Aplicaciones a Flujo de calor en estado estacionario.

Transcripción

1 Universidad de oriente Núcleo de Bolívar Unidad de Cursos Básicos Matemática IV Aplicaciones a Flujo de calor en estado estacionario. Profesor: Realizado por: Cristian Castillo Ana Ron C.I Yasser Bolívar C.I Antonio Azrak C.I Ciudad Bolívar, Marzo de 2010

2 Aplicaciones a Flujo de calor en estado estacionario Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como se muestra en la figura. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50 C y 100 C, respectivamente. Todo punto entre la región A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75 ; en el plano E a 90 C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varía con el tiempo, decimos que prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario. Figura 1 Como otro ejemplo considere un tubo de material uniforme, cuyo corte seccional aparece en la figura. Suponga que la parte exterior se mantiene 80 C y la interna a 40 C. Habrá una superficie (línea punteada) en la cual cada punto estará a 60 C. Sin embargo, esta no está en la mitad entre las superficies interna y externa. Líneas paralelas a A (figura 1) se llaman líneas isotérmicas. La curva punteada de la figura 2 es una curva isotérmica. Los planos correspondientes de la fig. 1 y los cilindros dela fig. 2 se llaman superficies isotérmicas. En el caso general, las curvas isotérmicas no serán líneas o círculos, como en

3 la figura 1 o 2, pero pueden ser una familia de curvas como se muestra en la figura 3 (curvas punteadas). Las trayectorias ortogonales de la familia se llaman líneas de flujo. figura 2 Figura 3 Considere pequeñas porciones de dos superficies isotérmicas contiguas (figura 4) separadas por una distancia asuma que la temperatura correspondiente a la superficie S, es, y la correspondiente a es. Llame la diferencia de temperatura =. Experimentalmente se encuentra que la cantidad de calor que fluye de a por unidad área y por unidad de tiempo es aproximadamente proporcional a / La aproximación llega a ser más precisa a medida que (y desde luego ) se hace más pequeño. En el caso limite a medida que, / lo cual se llama gradiente de U (tasa de cambio de U en la dirección normal a la superficie o curva isotérmica). Si H es la cantidad de flujo de calor por unidad de área y unidad de tiempo, tomamos como nuestra ley física: ó H= si deseamos considerar a U como una cantidad vectorial(teniendo dirección y magnitud), nuestro razonamiento es el siguiente. Considere como positiva la dirección de S, a. Si

4 du/dn es positiva, entonces U aumenta y, por tanto debemos tener. Así el calor realmente fluye de a (de mayor a menor temperatura); esto es, el flujo de calor está en la dirección negativa. Similarmente, si du/dn es negativa, U disminuye,, y el flujo es de S, a ; esto es, el flujo de calor puede tenerse en cuenta por un signo menos en (1); esto es, (2) La cantidad de calor por unidad de tiempo que fluye a través de un área A esta dada por (3) La anterior constante de proporcional depende del material usado y se lama la conductividad térmica. La cantidad de calor se expresa en calorías en el sistema cgs, y en unidades térmicas británicas, Btu, en el sistema pls.

5 Problemas 1.- Un tubo largo de acero, de conductividad térmica unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 200 C y la superficie exterior se mantiene a 50 C. a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia del eje común de los cilindros concéntricos. b) Encuentren la temperatura cuando. Formulación matemática: Es claro que las superficies isotérmicas son cilindros concéntricos con los cilindros dados. El área de tal superficie con radio y longitud 1 es. La distancia dn en este caso es d. Así, la ecuación (3) puede escribirse Puesto que = 0.15 tenemos (4) (5) En esta ecuación, es por supuesto una constante. Las condiciones son (6) Solución Separando las variables en (5) e integrando se obtiene (7) Usando las condiciones (6), tenemos, de donde obtenemos Por tanto, de (7) encontramos (8) Si encontramos por sustitución que

6 2.- Un tubo largo de acero, de conductividad térmica unidades cgs, tiene un radio interior de 20 cm y un radio exterior de 30 cm. La superficie exterior se mantiene a 400 C y la superficie interior a 100 C. a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia del eje común de los cilindros concéntricos. b) Encuentren la temperatura cuando. Si, tenemos Las condiciones son: Separamos variables e integramos: Usando las condiciones y aplicando el método de eliminación, tenemos:,, Y obtenemos que: Los resultados obtenidos los sustituimos en la ecuación:

7 Si encontramos por sustitución que