Cuando La Teoría De Números Se Encuentra Con La Geometría Algebraica

Transcripción

1 Cuando La Teoría De Números Se Encuentra Con La Geometría Algebraica Una Invitación A La GeometrÍa Aritmética Vía Las Conjeturas De Weil Dr. J. Rogelio (Yoyontzin) Pérez Buendía CIMAT - Guanajuato

2 Cuando La Teoría De Números Se Encuentra Con La Geometría Algebraica Una Invitación A La GeometrÍa Aritmética Vía Las Conjeturas De Weil Dr. J. Rogelio (Yoyontzin) Pérez Buendía CIMAT - Guanajuato

3 Pero qué es la Geometría Geometría Analítica: Algebraica? Linea y = mx + b Círculo x 2 + y 2 = r 2

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6 Resolver el sistema: { y = mx + b x 2 + y 2 = r 2

7 Resolver el sistema: { y = mx + b x 2 + y 2 = r 2

8 Resolver el sistema: { y = mx + b x 2 + y 2 = r 2 x 2 +(mx + b) 2 = r 2

9 Resolver el sistema: { x 2 + y 2 = r 2 x 2 +(2mb)x +(b 2 r 2 )=0 y = mx + b x 2 +(mx + b) 2 = r 2

10 x 2 x 1 Resolver el sistema: { x 2 + y 2 = r 2 x 2 +(2mb)x +(b 2 r 2 )=0 y = mx + b x 2 +(mx + b) 2 = r 2

11 Polinomios y su Geometría

12 Polinomios y su Geometría En una variable: x 3 x +4

13 Polinomios y su Geometría En una variable: Dos variables: x 3 x +4 2x 5 3xy 2 + y 3

14 Polinomios y su Geometría En una variable: Dos variables: Tres variables: x 3 x +4 2x 5 3xy 2 + y 3 x 5 y 7 + x 2 z 8 xyz +2

15 Polinomios y su Geometría En una variable: Dos variables: Tres variables: x 3 x +4 2x 5 3xy 2 + y 3 x 5 y 7 + x 2 z 8 xyz +2 Atributos: El número de variables, Los coeficientes, El grado

16 En general uno puede usar n variables, en cuyo caso estas son frecuentemente denotadas: x 1,...,x n f(x 1,...,x n ) = f(x) Funciones polinomiales son el único tipo de funciones con las que las computadoras pueden trabajar

17 Ceros de Polinomios

18 Ceros de Polinomios Ceros de x 2 + y 2 r 2 =0

19 Ceros de Polinomios Ceros de x 2 + y 2 r 2 =0 Ceros de y mx b =0

20 Ceros de Polinomios Ceros de x 2 + y 2 r 2 =0 Ceros de y mx b =0 { Ceros comunes: z x y =0 2x 2 +3y 2 z 2 7=0

21 Ceros de Polinomios Ceros de x 2 + y 2 r 2 =0 Ceros de y mx b =0 { Ceros comunes: z x y =0 2x 2 +3y 2 z 2 7=0

22 Conjuntos Algebraicos Definición: Al conjunto de ceros comunes de un sistema de ecuaciones polinomiales, en cualquier número de variables lo llamamos Conjunto Algebraico. A veces también les decimos variedades algebraicas.

23 Geometría en muchas dimensiones? Esfera en el espacio de 5 dimensiones: x x x x x 2 5 r 2 =0, La importancia de la geometría algebraica se deriva de la notable interacción entre el álgebra y la geometría y la frecuencia con la que esto ocurre.

24 La Mayoría de las formas son Algebraicas!

25 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas

26 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos

27 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Elipses

28 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Elipses Hipérbolas

29 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Elipses Hipérbolas Hiperboloides

30 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Elipses Hipérbolas Hiperboloides Paraboloides

31 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Elipses Hipérbolas Hiperboloides Paraboloides Elipsoides

32 La Mayoría de las formas son Algebraicas! Rectas Planos Concoide de Durero Elipses Hipérbolas Hiperboloides Paraboloides Elipsoides

33 No toda figura es algebraica

34 No toda figura es algebraica Se puede describir con polinomios: 0 apple x apple a y appley apple b

35 No toda figura es algebraica Se puede describir con polinomios: No se puede describir con polinomios 0 apple x apple a y appley apple b y =sin(x)

36 Aproximación Polinomial Polinomio de Taylor de grado 7: sin(x) ' x 1 6 x x5 540 x7

37 Teorema de Nash

38 Teorema de Nash Teorema: Toda figura geométrica razonable es algebraica si ignoramos lo que pasa lejos del origen.

39 Teorema de Nash Teorema: Toda figura geométrica razonable es algebraica si ignoramos lo que pasa lejos del origen. Qué es razonable? Fracases NO. Las formas amables es lo que se conoce por manifold (variedad diferenciable)

40 Códigos y Geometrías Finitas

41 Códigos y Geometrías Finitas x 2 + y 2 = z 2

42 Códigos y Geometrías Finitas El cono doble: x 2 + y 2 = z 2

43 Códigos y Geometrías Finitas El cono doble: Ternas Pitagóricas x z y x 2 + y 2 = z 2

44 Códigos y Geometrías Finitas El cono doble: Ternas Pitagóricas x z y x 2 + y 2 = z 2 (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

45 Códigos Pongamos tensión en la paridad de x 2 + y 2 = z y4 2 son ambos pares (mod 2) La ecuación módulo 2 tiene cuatro soluciones: (0,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0) Fue una sorpresa cuando se descubrió que usando polinomios y sus soluciones módulo 2 es una excelente -posiblemente la mejor- manera de construir códigos correctores de errores.

46 Espacios Tridimensionales 3 - Espacio de Fano: Es el espacio tridimensional sobre el campo con 2 elementos tiene 15 puntos, 35 rectas y 15 planos.

47 Espacios Tridimensionales 3 - Espacio de Fano: Es el espacio tridimensional sobre el campo con 2 elementos tiene 15 puntos, 35 rectas y 15 planos. Podríamos trabajar módulo cualquier entero: Si trabajando módulo 7, tenemos 0,1,2,3,4,5,6 como posibles coordenadas, y entonces un espacio tridimensional módulo 7 tiene 343 puntos.

48 Puntos Reales vs Puntos Complejos Los puntos reales de la recta y sus puntos complejos:

49 Espacio Proyectivo Los puntos de P n C están representados por (n+1)-ádas de coordenadas homogéneas no todas nulas tal que:. [x 0,x 1,...,x n ]=[ x 0,..., x n ] Una variedad proyectiva es un subconjunto de P n C dado por los ceros comunes de polinomios homogéneos.

50 Variedades e Ideales Un conjunto algebraico sobre un campo algebraicamente cerrado (irreducible) es una variedad (afín). V (S) :={x 2 C n : f(x) =0, 8 f 2 S} S C[x] =C[x 1,...,x n ]

51 Ideales y Variedades Dado un subconjunto cualquiera Z C n le asociamos el conjunto de polinomios que se anulan simultáneamente en Z: I(Z) :={f 2 C[x] :f(z) =08 z 2 Z}

52 Ideales y Variedades Dado un subconjunto cualquiera Z C n le asociamos el conjunto de polinomios que se anulan simultáneamente en Z: I(Z) :={f 2 C[x] :f(z) =08 z 2 Z} Si I es un ideal generado por un conjunto de polinomios S, entonces:

53 Ideales y Variedades Dado un subconjunto cualquiera Z C n le asociamos el conjunto de polinomios que se anulan simultáneamente en Z: I(Z) :={f 2 C[x] :f(z) =08 z 2 Z} Si I es un ideal generado por un conjunto de polinomios S, entonces: V (I) =V (S)

54 Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones: {Ideales} {Variedades}

55 Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones: {Ideales} {Variedades} Y tal que:

56 Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones: {Ideales} {Variedades} Y tal que: Z V (I(Z))

57 Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones: {Ideales} {Variedades} Y tal que: Z V (I(Z)) con igualdad cuando Z es algebraico.

58 Tenemos una correspondencia que invierte inclusiones: {Ideales} {Variedades} Y tal que: Z V (I(Z)) con igualdad cuando Z es algebraico. Teorema: (Nullstellensatz): La correspondencia es biyectiva cuando nos restringimos a ideales radicales.

59 Problemas Diofantinos

60 Problemas Diofantinos Problema: Muestra que la ecuación: x 2 + y 2 =7z 2 no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales.

61 Problemas Diofantinos Problema: Muestra que la ecuación: x 2 + y 2 =7z 2 no tiene soluciones (no triviales) con x,y,z racionales. Problema: Qué podemos decir de: x 5 + y 5 =7z 5

62 Solucion: p = int(raw_input('ingresa el módulo: ')) lista = range(0,p) count = 0 for a in lista: for b in lista: for c in lista: if ((a**n)+(b**n) -7*(c**n)) % p == 0: count = count + 1 print count, (a,b,c) print 'Hay %d soluciones a la ecuaión a^%d +b^%d = 7c^%d móudlo %d ' % (count, n,n,n,p) Encontramos que módulo 7 tiene 49 soluciones, módulo 2 tiene 4, módulo 3 tiene 9, módulo 11 tiene 51, módulo 13 tiene 169 etc...

63 Problemas Diofantinos

64 Problemas Diofantinos Tiene la ecuación soluciones en el anillo de polinomios?

65 Problemas Diofantinos Tiene la ecuación soluciones en el anillo de polinomios? A los problemas de encontrar soluciones de ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama problemas Diofantínos sobre R.

66 Problemas Diofantinos Tiene la ecuación soluciones en el anillo de polinomios? A los problemas de encontrar soluciones de ecuaciones polinomiales en un anillo R se les llama problemas Diofantínos sobre R. Con una ecuación particular podemos asociar una cantidad infinita de problemas Diofantinos, uno para cada anillo conmutativo R.

67 La Función z de Riemann Bernhard Riemann ( ), Fundó en su tesis dirigida por Carl Friedrich Gauß, la base de la geometría Riemanniana. Se interesó también a la aritmética: Definición la función zeta: (s) = 1X n=1 1 n s

68 Riemann:

69 Riemann: ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s =1

70 Riemann: ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s =1 Verifica una ecuación funcional: s (s) =2 s s 1 sin 2 (1 s) (1 s)

71 Riemann: ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s =1 Verifica una ecuación funcional: s (s) =2 s s 1 sin 2 (1 s) (1 s) Tiene ceros tribales en los pares negativos.

72 Riemann: ζ(s) puede extenderse a todo el plano complejo salvo en s =1 Verifica una ecuación funcional: s (s) =2 s s 1 sin 2 (1 s) (1 s) Tiene ceros tribales en los pares negativos. Hipótesis de Riemann: Los ceros no triviales tienen parte real igual a 1/2

73 Fórmula de Euler Euler ( ): (s) = Y p primo 1 1 p s

74 Fórmula de Euler Euler ( ): (s) = Y p primo 1 1 p s La hipótesis de Riemann no ha sido demostrada hasta ahora, y es considerada uno de los problemas del milenio no resueltos. Uno de los 23 problemas de Hilbert que propuso en el congreso de Paris de 1900 y es uno de los 7 problemas para los que el Instituto Clay tiene designado un millón de dórales para quien presente una prueba correcta.

75 Las Conjeturas de Weil

76 Las Conjeturas de Weil En 1923 Emil Artin ( ) formula, en su tesis de habilitación en la universidad de Hamburgo, un análogo a la hipótesis de Riemann en donde el 1/2 juega un papel importante.

77 Las Conjeturas de Weil En 1923 Emil Artin ( ) formula, en su tesis de habilitación en la universidad de Hamburgo, un análogo a la hipótesis de Riemann en donde el 1/2 juega un papel importante. La construcción de base es que hay una fuerte analogía entre el campo de números racionales Q y el campo F p (t) F p racionales en una variable sobre el campo finito. de funciones

78 Las Conjeturas de Weil En 1923 Emil Artin ( ) formula, en su tesis de habilitación en la universidad de Hamburgo, un análogo a la hipótesis de Riemann en donde el 1/2 juega un papel importante. La construcción de base es que hay una fuerte analogía entre el campo de números racionales Q y el campo racionales en una variable sobre el campo finito. de funciones Más aún, hay una gran analogía entre los campos que son una extensión finita de Q (los llamados campos numéricos) y las extensiones finitas de F p (t) F p (t) F p (llamados campos de funciones.)

79 Campos finitos?

80 Campos finitos? Ejemplos de campos finitos son los enteros módulo un primo: Z/pZ = F p.

81 Campos finitos? Ejemplos de campos finitos son los enteros F p módulo un primo: Z/pZ =. El campo F 9 con 9 elementos no es un campo de congruencias de los enteros.

82 Teorema de Galois Teorema: Para todo número de la forma con p un número primo y n entero positivo, existe un campo finito F con exactamente p n campo finito tiene exactamente elementos. Más aún, todo elementos para un primo p y un entero n>0. Además cualesquiera dos campos finitos con q elementos son isomorfos. p n p n

83 Teorema:

84 Teorema: Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito. Entonces sólo hay un campo finito con q elementos en la cerradura algebraica.

85 Teorema: Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito. Entonces sólo hay un campo finito con q elementos en la cerradura algebraica. si n m, entones el campo finito con p n elementos está contenido en el campo con p m elementos.

86 Teorema: Si fijo una cerradura algebraica de un campo finito. Entonces sólo hay un campo finito con q elementos en la cerradura algebraica. si n m, entones el campo finito con p n elementos está contenido en el campo con p m elementos. Todo campo finito es un cociente de un anillo de polinomios en una variable con coeficientes en Z/pZ.

87 La función Z de una variedad sobre un campo finito Sea X una variedad sobre el campo finito con q elementos: (X, s) := Y x2x 1 1 q(x) s

88 La función Z Con un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que: (X, s) =exp 1X k=1 N k (q s ) k k!

89 La función Z Con un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que: (X, s) =exp 1X k=1 N k (q s ) k k! En donde N K = X(F q k)

90 Las Conjeturas de Weil

91 Las Conjeturas de Weil Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito F q. Entonces se debería cumplir que:

92 Las Conjeturas de Weil Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito F q. Entonces se debería cumplir que: ζ(x,s) puede ser escrita como ua función q s racional en.

93 Las Conjeturas de Weil Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito F q. Entonces se debería cumplir que: ζ(x,s) puede ser escrita como ua función q s racional en. Si n = dim(x), y si hacemos t = q s. Entonces: (X, s) = P 1(t)P 3 (t) P 2n 1 (t) P 0 (t)p 2 (t) P 2n (t)

94 Las Conjeturas de Weil Si X es una variedad proyectiva suave sobre escampo finito F q. Entonces se debería cumplir que: ζ(x,s) puede ser escrita como ua función q s racional en. Si n = dim(x), y si hacemos t = q s. Entonces: (X, s) = P 1(t)P 3 (t) P 2n 1 (t) P 0 (t)p 2 (t) P 2n (t) En donde las raíces de Pi son números complejos de norma q i/2

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96 (X, s) = P 1(t)P 3 (t) P 2n 1 (t) P 0 (t)p 2 (t) P 2n (t)

97 (X, s) = P 1(t)P 3 (t) P 2n 1 (t) P 0 (t)p 2 (t) P 2n (t) Las raíces de P i (t) son las mismas que las raíces de: t deg P 2n i (1/q n t).

98 (X, s) = P 1(t)P 3 (t) P 2n 1 (t) P 0 (t)p 2 (t) P 2n (t) Las raíces de P i (t) son las mismas que las raíces de: t deg P 2n i (1/q n t). Si X es la reducción módulo p de una variedad X definida sobre un subcampo de los complejos, entonces los b i = grad P i es el i -ésimo número de Betti de X con la topología analítica.

99 La función Z del círculo

100 La función Z del círculo Calculemos la función z de x 2 + y 2 =1, para p un primo de la forma 4s-1. El círculo es racional a la recta, por lo que: y entonces:

101 La función Z del círculo Calculemos la función z de x 2 + y 2 =1, para p un primo de la forma 4s-1. El círculo es racional a la recta, por lo que: y entonces: N k = q k +1

102 La función Z del círculo Calculemos la función z de x 2 + y 2 =1, para p un primo de la forma 4s-1. El círculo es racional a la recta, por lo que: y entonces: N k = q k +1 (X, t) = 1 (1 t)(1 qt) = 1 (1 q s )(1 q 1 s )

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104 Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas.

105 Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φ m (actuando en todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica).

106 Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φ m (actuando en todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica). En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una suma alternada de las traces en el grupo de cohomología:

107 Weil sugirió que sus conjeturas de deberían seguir de la existencia de una teoría de cohomología adecuada ``una teoría de cohomología de Weil'' para variedades sobre campos finitos, que sea similar a la cohomología usual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea fue que si φ es el automofismo de Frobenius sobre un campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo finito de orden q^m es el número de puntos fijos de φ m (actuando en todos los puntos de la variedad X definida sobre la cerradura algebraica). En topología, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular usando la fórmula de puntos fijos de Lefschetz, dando como una suma alternada de las traces en el grupo de cohomología: X(k) = q dim X X i ( 1) i tr q 1 H i (X,Q`).

108 La demostración

109 La demostración La racionalidad de la función zeta fue probada por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos.

110 La demostración La racionalidad de la función zeta fue probada por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos. La ecuación funcional por Grothendieck en 1965

111 La demostración La racionalidad de la función zeta fue probada por B. Dwork en 1960, usando métodos p-ádicos. La ecuación funcional por Grothendieck en 1965 El análogo a la hipótesis de Riemann por Deligne en 1974.

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