Teoría de Galois diferencial

Transcripción

1 Universidad Euskal Herriko del País Vasco Unibertsitatea 29 de febrero de 2012 Teoría de Galois diferencial Teresa Crespo, Universitat de Barcelona

2 Cronología Joseph Liouville ( ) Sophus Lie ( ) Émile Picard ( ) Ernest Vessiot ( ) Joseph Ritt ( ) Ellis Kolchin ( ) Differential algebra is easily described: it is (99 per cent or more) the work of Ritt and Kolchin., I. Kaplansky, An introduction to differential algebra, 1957.

3 Extensión de Picard-Vessiot K cuerpo diferencial d : K K, d(a+b) = da+db, d(ab) = (da)b+a(db) C K := {a K : d(a) = 0} (subcuerpo de constantes) Consideramos cuerpos de característica 0. y 1,...,y r K son linealmente independientes sobre C K Wr(y 1,...,y r ) := det((y (j) i ) 1 i r,0 j r 1 ) 0. (Wronskiano) L(Y) = Y (n) +a 1 Y (n 1) + +a n 1 Y +a n Y = 0,a i K Si L K es extensión de cuerpos diferenciales, el conjunto de soluciones de L(Y) = 0 en L es C L -espacio vectorial de dimensión n. Una extensión de Picard-Vessiot de K para L(Y) = 0 es un cuerpo diferencial L, extensión de K tal que 1. L contiene n soluciones y 1,...,y n de L(Y) = 0, linealmente independientes sobre constantes (Sistema fundamental de soluciones) 2. L = K y 1,...,y n 3. C L = C K

4 Existencia y unicidad de la extensión Picard-Vessiot K cuerpo diferencial, C K algebraicamente cerrado, L(Y) = Y (n) +a 1 Y (n 1) + +a n 1 Y +a n Y = 0,a i K Construcción. K[{Y i,j } 0 i n 1,1 j n ], Y i,j = Y i+1,j,0 i n 2, Y n 1,j = (a 1Y n 1,j + +a n 1 Y 1,j +a n Y 0,j ) A := K[{Y i,j } 0 i n 1,1 j n ][1/det(Y ij )] (Álgebra universal de soluciones) R := A/I, con I ideal diferencial maximal, es dominio de integridad L := Frac(R) es extensión Picard-Vessiot de K para L(Y) = 0 Proposición. Sea R una K-álgebra diferencial finitogenerada y dominio de integridad. Si R no tiene ideales diferenciales propios, entonces L = F rac(r) tiene cuerpo de constantes igual a C K. La extensión Picard-Vessiot es única salvo K-isomorfismo diferencial.

5 Grupo de Galois diferencial Si L K es extensión de Picard-Vessiot para L(Y) = 0, definimos su grupo de Galois diferencial por DGal(L K) := DAut K L. Si ϕ es K-automorfismo diferencial de L, y 1,y 2,...,y n sistema fundamental de soluciones de L(Y) = 0 en L, tenemos ϕ(y j ) = n c ij y i, c ij C K, i=1 y ϕ queda determinado por ϕ(y j ). Asociamos a ϕ la matrix (c ij ) GL(n,C K ). DGal(L K) GL(n,C K ).

6 El grupo lineal GL(n,C K ) se identifica con el cerrado de Zariski {(c 11,...,c nn,b) : det(c ij )b = 1} del espacio afín de dimensión n y DGal(L K) es un cerrado de Zariski de GL(n,C K ), es decir un grupo lineal algebraico. Se cumple dim DGal(L K) = grtr(l K).

7 Ejemplos K cuerpo diferencial con C K algebraicamente cerrado. Adjunción de una primitiva L = K α, con α = a K, tal que a no es derivada en K. Entonces L K es extensión transcendente, es Picard-Vessiot (para Y a a Y = 0), {( )} 1 c DGal(L K) C K GL(2,C 0 1 K ). Adjunción de la exponencial de una primitiva L = K α, con α /α = a K \{0}. Entonces L K es extensión Picard-Vessiot (para Y ay = 0). Si α es transcendente sobre K, DGal(L K) C K GL(1,C K ). Si α es algebraico sobre K, DGal(L K) es un grupo cíclico finito.

8 Teorema fundamental de la Teoría de Picard-Vessiot Sea K un cuerpo diferencial con cuerpo de constantes C K algebraicamente cerrado, L K extensión Picard-Vessiot. a) Las correspondencias F DGal(L F), H L H entre el conjunto de cuerpos diferenciales F con K F L i el conjunto de subgrupos cerrados H de DGal(L K) invierten inclusiones, son biyectivas e inversas una de otra. b) La extensión F K espicard-vessiotsi ysólo si DGal(L F) DGal(L K). En este caso DGal(F K) DGal(L K)/ DGal(L F).

9 Resolubilidad por cuadraturas Una extensión de cuerpos diferenciales K L se llama extensión de Liouville si existe una cadena de cuerpos intermedios K = F 1 F 2 F n = L tal que F i+1 F i,esalgebraicaoseobtieneporadjuncióndeunaprimitivaodelaexponencial de una primitiva, 1 i n 1. Teorema. Sean K un cuerpo diferencial con cuerpo de constantes C K algebraicamente cerrado, L K una extensión de Picard-Vessiot. Son equivalentes 1. L K es extensión de Liouville. 2. la componente conexa del cero de DGal(L K) es resoluble. Una solución de una ecuación diferencial definida sobre K se llama Liouvilliana si está contenida en una extensión de Liouville de K. Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 2, definidas sobre C(z), el algoritmo de Kovacic (1986) permite calcular explícitamente las soluciones Liouvillianas.

10 LaecuaciónY +ay +by = 0,setransformamedianteY (e2 1 a )Y eny = ry, con r = 1 2 a a2 b. Si y es solución de Y = ry, entonces y (1/y 2 ) también es solución, independiente de y. Ejemplos. 1. La ecuación de Airy Y = zy no tiene soluciones Liouvillianas. 2. Consideramos la ecuación de Chebyshev con α ±1/2, que se transforma en Una solución es Y + z z 2 1 Y α2 Y = 0,α R, z 2 1 Y = (α2 1/4)z 2 α 2 1/2 (z 2 1) 2 Y. y = e ω = (z 2 1) 1/4 (z + z 2 1) α.

11 Normalidad de extensiones de cuerpos diferenciales Una extensión L K de cuerpos diferenciales es normal si L DGal(L K) = K. Si K es cuerpo diferencial con cuerpo de constantes C K algebraicamente cerrado, 1. toda extensión Picard-Vessiot L K es normal. 2. sil K esextensióngaloisianafinita, laderivación dek seextiendealenforma única y L K es extensión Picard-Vessiot. Ejemplos. 1. La extensión Q( 2) Q es normal pero no Picard-Vessiot. 2. Consideramos F = R(t)(e 3t ),L = R(t)(e t ). Entonces L F es extensión de Picard-Vessiot para Y = Y, pero DGal(L F) = {Id L }, por tanto no es normal.

12 Normalidad de extensiones de cuerpos diferenciales Consideramos la torre de cuerpos L = R(t)(e t ) DGal(L F) = {Id L } L F no normal F = R(t)(e 3t ) K = R(t) DGal(L K) = R L K normal

13 Extensiones fuertemente normales Sea L K una extensión de cuerpos diferenciales. 1. Si M es un cuerpo diferencial, extensión de L, f : L M un K-morfismo diferencial, decimos que f es fuerte si (a) f(a) = a, para todo a C L, (b) Lf(L) = LC Lf(L). 2. L K es fuertemente normal si es diferenciablemente finitogenerada y, para cada cuerpo diferencial M, extensión de L, todo K-morfismo diferencial f de L en M es fuerte. L K fuertemente normal C L = C K El grupo de Galois diferencial de una extensión fuertemente normal tiene estructura de grupo algebraico definido sobre C K y se tiene un teorema fundamental galoisiano para extensiones fuertemente normales.

14 L K Picard-Vessiot L K fuertemente normal y DGal(L K) grupo lineal algebraico. Una extensión de Weierstrass es una extensión de cuerpos diferenciales L = K α, donde α es solución de una ecuación diferencial con g 2,g 3 C K,g g 2 3 0,a K. (α ) 2 = a 2 (4α 3 g 2 α g 3 ), Una extensión de Weierstrass es fuertemente normal y, si es transcendente, su grupo de Galois diferencial es la curva elíptica definida sobre C K por la ecuación Y 2 = 4X 3 g 2 X g 3.

15 Existencia de extensión Picard-Vessiot cuando C K C K Ejemplo de Seidenberg (1956). Consideramos R como cuerpo diferencial con derivación trivial. Sea α una solución de la ecuación Y 2 +4Y 2 +1 = 0 con α 0 y sea K = R α. Tenemos C K = R. Sea ahora η una solución no nula de la ecuación diferencial Y +Y = 0. Entonces K η tiene cuerpo de constantes C. (K = R(isin2t,icos2t), K η = K(sint,cost)) Un cuerpo (formalmente) real es un cuerpo K que puede dotarse de una relación de orden total, compatible con las operaciones de cuerpo. Equivalentemente, 1 no es suma de cuadrados en K. Un cuerpo real K se llama realmente cerrado si no tiene extensiones algebraicas reales, equivalentemente si K(i) es algebraicamente cerrado.

16 Existencia de extensiones Picard-Vessiot reales Teorema (T.C, Z. Hajto, E. Sowa) Sea K un cuerpo diferencial real con cuerpo de constantes C K realmente cerrado, L(Y) = 0 una ecuación diferencial lineal definida sobre K. Entonces existe una extensión Picard-Vessiot de K para L(Y) = 0 que además es real. Sea L K una extensión Picard-Vessiot, con K cuerpo diferencial real. Consideramos el conjunto DHom K (L,L(i)) de K-morfismos diferenciales de L en L(i). Tenemos biyecciones inversas una de otra DHom K (L,L(i)) DAut K(i) L(i) σ σ, DAut K(i) L(i) DHom K (L,L(i)) τ τ L, que permiten dar estructura de grupo a DHom K (L,L(i)). Tomamos este grupo como DGal(L K). Tiene una estructura de cerrado de Zariski, C K -definido de un grupo lineal algebraico sobre C K (i). Obtenemos una correspondencia biyectiva entre cuerpos diferenciales intermedios de L K y subgrupos cerrados de DGal(L K), C K -definidos.

17 Ejemplos de no unicidad 1. Consideramos K = R(t) con derivación d/dt y la ecuación Y +Y = 0. EntoncesL 1 = K(sint,cost), L 2 = K(isint,icost)sondosextensionesPicard- Vessiot de K para la ecuación dada, no isomorfas. Observamos que L 1 es real pero L 2 no. 2. Consideramos K = R(t) con derivación d/dt y la ecuación Y = Y 2t. Entonces L 1 = K( t), L 2 = K( t) son dos extensiones Picard-Vessiot reales de K para la ecuación dada, no K-isomorfas. Resolubilidad por cuadraturas A. Khovanskii: Pueden caracterizarse las extensiones Liouvillianas reales mediante una teoría de Picard-Vessiot real?

18 Teoría de Galois diferencial no lineal Hiroshi Umemura (1996) introduce el concepto de extensión automorfa de cuerpos diferenciales que engloba tanto las extensiones fuertemente normales de Kolchin como las extensiones cuasigaloisianas de la teoría de Hopf-Galois de Greither y Pareigis. Caracteriza las extensiones fuertemente normales como las extensiones automorfas que no añaden constantes. Hiroshi Umemura (1996) elabora una teoría de Galois diferencial general para extensiones de cuerpos diferenciales de característica 0 que asocia un grupo de Galois infinitesimal, grupo formal de dimensión infinita. Florian Heiderich (2010) elabora una teoría de Galois para módulo algebras que engloba la teoría de Umemura, la elaborada por Morikawa para ecuaciones en diferencias y que es válida en característica positiva. Bernard Malgrange (2001) elabora una teoría de Galois diferencial para ecuaciones no lineales, definidas sobre C, basada en la teoría de foliaciones.