TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA

Transcripción

1 ESCUEA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TEECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POITÉCNICA DE VAENCIA ANTENAS de abril de 009 Problema Una agrupación está formada por tres dipolos de brazo H = λ/4 colineales alimentados en paralelo, tal y como se muestra en la figura. a distancia de separación entre los dipolos es d = 0, 75 λ. a impedancia de entrada de cada dipolo aislado es de 75 + j4 Ω. Suponga de momento que los dipolos están desacoplados y que la corriente a la entrada de todos ellos es la misma (I = I = I. a Calcule el campo radiado por la antena. ( puntos b Represente los cortes en plano E y en plano H del diagrama de radiación de la antena. ( puntos c Calcule la directividad de la antena. ( puntos Impedancia mútua entre dipolos colineales H = λ/4 I 0 5 d 0 5 Re{z } Im{z } I in I 0 H 5 0 I d/λ Considere ahora el acoplo entre los diplos, valiéndose de la gráfica de la impedancia mútua de dos dipolos colineales con H = λ/4. d Calcule el cociente I /I e I /I. ( puntos e Obtenga una expresión para el nuevo factor de agrupación y comente brevemente cómo cree que se modificará el diagrama de radiación con respecto al caso en que no había acoplo entre los dipolos. ( puntos

2 Problema Considere un diagrama de campo de tipo omnidirecional en un plano y sectorial en cualquier plano ortogonal al omnidireccional. Tal diagrama se expresa como { π, d (θ = θc θ π + θc 0, resto a Obtenga la expresión de la directividad en función de θ c. Aproxime la expresión obtenida por otra más sencilla válida para θ c pequeños ( puntos b Se desea sintetizar un diagrama sectorial parecido al anterior y para ello se utiliza un hilo de corriente de longitud. a distribución de corriente por el hilo es de la forma I (z = +e j π z +e j π z. Obtenga las transformada F (u de cada uno de los tres términos de la distribución de corriente por separado. Represéntelos gráficamente en función de u. NOTA: No tome módulo al hacer dicha representación. ( puntos c Obtenga la transformada suma de las tres anteriores. Represéntela gráficamente de forma aproximada en función de u. No tome módulo. Obtenga una expresión para el θ c del diagrama sintetizado en función de.( puntos d Obtenga el ancho de haz θ c cuando = 0λ. Dibuje el diagrama de radiación. Determine la directividad aproximadamente. ( puntos e Calcule la longitud efectiva máxima de la distribución de corriente asumiendo que el punto de alimentación del hilo está en el centro del hilo, z = 0. ( puntos

3 Solución al Problema a El campo radiado por la antena será el producto del campo radiado por un dipolo de brazo H = λ/4 por el factor de agrupación de una agrupación uniforme broadside: E = E H=λ/4 F A Tomaremos como referencia la corriente de la antena central (I, supondremos que los dipolos están alineados con el eje z, y que la antena central está en el origen de coordenadas. De esta forma: Finalmente: E H=λ/4 = j60 I r F A(Ψ z = sin ( Ψ z ( sin ψz ( cos π e jkr cos θ sin θ Ψ z = k z d = π 0, 75λ cos θ =, 5π cos θ λ E = j60 I r cos ( π sin θ cos θ sin ( 9π 4 cos θ sin ( θe jkr π ˆθ 4 cos b Suponiendo que los dipolos están alineados en el eje z, tanto el diagrama del dipolo como el de la agrupación son omnidireccionales en el plano XY, y el campo eléctrico en ese plano está polarizado según ẑ. Por tanto el plano E es cualquier plano en el que ϕ sea constante (por ejemplo el plano XZ o el Y Z, y el plano H es el plano XY. Primero obtendremos el diagrama del la agrupación, sabiendo que se trata de una agrupación uniforme de N = elementos con α = 0 y d = 0, 75λ. Es decir, que Ψ z =, 5π cos θ. En la figura se muestra la obtención de dicho diagrama mediante el método gráfico. F A(Ψ z ˆθ π -π π π 0 π π π π Ψ z = kd cos θ + α α kd α α + kd θ = π θ = 0 z Figura : Obtención del diagrama de la agrupación mediante el método gráfico El diagrama total será el producto de los diagramas del dipolo y el de la agrupación, como se muestra en la figura.

4 Dipolo H = λ/4 Agrupación Producto z z z Plano E y y y Plano H x x x Tabla : Cortes plano E y plano H del diagrama de la antena c D = E max η 4πr W r E max = E λ/4,max F A max = 60 I r W r = Re{Z in } I in = 7 I n=0 D = 60 I r 0π 4πr = 4, 9 = 6, 9 db 7 I d a relación entre tensiones y corrientes en los tres dipolos la proporcionan los parámetros de impedancias, de tal forma que podemos escribir: V = Z I + Z I + Z I V = Z I + Z I + Z I V = Z I + Z I + Z I Como los tres dipolos están en alimentados en paralelo, las tensiones de alimentación son iguales (V = V = V. Por otro lado los tres dipolos son idénticos y por tanto su autoimpendacia es la misma (Z = Z = Z. Además la influencia mútua entre el primer y el segundo dipolo es la misma que entre el segundo y el tercero, ya que están separados la misma distancia (Z = Z. Finalmente, sabemos por el teorema de reciprocidad que Z = Z y Z = Z. Con todos estos datos podemos reescribir el sistema de ecuaciones anterior de la siguiente forma: V = Z I + Z I + Z I ( V = Z I + Z I + Z I = Z (I + I + Z I ( V = Z I + Z I + Z I ( Igualando los dos valores de V de las ecuaciones ( y ( obtenemos:

5 V = Z I + Z I + Z I = Z I + Z I + Z I Z I + Z I = Z I + Z I (Z Z I = (Z Z I I = I I I = Igualando ahora los dos valores de V en las ecuaciones ( y ( y sustituyendo I = I se obtiene: V = (Z + Z I + Z I = Z I + Z I (Z Z I = ( Z Z Z I I I = Z Z Z Z Z Mirando en la gráfica de las impedancias mútuas de dipolos colineales de H = λ/4 para separaciones de d/λ = 0, 75 y d/λ =, 5 podemos determinar el valor de Z y Z respectivamente: Z = j 8 Ω Z = Ω Por otro lado sabemos que Z = 7 + j4 Ω. Con todo ello: I = Z Z Z 7 + j59 = =, 06 ej0,07 I Z Z 7 + j5 e Antes el factor de agrupación era: F A(Ψ z = sin ( Ψ z ( sin ψz O también: F A(Ψ z = e jψz + + e jψz = + cos(ψ z dado que todas las corrientes eran iguales. Ahora el nuevo factor de agrupación será (recordemos que hemos tomado I como corriente de referencia: donde Ψ z =, 5π cos θ. F A(Ψ z = F A(Ψ z = I I e jψz + I I + I I e jψz, 06 e j0, e jψz ejψz, 06 ej0,07 F A(Ψ z = 0, 94 e j0,07 e jψz + + 0, 94 e j0,07 e jψz F A(Ψ z = 0, 94 e j0,07 + cos(ψ z El efecto del acoplo sobre el diagrama de radiación será muy débil ya que la nueva distribución es casi idéntica a la anterior. No obstante se aprecia que la distribución ya no es totalmente uniforme (lo cuál ensanchará ligeramente el lóbulo principal y disminuirá ligeramente el NPS, y por otro lado aparece un ligero error de fase no lineal que al igual que en el caso de las bocinas producirá relleno de nulos, ensanchamiento del lóbulo principal y disminuición del NPS, pero todo en un grado muy ligero.

6 Solución al problema a a directividad de un diagrama dado se puede calcular mediante 4π D =. En el caso particular que se plantea la expresión queda como D max ππ max 0 0 t ( θ φ π θc, senθdθdφ 4π = = π θc + θ c sen θc π senθdθ b as transformadas de cada uno de los términos que componen la corriente son para I ( z =, ( sen u F u =, siendo u = k u z π j z para I ( z = e, ( π j z para I ( z = e, ( ( u+ sen F u = u+ ( u sen F u = u π, siendo u ' = = π. Fsuma 0.8 F F F u/π c a figura anterior muestra la transformada suma de las tres calculadas en el apartado anterior. Como se puede ver, el lóbulo principal está entre π y π.

7 Para obtener una expresión del ancho de haz entre ceros observamos que λ u = π = k cosθc. Despejando θ c, θc = cos. El ancho de haz entre ceros es π θc = θc d El diagrama de radiación es suma ( ( sen F u θ θ. Sin embargo, despreciaremos el término senθ por tratarse de un diagrama muy directivo. a contribución de la transformada se obtiene a partir de F ( suma u usando el método gráfico. El margen visible, MV, es: k, k = [ 0 π,0π ] a gráfica muestra el diagrama polar normalizado Con la expresión obtenida en el apartado anterior obtenemos el ancho de haz entre ceros =.5º. θ c 80 0 a directividad se puede obtener de forma aproximada a partir de la expresión deducida en a: 0 0 D max = = 0 0 db θ c ( e a longitud efectiva máxima se calcula de forma sencilla mediante π lef máx = I( z dz cos z dz I 0 = + = (