Análisis Dimensional y. Sistemas de Unidades. Adriana Benitez Física I

Transcripción

1 Análisis Dimensional y Sistemas de Unidades Adriana Benitez Física I

2 FISICA Ciencia experimental Las cualidades medibles de los cuerpos se denominan CANTIDADES FÍSICAS volumen, peso, longitud, temperatura etc. velocidad, fuerza, presión y tiempo.

3 Tipos de cantidades Las cantidades físicas pueden ser de dos tipos: a) Fundamentales: No se expresan en función de otras. Se definen sin necesidad de acudir a ninguna fórmula. b) Derivadas: Se definen a través de fórmulas o relaciones que las ligan a otras magnitudes.

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7 Medir Comparar con una referencia. Para mediciones confiables y exactas exigimos unidades inmutables Quien es nuestra referencia????

8 S.I.U. Sistema Internacional de Unidades Masa: Kilogramo (Kg) Aleación de platino e iridio. Tiempo: segundo (s) Radiación emitida entre niveles energéticos del átomo de Cs (reloj atómico). Longitud: metro (m) Un metro es la distancia que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/ de segundo.

9 Otros sistemas de Unidades Otros sistemas son el sexagesimal (CGS) y el inglés. Fotocopien una tabla de conversión de unidades

10 Prefijos En el S.I.U. de unidades los múltiplos o submúltiplos son potencias de 10 Múltiplos x 10 n Submúltiplos x 10 -n Kilo (K) x 10 3 Centi ( c) x 10-2 Mega (M) x 10 6 Mili (m) x 10-3 Giga (G) x 10 9 Micro (m) x 10-6 Tera (T) x Nano (n)x

11 Conversión de unidades En muchas ocasiones es necesario cambiar una cantidad de un sistema de unidades a otro. Para ello se necesitan los factores de conversión o equivalencias. Ejemplo. Dos factores de conversión son: 1m=100cm 1h = 3600 s

12 Análisis Dimensional

13 Dimensión significa la naturaleza física de una cantidad o magnitud. Distancia en unidades de metros, pulgadas o codos, se trata de la magnitud distancia y la dimensión es la longitud. El día, la duración de un periodo lunar, etc., son cantidades de la magnitud tiempo longitud, masa y tiempo son L, M y T respectivamente. Comúnmente se usan entre corchetes [ ]

14 Análisis dimensional Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa elllamado Análisis Dimensional. Las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas. Suma y resta Los dos miembros de una igualdad (o ecuación) deben tener las mismas dimensiones. Con el análisis dimensional puedo deducir o verificar una fórmula o expresión. + = + =

15 Fourier que, en su obra Théorie analytique de la chaleur, dice: Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tieneuna dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas. La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. deben ser adimensionales.

16 El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en: 1. Detección de errores de cálculo. 2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.

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18 Ejemplo 1: A partir de la ley de Gravitación Universal de Newton: determinar las dimensiones de la constante de gravitación G. A partir de la ley puedo deducir que las dimensiones son:

19 Ejemplo 2: Un cuerpo de masa m cae libremente desde una altura h por efecto de la gravedad, partiendo del reposo. Hallar la relación entre la velocidad de llegada al suelo, v, la gravedad, g, h y m.

20 Ejemplo 3: El tiempo, la longitud y la masa de Planck, dependen de tres constantes universales: a) La velocidad de la luz, c=3.0 x 108 m/s b) La constante de gravitación universal, G= 6.67 x 10-11m3/s2kg c) La constante de Planck, h= 6.63 x10-34 kgm2/s Con base en el análisis dimensional, halle los valores del la longitud y la masa y el tiempo de Planck.

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23 Para finalizar este apartado, digamos que las magnitudes pueden clasificarse en dos grandes grupos: a) Magnitudes primarias o simples: Se definen sin necesidad de acudir a ninguna fórmula que las compare con otras magnitudes. Podemos decir que el hombre tiene un conocimiento intuitivo de estas magnitudes. Ejemplos: Longitud, tiempo, fuerza, masa. b) Magnitudes secundarias: Se definen a través de fórmulas que las ligan a otras magnitudes. Ejemplos: Densidad, aceleración, campo eléctrico, viscosidad. Por supuesto, el límite entre las de uno y otro tipo, a veces no está exento de discusiones

24 5.7. Teorema de Buckingham o teorema de pi. El enunciado del teorema pi dice así: 1) Toda ecuación 1 2 (,,, ) 0 n f x x x =, (43) que sea una ley representativa de un fenómeno física, puede expresarse como 1 2 (,,, ) 0 m F π π π = (44) donde los i π son los monomios independientes de dimensión nula o monomios π, que pueden formarse con las magnitudes consideradas en la ley física. 2) El número de estos monomios es m =n h, donde h es el rango de la matriz formada con los exponentes dimensionales de las magnitudes, en relación a una base dada.

25 En la demostración del teorema de pi, hemos demostrado que la función que describe un fenómeno físico puede expresarse como función de los monomios pi independientes que podemos formar con las magnitudes físicas que intervienen en el proceso. En la aplicación del teorema pi, vamos a seguir, normalmente, un camino contrario: Construiremos los monomios independientes adimensionales que podamos formar con las variables que intervienen en el proceso y con estos monomios intentaremos construir la ecuación que rige el proceso físico, supuesto que sea desconocida esta ecuación. Los pasos a seguir en la resolución de un problema son: a) Considerar todas las magnitudes que intervienen en el fenómeno, incluyendo las constantes no eludibles. b) Establecer la matriz de coeficientes y su rango. c) Determinar el número de monomios independientes. d) Hallar estos monomios. Ejemplo 1: Un cuerpo de masa m cae libremente desde una altura h por efecto de la gravedad, partiendo del reposo. Hallar la relación entre la velocidad de llegada al suelo, v, la gravedad, g, h y m. a) Siguiendo la sistemática marcada, en primer lugar, hacemos una recopilación de las

26 Ejemplo 1: Un cuerpo de masa m cae libremente desde una altura h por efecto de la gravedad, partiendo del reposo. Hallar la relación entre la velocidad de llegada al suelo, v, la gravedad, g, h y m. a) Siguiendo la sistemática marcada, en primer lugar, hacemos una recopilación de las magnitudes que intervienen en el fenómeno y expresamos sus dimensiones en la base {L,M,T }.

27 Ejemplo pagina 14

28 Principio de similitud. El principio de similitud no es más que una generalización del carácter de homogeneidad dimensional de las ecuaciones de la Física. Dice así: Las leyes de la Física son invariantes ante cambios de las medidas de un fenómeno físico en un mismo sistema de unidades, ya sean estos cambios reales o imaginarios. La utilidad práctica más evidente de este principio radica en el estudio de las propiedades

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