Luis Dieulefait, Universitat de Barcelona. La conjetura de modularidad de Serre

Transcripción

1 Luis Dieulefait, Universitat de Barcelona La conjetura de modularidad de Serre

2 Formas Modulares versus Representaciones de Galois f forma modular cuspidal de peso k y nivel N, forma propia de Hecke: Serre preguntó (1968): Podemos asociar a f repr. de Galois? Para k = 2 (Shimura) ya se sabía que sí: via A f y la acción de Galois en los T l (A f ). A f tiene muchos endomorf. : salen repr. de dim. 2.

3 Si llamo ρ l a estas repr. de Galois, ramifican en l N, y para p no ramificado ρ l (Frob p ) tiene det. ɛ(p)p y traza a p = p-autovalor-de-hecke de f (ɛ = nebentypus). La familia {ρ l } constituye una familia compatible de repr. El tipo de ramificación en cada primo de N tampoco depende de l: es familia fuertemente compatible.

4 Deligne resuelve la contrucción de estas repr. para toda f (curva modular). Puede verse que estas representaciones son de hecho motívicas (cohomología étale l-adica).

5 Asociadas a f significa que: sabemos dónde y cómo ramifican, sabemos las trazas de los Frobenius (son los autovalores de f!!), y el det. de la imagen de Frob p es ɛ(p) p k 1. Son familias fuertemente compatibles de repr. l-adicas {ρ f,l }, que vienen de la geometría, asociadas a cualquier forma modular f.

6 Estas repr. tienen coeficientes en O f. De hecho, hay una ρ f,λ para cada primo λ de O f (λ-adica, irred.): ρ f,λ : G Q GL(2, O f,λ ) Casi siempre, si componemos con la reducción módulo λ la repr. residual ρ f,λ es irreducible (Serre-Ribet). Estas repr. siempre son impares: det(ρ λ (c)) = 1.

7 La conjetura de Serre (1987): resultado converso en el caso residual: Una repr. 2-dimensional ρ de G Q, a valores en una ext. finita de F l, impar e irreducible, es modular, o sea asociada a alguna f : ρ = ρ f,λ

8 Versión fuerte (Serre): predice el peso y el nivel de una de las f que resuelven el problema, en término de dos invariantes de ρ: su peso de Serre y su nivel de Serre. El primero se calcula con la ramificación en p, el segundo es la ramificació fuera de p: parte-prima-con-p del conductor. (Obs: excluir un par de casos controlados de imagen dihedral)

9 La versión débil implica la fuerte: Si ρ es modular, se puede hallar f del peso y el nivel predichos por Serre. Varios autores colaboraron en la prueba de esta equivalencia: Mazur, Carayol, Bayer-Lario, Gross, Edixhoven, Diamond.

10 Pero sobre todo, bajada de nivel de Ribet: si f deforma a ρ, q está en el nivel N de f y no está en el nivel/conductor de ρ, entonces otra f, de nivel N/q, también tendrá repr. residual ρ. Un resultado mágico!!

11 Esto y la modularidad de curvas eĺıpticas semiestables (Wiles) bastan para probar Fermat: La curva eĺıptica E(a, b, c) asociada a una sol. a p + b p = c p es tal que su ρ E,p es irred. de cond/nivel 2 y peso de Serre 2. E modular (W.), ergo ρ E,p lo es, ergo (R.) le corresponde f de peso 2 y nivel 2... Absurdo! Otro modo: Fermat sale de Serre...

12 Casos resueltos antes del 2004 N = 1, p = 2 o p = 3 (wlog: k 4): no-existencia de repr. irred. via cotas para discriminantes (Tate, Serre, 1973). Idem para p = 5 bajo GRH (Brueggeman, 1999). También casos de cuerpo fijado, como F 3 (Langlands-Tunnell), F 7 (Manoharmayum), etc.

13 En trabajos de D. y de Khare-Wintenberger ( ) se establece la casi totalidad de la conjetura de Serre. Kisin ha probado nuevos teoremas de levantamiento modular en caract. 2 y la conjetura queda probada en general. Veremos las herramientas principales usadas, y la estrategia general.

14 Teoremas de levantamiento modular: ρ repr. l-adica y ρ la repr. residual. Wiles-Taylor (1994): ρ modular (+ condiciones técnicas) implica ρ modular. Varios teo. de este tipo: Taylor, Diamond, Savitt, Kisin. Además Skinner y Wiles probaron: ρ reducible (+ condiciones técnicas) implica ρ modular.

15 Restricciones: comp. local de ρ y imagen de ρ. Por suerte, si ρ es cristalina con pesos (0, k 1) y l > k, l 2k 3, funcionan!

16 Modularidad Potencial: Versión potencial de la conj. de Serre (Taylor, 2001): Dada ρ, se prueba que si subimos a algún cuerpo totalmente real F, la restricción a G F es modular: hay una forma de Hilbert sobre F cuya repr. modulo l coincide con ella. Podemos escoger F con buenas propiedades (ramif, imagen). Sobre F, los teo. tipo Wiles siguen valiendo.

17 Clave de de la prueba de la conj. de Serre: ir probando subconjeturas (herramientas: los teoremas de Wiles y los de Taylor), para emular/imitar al mundo modular... Buscamos: ganar grados de libertad para comenzar a propagar la modularidad, como un incendio (por cierto: como encender el fuego?).

18 Algunas subconjeturas: 1) ρ admite levantamiento l-adico, fin. ram. (Ramakrishna, 1999). 2) ρ admite levantamiento l-adico minimal (mundo modular : Ribet). 3) ρ fin. ram. y cristalina (o de Rham...) en l, pertenece a una familia fuertemente comp. (cierto en el mundo modular).

19 Como probar (2) y (3)? Por modularidad potencial, un trozo de ρ es modular (de Hilbert), y luego goza de estas magníficas propiedades. Se trata de bajarlas de G F a G Q. Usando esta idea, el teorema de Brauer y repr. virtuales, D. establece (3).

20 Como corolario ya se puede probar (D., 2003) modularidad para repr. l-adicas ρ de conductor 1 cristalinas en l de pesos (0, 1). (modularidad o no-existencia). Usamos Tate-Serre: reducibilidad modulo 3, y luego el teorema de Skinner-Wiles.

21 En cuanto a (2) (D./Khare, 2004), usando mod. potencial controlamos el anillo universal de deformaciones minimales R de ρ. Considerando su análogo R para la restricción a G F, tenemos una cota superior modular para el anillo R. Con esto, ya se sabía (Boeckle) que hay levantamientos minimales.

22 Esto es un simple lema algebraico (Boeckle, 2003): dada una cota superior como R (finito, de donde R es finito) se combina con la presentación de R ya conocida via cohomología de Galois que implica que su dimensión de Krull es positiva (Boeckle), y se deduce que R posee puntos en característica 0 (levant. minimal l-adico).

23 El caso nivel 1 y peso 2: Sale de lo anterior. Si ρ de nivel 1 y peso 2, un levantamiento minimal ρ (que existen por 2) será de conductor 1 y cristalino de pesos (0, 1) en l. Lo insertamos en una familia fuertem. compatible (que existe por 3) y seguimos como en (D., 2003):

24 el miembro 3-adico es modular, por Tate-Serre (la cerilla!) via Skinner-Wiles. Luego la familia es modular y ρ y ρ lo son (como es nivel 1 y peso 2 sale no-existencia). Otros casos con k y N pequeños salen igual.

25

26 Peso mayor: Con el diagrama anterior, si no fuera por las restr. técnicas saldría toda la conjetura partiendo del caso que acabamos de ver: Si q 1,..., q r forman el nivel de ρ, nos movemos hacia q 1 para que no esté más en el nivel!... y así sucesivamente se reduce al caso nivel 1. (ver D. 2006, usando Kisin).

27 Y el caso de nivel 1, peso k arbitrario? Ya tenemos k 8, k = 12. Y k grande? movimiento planetario a p = 3, modulo 3 tenemos reducib. (Tate-Serre)... Pero Skinner-Wiles fracasa (pues p es pequeño y el peso cristalino grande...).

28 Ardid para poder hacer inducción en el peso (Khare, 2005): deformaciones que imitan a las congruencias modulares, montar congruencias entre diferentes familias en primos pivot de modo que el peso se reduce y la modularidad se propaga del peso menor al mayor.

29 Otra inducción sobre el peso (D., 2007) basada en: a) Usando mod. potencial: existen repr. de Galois conjugadas a una repr. l-adica ρ (sabido en el mundo modular). b) Levant. de peso 2, donde como k > 2, es claro que aparecerá un caracter de Dirichlet ɛ en el det.

30 La información del peso de Serre de ρ está en este nebentypus del levantamiento ρ. Es un ejercicio ver que si l es el primer primo mayor que k (salvo l = 43 si k = 32), tomando una adecuada conjugación Galoisiana para cambiar el nebentypus obtendremos una nueva repr. ρ σ cuyo peso de Serre modulo l será menor, si k > 12 o k = 10. qed

31 k y l cercanos: l/k < 1.14 si l > 37. ɛ = ω k 2 tiene orden m donde d = (l 1, k 2), m = (l 1)/d. Conjugamos Galois tal que el nuevo peso sea menor que k... del orden de la mitad de l. Se puede pues como 1.14 < 1.2 = 6/5 la imagen de ɛ son raices m-esimas con m > 6, luego hay un entero coprimo con m al lado de m/2. qed