Programación por Restricciones

Transcripción

1 Programación por Pontificia Universidad Javeriana 20 agosto 2008

2 RESTRICCIONES DE DOMINIO FINITO

3 Contenido

4 Definión: Un, o CSP, siste en una restricción C sobre variables x 1,..., x n y un dominio D que asigna cada variable x i a un junto finito valores, escrito D(x i ). El CSP siste entonces en resolver la restricción C x 1 D(x 1 )... x n D(x n ). Estos problemas son importantes ya que puen ser usados para molar problemas combinatorios, tales como programación horarios e inventarios, inteligencia artificial, procesamiento imágenes y visión computarizada.

5 CSPs Ejemplo 1: El problema coloración mapas sisten en colorear las diferentes regiones un mapa particular un número limitado colores, sujeto a la dición que dos regiones adyacentes no puen tener el mismo color. Consire el mapa Australia en la siguiente figura y los colores azul, rojo y amarillo. Western Australia Northern Territory Queensland South Australia New South Wales Victoria Tasmania

6 CSPs Cada región es asociada a una variable, WA, NT, SA, Q, NSW, V y T, y ntro l dominio {rojo, amarillo, azul}. La siguiente restricción captura la propiedad que regiones adyacentes no puen ser coloreadas el mismo color: WA NT WA SA NT SA NT Q SA Q SA NSW SA V Q NSW NSW V

7 CSPs Ejemplo 2: El problema las N-reinas sisten en colocar N reinas en un tablero ajedrez N N, tal que ninguna reina pueda capturar a otra reina. Consire el problema las 4-reinas, don la i-ésima reina se asocia a dos variables, F i y C i, las cuales son la fila y la columna don están acomodadas. El dominio cada variable es {1, 2, 3, 4}.

8 CSPs Una posible solución a este problema es mostrada es la siguiente figura:

9 CSPs La restricción F 1 F 2 F 1 F 3 F 1 F 4 F 2 F 3 F 2 F 4 F 3 F 4 asegura que ningún par reinas puen estar en la misma fila, la restricción C 1 C 2 C 1 C 3 C 1 C 4 C 2 C 3 C 2 C 4 C 3 C 4 asegura que ningún par reinas puen estar en la misma columna.

10 CSPs Las restricciones C 1 F 1 C 2 F 2 C 1 F 1 C 3 F 3 C 1 F 1 C 4 F 4 C 2 F 2 C 3 F 3 C 2 F 2 C 4 F 4 C 3 F 3 C 4 F 4, y C 1 + F 1 C 2 + F 2 C 1 + F 1 C 3 + F 3 C 1 + F 1 C 4 + F 4 C 2 + F 2 C 3 + F 3 C 2 + F 2 C 4 + F 4 C 3 + F 3 C 4 + F 4 forzan a que ningún par reinas estén en la misma diagonal.

11 CSPs Ejemplo 3: El problema l matrimonio a la antigua sisten en aparear un junto hombres y mujeres, tal que cada pareja se guste. Consire el problema un junto hombres {kim, pedro, bernardo}, un junto mujeres {nicole, maria, erika}, y una relación interés finida como el junto parejas {(kim, nicole), (kim, maria), (kim, erika), (pedro, maria), (bernardo, nicole), (bernardo, maria), (bernardo, erika)}

12 CSPs kim pedro bernardo nicole maria erika Este problema pue ser scrito usando una restricción que utilice tres variables X nicole, X maria, X erika las cuales representan el hombre elegido para nicole, maria y erika, respectivamente.

13 CSPs Cada variable tiene el dominio {kim, pedro, bernardo} y la restricción es interes(x nicole, nicole) interes(x maria, maria) interes(x erika, erika) X nicole X maria X nicole X erika X maria X erika Una solución a este problema es {X nicole kim, X maria pedro, X erika bernardo}

14 CSPs Las investigaciones han estado orientadas a CSPs binarios, es cir, CSPs don las restricciones primitivas tienen máximo dos variables. El problema coloración mapas y el matrimonio a la antigua son ejemplos CSPs binarios.

15 CSPs Las investigaciones han estado orientadas a CSPs binarios, es cir, CSPs don las restricciones primitivas tienen máximo dos variables. El problema coloración mapas y el matrimonio a la antigua son ejemplos CSPs binarios. Una característica agradable los CSPs binarios es que puen ser representados como grafos no dirigidos.

16 CSPs Las investigaciones han estado orientadas a CSPs binarios, es cir, CSPs don las restricciones primitivas tienen máximo dos variables. El problema coloración mapas y el matrimonio a la antigua son ejemplos CSPs binarios. Una característica agradable los CSPs binarios es que puen ser representados como grafos no dirigidos. Cada variable es representada por un nodo; una restricción unaria sobre una variable es representada por un lazo, etiquetada el nombre la restricción; y una restricción binaria sobre dos variables es representada por una arista entre los nodos correspondientes a las variables y etiquetada también el nombre la restricción.

17 CSPs El grafo que representa el CSP l ejemplo 1 es: NT Q WA SA V NSW T

18 Cómo Resolver un CSP? Los CSP son problemas NP-completos, por lo que NO puen existir solvers completos y eficientes para CSP arbitrarios. Sin embargo, entrar una solución por fuerza bruta ( la cual siempre es posible terminar la satisfacibilidad un CSP) es la más ineficiente todas las soluciones.

19 La ia esta técnica es terminar la satisfacibilidad un CSP escogiendo una variable, luego una valor en su dominio, terminando la satisfacibilidad la restricción que resulta reemplazar dicha variable dicho valor. Ejemplo: Consire el CSP la restricción X < Y Y < Z y las variables X, Y, Z el dominio {1, 2}.

20 Primero se escoge una variable en la restricción: digamos X. El algoritmo itera entonces en el dominio X : {1, 2}. Se toma el valor 1 y se reemplaza X dando la restricción 1 < Y Y < Z Luego un llamado recursivo es hecho al algoritmo tomando otra variable: digamos Y (esto es posible ya que la restricción dada es parcialmente satisfacible). El algoritmo itera ahora sobre el dominio Y : {1, 2}. Se toma el valor 1 y se reemplaza Y dando la restricción 1 < 1 1 < Z

21 La restricción resultante no es parcialmente satisfacible ya que 1 < 1 es insatisfacible. Por lo anterior, en la siguiente iteración se toma el valor 2 y se reemplaza Y obteniendo la restricción 1 < 2 2 < Z Como esta restricción SI es parcialmente satisfacible, se llama recursivamente el algoritmo dicha restricción.

22 En el segundo llamado recursivo la variable Z es escogida. Se toma el valor 1 su dominio y se reemplaza Z dando 1 < 2 2 < 1 que no es parcialmente satisfacible, por lo que en la siguiente iteración se toma el valor 2 y se tiene 1 < 2 2 < 2 De nuevo, esta no es parcialmente satisfacible, luego el segundo llamado recursivo retorna false.

23 Como los dos valores Y fueron escogidos, el primer llamado recursivo también retorna false. Entonces el llamado original al algoritmo toma el segundo valor l dominio X : 2, reemplazándolo y dando como resultado 2 < Y Y < Z Luego se llama recursivamente el algoritmo, cuyo resultado será false ya que ninguno los dos valores Y producen una restricción parcialmente satisfacible. De alĺı, el llamado original retorna false, indicando que la restricción original es insatisfacible.

24 El árbol búsqueda los llamados recursivos es el siguiente: 1 < Y < Y < Z X < Y < Y < Z X = 1 X = 2 2 < Y < Y < Z Y = 1 Y = 2 Y = 1 Y = 2 false 1 < 2 2 < Z false false < Z = 1 Z = 2 false false

25 El ejemplo anterior muestra que el backtracking solver es muy ineficiente (en el peor los casos será exponencial). Cada variable escogida termina un árbol búsqueda diferente. Un buen heurístico es escoger la variable más restringida primera, lo que daría un árbol más pequeño.

26 s Basados en Otras técnicas para resolver CSPs son basadas en observación dominios: si el dominio alguna variable es vacío entonces la restricción es insatisfacible. Estos solvers son incompletos pero tienen una complejidad polinomial.

27 s Basados en La ia es transformar el CSP en otro equivalente (don las restricciones tienen el mismo junto soluciones) pero en el cual los dominios las variables sean más pequeños. Si alguno los dominios llega a ser vacío entonces este nuevo CSP, y por lo tanto el original, serán insatisfacibles. Estos solvers trabajan tomando cada restricción primitiva y usándola para eliminar valores l dominio las variables involucradas que no la satisfagan.

28 s Basados en Los solvers se dicen que son basados en sistencia cuando propagan la información eliminación los valores los dominios una variable a otra hasta que los dominios sean sistentes la restricción. Estos solvers puen ser combinados backtracking para bajar la complejidad y aumentar la completitud.

29 Dominios Definición: Un dominio es un dominio falso si alguna variable en el dominio tiene dominio vacío: x D(x) = Un dominio es un dominio valuación si todas las variables tienen asociado un dominio tamaño 1: x. D(x) = 1 La función satisfiable(c, D) toma una restricción C y un dominio valuación D y retorna true o false indicando si C es satisfacible o no bajo esa valuación.

30 Dominios Ejemplo: Consire las variables X, Y, Z. D 1 (X ) = {1, 2}, D 1 (Y ) = {1, 2}, D 1 (Z) =. D 2 (X ) = {1}, D 2 (Y ) = {2}, D 2 (Z) = {1}. C : X < Y Y < Z D 1 es un dominio falso. D 2 es un dominio valuación. satisfiable(c, D) es false.

31 Nodo Definición: Una restricción primitiva c es nodo sistente el dominio D si vars(c) 1, ó vars(c) = {x} y para cada d D(x), {x d} es una solución c. Un CSP restricción c 1... c n y dominio D es nodo sistente si cada restricción primitiva c i es nodo sistente D para 1 i n.

32 Arco Definición: Una restricción primitiva c es arco sistente el dominio D si vars(c) 2, ó vars(c) = {x, y}, d x D(x). d y D(y) : {x d x, y d y } es una solución c, y d y D(y). d x D(x) : {x d x, y d y } es una solución c. Un CSP restricción c 1... c n y dominio D es arco sistente si cada restricción primitiva c i es arco sistente D para 1 i n.

33 Ejemplos Los CSP en los ejemplos coloración mapas y N-reinas son nodo sistentes, bido a que no tienen restricciones que envuelvan solo a una variable.

34 Ejemplos Los CSP en los ejemplos coloración mapas y N-reinas son nodo sistentes, bido a que no tienen restricciones que envuelvan solo a una variable. El CSP l ejemplo coloración mapas es arco sistente bido a que para cada color en el dominio la primera variable en la sigualdad hay un color diferente al color en el dominio la segunda variable, y viceversa.

35 Ejemplos Los CSP en los ejemplos coloración mapas y N-reinas son nodo sistentes, bido a que no tienen restricciones que envuelvan solo a una variable. El CSP l ejemplo coloración mapas es arco sistente bido a que para cada color en el dominio la primera variable en la sigualdad hay un color diferente al color en el dominio la segunda variable, y viceversa. Si modificamos el problema coloración mapas tal manera que existan solo dos colores, entonces se vuelve insatisfacible. Sin embargo, se mantiene la arco sistencia, mostrándose que un CSP binario pue ser insatisfacible incluso cuando es nodo y arco sistente.

36 Algoritmo Nodo Para trasformar un CSP en uno equivalente el cual es nodo sistente se sigue el siguiente algoritmo: x es una variable; C es una restricción; D es un dominio; c 1,..., c n son restricciones primitivas; d es un valor dominio. no sistent(c, D) sea C la forma c 1,..., c n for i := 1 to n do D := no sistent primitive(c i, D) endfor return D no sistent primitive(c, D) if vars(c) = 1 then sea {x} = vars(c) D(x) := {d D(x) {x d} es una solución c} endif return D

37 Algoritmo Arco Para trasformar un CSP en uno equivalente el cual es arco sistente se sigue el siguiente algoritmo: arc sistent(c, D) sea C la forma c 1,..., c n repeat W := D for i := 1 to n do D := arc sistent primitive(c i, D) endfor until W D return D arc sistent primitive(c, D) if vars(c) = 2 then sea {x, y} = vars(c) D(x) := {d x D(x) para algún d y D(y), {x d x, y d y } es una solución c} D(y) := {d y D(y) para algún d x D(x), {x d x, y d y } es una solución c} endif return D

38 Algoritmo Incompleto Se puen emplear los algoritmos arco y nodo sistencia para crear un solver incompleto que termina si un CSP es satisfacible: C es una restricción; D es un dominio. arc solver(c, D) D := no arc sistent(c, D) if D es un dominio falso then return false elseif D es un dominio valuación then return satisfiable(c, D) else return unknown endif no arc sistent(c, D) D := no sistent(c, D) D := arc sistent(c, D) return D

39 Algoritmo Completo Sin embargo, los algoritmos nodo y arco sistencia también puen ser combinados el algoritmo backtracking para obtener un solver completo: back arc solver(c, D) D := no arc sistent(c, D) if D es un dominio falso then return false elseif D es un dominio valuación then if satisfiable(c, D) then return D else return false endif endif escoja una variable x tal que D(x) 2 for each d D(x) D 1 := back arc solv(c x = d, D) if D 1 false then return D 1 endif endfor return false

40 Cómo Molar y Resolver CSPs Eficientemente? El molamiento es el corazón la programación restricciones ya que mediante este proceso el problema es especificado en términos restricciones que puen ser manejadas por el solver. Para sacar partido l molado restricciones dominio finito normalmente se restringen y se distribuyen las variables combinando el solver backtracking. La clave está en la estrategia propagación y exploración que reduce el espacio búsqueda.

41 Reglas Propagación Dado un rango para cada variable en una restricción primitiva, se puen iar métodos eficientes para calcular un nuevo rango para cada variable en la restricción el cual es sistente la restricción. Ejemplo: Consire la restricción X = Y + Z. Escribiendo la restricción en tres formas: Y = X + Z, Z = X + Y, X = Y + Z

42 Reglas Propagación Razonando acerca l mínimo y máximo valor los lados rechos, se pue ver que X min D (Y ) + min D (Z), Y min D (X ) max D (Z), X max D (Y ) + max D (Z), Y max D (X ) min D (Z), Z min D (X ) max D (Y ), Z max D (X ) min D (Y ). De las sigualdas anteriores se puen rivar reglas simples para asegurar la sistencia que usa las restricciones actuales cada variable modo que se puedan calcular los valores los lados rechos las expresiones, y puedan usarse para actualizar los máximos y mínimos l dominio cada variable.

43 Reglas Propagación Dado el dominio D(X ) = [4.,8], D(Y ) = [0.,3], D(Z) = [2.,2] se pue terminar que 2 X 5, 2 Y 6, 1 Z 8. Por lo tanto, se puen actualizar los dominios a D(X ) = [4.,5], D(Y ) = [2.,3], D(Z) = [2.,2] sin eliminar alguna solución la restricción.

44 Reglas Propagación Ejemplo: Consire la restricción 4W + 3P + 2C 9 Se pue reescribir en tres formas: W P 2 4 C, P W 2 3 C, C 9 2 2W 3 2 P

45 Reglas Propagación Así se obtienen las sigualdas W min D(P) 2 4 min D(C), P min D(W ) 2 3 min D(C), C 9 2 2min D(W ) 3 2 min D(P)

46 Reglas Propagación Dado el dominio inicial D(W ) = [0.,9], D(P) = [0.,9], D(C) = [0.,9] se pue terminar que W 9 4, P 9 4, y C 9 2. Usando las reglas propagación, se actualiza el dominio a D(W ) = [0.,2], D(P) = [0.,3], D(C) = [0.,4]

47 Dominios y Exploración Consire el problema resolver la ecuación cripto-aritmética S E N D + M O R E = M O N E Y don cada letra representa un dígito diferente.

48 Dominios y Exploración Este problema es molado el siguiente programa proc {Money Root} S E N D M O R Y in Root = sol(s:s e:e n:n d:d m:m o:o r:r y:y) Root ::: 0#9 {FD.distinct Root} S \=: 0 M \=: *S + 100*E + 10*N + D *M + 100*O + 10*R + E =: 10000*M *O + 100*N + 10*E + Y {FD.distribute ff Root} end

49 Dominios y Exploración El programa se ejecuta la siguiente manera. Después la claración el dominio es D(S) = [0.,9], D(E) = [0.,9], D(N) = [0.,9], D(D) = [0.,9], D(M) = [0.,9], D(O) = [0.,9], D(R) = [0.,9], D(Y ) = [0.,9] Agregando las restricciones S = 0 y M = 0 se reduce el dominio quedando D(S) = [1.,9], D(M) = [1.,9]

50 Dominios y Exploración La restricción FD.distinct agrega las sigualdas S E, S N, S D,..., R Y al store restricciones. Simplificando la ecuación original, el solver resolverá la ecuación 1000S + 91E + D + 10R = 9000M + 900O + 90N + Y

51 Dominios y Exploración Una las reglas propagación para la restricción anterior es basada en la sigualdad M 1 9 max D(S) max D(E) max D(D) max D(R) min D(O) min D(N) min D(Y )

52 Dominios y Exploración Dados los dominios actuales, esto implica que M = 1,102 Luego, D(M) es actualizado a [1.,1]. De la propagación (usando la restricción S M) se obtiene D(S) = [2.,9].

53 Dominios y Exploración La siguiente regla propagación se basa en la sigualdad S 9min D (M) min D(O) min D(N) min D(Y ) max D(E) max D(D) max D(R) y es usada el dominio actual para inferir que S 8,082.

54 Dominios y Exploración Luego la propagación fija D(S) a [9.,9]. También se obtiene (usando la restricción S E) que D(E) es [0.,8]. Y igual manera los dominios N, D, O, R, Y son [0.,8]. La propagación tinúa hasta obtener los siguientes dominios: D(S) = [9.,9], D(E) = [4.,7], D(N) = [5.,8], D(D) = [2.,8], D(M) = [1.,1], D(O) = [0.,0], D(R) = [2.,8], D(Y ) = [2.,8]

55 Dominios y Exploración Dado que solo tres las variables tienen valores fijos (aunque las otras variables tienen un dominio disminuído) el solver no pue terminar si el store restricciones es satisfacible o no. Para garantizar que se encuentre una solución válida se usa la exploración Básicamente, la función exploración es buscar en el dominio inicial cada variable fijando la variable a cada uno los valores 0 a 9 (backtracking). Las variables son probadas en el orn en que fueron pasadas a la exploración.

56 Dominios y Exploración La primera variable a ser asignada es S. Se prueba el primer valor l dominio inicial: 0. Este causará una falla ya que la restricción S = 0 es insistente el dominio actual S. El siguiente valor es probado: 1. Este también causa una falla. De la misma manera, los otros valores llevarán a falla hasta llegar a S = 9, el cual es sistente.

57 Dominios y Exploración Ahora la exploración trata entrar un valor para E. Primero se agrega E = 0, el cual falla. Se tinúa probando valores hasta E = 4. Por propagación se reduce D(N) a [5.,5] y D(R) a [8.,8], y se encuentra una falla ya que la variable Dno tiene un valor posible. Entonces se elimina la restricción E = 4 y se toma el siguiente valor, agregando la restricción E = 5. El proceso propagación termina entonces que N = 6, R = 8, D = 7 y Y = 2.

58 Distribución Para muchos problemas, la mayor parte l tiempo ejecución ocurre durante la ejecución la exploración. Amás, para muchos programas, la eficiencia es sinónimo eficiencia en la exploración. La estrategia distribución para reducir el espacio búsqueda y llegar a una solución rápido radica en: el orn en que las variables son exploradas, y el orn en que los valores una variable son explorados.

59 Distribución Orn las Variables Alterar el orn en las cuales las variables son exploradas pue tener un efecto dramático en el tamaño l árbol búsqueda. Un heurístico es pasar a la exploración primero aquellas variables que tengan el dominio más pequeño (variables más restrigidas).

60 Distribución Ejemplo: En el programa, cuando se va a llamar a la exploración, el rango los dominios es D(S) = [9.,9], D(E) = [4.,7], D(N) = [5.,8], D(D) = [2.,8], D(M) = [1.,1], D(O) = [0.,0], D(R) = [2.,8], D(Y ) = [2.,8]. Como las variables S, M y O tiene dominios tamaño 1, éstas variables ben ser exploradas primero. Principio la primera falla: Para tener éxito, pruebe primero don es más posible fallar

61 Distribución Orn los Valores los Dominios Las diferentes opciones los valores los dominios cambian el orn en el cual son entradas las soluciones y el orn en el cual son exploradas las ramas l árbol búsqueda. Un heurístico es escoger el valor la mitad l dominio cada variable. Combinando el principio la primera falla el heurístico anterior, reduce el espacio búsqueda mucho más.

62 Distribución Dividiendo los Dominios Las estrategias distribución, sin embargo, solo necesitan asegurar que cada variable este restringida a un dominio un solo valor ( manera que un solver incompleto pueda retornar true o false). Otra estrategia es reducir el dominio cada variable, partiendo el dominio actual en dos: por ejemplo los menores y los mayores.

63 Fin la Presentación