FUNCIONES DE 4º ESO (OPCIÓN A)

Transcripción

1 FUNCIONES DE 4º ESO (OPCIÓN A) DEPENDENCIA ENTRE MAGNITUDES.- RELACIONES DADAS POR TABLAS: En una clase de laboratorio un alumno ha medido la temperatura de un líquido según se calentaba. Los resultados del experimento los anotaba en la siguiente tabla: Tiempo (min) Temperatura (º C) La temperatura del líquido (variable dependiente) depende del tiempo (variable independiente) que se esté calentando. Existe una relación entre las magnitudes tiempo y temperatura. RELACIONES DADAS POR UNA GRÁFICA: La siguiente gráfica representa la variación de la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de un día. A partir de ella es fácil determinar la relación entre la temperatura y las horas. Por ejemplo, la temperatura mínima se ha alcanzado a las dos de la tarde (14:00 horas) y la máxima a las ocho de la tarde (0:00 horas): La gráfica nos da una visión intuitiva de la relación entre dos magnitudes y el comportamiento de una magnitud en función de la otra. Nuevamente, la temperatura del enfermo (variable dependiente) depende de la hora del día (variable independiente). RELACIONES DADAS POR FÓRMULAS: Muchas de las relaciones entre magnitudes que se presentan en la práctica vienen dadas por expresiones algebraicas. Ejemplo 1.- El volumen (V ) de un cubo depende de la longitud (a) de la arista. La fórmula que relaciona ambas magnitudes es: 3 V = a Ejemplo.- Si el precio de 1 kg de naranjas es 0 6, el coste (C ) de la compra de naranjas depende del número (k) de kilogramos. La fórmula que relaciona ambas magnitudes es: C = 0 ' 6 k. En los casos estudiados anteriormente conocemos la relación entre dos magnitudes y el comportamiento de una magnitud en función de la otra.

2 Variable dependiente es la que está en función de otra que denominamos variable independiente. La variable dependiente se suele designar con la letra y, y la variable independiente con la letra x. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.- Las relaciones que hemos visto anteriormente tienen una característica común: a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. Una relación de este tipo se llama función. Una función es una relación o correspondencia entre dos conjuntos de números, de manera que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la variable dependiente, y. Para indicar que una magnitud (y) depende o es función de otra (x) se utiliza la notación y = f ( x) se lee y es igual a f de x o y es función de x. Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento, x, y devuelven otro valor, ( x) y = f : R 0 1 x D(f), que (A) f R y=f(x) Im(f) 0 1 (B) Si los dos conjuntos numéricos A y B son de números reales, a la función.f, se le llama: función real de variable real. El dominio o campo de existencia de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x (variable que se fija previamente). Se representa por D(f) y se lee D de f La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y (variable que se deduce de la variable independiente). Se representa por Im (f). El D(f), no se indica explícitamente, sino que se calcula para cada función, a partir de su definición, salvo que el enunciado del problema nos indique lo contrario. Ejemplo: La función y = x tiene como dominio los números reales positivos y el cero, ya que para números menores que cero (x < 0) no tiene sentido; lo representamos como ( f ) = [ 0,+ ) D. Dicha función tiene como imagen los números reales positivos y el cero, ya que la sin signo delante, indica + ; lo representamos como Im ( ) = [ o,+ ) f.

3 Se utiliza la siguiente NOTACIÓN: x: número real que se transforma mediante f en y (o nº real que entra en la máquina) = valor de la variable independiente = original de y. y: número real transformado de x mediante f, (o nº real que sale de la máquina) = valor de la variable dependiente.= imagen de x. = f(x) (se lee f de x). f: criterio de asignación de imágenes. Todos los elementos, x, del D(f) tienen que tener una única imagen, y, en el º conjunto; pero no todos los números reales del º conjunto han de tener un original, x, en el primero, ni ser único en caso de que lo tenga. Ejemplo.- Dada la función f que asocia a cada número real su doble: Solución: a) Escribe su expresión algebraica. b) Calcula las imágenes de 1, y 3, es decir, f (1), f () y f (3). c) Halla el dominio y su imagen. a) La expresión algebraica de esta función la notamos por y x b) f ( 1) = 1 = f ( ) = = 4 ( 3) = 3 = f 6 =, o también por f ( x) = x c) D ( f ) = R, pues a cualquier número real x le podemos asignar su doble x. Im ( f ) = R, ya que cualquiera que sea el número real transformado, procede de su mitad. FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN.- Una función puede estar definida mediante una tabla, por una gráfica, o bien, por una fórmula. La mayoría de las funciones se pueden expresar mediante una fórmula o expresión algebraica. Es la forma más deseable de expresar la función, ya que facilita el estudio de las propiedades de la función por métodos matemáticos rigurosos y exactos. A partir de la expresión algebraica de la función, se pueden obtener las otras formas de expresarla (tabla y gráfica). Hay funciones que no están definidas por una única fórmula, sino que se expresan con una expresión algebraica diferente en cada parte de su dominio. Se llaman: funciones definidas a trozos o funciones de dominio partido. Ejercicios: 1) Explica razonadamente si son o no funciones las siguientes correspondencias, indicando las variables dependiente (y) e independiente (x). a) A cada número real le hacemos corresponder su raíz cúbica. b) A cada número entero le hacemos corresponder sus factores primos.

4 c) A cada número real le hacemos corresponder la tercera parte más 1. d) A cada número natural le hacemos corresponder el múltiplo de 5 más próximo a él. ) Halla el dominio de las siguientes funciones: 1 x 3 a) f ( x) = x + 3 b) f ( x) = c) f ( x) = x d) f ( x) = 3 x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.- Ejemplo1.- En una tienda de fotografías se puede ver la siguiente tabla con los precios de revelado según el número de fotos. Nº de fotos Precio ( ) Vamos a representar la gráfica de esta función dada por la tabla. Para ello, representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica. El conjunto de puntos es la gráfica de la función dada por la tabla. Observa que en este ejemplo no tiene sentido unir los puntos obtenidos, pues en este caso sólo se pueden dar valores enteros ( qué sentido tendría revelar 1 5 fotos?). Ejemplo.- La fórmula que expresa el área de un círculo en función de su radio es. A función dada por una fórmula. = π r Se trata de una Para representar gráficamente esta función creamos una tabla, damos valores al radio y calculamos, mediante la fórmula, las áreas correspondientes: x=radio y=área Representamos los pares de valores sobre los ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica. Si damos valores intermedios al radio obtenemos valores intermedios del área, luego tiene sentido unir los puntos iniciales. De esta forma obtenemos la gráfica de la función dada por la fórmula es:

5 Ejemplo 3.- Observando la gráfica de una función podemos determinar su dominio y su imagen. Si notamos por f (x) a la función cuya gráfica se muestra, tenemos: D ( f ) = R Im( f ) = [ 0,+ ) Ejercicios.- 1. Escribe el dominio y la imagen de las funciones cuyas gráficas se representan a continuación:. De las siguientes gráficas, cuáles representan una función? 3. Juan se hace socio de un video-club donde le cobran 6 euros de inscripción, 4euros por cada una de las diez primeras películas que alquila y euros por cada película restante. a) Escribe la fórmula o expresión algebraica de la función que relaciona el número de películas alquiladas y el coste total de las mismas. b) Representa gráficamente la función. 4. El gasto de gasolina según los kilómetros recorridos por un coche viene dado por la siguiente tabla. Espacio (Km) Gasolina (l)

6 a) Escribe la expresión de la función f (x). b) Calcula f (300), f (400) y f (450). c) Representa la gráfica de la función. Qué figura es? 5. Se quiere construir un pozo en forma cilíndrica de metros de radio. Expresa el volumen de agua (y) que cabe en el pozo en función de su profundidad (x). Representa gráficamente la función. 6. Haz una tabla correspondiente a todos los rectángulos de área 36 cm cuya base y altura son números enteros. a) Dibuja la gráfica correspondiente representando la base en el eje de abscisas y la altura en el eje de ordenadas. Tiene sentido unir los puntos? b) Aprovechando la tabla anterior, calcula los perímetros de esos rectángulos. Dibuja la gráfica que relaciona la base y el perímetro, representando la base en el eje de abscisas y el perímetro en el eje de ordenadas. DETERMINACIÓN DE IMÁGENES Y ORIGINALES: PUNTOS DE LA GRÁFICA Si el punto P( x, f ( x)) Gráf ( f ), se dice también (por abuso del lenguaje) que P es un punto de la función. En la práctica se presentan las siguientes cuestiones: 1. Comprobar si P( a, b) Gráf ( f ) : Mediante la gráfica: P( a, b) Gráf ( f ) P' ( a', b') Gráf ( f ) Mediante la fórmula y = f (x) : Si f ( a) = b P Gráf ( f ) Si f ( a) b P Gráf ( f ). Conocida la abscisa, a, de P, cuál es su ordenada?, o también: cuál es la imagen de a, por f?: Mediante la gráfica: observando el dibujo anterior: ( a b) P, o también: f ( a) = b (la imagen de a por f es b) Mediante la fórmula: Si conocemos la fórmula de la función ( y = f (x) ), la imagen de a, f(a), es el número b, que se obtiene al sustituir en y = f (x), x por a: f ( a) = b. (b es único para cada valor a). Ejemplo: f ( x) = x. La imagen de -3 es 9, ya que: f ( 3) = ( 3) = 9

7 3. Conocida la ordenada, b, de P, cuál es su abscisa?, o también: cuáles son los originales de P?: Mediante la gráfica: Los puntos de ordenada b, son: A ( a, b) y '( a', b) A ; o también: los originales de b son: f 1 ( b) = { a, a' } Mediante la fórmula: Hacemos: y = b ó f ( x) = b, que es una ecuación en x, de la que se despeja x, y si sale x a y x = a'. = f 1 ( b) = { a, a' } Ejemplo: Si f ( x) = x. Cuáles son los originales del 9? 1 Solución: Hacemos = 9 x = ± 3 f ( 9) = { 3, 3} Ejercicio.- x. Dada la función x + 3 f ( x) = calcula: x 1 a) La imagen de 4, la imagen de y los originales de 0 1 b) Razona si el punto P 4, a la gráfica de f 15 PROPIEDADES O CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES Venga expresada la función mediante su expresión algebraica o mediante su gráfica, es importante reconocer las siguientes propiedades: 1. Es función?.- Algebraicamente: No puede haber ningún número real que tenga dos imágenes diferentes. Ejemplos: f ( x) = x es función, pues cada número real tiene una sola imagen. f ( x) = ± x no es función, pues el 4 tendría dos imágenes diferentes: y. Gráficamente: No puede haber ninguna recta vertical que corte a la gráfica en más de un punto: No función Función

8 . Dominio de f.- Al conjunto de números reales que tienen imagen real mediante la expresión algebraica,, y = f (x), de la función, se le llama dominio natural de f. Si conocemos su fórmula: Si y = f (x) es la fórmula conocida de la función, para calcular su dominio natural, D(f), tendremos en cuenta que en R: a) No se puede dividir por 0, por lo que el denominador 0. b) No se pueden extraer raíces de índice par de los números negativos, por lo que el radicando 0 Las demás operaciones con números reales, siempre dan lugar a otro número real. A veces el dominio natural de la función queda limitado por las condiciones del problema, ya sea por el contexto real del que se ha sacado la función, o por voluntad de quien lo propone. Ejemplo: f ( x) = 3x 1, tiene como dominio natural: D(f)=R, y ( x) = 3x 1 por dominio: D(g)= [,], en lugar de R. g x [,], tiene Ejercicio: Calcula el dominio de definición de las funciones: a) x 1 f ( x) = b) g ( x) = x 1 x 4 Si conocemos su gráfica: El valor a está en el dominio de f sólo si la recta vertical trazada en (a,0), corta a la Gráf(f). Luego trazando rectas verticales perpendiculares al eje de abscisas, la zona del eje de abscisas en la que hay definida gráfica es el D(f). Ejemplos: D(f)=R D(g)= [ 1,+ [ Ejercicio.- El dominio de definición de: a) ( x) = x + x + 1 f b) x + 3 g ( x) = c) ( x) = x 4 x 1 g d) h ( x) = x 1 x x e) y = x 6x + 8 f) 1 3 y = g) y = x h) x 1 y = 4 x 4

9 3. Imagen o recorrido f.- Es el conjunto formado por los números reales que son imágenes de los valores de D(f) Si conocemos su gráfica: El número b, está en Im(f), sólo si la horizontal trazada por (0,b), corta a la Gráf(f) Im(f)= [ 1,+ [ Im(g)= [ 1,+ [ Ejercicio.- Halla el dominio y la imagen de las funciones cuya gráfica se representa a continuación: 4. Puntos de corte con los ejes.- Es importante conocer la posición relativa de la gráfica de la función respecto de los ejes coordenados: Si conocemos la fórmula: si la expresión algebraica de f es y = f (x) : -Los puntos de corte con el eje de abscisas, se calculan resolviendo el sistema formado por la fórmula de la función y la ecuación del eje de abscisas: y = 0 y = f ( x) y = 0 A(f(a),0) (puede haber más de uno) Los puntos de corte con el eje de ordenadas, se calculan resolviendo el sistema formado por la fórmula de la función y la ecuación del eje de ordenadas: x = 0 y = f ( x) x = 0 B(0,f(0)) (sólo puede haber uno). Ejemplo: Los puntos de corte de la función: y = x 4 con los ejes coordenados son: y = x x 4 = 0 y = 0 x = ± y = 0 Con el eje de abscisas: A(,0) A' (,0) y = 0 4

10 y = x y = 4 x = 0 Con el eje de ordenadas: B( 0, 4) x = 0 4 Si conocemos la gráfica: sólo hay que buscar los puntos comunes de la gráfica con cada eje. Los puntos de corte con el eje de abscisas son: ( a,0) y ( b,0) El punto de corte con el eje de ordenadas (único siempre) es: ( 0, f ( 0) ) Ejemplo: Los puntos de corte con el eje de abscisas son: A(,0) A' ( 1,0) A'' ( 3,0) B (0,3). ; y con el eje de ordenadas: 5. Simetrías: Paridad de f.- Una función, y = f (x),es par o simétrica respecto al eje de ordenadas, si verifica que cada dos números reales y opuestos de su dominio: a, a D( f ), tienen la misma imagen: f ( a) = f ( a) Ejemplo: f ( x) = x, es par porque: f f ( a) = a ( a) = ( a) = a observamos que: f ( a) = f ( a) Una función, y = f (x), es impar o simétrica respecto del origen de coordenadas, si se verifica que cada dos valores reales y opuestos de su dominio: a, a D( f ), tienen imágenes opuestas: f ( a) = f ( a). Ejemplo: 3 f ( x) = x, es impar porque: f f 3 ( a) = a 3 3 ( a) = ( a) = a observamos que: f ( a) = f ( a) Gráficamente se refleja de la siguiente forma: Función par Función impar

11 Si se trata de una función par, al doblar el papel por el eje de ordenadas, la gráfica de f, queda dividida en dos ramas que están superpuestas. Si se trata de una función impar, al doblar el papel por el eje de ordenadas ( primero) y por el eje de abscisas ( después), la gráfica de f queda dividida en dos ramas que están superpuestas. Ejercicio.- Estudia la simetría de las funciones siguientes mediante su gráfica y su fórmula: f x +1 x 4 5 ( x) = x x g( x) = h ( x) = x 1 3 i ( x) j ( x) = x + x k ( x) = x 9 1 = x + 1 l ( x) = x 3 x + 1 m ( x) x = x Continuidad de una función.- Gráficamente: Una función es continua en x = a, si su gráfica no se interrumpe al pasar por a (dibujándola de izquierda a derecha); en caso contrario, se dice discontinua en x = a. Las discontinuidades que se pueden producir en un punto de la gráfica, reciben un nombre diferente dependiendo del tipo de interrupción del que se trate.

12 Ejemplos.- Discontinuidad de salto infinito en x=1 Discontinuidad de salto finito en x=1 Discontinuidades evitables en x=1 Continua Estas funciones son discontinuas en a, por distintos motivos: La primera gráfica presenta en x=1 ramas infinitas, es decir, los valores de y crecen indefinidamente cuando los de x se aproximan cada vez más a 1. La segunda gráfica presenta una interrupción en x=1 de salto (que mide 1 unidad). A las gráficas tercera y cuarta, o le falta el punto (1, ), o dicho punto está fuera de los puntos del resto de la gráfica (1, 3). Una función es continua en un intervalo, I D( f ), si no presenta ninguna discontinuidad en él. (Podemos dibujar la Gráf(f) de izquierda a derecha en el intervalo I, sin levantar el lápiz del papel). Ejercicios.- 1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:. La función parte entera y = E(x) se define como aquella que hace corresponder a cada número real el número entero inmediatamente menor o igual que él. Así, por ejemplo, E ( 0 '6) = 0 ; E ( 1 '3) = 1 E ( ) = y E ( 1'4) =. La representación gráfica de esta función es:

13 Estudia el dominio, imagen y continuidad de esta función. 3. La tarifa de un telegrama con entrega domiciliaria es de 1 0 euros por tasa fija más 0 05 euros por palabra. Construye una tabla de valores y representa la función que relaciona el coste del telegrama según el número de palabras. Se trata de una función continua? Por qué? 4. En una fotocopiadora tienen establecido distintos precios para las copias de un mismo original. Las 100 primeras, a 5 céntimos de euro cada una; de la 101 a la 00, a 4 céntimos; de la 01 a la 500, a 3 céntimos, y más de 500, a céntimos. Representa la función que relaciona el número de fotocopias realizadas con el precio pagado por unidad. 5. El radio de un círculo mide 5 cm. Expresa la altura (y) de un rectángulo inscrito en el mismo en función de la medida de la base (x). Construye una tabla de valores adecuada y representa gráficamente la función. Es continua? 7. Variación de una función: Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función.- Si I es un intervalo del D(f): I D( f ) : -Se dice que y = f (x) es creciente en I si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, aumenta (o disminuye) y: Si a, b I con a<b, se cumple que f ( a) f ( b). A I se le llama intervalo de crecimiento de f Si en lugar de f ( a) f ( b), se cumple f ( a) < f ( b), se dice que y = f (x), es estrictamente creciente en I. -Se dice que y = f (x) es decreciente en I si a medida que aumenta (o disminuye) x en I, disminuye (o aumenta) y: Si a, b I con a<b, se cumple que f ( a) f ( b). A I se le llama intervalo de decrecimiento de f Si en lugar de f ( a) f ( b), se cumple f ( a) > f ( b), se dice que y = f (x), es estrictamente decreciente en I. Una función puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros. -Se dice que y = f (x) presenta un máximo relativo en x=a, cuando el valor de la función en a, f(a), es mayor que el valor de la función en los valores del alrededor de a. En un máximo relativo, la función pasa en a, de ser creciente a ser decreciente.

14 -Se dice que y = f (x) presenta un mínimo relativo en x=a, cuando el valor de la función en a, f(a), es menor que el valor de la función en los valores del alrededor de a. En un mínimo relativo, la función pasa en a, de ser decreciente a ser creciente. A los máximos y mínimos relativos de una función, se les llama: extremos relativos de dicha función. Estos conceptos se reconocen gráficamente de la siguiente forma: Función creciente Función decreciente Función constante Máximo relativo en x 0 Mínimo relativo en x 0 Ejemplo.- A partir de la siguiente gráfica (muestra el perfil de una etapa de la Vuelta Ciclista a España) estudia el crecimiento y decrecimiento de la función y los máximos y mínimos: La función es creciente en los intervalos [0, 50), (75, 150) y (175, 00). La función es decreciente en los intervalos (50, 75), (150, 175) y (00, 5]. Presenta un máximo absoluto en x = 00 (1.500 m es la altitud máxima) y un mínimo absoluto en x = 75 (300 m es la altitud mínima). Los máximos relativos los alcanza en los puntos x = 50 (900 m de altitud) y x = 150 (1.00 m de altitud). Los mínimos relativos los alcanza en los puntos x = 0 (600 m de altitud), x = 175 (600 m de altitud) y x = 5 (900 m de altitud). Ejercicios.- 1. La gráfica siguiente expresa la evolución del número de nacimientos en una ciudad de España:

15 a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del índice de natalidad. b) En qué período de tiempo permanece constante la natalidad? c) En qué años se ha conseguido el mayor número de nacimientos? Indica los máximos y mínimos de esta función.. La gráfica siguiente muestra como varía la profundidad del agua en un puerto durante un día cualquiera. a) A qué horas aumenta la profundidad? Y a qué horas disminuye? b) A qué hora se produce la profundidad máxima? Y la mínima? c) Fíjate que de 13 a 0 horas la profundidad aumenta (crece la marea). Aumenta igual de rápido durante todo ese periodo de tiempo? 3. Dibuja la gráfica de la función y = x. A partir de ella, indica su dominio e imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los puntos en los que hay máximos o mínimos. 4. Halla los puntos de corte con los ejes cartesianos de las siguientes funciones: a) y = x 4 b) y = x + 1 c) y = x x 3 d) y = x 4 5. Estudia la gráfica de las siguientes funciones indicando: a) Dominio e imagen. b) Continuidad. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos (relativos y absolutos), indicando el valor de la función en esos puntos. e) Simetría. f) Puntos de corte con los ejes

16 FUNCIONES PERIÓDICAS.- Ejemplo: Un tren de montaña hace un recorrido desde la base hasta la cima, se detiene arriba y a continuación desciende, volviendo a repetir nuevamente el viaje en las mismas condiciones. La siguiente gráfica muestra la altitud a la que se encuentra el tren durante una parte del día: Observa que los valores que toma esta función se repiten cada cierto intervalo de tiempo (40 minutos), que se llama periodo. Las funciones que tienen este comportamiento se llaman funciones periódicas. Una función y = f ( x) es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo T, llamado periodo: f ( x T ) = f ( x) + T = periodo