Matemáticas en el Antiguo Egipto

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Francisco Javier Serrano Muñoz
hace 6 años
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1 Matemáticas en el Antiguo Egipto Carlos Maza Gómez 1

3 Índice 1. El marco geográfico El río Nilo.. 23 La inundación 26 El entorno geográfico. 33 Conclusiones El marco administrativo. La figura del faraón 47 La naturaleza divina del faraón.. 49 La primera crisis 56 El faraón como buen pastor El faraón como héroe victorioso 62 Las propiedades del faraón. 65 La función ejecutiva del gobierno faraónico.. 72 La importancia del escriba. 80 Conclusiones El marco económico Las fuentes.. 93 El modelo redistributivo. 95 Los templos en el modelo redistributivo 99 El comercio con el exterior 104 La iniciativa privada La adquisición de mercancías. 122 Conclusiones

4 4. Cuantificar y medir. 135 Las primeras escrituras numéricas. 137 Los símbolos jeroglíficos y su significado Características del sistema egipcio de numeración. 146 Los símbolos hieráticos El problema de la medida La medida de la longitud 157 Medida de superficies. 166 Medida de capacidad El trueque y las operaciones aritméticas 179 Primeros casos de trueque Medidas de peso y precio Suma y resta de cantidades. 191 Otras medidas del precio 198 El préstamo Superficie de campos y fiscalidad Necesidad de la agrimensura Naturaleza y estado de la tierra Forma y extensión de los campos La producción de los campos. 226 Los papiros Rhind y Moscú 227 Multiplicación y división de números naturales. 231 El área del rectángulo. 240 El área del triángulo Otros problemas de rectángulos y triángulos. 248 El área del trapecio y el trapezoide 253 El área del círculo El área de una semiesfera

5 7. Suma de fracciones en la contabilidad Los papiros de Abusir. 273 Empleo de fracciones en la Contabilidad La organización del trabajo 283 La noción y representación de la fracción Necesidad de la suma de fracciones El Rollo de Cuero La construcción de la suma de fracciones Aplicaciones de la suma de fracciones Los números auxiliares rojos El Recto del Papiro Rhind El reparto de raciones. 329 La fracción 2/3 338 El reparto y las familias de fracciones 348 Criterios de elección de la descomposición en 352 fracciones Familias de 2/5 y 2/ Procedimiento de multiplicación por un múltiplo común. 360 Generalización numérica del reparto Los repartos entre diez Reparto de grano por fracciones de Horus El reparto desigual Raciones desiguales 379 Los salarios del templo de Illahun Reparto desigual en Deir el Medineh. 393 Problemas de pensar una cantidad Repartos en progresión

6 Aritmética generalizada Fabricación del pan y la cerveza. 419 En la panadería Determinación del pesu Cambio de panes y cervezas de distinto pesu. 433 Cambio por varias clases de pan y cerveza Cálculo sobre graneros y pirámides Forma y tamaño de los graneros. 451 Los graneros de base rectangular Los graneros de base circular. 463 Aplicaciones a problemas de construcción 467 La pendiente de las pirámides 473 El tronco de pirámide Proporcionalidad geométrica en el arte. 497 Escalas en la construcción La pintura egipcia El canon y las proporciones 512 Variaciones en el Imperio Nuevo Canon y metrología 524 Bibliografía

7 Introducción Numerosos restos arqueológicos se levantan aún a orillas del Nilo, en tierra egipcia. Son sólo una parte de los que encontraron los hombres a lo largo de los siglos anteriores: Los persas de Cambises, los griegos de Alejandro, los romanos, cristianos, los árabes mahometanos, turcos, la expedición napoleónica... Con todos ellos se fue deteriorando el legado que había dejado la antigua civilización egipcia, tan prolongada en el tiempo. Qué queda de ellos finalmente? Algunos grandes templos y pirámides de piedra que resisten en su monumentalidad el paso de los siglos, estelas de piedra, estatuas, pequeños objetos cotidianos, algunos escasos papiros. Como decían los propios egipcios en un canto de arpista, Una generación pasa; otra permanece, desde el tiempo de los antepasados. Los dioses que existieron antes y que reposan en sus pirámides, los nobles glorificados que igualmente fueron enterrados en sus pirámides, los que construyeron los templos, sus lugares [ya] no existen qué se ha hecho de ellos? 1 7

8 Precisamente la labor de los estudiosos sobre la vida de Egipto y sus conocimientos es la de recuperar e interpretar el legado que nos dejaron en sus monumentos, en sus estelas y papiros. En el terreno de las Matemáticas el mundo egipcio no ha sido explorado con asiduidad. En castellano apenas se dispone de algunas pocas obras divulgativas que, con todo el respeto que merece cualquier intento de aumentar el conocimiento del lector, no parecen suficiente para el nivel e interés que está alcanzando la Egiptología en España. Los libros generales sobre Historia de las Matemáticas no muestran, con contadas excepciones, un gran interés por los desarrollos conseguidos por culturas anteriores a la griega, por lo que dedican pocas aunque interesantes páginas a Egipto 2. Sea porque las Matemáticas en Egipto se estudian dentro del marco más amplio de la Antigüedad 3 o porque se adopte un deliberado estilo divulgativo que excluye la profundización 4, lo cierto es que finalmente no se dispone en castellano de una obra amplia y específica sobre esta temática. Como se dice habitualmente del tratamiento de la economía egipcia, los egiptólogos no son expertos en estos campos tan específicos (Economía, Matemáticas) y los matemáticos no son más que egiptólogos aficionados, en el mejor de los casos. Esta división del conocimiento engendra una casi invencible pobreza en el momento de analizar 8

9 las Matemáticas construidas por la civilización egipcia. Los egiptólogos (de nuevo con excepciones: Peet 5, Robins 6, Gillings 7, entre otros) son poco capaces de profundizar en las relaciones matemáticas y en su interrelación con la construcción de este tipo de conocimientos mientras que los matemáticos tienden a centrarse en el desarrollo de su propia ciencia aislándola de todo contexto social, económico, religioso y cultural en el sentido más amplio. Este libro tiene dos propósitos fundamentales y, consiguientemente, dos aportaciones que hacer. El primero es el de proporcionar al lector español un texto amplio y lo más riguroso posible de los logros principales alcanzados por los escribas egipcios al emplear instrumentos y procedimientos matemáticos. El segundo objetivo es el de profundizar en la estrecha relación propia de aquella cultura entre las necesidades económicas del antiguo Egipto y las Matemáticas utilizadas que, en no pocos casos, sería imposible entender de forma cabal sin apelar al contexto económico en el que nacen. Para cumplir estos dos propósitos el libro tiene una estructura determinada. Tras un análisis esquemático de los tres marcos (geográfico, administrativo y económico) que tienen una mayor incidencia en la construcción de las Matemáticas egipcias, los restantes capítulos exponen los diversos aspectos matemáticos en relación a las 9

10 necesidades económicas que tratan de resolver. De esta forma, el cálculo de áreas está ligado a la medida de los campos inundados por el Nilo, las operaciones aritméticas elementales y la presencia de fracciones se estudian en relación a las actividades contables y fiscales que muestran los distintos papiros encontrados, el cálculo de volúmenes aparece imbricado en los problemas generados por la capacidad de los graneros, por la construcción de los monumentos, la proporcionalidad geométrica se muestra en la construcción de un canon artístico para la pintura y la escultura. En todo el desarrollo del libro es conveniente observar que, en lo que respecta a la cronología, se ha seguido a Serrano 8, mientras que el texto de los problemas encontrados en los distintos papiros matemáticos es una traducción de la reciente versión de Clagett 9. Se suele caracterizar a menudo la matemática egipcia como empírica (surgida de la experiencia) y la estructura y enfoque de esta obra parece favorecer esta interpretación. Es indudable (y espero que se observe así a lo largo de sus páginas) que los conocimientos matemáticos surgen efectivamente en la resolución de problemas prácticos de la vida económica y administrativa de la época. En ese sentido el contexto es un elemento esencial para la comprensión de la actividad matemática del escriba egipcio. Pero diversos procedimientos y problemas que el escriba plantea 10

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