GRÁFICAS EN FÍSICA Y QUÍMICA. Ejemplos resueltos.

Transcripción

1 GRÁFICAS EN FÍSICA Y QUÍMICA. Ejemplos resueltos. Antes de empezar con las gráficas vamos a establecer el concepto de magnitudes directamente proporcionales y magnitudes inversamente proporcionales. Cuando hacemos un estudio y observamos que las dos magnitudes estudiadas aumentan en la misma proporción decimos que son MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, ya que al aumentar una, la segunda también lo hace. En este caso se cumplirá que EL COCIENTE O RAZÓN DE AMBAS MAGNITUDES ES CONSTANTE, y a ese valor constante le llamaremos CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA, que no es otra cosa que la pendiente de la recta en la representación gráfica de ese estudio. Por ejemplo: imaginamos que vamos a la frutería a comprar tomates. El kg de tomates cuesta 2. Podemos hacer una tabla en la que se relacionen ambas magnitudes, masa de tomates en kg y precio de los tomates en euros. Masa de tomates (kg) Precio ( ) Aquí se observa que ambas magnitudes aumentan, y lo hacen en la misma proporción. Vamos a comprobar si las razones de ambas son constantes. 2 1 = 4 2 = 6 3 = 8 4 = 2 Efectivamente, la razón es constante e igual a 2. Por tanto deducimos que ambas magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. Si al hacer el estudio de dos magnitudes observamos que al aumentar la primera magnitud la segunda disminuye, deberemos pensar que guardan otro tipo de relación diferente. En este caso diremos que se trata de magnitudes INVERSAMENTE PROPORCIONALES, y se cumplirá que EL PRODUCTO DE SUS CANTIDADES CORRESPONDIENTES SE MANTIENE CONSTANTE. A ese valor constante le llamaremos CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD INVERSA. Por ejemplo: Un tren circula a 60 km/h y emplea 5 horas en recorrer un trayecto. Cuántas horas empleará en recorrer dicho trayecto si su velocidad es de 30 km/h? y si es de 10 km/h? Podemos reflejar esta situación mediante una tabla de valores Velocidad (km/h) Tiempo (h) Observamos que al aumentar la velocidad el tiempo en recorrer el trayecto va disminuyendo. Comprobamos los productos de ambas magnitudes: 60 5 = = = 300 Efectivamente el producto es constante e igual a 300. Por tanto deducimos que ambas magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

2 Velocidad (km/h) Ahora vayamos con las representaciones gráficas. 1. Un paracaidista se lanza desde un helicóptero situado a gran altura. Sabiendo que cada segundo que cae sin abrir el paracaídas su velocidad aumenta en 36 km/h: a. Haz una tabla de datos. Tiempo (s) Velocidad (km/h) b. Señala la variable independiente y la variable dependiente Variable independiente: tiempo (toma los valores que se determinen para el estudio del fenómeno) Variable dependiente: velocidad (los valores que toma dependen de los elegidos para la variable independiente) c. Dibuja la gráfica velocidad tiempo desde el primer segundo hasta los 6 segundos Tiempo (s) d. Cómo es la gráfica obtenida? La gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, y observamos que cuando una de las magnitudes aumenta, la otra magnitud aumenta en la misma proporción, y por tanto se dice que existe una relación de proporcionalidad directa entre las dos magnitudes. e. Deduce la ecuación que representa este fenómeno. La ecuación matemática para este tipo de relación se expresa como: y= k x donde: y es la variable dependiente x es la variable independiente k es la constante de proporcionalidad o pendiente de la recta.

3 Si observamos la tabla de datos, la variación de ambas magnitudes sigue un patrón determinado. Vemos que, al aumentar el tiempo, aumenta la velocidad del móvil. Ahora hay que determinar cómo es ese aumento. Determinaremos si es un aumento proporcional dividiendo la velocidad entre su valor correspondiente para el tiempo: Vemos que todos los cocientes y x = v t = 36 1 = 72 2 = = = = = 36 velocidad tiempo constante para todos los cocientes velocidad tiempo dan el mismo resultado. Este resultado que es se llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o PENDIENTE DE LA RECTA y se representa por la letra k. Esto significa que cada segundo la velocidad del móvil aumenta en 36 km/h. Por tanto la ecuación matemática quedaría: v= 36 t Ahora, inténtalo tú. 2. Observa los datos de la tabla que relacionan la masa de unos montones de monedas de un euro. Nº de monedas Masa (g) b. Representa la gráfica masa - Nº de monedas y Nº de monedas-masa 3. La siguiente tabla muestra cómo varía la temperatura de un líquido al introducirlo en la nevera: Tiempo(min) Temperatura ( o C) b. Representa la gráfica temperatura tiempo

4 Presión (atm) 4. Nuestros pulmones contienen aire. Por esa razón se comprimen cuando buceamos. Para comprobar este hecho sumergimos un globo que contiene un litro de aire y se obtienen los valores para la presión y volumen dl globo que se indican en la tabla de datos. Volumen (L) 1 0,50 0,33 0,25 0,20 Presión (atm) Variable independiente: volumen (toma los valores que se determinen para el estudio del fenómeno) Variable dependiente: presión (los valores que toma dependen de los elegidos para la variable independiente) b. Representa la gráfica presión volumen ,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 Volumen (L) Es una curva del tipo hipérbola equilátera, ya que cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en la misma proporción, por lo que podemos decir que ambas magnitudes son inversamente proporcionales. Como vemos, se cumple que EL PRODUCTO DE LAS CANTIDADES correspondientes a ambas magnitudes ES CONSTANTE, y se cumple que: 1 1 = 2 0,50 = 3 0,33 = 4 0,25= 5 0,20 = 1,00

5 volumen (L) Vemos que todos los productos presión volumen dan el mismo resultado. Este resultado, que es constante para todos los productos presión volumen, se llama CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD INVERSA y se representa por la letra k. La ecuación GENERAL para dos magnitudes que son INVERSAMENTE PROPORCIONALES es: y x = k Para nuestro problema concreto, la expresión es: Cuya ecuación matemática es: presión volumen = k P V = k Te preguntarás si es posible representar la gráfica volumen-presión y, en caso afirmativo, qué gráfica se obtendría. Pues, vamos allá: 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, presión (atm) Se obtendría igualmente una hipérbola equilátera. En este caso las variables han cambiado. Hemos tomado valores de presión del 1 a 6 atmósferas, y hemos estudiado el comportamiento del volumen. En ambos casos las magnitudes son inversamente proporcionales y las dos gráficas son correctas. Ahora, inténtalo tú. 5. A una profundidad de 30 m (en agua) llenamos nuestros pulmones con dos litros de aire. Si en estas condiciones ascendiéramos hasta la superficie sin expulsarlo, los datos que se obtendrían serían los de la tabla:

6 Volumen (L) 2 2, Presión (atm) b. Representa la gráfica volumen presión