Variedades de Shimura, formas modulares y puntos racionales

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1 Variedades de Shimura, formas modulares y puntos racionales Consejo Superior de Investigaciones Científicas 28 de Junio de 2007 Víctor Rotger Universitat Politècnica de Catalunya

2 Sea f = q + n 2 a n q n S 2 (N) una forma modular por Γ 0 (N) de peso 2 y nivel N 1. Asumamos que: T p (f ) = a p f para p N, w p (f ) = ±f para p N. f es nueva: ortogonal a toda forma vieja g(dz), g S 2 (M), M N, d N M. f no tiene multiplicación compleja: No existe ningún caracter χ 1 tal que χ(a p ) = a p para p N.

3 E f = Q(a 2, a 3, a 4, a 5,...) es un cuerpo de números. F f = Q({a 2 2, a2 3,...) es un subcuerpo totalmente real de E f. B f = χ E f β χ es una álgebra central simple sobre F f, con E f como subcuerpo maximal. Aquí, χ recorre los inner-twist de f : caracteres de Dirichlet tales que χ(p)a p = σ(a p ) para todo p N, para algún σ Hom(E f, C).

4 CONJETURA: El número de clases de isomorfismo de álgebras E f y B f de grado dado sobre Q es finito. Sea A f / Q el factor de J 0 (N) asociado a f. End Q (A f ) es un orden en E f y [E f : Q] = dim(a). End Q (A f ) es un orden en B f y [B f : Q] = 2 dim(a). CONJETURA: Sea g 1. Existe sólo un número finito de anillos de endomorfismos End K (A) de variedades abelianas modulares A/Q de dimension g. Aquí, K/Q es una extensión algebraica arbitraria.

5 Cuando g = 1, End Q (A) = { Z R Q( d), h(r) = 1 En g = 2: Sea A = E 1 E 2 con E 1, E 2 curvas eĺıpticas sobre Q. End Q (A) = { Z Z si E 1, E 2 no son isógenas M 0 (N) si existe una isogenia cíclica de grado N. ( ) a b Aquí, M 0 (N) = { M c d 2 (Z), N c}. Mazur: Hay un número finito de posibilidades para End Q (A).

6 OBJETIVO: Centrarnos en el caso E f B f donde B f es una álgebra de división.

7 En general, para cualquier A Q A f : End Q (A) Q M n (B) donde B = { E Cuaterniones totalmente indefinido sobre F. A es isógena sobre Q a A n 0, donde A 0/ Q es absolutamente simple y End Q (A 0) Q B: un building block.

8 Recíprocamente, sea A/Q es una variedad abeliana tal que: End Q (A) es un orden en un cuerpo de números E de grado [E : Q] = dim(a). O = End Q (A) es un orden en una álgebra de cuaterniones totalmente indefinido sobre F. Por los trabajos de Khare, Wintenbeger, Dieulefait y Kisin que demuestran la Conjetura de Modularidad de Serre: A A f para alguna f S 2 (N).

9 Por los trabajos de Ribet, Existe un (único) inner-twist no-trivial χ de f. E = F ( m) para algún m F \ F 2 totalmente positivo. O = End K (A), donde K = Q χ Q( d), d 1. B ( d,m F ). Sea D = r donde B F i M 2 (F i ).

10 Problema. Dados E, B, K, existe una variedad abeliana (modular) A/Q tal que End Q (A) Q E End K (A) Q B? O una f S 2 (N) tal que E E f, B B f y χ = ( K ) como inner twist?

11 Encuesta. N D m disc(k) N 5500, F = Q.

12 N [F : Q] disc(f ) D N F /Q (m) disc(k) [9, 11] [2, 3] [4, 11] [4, 11] [5, 11] [2, 5] [3, 17] [3, 8] [3, 3] [2, 3] [9, 11] [5, 9] 5 3 N 5500, 2 [F : Q] 4 (J. Quer).

13 Dos puntos de vista: Interpretación de móduli: variedades de Shimura. Métodos locales: análisis no-arquimediano en D. Métodos globales: Descenso. Métodos brutales: Cálculo y inspección de ecuaciones. Representaciones de Galois en T (A) en D.

14 Variedades de Shimura: Fijemos O B. G = Res F /Q (B ) algebraico reductivo sobre Q: G(Q) = B. G(H) = (B Q H) para toda álgebra H sobre Q. G(R) GL 2 (R). (n).. GL 2 (R). Ô = O G(A f ), un subgrupo compacto abierto. Aquí, n = [F : Q] y g = [E : Q] = 2n.

15 Definamos la variedad de Shimura X O,C = G(Q)\H n ± G(A f )/Ô = h Γ i \H±, n i=1 donde H ± = P 1 (C) \ P 1 (R). Γ i = O i, donde cada O i es localmente isomorfo a O. Sea X O el modelo canónico de Shimura de X O,C sobre F.

16 Si F = Q y O = M 0 (N) X 0 (N). Si O B = M 2 (F ) variedad de Hilbert-Blumenthal. Si B es una álgebra de cuaterniones de división totalmente indefinida: X O es una variedad de Shimura compacta, dim(x O ) = [F : Q].

17 Sea O B un orden maximal. X O (C) = { (A, ι) } / A es una variedad abeliana de dimensión g = 2[F : Q], ι : O End(A), Para K/Q, como X O es sólamente un esquema de móduli grueso: X O (K) { A/K, ι : O End K (A) }.

18 Sea A/Q una variedad abeliana modular con O ι End K (A) B: [A, ι] X O (K). R E = F (ω m ) B donde ω 2 m = m y R = E O. ω m B induce una involución de Atkin-Lehner en X O : (A, ι) (A, ω 1 m ιω m ). (A, ι R ) X O / ω m (Q), donde ι R : R End Q (A).

19 Podemos demostrar que X O / ω m (Q) =? (Shimura) X O (R) =. (Cerednik, Drinfeld) Cuando F = Q y p D = (D): X O (C p ) Γ\( P 1 (C p ) P 1 (Q p ) ) donde Γ PSL 2 (Q p ), X O mod p Γ\T p, donde Γ = O [ 1 p ] 1, disc(o ) = D/p y T p es el árbol de Bruhat-Tits. (Zink, Rapoport, Varshavsky) Teoría análoga en dimensión superior.

20 Cuando F = Q, denotamos X D en lugar de X O con disc(o) = (D). (R.-Skorobogatov-Yafaev) m D. Si m D, D/p, X D / ω m (Q) X D / ω m (A) =. X D / ω D (Q p ) para todo p. Criterios expĺıcitos para X D / ω m (A) =, donde D = pm es una factorización con p primo. (R.) Si D > 546, X D / ω m (Q) es un conjunto finito.

21 Descenso en π : X O X O / ω m. Sea Z el producto de p N F /Q (disc(o)) disc(f /Q). π : X O X O / ω m extiende a un morfismo liso sobre Z[ 1 ]. Supongamos que mr f es libre de cuadrados y τ(m) > 4 para algún τ : F R. Entonces π es étale si algún primo D descompone en F ( m). X O / ω m (Q) = d d π ( d X O (Q)). d X O es el twist cuádratico asociado a Q( d). Podemos limitarnos a d < 0 y no-ramificados fuera de. X / ω 107 viola el principio de Hasse sobre Q.

22 Métodos brutales: ecuaciones y conteo de puntos. D g X D ω p (x, y) ω q (x, y) 6 0 x 2 + y = 0 ( x, y) ( x, y) 10 0 x 2 + y = 0 ( x, y) ( x, y) 22 0 x 2 + y = 0 ( x, y) ( x, y) 14 1 (x 2 13) y 2 = 0 ( x, y) ( x, y) 15 1 (x )(x 2 + 3) + 3y 2 = 0 ( x, y) ( x, y) 21 1 x 4 658x y 2 = 0 ( x, y) ( x, y) 33 1 x x y 2 = 0 ( x, y) ( x, y) x 4 26x x x y 2 = 0 ( 1 x, y ) ( 1 x 2 x, y ) x (x 2 45) y 2 = 0 ( x, y) ( x, y) 26 2 y 2 = 2x x 4 24x ( x, y) ( x, y) 38 2 y 2 = 16x 6 59x 4 82x 2 19 ( x, y) ( x, y) y 2 = x 6 39x 4 431x ( x, y) ( x, y)

23 Sea Y = X D / ω q, donde D = pq. D Y (Q) Y CM (Q) {A, i : Q( q) End 0 (A)} >

24 Teorema (González-R.) Sea π : X D X D / ω m para algún m D. La obstrucción en Br(Q) para que un punto P X D / ω m (Q) corresponda a es Aquí, π 1 (P) X D ( Q( d) ). (A/Q, ι : Z[ q] End Q (A)) B ( d, m Q ).

25 D X D / ω D X D / ω D (Q) 91 Y 2 = X X 4 3X (0, ±1), (±1, ±4), (±3, ±28) 123 Y 2 = 9X X 4 + 5X (0, ±1), (±1, ±4), (±1/3, ± 4 3 ) 141 Y 2 = 27X 6 5X 4 7X (±1, ±4), (± 1 3, ± 4 9 ), (0, ±1), (± 11 13, ± ) 142 Y 2 = 16X 6 + 9X 4 10X ±, (0, ±1), (±1, ±4), (± 1 3, ± 4 27 ) 155 Y 2 = 25X 6 19X X 2 1 ±, (±1, ±4), (± 1 3, ± 4 27 ) 158 Y 2 = 8X 6 + 9X X (±1, ±4), (0, ±1), (± 1 3, ± ) 254 Y 2 = 8X X 4 18X (0, ±1), (±1, ±2), (±2, ±29) 326 Y 2 = X X 4 63X ±, (0, ±2) 446 Y 2 = 16X 6 7X X (0, ±1), (±1, ±4) Puntos en curvas X D / ω D de género 2 (Bruin-Flynn-Gonzalez-R.)

26 Conclusión. Sea f S 2 (Γ 0 (N)) una forma nueva sin CM, con un inner-twist ( d ) tal que E f = Q( m) y disc( d,m Q ) = D > 1. Métodos locales: m D, m = D o D/p con p primo sujeto a restricciones expĺıcitas dadas por congruencias. Descenso: d 2D (D, m) (23, 107) y ejemplos similares, siempre explicados por la obstrucción de Brauer-Manin. Fuerza bruta: (D, m) (91, 91), (123, 123), (155, 155), (158, 158), (326, 326), (446, 446).

27 Teorema (R.) 1 Sea f S 2 (N) una forma nueva con un inner-twist por χ = ( d ). Sea E f = F f ( m) y D = disc(b f ) (1). (i) mr F = m 2 0 m con m D. (ii) p 3 mod 4 para todo D, m. (iii) Asumamos que D m y Q(ζ n + ζ 1 n ) F para n 1, 2, 3, 4, 6. Para todo l tal que (D, l) = 1, l, 2l, 3l, 2l ± 3l F y ( K l ) 1: 1 Suponemos por simplicidad que (D, 2) = 1.

28 ( l ) = 1 para todo D, o P l para todo D, m, donde P l = { : l, a 2 sl, ó a 4 4a 2 l + l 2 }, para 0 s 4 y a R F \ {0}, τ(a) 2 l τ : F R. P l es un conjunto pequeño de primos excepcionales pequeños. Cuando F = Q, P 2 = {2, 3, 5, 7} y P 3 = {2, 3, 5, 11, 23}.

29 Teorema. Sea F f = Q, E f = Q( m), χ = ( d ) y D = disc( d,m Q ) = pm con p, m primos impares. Entonces (i) p 3 mod 4 y ( p m ) = 1. (ii) Si m 3 mod 4, entonces d = p y ( l m ) = 1 para todo l 2 tal que ( l p ) = 1 y p P l. (iii) Si m 1 mod 4, entonces d = p o pm. Si d = p, entonces ( l p ) = 1 para todo l tal que ( l p ) = 1 y p P l. Si d = pm, entonces p 3 mod 8 y p Pl para todo primo l 2 tal que ( pm l ) = 1.

30 Idea de la demostración. La filosofía de la prueba de Fermat es: Sea (a, b, c) una solución de X p + Y p = Z p, p primo, p 5, b par, a 3 mod 4. Sea A : y 2 = x (x a p ) (x + b p ). la curva eĺıptica de Frey. Sea r l : G Q Aut (A[l]) GL 2 (F l ). Y vemos que tal representación no puede existir.

31 Sea A f /Q la variedad abeliana asociada a f Q End Q (A f ) E f. r : G Q Aut( T (A f )) GL 2 (E f, ) con D, 2m. Sea l tal que l, 2l, 3l, 2l ± 3l F, ( K l ) 1, P l. Queremos demostrar que ( l q ) = 1 para todo q D.

32 A f /Q tiene buena reducción potencial en l : Ã f / F l. P ϕl = T 2 a l T + l, a l R F, τ (a l ) 2 l. Lema. Existe un caracter α : G Q k = F q tal que ( χ α q ) r : G Q GL 2 (k ), r = 0. α Idea: α es la restricción de r a un cierto A f [I ] A f [ ] A[p].

33 Corolario. a l mod = α (ϕ l ) + lα (ϕ 1 l ). Proposición. Existe un entero par κ tal que α (ϕ κ l ) = lκ/2 F p. Si Q(ζ n + ζ 1 n ) F para n = 5 y n 7, κ = 24. Idea: Para l p, α (I l ) 24 = {1}. Corolario. a l mod = l (ζ + ζ 1 ), ζ 24 = 1.

34 Puesto que P l : a l = l (ζ + ζ 1 ) = 0. Puesto que ( K l ) = 1, la teoría de Honda-Tate: B = Q End K (A) Q End Fl (Ã) = M 2n (Q( l)). B actua F q ( l)-linealmente en T q (A) = T q (Ã). Como dim Fq( l) T q(a) = 2, B M 2 (F q ( l)). B F q es álgebra de division B F q M 2 (F q ) q es inerte en F ( l).

35 Proyecto (con Luis García): Formas modulares p-ádicas en X O para p D se construyen como integrales de distribuciones en P 1 (Q p ) contra un núcleo de Poisson. Investigar esta construcción en relación con los haces canónicos de X O, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer p-ádica,...