Sons, E. Scalas, Five Years of Continuous-time Random Walks in Econophysics. Economic Working Paper Archive EconWPA, E. Scalas, R. Gorenflo, and F. Mainardi, Uncoupled continuous-time random walks: Solution and limiting behavior of the master equation. Physical Review E, 69, , O. Thorin, Some remarks on the ruin problem. Scand. Act. J., O. Thorin and N., Wikstad, Numerical evaluation of the ruin probabilities for a finite period. Austin Bulletin 7, , W. Whitt, Stochastic-Processes Limits. Springer, 2002.