SOBRE LA INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LA LLUVIA EN LA MAGNITUD DEL CAUDAL PICO RESUMEN

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1 SOBRE LA INFLUENCIA DE LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LA LLUVIA EN LA MAGNITUD DEL CAUDAL PICO Juan Francisco Weber Laboratorio de Hidráulica, Departamento de Ingeniería Civil, Facultad Regional Córdoba, Universidad Tecnológica Nacional Maestro M. López esq. Cruz Roja Argentina. Ciudad Universitaria - CP (X5016ZAA) - Córdoba Argentina. jweber@civil.frc.utn.edu.ar RESUMEN En este trabajo se presenta un análisis numérico-estadístico que permite cuantificar la influencia que tiene la elección de la distribución temporal de la lámina de lluvia sobre la magnitud del caudal pico del correspondiente hidrograma de crecidas. Para ello se distribuye la lámina total en forma aleatoria, de acuerdo a una función de densidad uniforme, con dos criterios de distribución temporal distintos: distribución temporal aleatoria, y aplicación del Método del Bloque Alterno, considerando las distintas posiciones del pico. A partir de los hietogramas así generados, se procedió luego al cálculo de los hidrogramas de crecida correspondientes. Por su extendido uso, como función de transferencia se utilizó el Hidrograma Unitario del SCS. Se consideró a la lámina a distribuir tanto como lluvia efectiva como lluvia total. En este último caso, como función de pérdidas se utilizó el método CN del SCS y se realizó un análisis de sensibilidad del resultado al valor de CN. Como conclusiones a destacar se pueden citar: la distribución normal o gaussiana de los caudales pico generados, y la relativamente baja dispersión de los mismos, lo cual es de sumo interés en las aplicaciones ingenieriles que sólo requieran como resultado hidrológico la magnitud del caudal pico. Palabras Clave: modelación hidrológica, hietogramas de diseño, SCS, diseño hidrológico [215]

2 INTRODUCCIÓN En numerosas aplicaciones ingenieriles es suficiente conocer el caudal máximo de escurrimiento superficial (caudal pico) asociado a una probabilidad de excedencia determinada, para el diseño de las obras correspondientes. En muchos casos, la ausencia de registros directos de caudales obliga al proyectista a estimar el caudal pico de periodo de retorno T como el resultado de la modelación hidrológica a partir de una lluvia del mismo periodo de retorno. Esta modelación hidrológica incluye usualmente un modelo de pérdidas (infiltración, por ejemplo) y un modelo de producción, habitualmente el Hidrograma Unitario. En la actualidad es cada vez más común obtener la respuesta hidrológica de la cuenca a partir del uso de herramientas informáticas que incluyen estos modelos, como los conocidos programas HEC-HMS del U.S. Army Corps of Engineers (HEC 2000, 2006), SWMM de la U.S. Environmental Protection Agency, entre otros. En cuencas de medianas dimensiones, es habitual distribuir la lámina precipitada en el tiempo, en percentiles (usualmente quintiles o sextiles). Para esto se utilizan diversos métodos, entre ellos el del Bloque Alterno, el método de Chicago, las distribuciones empíricas de Huff, etc. Es claro e indiscutible que dicha distribución afectará en forma directa la respuesta de la cuenca; resulta de interés conocer en qué grado es definitoria, desde el punto de vista de las aplicaciones ingenieriles antes descriptas, la certidumbre acerca de la distribución temporal de la lámina precipitada. Este trabajo pretende plantear la discusión sobre la significación de esta distribución temporal en relación a otras incertezas propias de los modelos hidrológicos utilizados comúnmente en la práctica de la ingeniería. LA DISTRIBUCIÓN TEMPORAL DE LA PRECIPITACIÓN La intensidad de la lluvia presenta gran variabilidad durante la secuencia temporal de una tormenta. Conocer esa distribución en tormentas intensas es muy importante en tópicos hidrológicos tales como escorrentía potencial, erosión de los suelos y física de las lluvias. Constituye, además, el dato esencial de entrada a los modelos lluvia- escorrentía (Caamaño Nelli y Dasso, 2003). Como esa distribución cambia de una tormenta a otra, para caracterizarla se requiere gran número de registros pluviográficos, de donde se puedan deducir unos pocos patrones de comportamiento que permitan su análisis o su uso posterior. La representación gráfica, continua o discreta, de cada uno de esos patrones, se denomina hietograma tipo. El hietograma tipo se expresa mediante la distribución porcentual acumulada del total de lluvia, en función del porcentaje de duración. Es común también representarlo con un patrón adimensional discreto, dividido en percentiles, generalmente cuartiles, quintiles o sextiles, cuya forma, en especial la posición de la moda, es determinante en la de la consecuente crecida (Figura 1). Numerosos autores han propuesto procedimientos para obtener una distribución temporal de la lámina de diseño. Huff (1967) y Pilgrim y Cordery (1975) parten de la observación de numerosas tormentas intensas. Los métodos del bloque alterno y de la intensidad instantánea (Chow et al, 1994) se basan en la relación intensidad-duración-recurrencia para esta distribución. En cualquier caso, las siguientes propiedades deben verificarse en el patrón de distribución elegido: [216]

3 - el paso temporal debe ser constante. Esto facilita su posterior convolución con un hidrograma unitario. - la suma de las láminas parciales obtenidas debe igualar a la lámina total, o bien, en un hietograma adimensional, la suma de las fracciones debe ser igual a 1 Fig.1 Ejemplo de hietograma adimensional EL HIDROGRAMA UNITARIO El hidrograma unitario es la función respuesta ante un pulso unitario para una sistema hidrológico lineal (Chow et al, 1994). Fue propuesto por primera vez por Sherman, en 1932, y se define como el hidrograma de descarga de una cuenca para una lámina de 1 mm (o 1 cm) y para una duración de tormenta dada. Este modelo parte de las siguientes hipótesis: - Se asume intensidad de precipitación constante - el tiempo base del hidrograma de escurrimiento directo, para una duración dada de lluvia, es constante - las ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo son proporcionales a la lámina precipitada - el hidrograma unitario de una cuenca no cambia a lo largo del tiempo Si bien estas restricciones son significativas, el método del hidrograma unitario de Sherman ha mostrado ser una de las herramientas más utilizadas en Hidrología, y en particular en sus aplicaciones ingenieriles. Es fácilmente implementable a través de herramientas informáticas, desde una planilla de cálculo hasta su incorporación en numerosos programas de hidrología superficial, como los conocidos HEC-HMS y SWMM. Partiendo del principio de linealidad, la estimación del hidrograma del escurrimiento directo surge de la convolución lineal de un hidrograma unitario y hietograma seleccionados. Esto es, si Q representa el hidrograma de escurrimiento directo, P el hietograma efectivo, y U el hidrograma unitario, entonces las ordenadas de Q pueden obtenerse como Q n = n M m= 1 P U m n m+ 1 (1) [217]

4 La figura 2 representa gráficamente la aplicación de la ecuación (1). Fig. 2. Obtención del hidrograma de escurrimiento directo a partir del hidrograma unitario (adaptada de Raghunath, 2006) El hidrograma unitario del SCS El hidrograma adimensional del SCS es un hidrograma unitario sintético en el cual el caudal se expresa por la relación entre el caudal Q con respecto al caudal pico Q p y el tiempo por la relación del tiempo t con respecto al tiempo de ocurrencia del pico en el hidrograma unitario, T p. Fig. 3 Hietograma unitario adimensional del SCS [218]

5 Con base en la revisión de un gran número de hidrogramas unitarios, el Soil Conservation Service, en 1972, recomendó que el tiempo de recesión puede aproximarse como 1,67 T p. Del cumplimiento del principio de continuidad, surge la relación que permite estimar el caudal pico Q p (Tucci, 1993): 2.08A Q p = (2) T Donde A es el área de la cuenca en km 2. p EL MÉTODO DE PÉRDIDAS DEL CN -SCS El Soil Conservation Service en 1972 desarrolló un método para calcular las abstracciones iniciales de la precipitación de una tormenta. Para la tormenta como un todo, la precipitación efectiva o escorrentía directa P e es siempre menor o igual a la precipitación P; de manera similar, después de que la escorrentía se inicia, la profundidad adicional de agua retenida en la cuenca F a es menor o igual a una retención potencial máxima S. Existe una cierta cantidad de precipitación I a (abstracción inicial antes del encharcamiento) para la cual no ocurrirá escorrentía, luego la escorrentía potencial es P I a. La Hipótesis del SCS consiste en que las relaciones de las dos cantidades reales y las dos cantidades potenciales son iguales. Fa S = Pe P I a (3) Del principio de continuidad: P = P + I + F (4) e a a Combinando ambas, y resolviendo para P e : P e = P I a P I + S a 2 (5) la cual es la ecuación básica para el cálculo de la precipitación efectiva o escorrentía directa de una tormenta utilizando el método del SCS. La ecuación (5) muestra que el modelo del SCS es un modelo de dos parámetros, S e I a. Al estudiar los resultados obtenidos para muchas cuencas experimentales pequeñas, el propio SCS desarrolló una relación empírica. I a = 0,2 S (6) Con base en esto, el modelo del SCS se transforma en un modelo de un único parámetro S: [219]

6 P e = P 0,2 S P + 0,8 S 2 (7) El número de curva (CN) y S (retención potencial) se relacionan por: S [mm] = 254 (8) CN En simulación de eventos, los valores de CN (y por tanto, de S) deben ajustarse según las condiciones antecedentes de humedad, para la cual el propio SCS provee las siguientes expresiones empíricas: para condiciones secas (AMC I) o condiciones húmedas (AMC III), los números de curva equivalentes pueden calcularse por: CN CN I III 4,2 CN = 10 0,058 II CN II 23 CN = 10+ 0,13 CN II II (9) (10) METODOLOGÍA Generación de hietogramas Con el fin de analizar el impacto de la distribución temporal de la precipitación sobre el caudal pico erogado por una cuenca, se consideraron dos patrones de distribución temporal, denominados A y B. En el patrón A, se analiza la situación extrema en la cual el modelador carece de cualquier tipo de información acerca de dicha distribución. Por tanto, es lógico suponer que una distribución uniformemente aleatoria de la lámina total precipitada entre los percentiles adoptados representa una cota superior en la incertidumbre planteada. El análisis numérico-estadístico se llevó a cabo a través del lenguaje de programación científica GNU Octave (Eaton et al, 2007), el cual permite utilizar una amplia biblioteca de funciones matemático-estadísticas de utilidad en este estudio, además de facilitar la presentación de resultados a través de su interfaz con el programa de graficación GNU Plot (Williams y Kelley, 2010). Para el análisis planteado se consideró distribuir la lámina total de acuerdo a una función de densidad uniforme, en quintiles, según la fórmula: p i = r i 5 j= 1 r j p, i = 1,2,3,4,5 (11) [220]

7 en donde p i es la precipitación en el quintil i, p es la precipitación total a distibuir, y r i es un número pseudo-aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Para su generación, se utilizó el algoritmo de Mersenne Twister (Matsumoto y Nishimura, 1998), un generador uniforme de números pseudoaleatorios 623-dimensionalmente equidistribuido, el que posee un periodo de (aproximadamente ), lo suficientemente extenso para garantizar la no repetibilidad en el marco de este estudio. Como ejemplo se muestra en la Figura 4 un conjunto de 20 hietogramas generados aleatoriamente a partir de la aplicación de la ecuación (11), para una lamina total de 100 mm. Como puede verse, muchas distribuciones incluso pueden parecer inverosímiles y por tanto, no ser seleccionadas por el modelador. En el patrón B, la lámina es distribuida aleatoriamente en quintiles siguiendo el mismo procedimiento que en el patrón A, pero según el ordenamiento indicado por el método del bloque alterno: el quintil de mayor intensidad en una posición determinada (originalmente la central), y luego en forma alternada, a izquierda y a derecha, los bloques de intensidad decreciente. En las Figuras 5 a 9 pueden verse ejemplos de hietogramas generados a partir de este patrón (con distintas posiciones del pico), lo cuales en principio resultarían mas cercanos a una hipotética elección de un modelador. Se consideraron entonces 5 criterios de generación de hietogramas siguiendo el patrón B, de acuerdo a la ubicación del pico (desde el primer al quinto quintil). Se generaron, por cada una de las configuraciones representadas en las figuras 4 a 9, 1000 hietogramas sintéticos (es decir, un total de 6000 hietogramas), todos ellos con una lámina total p = 100 mm. Fig. 4. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm patrón A [221]

8 Fig. 5. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm patrón B pico en el 1º quintil Fig. 6. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm - patrón B pico en el 2º quintil [222]

9 Fig. 7. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm - patrón B pico en el 3º quintil Fig. 8. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm - patrón B pico en el 4º quintil [223]

10 Fig. 9. Ejemplo de hietogramas aleatoriamente generados p = 100 mm - patrón B pico en el 5º quintil RESULTADOS Se consideraron, a los fines del presente estudio, dos situaciones: la precipitación es efectiva: esto es, no existe pérdidas por infitración, retenciones superficiales, etc. a los hietogramas generados aleatoriamente deben descontarse las pérdidas para obtener el hietograma efectivo: para ello se aplicará el método del CN SCS. Generación de hidrogramas A través de la convolución discreta de los 6000 hietogramas generados, con el hidrograma unitario adimensional del SCS (Fig. 3) se generaron los 6000 hidrogramas de crecida correspondientes, asumiendo como parámetros del hidrograma unitario del SCS T p = 1 y Q p = 1 (es decir, se utilizó el hidrograma asimensional en forma directa). Esto no debería afectar la conclusión general ya que los parámetros T p y Q p son sólo un factor de escala lineal en la respuesta del método. El intervalo de tiempo considerado fue de 0,2 T p, es decir, el hidrograma unitario adimensional del SCS constó de 26 ordenadas, y como consecuencia los hidrogramas de crecida generados se definieron sobre 30 ordenadas. Además se asume, en primer término, que sólo existe escurrimiento superficial, esto es, la infiltración y pérdidas iniciales son nulas: toda la precipitación es efectiva. En las figuras 10 a 15 se [224]

11 muestran un subconjunto de 20 hidrogramas para cada distribución de lluvia, de los 1000 obtenidos por el procedimiento indicado. Fig. 10. hidrogramas de crecida - patrón B pico en el 1º quintil Fig. 11. hidrogramas de crecida - patrón B pico en el 2º quintil [225]

12 Fig. 12. hidrogramas de crecida - patrón B pico en el 3º quintil Fig. 13. hidrogramas de crecida - patrón B pico en el 4º quintil [226]

13 Fig. 14. hidrogramas de crecida - patrón B pico en el 5º quintil Fig. 15. hidrogramas de crecida - patrón A [227]

14 Del análisis de las figuras 10 a 15 pueden extraerse algunas conclusiones: como era de esperar, la modificación del hietograma de entrada produce la consecuente modificación del hidrograma de salida. Existe una mayor variabilidad en la respuesta del método ante hietogramas del patrón A (aleatoriedad en la distribución y en la posición del pico) que ante hietogramas del patrón B (posición del pico fija). Existe una mayor variabilidad en la posición del pico del hidrograma de salida ante hietogramas del patrón A Si lo que interesa es sólo la magnitud del caudal pico del hidrograma de salida, la posición temporal del pico no se considera y se observa que los resultados se presentan en un intervalo acotado de incertidumbre. En la figura 16 se presenta el histograma correspondiente a la magnitud del caudal pico obtenido, el que resultó el mismo para cada uno de los 6 tipos de hietogramas de entrada considerados. En estos resultados están contemplados los 1000 hidrogramas sintéticos generados. La primera conclusión a la que se puede arribar es que independientemente de la posición del pico del hietograma, la distribución estadística de la magnitud de los caudales pico obtenidos es la misma, esto es, sólo depende de la magnitud relativa de las fracciones de lámina que componen el hietograma de entrada y no de su distribución temporal. La única distribución estadística así obtenida presenta una ligera asimetría positiva. En la Tabla 1 se presentan los estadísticos significativos de estos resultados. mínim o Tabla 1. Estadísticos de la distribución de caudales pico lluvia efectiva Primer media Tercer máxim medi Desvío asimetr cuartil na cuartil o a estándar ía 84,07 87,35 88,67 90,35 95,05 [228] curtosi s 88,9 7 2,086 0,516-0,352 De los estadísticos indicados en la Tabla 1 surge que, aún considerando el rango máximo de caudales pico obtenidos, el intervalo de incerteza asociado a la elección de la distribución temporal de la precipitación es del ± 6 % alrededor de la media. Influencia del modelo de pérdidas Para evaluar la influencia del método CN-SCS sobre el caudal pico del hidrograma de crecidas, se obtuvo el hietograma efectivo a partir de cada uno de los 6000 hietogramas generados aleatoriamente, en base a valores de CN entre 40 y 100. Luego se aplicó la convolución descripta en el presente capítulo, obteniéndose nuevos hidrogramas de descarga. Como ejemplo se muestran en la Figura 17 a 20, 20 de los 1000 hidrogramas obtenidos para el patrón A de distribución de precipitación, para algunos valores de CN (40, 60, 80 y 100). Lo primero que pudo observarse es que, si bien aumenta la dispersión de los hidrogramas resultado, el intervalo de caudales pico obtenidos sigue acotado. Esto llevó a realizar un análisis estadístico similar al descripto para el caso de ausencia de pérdidas, para cada valor de CN considerado. Los resultados se resumen en la Tabla 2. En la Tabla 3 se muestran los valores máximo y mínimo obtenidos relativos al valor medio, para algunos valores de CN. En ambas tablas el pico del hietograma se encuentra en el primer quintil.

15 Asimismo, en la Figura 21 se muestra la variación de la media, máximo y mínimo del caudal pico obtenido en función del valor de CN, para el patrón A de distribución de lluvia, mientras que en la Figura 22 se grafica el error relativo a la media de los máximos y mínimos, en función de CN, para todos los patrones de distribución de lluvia. Fig. 16. histogramas de caudales pico lluvia efectiva Fig. 17. Hidrogramas obtenidos para el patrón A y CN = 40 [229]

16 Fig. 18. Hidrogramas obtenidos para el patrón A y CN = 60 Fig. 19. Hidrogramas obtenidos para el patrón A y CN = 80 [230]

17 Fig. 20. Hidrogramas obtenidos para el patrón A y CN = 100 Tabla 2. Estadísticos de la distribución de caudales pico en función de CN pico en el primer quintil CN parametro minimo 1,356 7,551 17,504 30,177 45,176 64,437 87,047 primer cuartil 1,361 7,582 17,532 30,453 46,542 67,308 92,939 mediana 1,377 7,633 17,800 31,184 47,810 68,503 93,637 tercer cuartil 1,379 7,725 18,090 31,816 49,001 69,846 94,335 maximo 1,399 7,970 18,364 32,079 49,043 70,114 94,503 media 1,374 7,685 17,850 31,144 47,560 68,127 92,683 desvio estándar 0,016 0,157 0,366 0,833 1,658 2,184 2,839 asimetria 0,174 0,810 0,207-0,026-0,236-0,555-1,202 kurtosis -1,543-1,033-2,000-2,175-1,964-1,414-0,349 Tabla 3. Máximos y mínimos relativos de caudales pico en función de CN pico en el primer quintil CN [231]

18 minimo 98,69% 98,26% 98,06% 96,90% 94,99% 94,58% 93,92% maximo 101,83 % 103,71 % 102,88 % 103,00 % 103,12 % 102,92 % 101,96 % Fig. 21. Caudales pico, mínimo, medio y máximo en función de CN patrón A Fig. 22. Diferencias entre Qp mínimos y máximos con respecto a la media en función de CN. Cada color representa un patrón de distribución de lluvia [232]

19 CONCLUSIONES Se pueden enunciar las siguientes conclusiones: f) ante una lluvia efectiva, la distribución estadística de los caudales pico no depende del ordenamiento asignado a los bloques del hietograma; por el contrario, al aplicar un algoritmo de pérdidas la distribución de caudales pico sí se ve influida por la redistribución del hietograma. g) En cualquier caso, los valores del caudal pico obtenidos se hallan acotados a un intervalo que, para el caso de lluvia efectiva, no excede el ± 6% del valor medio, y en el caso de aplicarse un algoritmo de pérdidas no excede el intervalo (-15% ; +8%) del valor medio. h) Considerando que el mínimo error que se comete en el valor medio del caudal pico, al variar el valor de CN en ± 5, es del 15 % (llegando incluso para valores bajos de CN hasta el 190 %), se considera que en aplicaciones ingenieriles en las que sólo sea necesario conocer la magnitud del caudal pico, resulta de mayor importancia una adecuada selección de CN que una complejización innecesaria en la definición de la distribución temporal de la precipitación, ante la aplicación de la metodología indicada por el SCS. AGRADECIMIENTOS A la Secretaría de Ciencia y Tecnología (UTN) por el apoyo recibido a través del subsidio al Proyecto de Investigación consolidado Caracterización experimental y modelación numérica de los procesos de infiltración, intercepción vegetal e impacto por incendios en cuencas de Córdoba, Código UTI984. BIBLIOGRAFÍA Caamaño Nelli, G., Dasso, C. M. (2003). Lluvias de diseño. Universitas, Córdoba Chow V.T., Maidment R., y Mays L. (1994) Hidrología Aplicada. Mc Graw-Hill. Eaton, J. W., Bateman, D., Hauberg, S. (2007). GNU Octave: a high-level interactive language for numerical computations. HEC. (2000). Hydrologic modeling system HEC HMS: Technical reference manual. Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers. HEC. (2006) Hydrologic modeling system HEC HMS: User s manual (Version 3.1.0). Hydrologic Engineering Center, U.S. Army Corps of Engineers. Huff, F. A. (1967). Time Distribution of Rainfall en Heavy Storms. Water Resources Research, vol. 3, No 4, USA. Matsumoto, M., Nishimura, T. (1998). Mersenne Twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator, ACM Trans. on Modeling and Computer Simulation Vol. 8, No. 1, January pp Pilgrim, D., Cordery, I. (1975). Rainfall Temporal Patterns for Desing Flood. Journal of Hydraulics Division. Amer. Society of Civil Engineering, Vol 101, No Hy1, USA. [233]

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