Números de Bernoulli: Algunas aplicaciones a la. David J. Fernández Bretón. Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional,

Transcripción

1 Números de Bernoulli: Algunas aplicaciones a la Teoría de Números David J. Fernández Bretón. Escuela Superior de Física y Matemáticas, Instituto Politécnico Nacional, México.

2 Definición Se define la sucesión de números de Bernoulli B 0, B 1, B 2,..., como y B m = 1 m + 1 B 0 = 1, m 1 k=0 ( m + 1 k ) B k para cualquier m N. Asimismo se define, para cada m N {0}, el m-ésimo polinomio de Bernoulli de la siguiente manera m ( ) m B m (X) = B k X m k. k k=0

3 Números de Bernoulli Se define S m (n) = 1 m + 2 m + + (n 1) m. t e t 1 = m=0 S m (n) = 1 m + 1 B m m! tm. m ( ) m + 1 B k n m+1 k = 1 k m + 1 (B m+1(n) B m+1 ). k=0 De la primera ecuación, tenemos que: 1 + k=2 B k k! tk = t 2 + t e t 1. Esta última es una función par, de donde se sigue que, para cualquier k N, B 2k+1 = 0.

4 m 1 k=n Polinomios de Bernoulli k q = S q (m) S q (n) = 1 q + 1 (B q+1(m) B q+1 (n)). 1 m + 1 B m+1(x) = B m (X), m N {0}. B m (0) = B m (1) = B m, m N {0}, m 1. k 1 B q (kx) = k q 1 b n=a+1 en donde f(n) = b a j=0 B q ( X + j k f(x)dx + q r=1 ), q N {0}. ( 1) rb r r! {f (r 1) (b) f (r 1) (a)} + R q, R q = ( 1)q 1 q! b a B q (x [x])f (q) (x)dx.

5 Los números ζ(2m) y ζ(1 m) Se define la función zeta de Riemann como ζ(s) = n=1 1 n s = p es primo ζ(2m) = ( 1)m+1 (2π) 2m B 2m, m N. 2(2m)! ( 1) m+1 B 2m > 0, m N. B 2m 2m cuando m. ( 1 1 p s ) 1. La función zeta se extiende a una función meromorfa con un polo simple, de residuo 1, en s = 1. Además, se cumple la ecuación funcional ζ(s) = 2 s π s 1 sen ζ(1 m) = B m m, m N\{1}. ( πs ) Γ(1 s)ζ(1 s). 2

6 p-enteros Z p = { r Q ordp (r) 0 } = Si r, s Z p, n N {0}, decimos que pb m Z p. pb m S m (p) B 2m = A 2m + { a b a, b Z, p b }. r s mod p n ord p (r s) n. { 0; (p 1) m 1; (p 1) m (p 1) 2m mod p. 1 p para algunos A 2m Z. Así, el denominador de B 2m es un número libre de cuadrado cuyos divisores primos son exactamente los números primos p tales que (p 1) 2m. En particular, 6 siempre divide al denominador de B 2m.

7 Congruencias en Z p Sea m N {0} par. Escribimos B m = U m V m, U m, V m Z, (U m, V m ) = 1. V m S m (n) U m n mod n 2. p número primo tal que (p 1) m S m (p) B m p mod p 2. n 1 [ ] ja (a, m) = 1 (a m 1)U m ma m 1 V m j m 1 mod n. n j=1 p número primo tal que (p 1) m B m m Z p. Sean n, e N con n m mod φ(p e ). Entonces, (1 p n 1 ) B n n (1 pm 1 ) B m m mod pe.

8 Números primos regulares e irregulares Un número primo p 3 se dice que es regular si, para j = 2, 4,..., p 3, se tiene que ord p (B j ) 0, o en otras palabras, p U j. Cuando un número primo no es regular, se dice que es irregular. El 3 es regular por definición. Existe una infinidad de números primos irregulares. No se sabe nada aún acerca de la finitud o infinitud del conjunto de números primos regulares. Sin embargo, si se supone que los números U j se encuentran aleatoriamente distribuidos módulo cualquier número primo (lo cual es plausible), se #{q q p, q es irregular} concluye que lím p #{q = 1. En otras palabras, q p} e lím p P(p es irregular) = 1 e 0,61.

9 Último teorema de Fermat: Definiciones preliminares Si n N, por ζ n entenderemos una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Se define el n-ésimo campo ciclotómico como el mínimo subcampo de C que contiene a ζ n, es decir, Q(ζ n ). Se define el n-ésimo anillo ciclotómico como el mínimo subanillo de C que contiene a ζ n, es decir, Z[ζ n ]. Si K/Q es una extensión algebraica de campos, se define el anillo de enteros de K, denotada por O K, como sigue: O K = {α K irr(α, Q, X) Z[X]}. Si D es un dominio entero, decimos que D es dominio Dedekind si D es noetheriano, enteramente cerrado, y cada ideal primo de D es un ideal maximal. Un subconjunto I D es un ideal fraccional de D si I es un D-submódulo de coc(d), y existe un elemento r D tal que ri D. Dado un dominio Dedekind D, y dos ideales fraccionales I, J de D, definimos el producto de I y J como sigue: { n } IJ = a i b ai i I, b i J, n N i=1

10 Último teorema de Fermat: Los teoremas Si D es un dominio Dedekind, entonces todos sus ideales fraccionales se factorizan de manera única como producto de ideales primos, y el conjunto de ideales fraccionales de D forma un grupo cuya identidad es D. Si K/Q es una extensión de Galois, entonces el anillo de enteros de K es un dominio Dedekind. Si p es un número primo, entonces Z[ζ p ] es el anillo de enteros de Q(ζ p ). En consecuencia, el anillo Z[ζ p ] es un dominio Dedekind para p número primo. Pese a que los únicos números primos p tales que Z[ζ p ] es un dominio de ideales principales (y por lo tanto un dominio de factorización única) son los p 19, sin embargo para cualquier p se cumple la factorización única de los ideales de Z[ζ p ].

11 Último teorema de Fermat: El número de clases Dado un dominio Dedekind, definimos su grupo de clases como el grupo cociente entre el grupo de ideales fraccionales de D y su subgrupo que consta de los ideales fraccionales principales. El número de clases de un dominio Dedekind D, denotado por h(d), es el orden de su grupo de clases. Si K/Q es una extensión de Galois, entonces el número de clases h(k) del campo K es el número de clases de su anillo de enteros. Si K/Q es una extensión finita y separable, entonces h(k) <. Sea p un número primo. Entonces, p es regular si y sólo si p h(q(ζ p )).

12 Último teorema de Fermat: Un caso particular Supóngase que se tienen x, y, z Z tales que x p + y p = z p, p xyz, en donde p es un número primo regular. x + y x + ζ p y x + ζ 2 py x + ζ p 1 p y = z p. Si i, j Z con i j mod p, entonces los ideales x + ζ i py y x + ζ j py son primos relativos. En consecuencia, para cada i Z, el ideal x + ζ i py es una potencia p- ésima perfecta. Existe un β Z[ζ p ] y un s Z tales que x + ζ p y = ζ s pβ, con β n mod p para algún n N. p x + ζ p y ζ 2s p x ζ 2s 1 p y en Z[ζ p ]. Esto último implica que p x o p y, una contradicción.

13 Referencias [1] Hungerford, T. W., Algebra, Springer-Verlag New York Inc., [2] Ireland, Kenneth y Rosen, Michael, A classical introduction to modern number theory, Graduate Texts in Mathematics (84), Springer-Verlag, [3] Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields, Graduate Studies in Mathematics (7), American Mathematical Society, Second Edition [4] Karpilovsky, Gregory, Field Theory, Monographs and Textbooks in Pure an Applied Mathematics (120), Marcel Dekker, [5] Lang, Serge, Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics (110), Springer-Verlag, [6] Rademacher, Hans, Topics in analytic number theory, Springer-Verlag, [7] Titchmarsh, E. C., The theory of the Riemann zeta-function, Oxford University Press, [8] Washington, Lawrence C., Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics (83), Springer-Verlag, 1982.