Les Boques del Cel. 4 cm. 7 cm. 5 cm

Transcripción

1 Les oques del Cel De segur que tenia poders màgics. Aquell cofre d eben amb guarniments de plata l atreia d una manera tal que donaria qualsevol cosa per esbrinar el contingut que el seu mestre, en Claudi Ptolemeu, i guardava zelosament. El moment avia arribat i el cor l amenaçava d escapar-se-li per la boca. En Ptolemeu, per fi, avia acabat la seva feina i es disposava a revelar el misteri. El jove Nemes l apressava parlant sense parar. Sabeu, mestre? Sempre e volgut veure el tresor del cofre. De vegades somniava que em podia fer tan petit que i podia entrar pel pany i, alesores, el món sencer era dins, i corria mil aventures, i... Si us plau, digueu-me què i a dins! En Ptolemeu no es va poder aguantar el riure i, mentre obria el cofre, amb gran solemnitat, li va dir: Aquí tens tot el món: els mars i les terres, els rius i els deserts, les muntanyes i les valls. En Nemes no podia donar crèdit al que veia: un mapa que representava tot el món. Va resseguir el Nil amb el dit i, de sobte, va eclamar: El naiement de la divinitat és tal com diuen els sacerdots: «Trobaràs les oques del Cel més enllà de les Muntanyes de la Lluna.» Però, com eu estat capaç de saber-ne l indret eacte si no eu viatjat mai a aquests llocs? Parlo amb els viatgers, n i a que mesuren els angles amb els quals es veuen alguns estels, cosa que me n dóna la posició eacta: a angles iguals i corresponen distàncies semblants. L altura sobre el costat desigual, que fa cm, d un triangle isòsceles és de 4 cm. Quina mida tindria un triangle semblant si l altura fos de cm? 4 cm cm cm 4 8, cm 4

2 Trigonometria EXERCICIS 00 Calcula les raons trigonomètriques dels angles α i β. a) b) cm β cm 9 cm β 0 cm α α cm 0 cm a) sin α 0 06, sin β 08, cos α 0 08, cos β 06, tg α 0 0, tg β 0, b) sin α 0 069, sin β 9 9 0, cos α 0 0, cos β , tg α 0 09, tg β 0 0, 00 Troba les raons trigonomètriques dels angles: β cm α 6 cm cm sin α 6 086, sin β 6 6 0, cos α 6 0, cos β , tg α 6, tg β 6 09, 00 Raona per què les raons trigonomètriques d un angle no depenen del triangle que escollim. Si les raons no depenen del triangle és perquè són triangles semblants, i el quocient dels seus costats és constant. 4

3 SOLUCIONARI 004 Calcula la resta de raons trigonomètriques mitjançant les relacions que i a entre elles: a) sin α0, b) sin β0 c) cos γ0,4 d) tg δ a) sin α + cos α ( 0, ) + cos α cos α ( 0, ) 09, 09, sin α 0, tg α tg α 0, cos α 09, cos β b) sin β + cos β 0 + cos β cos β cos β sin β tg β 0 cos β c) sin γ + cos γ sin γ + ( 0, 4) sin γ 0,6 0,84 0,9 sin γ 0,9 tg γ tg γ, cos γ 0, 4 d) sin δ + cos δ sin sin δ δ cos δ ( cos δ) + cos δ cos δ cos δ cos δ sin δ cos δ sin δ Hi a cap angle amb sin α0,4 i cos α0,6? Justifica la resposta. sin α+cos α (0,4) + (0,6) 0,6 + 0,6 0, No n i a cap. Hi a cap angle amb tg α i amb el sinus que sigui el doble que el cosinus? tg α sin α cos α sin α cos α Sí que n i a. Calcula el valor de les epressions següents: a) cos 0 sin 60 + tg 4 c) tg 60 + sin 4 cos 0 b) cos 60 sin 4 d) tg 0 + tg 60 sin 0 cos 0 a) cos 0 sin 60 + tg 4º + b) cos 60 sin c) tg 60 + sin 4 cos d) tg 0 + tg 60 sin 0 cos 0 +

4 Trigonometria 008 Determina l altura d un triangle equilàter de cm de costat sense aplicar-i el teorema de Pitàgores. cm 60 sin 60 cm 009 Troba la diagonal d un quadrat de cm de costat mitjançant les raons trigonomètriques. d cm 6 6 d sin 4 cm 00 Calcula la mida dels elements que falten al triangle següent. 0 a c, cm C b A Posem noms als angles i als segments. Apliquem les fórmules i obtenim: cos0 c c, a a cos0 60, cm tg 0 b b c tg 0, c cm C Determina l altura d un arbre si des d una distància del peu de m en veiem la capçada amb un angle de 4. 4 m Fem un esquema del problema, i apliquem la fórmula de la tangent: tg 4 tg 4 6, 88 m 0 Podries trobar els costats d un triangle rectangle si saps que els seus angles aguts són de i 6? Per què? No, perquè l única cosa que podem saber és la relació entre els costats i i a infinites solucions, tot i que tots els possibles triangles són semblants. 6

5 0 m SOLUCIONARI 0 Quina és l àrea del triangle si A $ 0? C m A sin 0, m 0, A.8, m 04 Troba l àrea d un eàgon regular de 4 cm de costat. α sin 60 A , cm 0 Calcula l àrea d un triangle isòsceles amb els costats iguals de 8 cm i l angle desigual de A 6,6 cm 06 En Fèli vol mesurar un dels arbres que i a al costat de casa seva. Per fer-o, a demanat un teodolit i a mesurat alguns angles i distàncies. Quant fa l arbre? 60 0 G G 0 m tg 60 ( + 0) tg 0 8,66 m ( + 0) 0 m

6 Trigonometria 0 Calcula l àrea d una parcel la triangular si saps que dos dels costats fan 0 m i 0 m, i que els angles diferents dels que estan compresos entre aquests costats fan 80 i 0. El tercer angle fa: sin 0 A 0 m 08 Troba el valor de. 6 m F 0 0 m cos ,8 m ACTIVITATS 09 Calcula les raons trigonomètriques dels angles marcats en cada cas: a) c) 4 cm 0 cm 6 cm 6 cm 0 cm 8 cm b) cm cm cm 8 6 a) sin cos tg b) sin cos tg c) sin 6 cos 0 tg sin 0 cos 6 tg

7 SOLUCIONARI 00 Les longituds dels catets d un triangle rectangle són cm i cm. Calcula les raons trigonomètriques dels dos angles aguts del triangle. cm a + cm sin α 0,9 cos α 0,8 tg α,4 sin β 0,8 cos β 0, 9 tg β 0,4 α cm cm β 0 Troba les raons trigonomètriques dels dos angles d un triangle rectangle que té la ipotenusa de cm i un dels catets d cm. c 8 cm 8 sin α cos α tg α 8 sin β cos β tg β Amb l ajut d un regle graduat, troba el valor aproimat de les raons trigonomètriques dels angles que i a marcats: α β sin α, 0,4 cos α 4, 0,8 tg α, 0, 4, 4, 4, sin β 4, 0,8 cos β, 0,4 tg β 4,,96 4, 4,, 0 Donat el triangle rectangle següent, calcula les raons trigonomètriques 80 cm de l angle marcat per mitjà 60 cm del triangle més gran i del més petit. 48 cm Aconsegueies el matei resultat? Raona la resposta. 00 cm Per mitjà del triangle més gran: sin α 06, cos α 08, tg α 0, Per mitjà del triangle més petit: 48 06, sin α 06, cos α ( 06, ) 08, tg α 0, 80 08, El resultat és el matei, ja que els dos triangles són semblants. 9

8 Trigonometria 04 FES-HO AIXÍ COM TRANSFORMEM GRAUS EN RADIANS, I VICEVERSA? Quants radians són n graus? I quants graus són α radians? PRIMER. Plantegem una regla de tres per calcular les quantitats desconegudes. 60 π rad 60 π rad n rad y α rad SEGON. Quan resolem les regles de tres, obtenim les fórmules per passar de graus a radians, i viceversa. 60 π rad n πrad π n rad n rad π rad 60 α y α 80 y α rad π π graus Aií doncs, per eemple: π π 0 0 rad rad 80,96 4 ' '' 80 6 π 0 Transforma en radians aquests angles: a) 4 b) 80 c) 0 d) 60 a) 4 π rad 4 b) 80 πrad c) 0 π rad 6 d) 60 π rad 06 Passa a graus els angles següents: π π a) rad b) 0, rad c) rad d) rad 4 a) 0 b) 8,9 c) 4 d) 4,64 0 Calcula les raons trigonomètriques d aquests angles si saps que: a) sin α0,6 b) cos α0,4 c) tg α0, d) sin α a) sin α 06, c) sin α 0, cos α 08, cos α 0866, tg α tg α 0, 4 b) sin α 089, d) sin α cos α 04, cos α tg α 98, tgα 4 0

9 SOLUCIONARI 08 Troba el valor de les raons trigonomètriques d aquests angles si: a) cos α b) sin α 6 a) sin α b) sin α 6 cos α cos α 6 tg α tg α 09 Comprova si aquestes afirmacions són certes: a) Si sin α0,4; alesores cos α0,. b) Si tg α; alesores cos αsin α. cos α c) Si sin α ; alesores tg α. d) Si cos α0,8; alesores tg α és més petit que. a) Fals b) Cert c) Fals d) Fals 00 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES RAONS TRIGONOMÈTRIQUES AM LA CALCULADORA? Calcula sin α, cos α i tg α si α0 4' 0''. PRIMER. Ajustem el Mode radians. Graus Radians MODE DEG MODE RAD MODE, segons si mesurem els angles en graus o en SEGON. Introduïm el càlcul a la calculadora especificat en graus, minuts i segons. 0 ''' 4 ''' 0 ''' TERCER. Premem la tecla corresponent a la raó trigonomètrica. Sinus 0 ''' 4 ''' 0 sin 0, Cosinus 0 ''' 4 ''' 0 cos 0,08... Tangent 0 ''' 4 ''' 0 tan,8... En alguns tipus de calculadores, la seqüència de tecles és diferent: primer em d introduir la funció ( sin cos tan ) i, després, l angle.

10 Trigonometria 0 Amb l ajut de la calculadora, determina les raons trigonomètriques dels angles següents: a) 6' '' c) 4' '' b) 0 ' 4'' d) 8 0' a) sin α 0, 80 cos α 0, 9 tg α, 6 b) sin α 0, 68 cos α 064, tg α, c) sin α 0, 04 cos α 0, 9 tg α 0, 9 d) sin α 0, 99 cos α 0, 0 tg α, 8 0 Troba amb la calculadora les raons trigonomètriques de 48 i comprova que es verifiquen les igualtats: a) sin 48 + cos 48 b) tg 48 sin 48 cos 48 sin α 0, 4 cos α 0, 669 tg α, a) (0,4) + (0,669) 0, + 0,448 0,4 b), 0,669 0 Raona si eistei un angle α que compleii aquestes igualtats: sin α i cos α No i a cap angle que les compleii, ja que: Determina si eistei cap angle que pugui tenir aquestes raons trigonomètriques: a) sin α c) sin α b) sin απ d) tg α0, a) No és possible (sin α>). b) No és possible (sin α >). c) És possible (sin α <). d) És possible.

11 SOLUCIONARI Raona si i a cap angle α que compleii aquestes igualtats: sin α i tg α 4 Troba les raons trigonomètriques de l angle α si saps que tg αsin α. sin α 4 cos α tg α sin 4 α + cos α + 4 Sí que i a un angle amb aquestes raons trigonomètriques. sin α tg α cos α sin α 0 tg α 0 Calcula les raons trigonomètriques de l angle agut α, si sin α cos α. sin α cos α sin α + cos α 4 cos α + cos α cos α cos α 0, 44 sin α 0, 44 0, 894 cos α tg α cos α Si cos αsin α, en què α és un angle agut, calcula quant valen les raons trigonomètriques. sin α cos α sin α + cos α cos α + cos α cos α cos α sin α sin α tgα cos α Calcula el valor d aquestes epressions: a) sin 60 + sin 0 tg 0 c) tg 60 tg 0 b) sin 4 + cos 60 sin 0 d) cos 60 cos 0 + sin 60 sin 0 a) sin 60 + sin 0 tg 0 + b) sin 4 + cos 60 sin c) tg 60 tg 0 d) cos 60 cos 0 + sin 60 sin 0 +

12 Trigonometria 09 Raona si aquestes igualtats són certes: a) sin 0 + cos 60 b) tg 0 tg 60 c) sin 4 + cos 4 4 d) cos 0 + sin 60 tg 0 a) Certa: sin 0 + cos b) Certa: tg 0 tg60 c) Falsa: sin 4 + cos d) Falsa: cos 0 + sin 60 + tg Comprova que es verifica la relació sin α+cos α, quan α fa: a) 0 b) 60 c) 4 a) sin 0 + cos b) sin 60 + cos c) sin 4 + cos Troba el valor del costat sense aplicar el teorema de Pitàgores. a) b) 0 cm 60 cm a) Es tracta d un triangle isòsceles amb els angles iguals de 60, i el tercer angle també de 60, per la qual cosa és equilàter, i els tres costats fan 0 cm. 0 α 4 b) cos 0 cm 4

13 SOLUCIONARI 04 Resol el triangle de la figura següent:, cm A, cm C a, +, 8cm tg,,, 0 arctg, ' 0" tg C,, 0,486 C arctg 0, 486 ' 0" 04 Resol el triangle següent: A cm C cm c 9, 8 cm sin 0, 44 arcsin 0, 44 0' 08" cos C 0,44 C arccos 0, 44 6 ' " 044 Resol els triangles següents: a) A b) A C 6, cm 6, cm C a) sin 6 b 6, b 6, sin 6 9, cm cos 6 c 6, c 6, cos 6 48, cm C 90 4 b) sin,, a a sin 64, cm tg,, c c tg, cm C 90 69

14 Trigonometria 04 Resol els triangles rectangles següents: a) b) A,6 cm,9 cm A,9 cm C 40 4' C a) a 6, + 9, 0,9 8,4 cm tg 9, 6, 0,4 arctg 0,4 ' " tg C 6, 9,,6,4 C arctg, ' " b) sin 40 4' 9, 9, a a sin 40 4' 6,0 cm tg 40 4' 9, 9, b b tg 40 4' 46, cm ' 046 Una tenda de campanya té forma cònica. El pal central té una altura de m i se subjecta a terra mitjançant dos vents de 8 m de longitud. Calcula l angle que formen els vents amb el terra i la distància entre les dues piques de subjecció. Representem les dades: 8 m m Hem de calcular i : sin 0, arcsin 0, 0' 8" 8 8,4 m 4, 84 m 6

15 SOLUCIONARI 04 Calcula l altura del campanar d una església si saps que, si ens separem 40 m de la seva base, veiem la punta del campanar sota un angle de. tg 40 tg 49, 4 m m 048 Un globus està subjectat a terra amb un cable tensat de 00 m de longitud que forma un angle de. Calcula l altura a què està el globus. sin º 00 sin 9, m m 049 Les semidiagonals d un rombe fan 6 cm i 0 cm. Calcula els angles del rombe. 0 cm α β 6 cm β F tg α 0 α α tg β 6 β 0 6 β 4 00 A una ora determinada del dia, un pal vertical de m projecta una ombra de m. Quina serà la longitud de l ombra d una persona d,84 m d alçada a aquesta mateia ora?,84 m m m 84, 84, 8, tg a, tg a,4 m tg a,

16 Trigonometria 0 Determina l àrea d un triangle si saps que dos dels costats fan 0 cm i cm, i que els angles diferents del que i a comprès entre aquests costats fan 80 i 0. El tercer angle fa: sin 0 A 0 cm 0 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ÀREA D UN TRIANGLE ISÒSCELES SI EN CONEIXEM ELS DOS COSTATS IGUALS I L ANGLE DESIGUAL? Troba l àrea d un triangle isòsceles de costats iguals cm i l angle desigual de 0. PRIMER. Trobem la mida dels angles iguals. + α+α α cm cm SEGON. Calculem l altura. α α sin sin 4, 8 cm TERCER. Determinem la longitud de la base. cos cos,9 cm Per tant, la base fa:,9,8 cm QUART. Calculem l àrea. b A,8 4,8 6, cm 0 Troba l àrea d aquests triangles isòsceles: a) b) 8 cm cm a) Si diem b a la base i a l altura del triangle: b 8 sin 0 6, cm; 8 cos 0,4 cm b L àrea del triangle és: A,4 6,, cm. 8

17 SOLUCIONARI b) sin 4 4,9 cm b cos 4 4,9 cm b L àrea del triangle és: A 4,9 4,9 4, cm Quant fan els catets d un triangle rectangle isòsceles si la ipotenusa és de 0 cm? Denominem cada catet, i sabent que els angles aguts fan 4 : cos 4 0 cos 4 0 cm 0 Calcula el valor de l apotema d un decàgon regular de 0 cm de costat. Quina àrea té? L angle central del decàgon fa: 60 : tg 0 tg 8, cm a a 0 0, A. cm Troba l àrea d un decàgon regular i d un octàgon regular, tots dos de 6 cm de costat. Quin és més gran? Decàgon: L angle central del decàgon fa: 60 : tg 6 tg 8 9, cm a a A a d 0 8, cm Octàgon: L angle central de l octàgon fa: 60 : tg tg,, cm a a 6 a A o,44 cm Té una àrea més gran el decàgon. 8 0 Determina l àrea ombrejada d aquest octàgon regular: 4 cm 4 α 0' 4 4 α tg α A 6,9 cm 9

18 Trigonometria 08 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM L ÀREA I EL PERÍMETRE D UN TRAPEZI RECTANGLE? Calcula l àrea del trapezi rectangle següent: b cm 0 60 PRIMER. Trobem la mida de les bases. b tg 60 b tg 60 9,9 cm tg 0 tg 0 06, cm SEGON. Calculem l àrea. + b 06, + 9,9 A.60,6 cm 09 Calcula l àrea i el perímetre del trapezi rectangle següent: b 60 cm c 60 tg,9 cm b 60 tg 8,69 cm c 60 + (,9 8,69) 0,69 cm L àrea és:,9 + 8,69 A , cm El perímetre fa: P,9 + 8, ,69 0, cm 0

19 SOLUCIONARI 060 Troba l àrea d un pentàgon regular de costat cm. a 60 6 Triangle OA: O,, tg 6, 06 cm a tg 6 b Àrea del triangle OA: A, cm cm A t (,, 06), cm Àrea del pentàgon: A P 0 A t, cm 06 Dos costats adjacents d un camp en forma de paral lelogram tenen unes mides de 0 m i 00 m. Calcula l angle que formen si l àrea del camp és de 4 m. 0 m H α 00 m Com que A H 4 00H H 4, m 4, sin α 0, 864 α 9 46' 0" 0 06 A quina altura vola l avió si les visuals de dos observadors separats 00 m entre ells formen els angles que es veuen a la figura? m sin 4 0, 0 a a 0, 0 sin 0 0, 00 a 00 a 0, I substituint: 00 0,0 0, 00,0 9,9 m

20 Trigonometria 06 Si des d un punt de terra es veu una torre amb un angle de 48, amb quin angle es veurà si la distància és el doble? sin 48 0, 4 48 α sin α 0, 68 α arcsin 0, 68 4 ' 0" 0, Des del punt més alt d un penya-segat es veu un vaiell sota un angle de 0. Quan s apropa 00 m al penya-segat, l angle passa a ser de 40. Calcula la distància que el separa en aquest moment de terra i l altura del penya-segat tg 40 tg 40 0, 89 tg 0 0, 4 ( 00 + ) 88, + 0, I igualant: 0, 89 88, + 0, 4 0, 6 88,. 0, m 0, 89. 0, 98, m 00 m 06 Quina altura té aquest arbre? 60 0 cm 0, + 0 tg 60 0, + 4,64,4 m L arbre té,4 m d altura. 0 m

21 SOLUCIONARI 066 Calcula l altura de la torre. G 4 m F Si anomenem l altura de la torre, obtenim: tg 4 tg 4 m La torre té m d altura. 06 A quina distància em trobo d un edifici de 0 m d altura si en veig la part més elevada amb un angle de 60? Si anomenem d la distància que em separa de l edifici: 0 tg 60 0 d 0 8,8 m d tg Un estel està fiat al terra amb un fil de 00 m, que forma un angle de 60 amb l oritzontal del terreny. Si suposem que el fil està completament estirat, determina a quina altura es troba l estel. 00 sin m 069 Una llana està amarrada al moll per mitjà d un cap de m, que forma amb l oritzontal de la riba un angle de 0. Si suposem que el cap està estirat del tot, calcula a quina distància es troba de la riba. Fem un esquema: 0 m sin 0, m

22 Trigonometria 00 Calcula la profunditat d un pou de m d amplada si veiem el costat oposat del fons amb un angle de 0. 0 m Si anomenem d la profunditat del pou: tg 0 6 d d tg 0,46 m El pou té,46 m de profunditat. 0 Determina la superfície d un logotip amb forma de pentàgon regular inscrit en una circumferència de cm de radi. r α r Calculem la mida de l angle central: 60 α I l àrea serà vegades l àrea del triangle indicat a la figura: A pentàgon base altura r ( r sin α) Atriangle sin 9,44 cm 0 Des d un vaiell veiem la llum d un far amb una inclinació de 0 i, quan avança 8 km en aquella direcció, el veiem amb un angle de 0. A quina distància ens trobem del far? tg 0 ( + 8) tg 0 0,8 ( + 8) 0,6 0, 6,48 9,4 km La distància és: 8 + 9,4 4,4 km. 4

23 SOLUCIONARI 0 Calcula la quantitat de apa que cal per fabricar un senyal de stop de forma octagonal si saps que la diagonal marcada fa, m. La quantitat de apa que cal per fabricar aquesta senyal és equivalent a l àrea d un octàgon regular inscrit en una circumferència de, : 0,6 m de radi. Dividim l octàgon en 8 triangles isòsceles iguals. L angle desigual de cada triangle isòsceles és un angle central de 60 : 8 4. Si anomenem $ A i $ els altres dos angles, obtenim: $ A $ A$ 80 4 $ 6, A + $ Si és l altura del triangle i b, la base: 0,6 sin 6, 0,8 m b 0,6 cos 6, 0,4 m b A 0,4 0,8 0,4 m A Total 0,4 8, m 04 Des d un penya-segat situat a m sobre el nivell del mar s observen dues embarcacions. Troba la distància de les embarcacions si els angles són de 0 i m Si anomenem i y les distàncies indicades al gràfic: tg 0 tg 0 8,48 m y tg 60 y tg 60,4 m La distància entre les embarcacions és:,4 8,48 6,9 m.

24 Trigonometria 0 Des d un punt del terra veiem la part superior d una torre, que forma un angle de 0 amb l oritzontal. Si ens acostem m cap al peu de la torre, l angle és de 60. Determina l altura de la torre. Si anomenem l altura de la torre i la distància fins al peu de la torre: tg 0 tg 0 ( ) tg 60 ( ) tg 60 tg 0 tg 60 tg 60 9, (tg 0 tg 60 ),, m 0,, tg 0, 0, 64,4 m. La torre fa 64,4 m d altura. 06 Des de la platja s observen dos vaiells. Calcula la distància que i a entre tots dos amb els angles indicats. Anomenem d la distància que i a entre els dos vaiells. Trobem la mida de b i. b tg 0 0 b 0 tg 0,84 m tg tg ,64 m Apliquem el teorema de Pitàgores: d 0 + (4,64,84) 6,64 d 6,64, m Per tant, la distància que i a entre els dos vaiells és de, m. b m 0 Des del cim d una muntanya, a una altura d,4 m, veiem un poble i una granja situats a la vall, que es troba a una altura de m sobre el nivell del mar. Si observem el poble amb un angle de 68 i la granja amb un de 8 : a) Quin dels dos llocs està més a prop de la muntanya? b) Si la muntanya, el poble i la granja estan alineats, troba la distància que i a entre el poble i la granja. Fem un esquema: 68 8 m P d G 6

25 SOLUCIONARI a) Com es veu en l esquema, el poble està més a prop de la muntanya. b) Calculem l altura que i a entre el cim de la muntanya i la vall:.4 m I apliquem la definició de tangent a cadascun dels triangles: tg 68 tg , m tg 8 + d + d tg , 9 m Per tant, d 4.699,9.48,.,6 m 08 El pilot d un avió observa un punt del terreny amb un angle de depressió de 0. Divuit segons més tard, l angle de depressió que obté sobre el matei punt és de. Si vola oritzontalment i a una velocitat de 400 milles/ora, calcula l altitud de vol. A 0 milles 0 C La distància recorreguda per l avió és: 400 tg ( + 0) tg 0º,4 ( + 0) 0,8 8 0 milles ,8,6,6 milles,6,4 9, milles. L altitud de vol és de 9, milles. 09 Dos pobles, A i, estan situats en una carretera que va del nord al sud. Un altre poble, C, a 0 quilòmetres en línia recta de la carretera anterior, està situat a 0 al sud-est de A i a 0 al sud-est de. Quina distància separa A de? G A AP P 0 tg 0,4 km 0 tg 0º, km 0 0 A AP P 0, km P 0 km C

26 Trigonometria 080 La superfície d un terreny en forma de trapezi és de.00 m. Si sabem que té dos angles de 4 i que la base petita fa 6 m, calcula la base gran i la distància entre les bases cm tg ( 6 + ) (solució no vàlida) 6 + m La base més gran fa 9 m i la distància entre les bases és de m. 08 Quant aconseguirà el propietari per vendre aquesta parcel la si li paguen 00 /m? 0 m 40 0 m 0 ( 0 sin 40 ) A.98,6 m Preu.98, Calcula la superfície d aquest terreny: E D C F m 4 m m 4 m A 0 m AC 4' DAE 4 ' CAD 4 ' EAF 4' 8

27 SOLUCIONARI 0 4 sin 4' A AC 4.9,6 m 4 sin 4 ' A CAD.6, m 4 sin 4 ' A DAE.698, m 4 sin 4' A EAF.94,9 m A AAC + ACAD + ADAE + AEAF 44.4,4 m 08 Sense fer servir la calculadora, ordena de més petit a més gran: a) cos 4 sin cos 9 b) tg 4,0 a) cos 4 sin sin ( 90 + ) cos cos 9 cos ( ) cos 68 En els angles aguts, quant més gran és l angle, més petit és el cosinus. cos 9 < sin < cos 4 b) tg 4 tg ( ) tg 6 tg 60 >,0 En els angles aguts, quant més gran és l angle, més gran és la tangent.,0 < tg Dos costats d un triangle fan cm i 0 cm: a) Quina és l àrea màima que pot tenir aquest triangle? Per què? b) Quin tipus de triangle és en aquest cas? a) L àrea del triangle és: a b sin α sin α a b A A 0 A 0 L àrea màima que pot tenir és 0 cm, quan el sinus val. b) L àrea més gran s aconseguei quan el sinus és igual a, és a dir, quan l angle fa 90 i, per tant, és un triangle equilàter. 8 Deduei una fórmula per a tg (α+β) a partir de la longitud dels segments de la figura: tg ( α + β) A AF D F A α + β E β α C m 9

28 Trigonometria A LA VIDA QUOTIDIANA 086 Les dades dels mitjans de comunicació sobre els incendis que an tingut lloc al país durant l estiu no an estat gaire desfavorables. Tot i aiò, l últim cap de setmana s a produït un incendi en un dels parcs naturals. Des d un dels elicòpters de protecció civil, que té situat el radar a l origen de coordenades, el pilot observa un foc en direcció nord; també veu la situació del llac més proper, a, i de la piscina municipal, a 0. Des de la torre de control els donen l avís que el vent comença a ser més fort i que cal controlar l incendi abans que no es propagui. La distància al foc és de 0 km. I la distància al llac és de 0 km. On aniran a recollir aigua? Piscina d d 0 F 0 d 0 Llac a a Hem de calcular la distància menor: 0 + d, d + d. d ( 0 6 ) ( ) sin + cos 8, km a 8, a 0 cos 8, d 6, 6km cos 60 0, d ( 0 0 ) ( 0 0 ) sin + 6,6 cos 8,0 Aniran a recollir aigua al llac. 0 + d 8, km d + d 64, km 40

29 SOLUCIONARI 08 L ajuntament a decidit construir abitatges de protecció oficial en un terreny. Per dur a terme el projecte, an contractat un estudi d arquitectes. Els encarregats municipals no els an proporcionat les dimensions del terreny i un dels aparelladors i a fet una visita per fer els amidaments. Després an presentat un informe que incloïa les ares geodèsiques del terreny, formades per punts que s an mesurat amb alta precisió i que, a més, són els vèrtes de triangles adossats els uns als altres. Amb aquestes dades, determina la superfície de terreny que serà edificable. m 0 m m 0 m 0 m b m a 0 0 ' 0 m 4 m sin 0,8 m a cos 0, m b 0,8 6, m ' 4 sin 0 40,4 m AACD ( a + b),6,8 4, m AAC ( a + b) ',6 40,4 4,86 m A A + A 4, + 4,86.,09 m ACD AC La superfície de terreny que serà edificable és de.,09 m. 4

30 8 Geometria analítica VECTORS MÒDUL DIRECCIÓ SENTIT OPERACIONS AM VECTORS SUMA RESTA MULTIPLICACIÓ PER UN NOMRE EQUACIONS DE LA RECTA VECTORIAL PARAMÈTRIQUES CONTÍNUA PUNT-PENDENT EXPLÍCITA GENERAL PROPIETAS ANALÍTIQUES I MÈTRIQUES DISTÀNCIA ENTRE DOS PUNTS PUNT MITJÀ D UN SEGMENT INCIDÈNCIA I PARAL LELISME POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES EQUACIÓ D UNA RECTA PARAL LELA A UNA DE DONADA 4