Tema 2: Modelos probabilísticos de series

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1 Tema 2: Modelos probabilísticos de

2 Tema 2: Modelos probabilísticos de

3 Definición Un proceso estocástico con conjunto de índices T es una colección de variables aleatorias {X t } t T sobre (Ω, A, P) y que toma valores en (S, S). T Espacio Temporal S Espacio de Estados Proceso estocástico en tiempo discreto T = Z ó N 0 Proceso estocástico en tiempo continuo T = R, T = [0, ) ó T = [a, b], 0 < a < b <

4 Si fijamos ω y dejamos variable t trayectoria: t T X t (ω) X t t

5 Definición Llamaremos función de medias de {X t } t T a la aplicación t T µ t = E[X t ]. Llamaremos función de varianzas a la aplicación t T σt 2 = Var[X t ].

6 Definición Llamaremos función de autocovarianzas del proceso {X t } t T a la aplicación (t 1, t 2 ) T T γ t1,t 2 = Cov(X t1, X t2 ) = E[(X t1 µ t1 )(X t2 µ t2 )]. Llamaremos función de autocorrelación a la aplicación (t 1, t 2 ) T T ρ t1,t 2 = γ t 1,t 2. σ 2 t1 σ2 t2

7 Consideremos {X t } t T un proceso estocástico con E[X 2 t ] <. Definición Diremos que {X t } t T es estrictamente estacionario si verifica la condición de que las distribuciones conjuntas de (X t1, X t2,..., X tn ) y (X t1+h, X t2+h,..., X tn+h) coinciden para todo h > 0 y para n 1, t i, t i+h {0, ±1, ±2...}, i = 1,..., n.

8 Definición Diremos que {X t } t T es estacionario de primer orden o en media, si µ t no depende de t. Definición Diremos que {X t } t T es estacionario de segundo orden o débilmente estacionario si verifica: i) la función de medias es constante ii) la función de autocovarianzas tiene la propiedad de que γ t,t+h es independiente de t para cada h, o equivalentemente γ s,t = γ s+h,t+h, para todo t, s, t + h, t + s {0, ±1, ±2,...}.

9 Para procesos : γ h = γ t,t+h y ρ h = γ h /γ 0 el valor de la función de autocovarianzas y autocorrelación, respectivamente, en el retardo h.

10 Ejemplo Proceso puramente aleatorio: {X t } t T i.i.d. Paseo aleatorio: {S t } t T : S 0 = 0, S t = t j=1 X j

11 Propiedades de de autocovarianzas y autocorelación 1 γ Las funciones de autocovarianzas y autocorrelación son simétricas respecto al cero. 3 ρ 0 = 1. 4 ρ h 1. 5 Tanto la función de autocovarianzas como la de autocorrelación son funciones definido no negativas.

12 la media Definición La media muestral de {X 1, X 2,..., X n } es: Propiedades: X n = 1 n Estimador insesgado de µ n X t. t=1 Si γ h 0 cuando h, el error cuadrático medio de X n tiende a cero, cuando n. El proceso es ergódico para la media

13 la función de autocovarianzas y autocorrelación Definición La función de autocovarianzas muestral o estimada es: γ h = 1 n n h (X t+ h X n )(X t X n ), n < h < n. t=1 La función de autocorrelación muestral o estimada es: ρ h = γ h γ 0, n < h < n.

14 Propiedades: Para h 0, γ h es aproximadamente igual a la covarianza muestral de los n h pares de observaciones (X 1, X 1+h ), (X 2, X 2+h ),..., (X n h, X n ). La matriz de autocovarianzas muestral, Γ n = ( γ i j ) n i,j=1, es siempre definido no negativa. También lo es R n = ( ρ i j ) n i,j=1. Tamaño muestral n de al menos 50 observaciones y ˆρ h es un buen estimador para valores de h no mayores de n/4. Las funciones de autocorrelación y autocovarianzas muestrales pueden ser calculadas sobre cualquier conjunto de datos.

15 Ejemplo: Población mayores de 16 años (INE) miles autocorrelaciones retardos

16 Ejemplo: Ingresos y pagos por turismo (INE) miles de euros 1 e+06 2 e+06 3 e+06 4 e+06 5 e autocorrelaciones retardos

17 Definición Un proceso de, denotado habitualmente como {Z t } t T, es un proceso estocástico con las siguientes propiedades: E[Z t ] = 0 para todo t = 0, ±1,... Var[Z t ] = σ 2 < para todo t = 0, ±1,... Cov[Z t, Z t+h ] = 0 h = ±1, ±2,...

18 Ejemplo Extraemos con reemplazamiento una bola de una urna que contiene 5 bolas idénticas en forma y peso enumeradas del 1 al 5 y consideramos la sucesión de valores Y i = X i 3, siendo X i al valor observado en la bola obtenida en la i-ésima extracción.

19 Proposición Sea {Z t } t T un proceso de formado por variables independientes y ρ h = (ˆρ 1,..., ˆρ h ). Entonces n 1/2 ρ h d Z, cuando n, donde Z sigue una distribución Normal multivariante de media 0= (0, h veces..., 0) y matriz de covarianzas I, con I matriz identidad de orden h.

20 Ejemplo: Proceso puramente aleatorio simulado autocorrelaciones retardos

21 Definición Un proceso {X t } t T es un proceso lineal si puede ser representado como: X t = j= Ψ j Z t j para todo t = 0, ±1,..., donde {Z t } t T es un (de media cero y varianza σ 2 ) y {Ψ j } j= es una sucesión de constantes reales que verifica j= Ψ j <.

22 Ejemplo Sea {X t } t T un proceso estocástico que satisface las ecuaciones X t = φx t 1 + Z t, t = 0, ±1,... donde {Z t } t T es un proceso de y φ < 1. Este proceso es llamado proceso autorregresivo de orden 1, y lo denotaremos AR(1). X t = φ j Z t j, j=0 φ j <. j=0

23 Operador de retardo El operador de retardo B aplicado a una variable X t se define como BX t = X t 1. En general B k X t = X t k. El operador de retardo es lineal, i.e. B(aX t + by t ) = ax t 1 + by t 1. B puede manejarse como si fuera una cantidad algebraica cualquiera (B 0 = Id).

24 Proposición Sea {Y t } t T un proceso estacionario con media 0 y función de autocovarianzas γ Y. Si j= Ψ j <, entonces el proceso X t = j= Ψ j Y t j = Ψ(B)Y t es estacionario con media cero y función de autocovarianzas γ X (h) = j= k= Ψ j Ψ k γ Y (h + k j).

25 Proposición En el caso especial de que {X t } t T sea un proceso lineal, γ X (h) = σ 2 j= Ψ j Ψ j+h.

26 Dados filtros de la forma α(b) = j= α j B j y β(b) = j= β j B j con coeficientes absolutamente sumables pueden ser aplicados sucesivamente a una serie estacionaria {Y t } t T para generar una nueva serie estacionaria {W t } t T donde W t = ψ(b)y t ψ(b) = α(b)β(b) = β(b)α(b) ψ j = k= α k β j k = k= β k α j k. (1) El orden de la aplicación de los filtros no afecta al resultado (1).

27 Ejemplo X t = φx t 1 + Z t, t = 0, ±1,... donde {Z t } t T es un proceso de y φ < 1. X t = j=0 φj Z t j γ X (h) = φ j φ j+h σ 2 = φ h σ 2 /(1 φ 2 ). j=0

28 Proposición Si {X t } t T es un proceso lineal de media µ, i.e. X t µ = j= ψ j Z t j con j= Ψ j 0 y {Z t } t T un proceso puramente aleatorio de media cero, entonces n 1/2 X n µ ν 1/2 d Z, cuando n, con Z siguiendo una distribución Normal estándar y siendo ν = h= γ h.

29 Si además el proceso es gaussiano, la distribución exacta de X n para cada n, ( n ( n 1/2 ( X n µ) N 0, 1 h ) ) γ h. n h= n

30 Proposición Sea {X t } t T un proceso lineal con j= ψ2 j j < y {Z t } t T un proceso puramente aleatorio de media cero y ρ h = ( ρ 1,..., ρ h ). Entonces n 1/2 ρ h d Z, cuando n, con Z siguiendo una N(ρ h, W), donde ρ h = (ρ 1,..., ρ h ) y W es la matriz de covarianzas, cuyos elementos vienen dados por la fórmula de Bartlett.

31 Fórmula de Bartlett: w ij = k= [ρ k+i ρ k+j +ρ k i ρ k+j +2ρ i ρ j ρ 2 k 2ρ i ρ k ρ k+j 2ρ j ρ k ρ k+i ]. De donde se sigue que, Var(ˆρ h ) 1 n (ρ k+h + ρ k h 2ρ h ρ k ) 2 k=1 Cov(ˆρ h, ˆρ h+s ) 1 (ρ k+h + ρ k h 2ρ h ρ k )(ρ k+h+s + ρ n k (h+s) 2ρ h+s ρ k ) k=1

32 terminista X t = A cos(ωt) + B sin(ωt) donde ω (0, π) es constante y A y B son variables aleatorias incorreladas de media 0 y varianza σ 2. X t = (2 cos(ω))x t 1 X t 2.

33 Teorema Si {X t } t T es un proceso estacionario no determinista, entonces, para todo t T, X t = Ψ j Z t j + V t, i) Ψ 0 = 1 y j=0 Ψ2 j <, j=0 ii) {Z t } t T es un proceso de iii) Cov(Z s, V t ) = 0 para todo s y t, iv) Z t es el límite de combinaciones de X s, s t, y v) {V t } t T es un proceso determinista.