Qué es la supersimetría?
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- María del Rosario Murillo Martín
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1 Qué es la supersimetría? José Figueroa-O Farrill School of Mathematics IMAFF, CSIC, Madrid, 14 febrero 2005
2 Un precedente jurídico 1
3 Un precedente jurídico 1 I can t define it, but I know it when I see it. Juez Stewart en Jacobellis versus Ohio
4 Orígenes 2
5 Orígenes 2 Física de partículas
6 Orígenes 2 Física de partículas Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas
7 Orígenes 2 Física de partículas Unificación de simetrías de carácter geométrico y simetrías internas Partículas elementales son representaciones unitarias e irreducibles del grupo de isometrías del espacio-tiempo de Minkowski P = SL(2, C) R 4
8 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3
9 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3 En un lenguaje más geométrico: secciones L 2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales
10 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3 En un lenguaje más geométrico: secciones L 2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales: «bosones»
11 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3 En un lenguaje más geométrico: secciones L 2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales: «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon, φ = m 2 φ
12 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3 En un lenguaje más geométrico: secciones L 2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales: «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon, φ = m 2 φ «fermiones»
13 Se construyen por el método de representaciones inducidas de Mackey 3 En un lenguaje más geométrico: secciones L 2 de un fibrado homogéneo, que además satisfacen ecuaciones diferenciales: «bosones»: ecuaciones de segundo orden, como la de Klein-Gordon, φ = m 2 φ «fermiones»: ecuaciones de primer orden, como la de Dirac, i ψ = mψ
14 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría 4
15 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4
16 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967)
17 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967): G = P K donde K es un grupo de Lie compacto
18 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967): G = P K donde K es un grupo de Lie compacto = irreducibles de G son de irreducibles de P y K
19 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967): G = P K donde K es un grupo de Lie compacto = irreducibles de G son de irreducibles de P y K: no muy interesante...
20 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967): G = P K donde K es un grupo de Lie compacto = irreducibles de G son de irreducibles de P y K: no muy interesante... Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975)
21 Cualquier grupo G P se podría llamar una super simetría: varias partículas elementales se agrupan en una super representación de G (Wigner) 4 Teorema de Coleman y Mandula (1967): G = P K donde K es un grupo de Lie compacto = irreducibles de G son de irreducibles de P y K: no muy interesante... Teorema de Haag, Łopuszański y Sohnius (1975): G es un supergrupo de Lie
22 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos 5
23 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5
24 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas
25 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico
26 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones
27 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice
28 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice teoría Yang Mills supersimétrica
29 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice teoría Yang Mills supersimétrica instantones, monopolos y sus generalizaciones
30 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice teoría Yang Mills supersimétrica instantones, monopolos y sus generalizaciones invariantes de Donaldson, Seiberg Witten,...
31 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice teoría Yang Mills supersimétrica instantones, monopolos y sus generalizaciones invariantes de Donaldson, Seiberg Witten,... supergravedad
32 Esto da lugar al estudio de representaciones de superálgebras de Lie en el contexto de teoría cuántica de campos: lo que hoy se denomina «supersimetría» 5 Desde entonces se estudian teorías supersimétricas: modelo sigma supersimétrico geometría Kähler y sus generalizaciones teorema del índice teoría Yang Mills supersimétrica instantones, monopolos y sus generalizaciones invariantes de Donaldson, Seiberg Witten,... supergravedad superficies mínimas y geometría calibrada
33 supercuerdas 6
34 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) 6
35 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) relaciones inesperadas entre estas teorías 6
36 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría especular,... 6
37 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría especular,... 6 En geometría casi nunca hay tanta simetría (P, G,...) menos bosones y fermiones y mucho
38 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría especular,... 6 En geometría casi nunca hay tanta simetría (P, G,...) y mucho menos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede haber supersimetría
39 supercuerdas incorporación de todo lo anterior (y mucho más) relaciones inesperadas entre estas teorías: dualidades, simetría especular,... 6 En geometría casi nunca hay tanta simetría (P, G,...) y mucho menos bosones y fermiones; sin embargo aun sin simetría puede haber supersimetría Mis ejemplos salen de la geometría pero estoy seguro que esto es un fenómeno mucho más extendido
40 Una conjetura metamatemática 7
41 Una conjetura metamatemática 7 Idea principal: fermiones ecuaciones de primer orden
42 Una conjetura metamatemática 7 Idea principal: fermiones supersimetría bosones ecuaciones de primer orden supersimetría ecuaciones de segundo orden
43 Una conjetura metamatemática 7 Idea principal: fermiones supersimetría bosones ecuaciones de primer orden supersimetría ecuaciones de segundo orden Conjetura
44 Una conjetura metamatemática 7 Idea principal: fermiones supersimetría bosones ecuaciones de primer orden supersimetría ecuaciones de segundo orden Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación donde ecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden
45 Una conjetura metamatemática 7 Idea principal: fermiones supersimetría bosones ecuaciones de primer orden supersimetría ecuaciones de segundo orden Conjetura: La supersimetría subyace cualquier situación donde ecuaciones de primer order impliquen ecuaciones de segundo orden, y donde además las soluciones a las ecuaciones de primer orden sean «mínimas»
46 Varios ejemplos 8
47 Varios ejemplos 8 Teoría de Hodge
48 Varios ejemplos 8 Teoría de Hodge Instantones y sus generalizaciones
49 Varios ejemplos 8 Teoría de Hodge Instantones y sus generalizaciones Geometría calibrada
50 Teoría de Hodge 9
51 Teoría de Hodge 9 (M n, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable
52 Teoría de Hodge 9 (M n, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable el complejo de formas diferenciales (de Rham) C (M) d Ω 1 (M) d Ω 2 (M) d d Ω n (M)
53 Teoría de Hodge 9 (M n, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable el complejo de formas diferenciales (de Rham) C (M) d Ω 1 (M) d Ω 2 (M) d d Ω n (M) un álgebra graduada : Ω p (M) Ω q (M) Ω p+q (M)
54 Teoría de Hodge 9 (M n, g): variedad diferenciable riemanniana compacta y orientable el complejo de formas diferenciales (de Rham) C (M) d Ω 1 (M) d Ω 2 (M) d d Ω n (M) un álgebra graduada : Ω p (M) Ω q (M) Ω p+q (M) una derivación d : Ω p (M) Ω p+1 (M), d 2 = 0
55 (orientabilidad = ) un operador de Hodge : Ω p (M) Ω n p (M) 10
56 (orientabilidad = ) un operador de Hodge : Ω p (M) Ω n p (M) que permite definir un producto escalar α, β := α β M 10 y un adjunto formal del diferencial d δ = d
57 (orientabilidad = ) un operador de Hodge : Ω p (M) Ω n p (M) que permite definir un producto escalar α, β := α β M 10 y un adjunto formal del diferencial d δ = d el laplaciano de Hodge = dδ + δd
58 (orientabilidad = ) un operador de Hodge : Ω p (M) Ω n p (M) que permite definir un producto escalar α, β := α β M 10 y un adjunto formal del diferencial d δ = d el laplaciano de Hodge = dδ + δd y α, α = dα 2 + δα 2 0
59 Igualdad 11
60 Igualdad α = 0 11
61 Igualdad α = 0 dα = δα = 0 11
62 Igualdad α = 0 dα = δα = 0 Dα = 0 11
63 11 Igualdad α = 0 dα = δα = 0 Dα = 0 donde D := d + δ : Ω par (M) Ω impar (M) y viceversa
64 11 Igualdad α = 0 dα = δα = 0 Dα = 0 donde D := d + δ : Ω par (M) Ω impar (M) y viceversa Las formas armónicas minimizan la «energía» E(α) := α, α
65 11 Igualdad α = 0 dα = δα = 0 Dα = 0 donde D := d + δ : Ω par (M) Ω impar (M) y viceversa Las formas armónicas minimizan la «energía» E(α) := α, α el teorema de Hodge: H p = H p (M, R)
66 Supersimetría 12
67 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional
68 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano»
69 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano» D «operador de supersimetría»
70 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano» D «operador de supersimetría» Ω «espacio de Hilbert»
71 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano» D «operador de supersimetría» Ω «espacio de Hilbert» H Ω «vacíos»
72 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano» D «operador de supersimetría» Ω «espacio de Hilbert» H Ω «vacíos» En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten»
73 Supersimetría 12 La teoría subyacente es el modelo sigma supersimétrico unidimensional «hamiltoniano» D «operador de supersimetría» Ω «espacio de Hilbert» H Ω «vacíos» En toda teoría supersimétrica se puede definir el «índice de Witten» Tr( 1) F := #estados bosónicos #estados fermiónicos
74 Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos 13
75 13 Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos: Tr( 1) F = dim H par dim H impar
76 13 Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos: Tr( 1) F = dim H par dim H impar = χ(m)
77 13 Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos: Tr( 1) F = dim H par dim H impar = χ(m) = ind D
78 13 Se puede demostrar que sólo contribuyen los vacíos: Tr( 1) F = dim H par dim H impar = χ(m) = ind D Este resultado es paradigmático y sugiere una demostración supersimétrica del teorema del índice de Atiyah Singer a partir de teorías supersimétricas que generalizan y extienden el modelo sigma (Álvarez-Gaumé, Getzler,...)
79 Teoría de Hodge Lefschetz 14
80 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente
81 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional
82 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional: identidades de Hodge
83 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional: identidades de Hodge identidades
84 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional: identidades de Hodge identidades acción de SL(2, C) en cohomología
85 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional: identidades de Hodge identidades acción de SL(2, C) en cohomología También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de la supersimetría de un modelo sigma seis-dimensional
86 Teoría de Hodge Lefschetz 14 La noción de variedad (hiper)kähler se puede definir supersimétricamente Los teoremas básicos de la teoría de Hodge Lefschetz son consecuencias directas de la supersimetría de un modelo sigma cuatridimensional: identidades de Hodge identidades acción de SL(2, C) en cohomología También se extiende a variedades hiperkähler (Verbitsky) a partir de la supersimetría de un modelo sigma seis-dimensional [FO Köhl Spence, hep-th/ ]
87 Teoría gauge 15
88 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge
89 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto
90 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P
91 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P con curvatura F A = da [A, A]
92 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P con curvatura F A = da [A, A] para todo fibrado asociado E, C (E) d A Ω 1 (E) d A Ω 2 (E) d A donde d A = d + A
93 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P con curvatura F A = da [A, A] para todo fibrado asociado E, C (E) d A Ω 1 (E) d A Ω 2 (E) d A donde d A = d + A: no es un complejo d 2 A = F A
94 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P con curvatura F A = da [A, A] para todo fibrado asociado E, C (E) d A Ω 1 (E) d A Ω 2 (E) d A donde d A = d + A: no es un complejo d 2 A = F A en particular, F A Ω 2 (ad P )
95 Teoría gauge 15 Una versión no lineal de la teoría de Hodge: P M un fibrado principal con grupo G, compacto una conexión A en P con curvatura F A = da [A, A] para todo fibrado asociado E, C (E) d A Ω 1 (E) d A Ω 2 (E) d A donde d A = d + A: no es un complejo d 2 A = F A en particular, F A Ω 2 (ad P ) y d A F A = 0 («identidad de Bianchi»)
96 la ecuación de Yang Mills 16 d A F A = 0
97 la ecuación de Yang Mills 16 d A F A = 0 extremiza el funcional YM[A] = F A 2
98 la ecuación de Yang Mills 16 d A F A = 0 extremiza el funcional YM[A] = F A 2 En el caso abeliano G = S 1, F A Ω 2 (M) y d A = d
99 la ecuación de Yang Mills 16 d A F A = 0 extremiza el funcional YM[A] = F A 2 En el caso abeliano G = S 1, F A Ω 2 (M) y d A = d, así que df A = 0 y d F A = 0
100 Instantones 17
101 Instantones 17 dim M = 4
102 Instantones 17 dim M = 4 = : Ω 2 (E) Ω 2 (E) obedece 2 = 1
103 Instantones 17 dim M = 4 = : Ω 2 (E) Ω 2 (E) obedece 2 = 1, así que Ω 2 (E) = Ω 2 +(E) Ω 2 (E)
104 Instantones 17 dim M = 4 = : Ω 2 (E) Ω 2 (E) obedece 2 = 1, así que Ω 2 (E) = Ω 2 +(E) Ω 2 (E) A es un «instantón» F A Ω 2 ±(ad P )
105 Instantones 17 dim M = 4 = : Ω 2 (E) Ω 2 (E) obedece 2 = 1, así que Ω 2 (E) = Ω 2 +(E) Ω 2 (E) A es un «instantón» F A Ω 2 ±(ad P ) A satisface automáticamente d A F A = 0
106 Además el funcional de Yang Mills está acotado por debajo 18 YM[A] c 2 (P ), [M]
107 Además el funcional de Yang Mills está acotado por debajo 18 YM[A] c 2 (P ), [M] con igualdad A es un instantón
108 Instantones en dimensión > 4 19
109 Instantones en dimensión > 4 19 ϕ Ω 4 (M) define una aplicación ϕ : Ω 2 (E) Ω 2 (E)
110 Instantones en dimensión > 4 19 ϕ Ω 4 (M) define una aplicación ϕ : Ω 2 (E) Ω 2 (E) F ( ϕ F )
111 Instantones en dimensión > 4 19 ϕ Ω 4 (M) define una aplicación ϕ : Ω 2 (E) Ω 2 (E) F ( ϕ F ) ϕ es simétrica y se puede diagonalizar Ω 2 (E) = λ Ω 2 λ(e)
112 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón 20
113 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» 20
114 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20
115 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20 En efecto, si ϕf A = λf A, λ 0
116 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20 En efecto, si ϕf A = λf A, λ 0, d A F A = λ 1 d A ( ϕ F A )
117 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20 En efecto, si ϕf A = λf A, λ 0, d A F A = λ 1 d A ( ϕ F A ) = λ 1 (d ϕ F A ± ϕ d A F A )
118 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20 En efecto, si ϕf A = λf A, λ 0, d A F A = λ 1 d A ( ϕ F A ) = λ 1 (d ϕ F A ± ϕ d A F A ) El funcional de Yang Mills está acotado por debajo YM[A] c 2 (P ) [ ϕ], [M]
119 Si d ϕ = 0, esto da lugar a una generalización de la noción de instantón: A es un «instantón» F A Ω 2 λ (ad P ) λ 0 20 En efecto, si ϕf A = λf A, λ 0, d A F A = λ 1 d A ( ϕ F A ) = λ 1 (d ϕ F A ± ϕ d A F A ) El funcional de Yang Mills está acotado por debajo YM[A] c 2 (P ) [ ϕ], [M] con igualdad A es un instantón con el menor λ posible
120 Supersimetría 21
121 Supersimetría 21 Existe una única teoría Yang Mills supersimétrica en el espacio-tiempo de Minkowski
122 Supersimetría 21 Existe una única teoría Yang Mills supersimétrica en el espacio-tiempo de Minkowski en 10 dimensiones
123 Supersimetría 21 Existe una única teoría Yang Mills supersimétrica en el espacio-tiempo de Minkowski en 10 dimensiones La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g) de dimensión 10
124 Supersimetría 21 Existe una única teoría Yang Mills supersimétrica en el espacio-tiempo de Minkowski en 10 dimensiones La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g) de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admita espinores paralelos
125 Supersimetría 21 Existe una única teoría Yang Mills supersimétrica en el espacio-tiempo de Minkowski en 10 dimensiones La teoría se puede definir en una variedad lorentziana espín (M, g) de dimensión 10, pero no es supersimétrica a no ser que M admita espinores paralelos Equivalentemente, el grupo de holonomía Hol(g) Spin(7) R 8 SO(1, 9)
126 Nos concentramos en variedades M = R 1,9 d K d 22
127 22 Nos concentramos en variedades M = R 1,9 d K d, donde K es una variedad compacta con holonomía en la tabla de Wang d Hol(g) SO(d) Geometría 4 Sp(1) hiperkähler 6 SU(3) Calabi Yau 7 G 2 8 Spin(7) 8 SU(4) Calabi Yau 8 Sp(2) hiperkähler 8 Sp(1) Sp(1) hiperkähler
128 Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas 23
129 Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que se construyen a partir de los espinores paralelos 23
130 Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que se construyen a partir de los espinores paralelos 23 Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» a R 1,9 d K es «supersimétrica» A es un instantón [Acharya FO O Loughlin Spence, hep-th/ ]
131 Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que se construyen a partir de los espinores paralelos 23 Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» a R 1,9 d K es «supersimétrica» A es un instantón La supersimetría escoge un valor de λ [Acharya FO O Loughlin Spence, hep-th/ ]
132 Curiosamente todas estas geometrías tienen 4-formas paralelas, que se construyen a partir de los espinores paralelos 23 Teorema: Dada una conexión gauge A en K, su «pull-back» a R 1,9 d K es «supersimétrica» A es un instantón La supersimetría escoge un valor de λ [Acharya FO O Loughlin Spence, hep-th/ ] En particular, se podría haber descubierto la noción de instantón generalizado a partir de supersimetría
133 Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo a la correspondencia de Dostoglou Salamon 24
134 Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo a la correspondencia de Dostoglou Salamon: 24 instantones en Σ 1 εσ 2 en el límite adiabático ε 0
135 Esta construcción sugiere un resultado (aun no demostrado) análogo a la correspondencia de Dostoglou Salamon: 24 instantones en Σ 1 εσ 2 en el límite adiabático ε 0 curvas holomorfas Σ 1 M Σ2 en el espacio de móduli de fibrados vectoriales planos en Σ 2
136 Curvas cuaterniónicas 25
137 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler
138 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n
139 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica
140 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica y paralelos con respecto a
141 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica y paralelos con respecto a (M, g, I, J, K ) otra variedad hiperkähler
142 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica y paralelos con respecto a (M, g, I, J, K ) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M M es «cuaterniónica»
143 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica y paralelos con respecto a (M, g, I, J, K ) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M M es «cuaterniónica» si I φ I + J φ J + K φ K = φ
144 Curvas cuaterniónicas 25 (M, g, I, J, K) una variedad hiperkähler: (M, g) variedad riemanniana de dimensión 4n I, J, K endomorfismos ortogonales de T M obedeciendo el álgebra cuaterniónica y paralelos con respecto a (M, g, I, J, K ) otra variedad hiperkähler: una aplicación φ : M M es «cuaterniónica» si I φ I + J φ J + K φ K = φ que es una ecuación diferencial elíptica de primer orden
145 Si dim M = 4 el funcional S[φ] := M dφ 2 g 26 para aplicaciones φ : M M
146 Si dim M = 4 el funcional S[φ] := M dφ 2 g 26 para aplicaciones φ : M M está acotado por debajo S[φ] (ω I φ ω I + ω J φ ω J + ω K φ ω K ) M
147 Si dim M = 4 el funcional S[φ] := M dφ 2 g 26 para aplicaciones φ : M M está acotado por debajo S[φ] (ω I φ ω I + ω J φ ω J + ω K φ ω K ) M con igualdad φ(m) es una curva cuaterniónica
148 Si dim M = 4 el funcional S[φ] := M dφ 2 g 26 para aplicaciones φ : M M está acotado por debajo S[φ] M (ω I φ ω I + ω J φ ω J + ω K φ ω K ) con igualdad φ(m) es una curva cuaterniónica, donde ω I (X, Y ) = g(ix, Y ), etc... son las 2-formas asociadas
149 Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang Mills supersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia 27
150 Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang Mills supersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia: 27 instantones en M 1 εm 2 en el límite adiabático ε 0
151 Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang Mills supersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia: 27 instantones en M 1 εm 2 en el límite adiabático ε 0 curvas cuaterniónicas M 1 M M2 en el espacio de móduli de instantones en M 2 [FO Köhl Spence, hep-th/ ]
152 Un argumento supersimétrico partiendo de la teoría Yang Mills supersimétrica en 10 dimensiones sugiere la siguiente correspondencia: 27 instantones en M 1 εm 2 en el límite adiabático ε 0 curvas cuaterniónicas M 1 M M2 en el espacio de móduli de instantones en M 2 [FO Köhl Spence, hep-th/ ] Ejercicio: Demostrarlo!
153 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura
154 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura: monopolos y sus generalizaciones
155 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura: monopolos y sus generalizaciones vórtices y sus generalizaciones
156 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura: monopolos y sus generalizaciones vórtices y sus generalizaciones la geometría calibrada de Harvey y Lawson
157 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura: monopolos y sus generalizaciones vórtices y sus generalizaciones la geometría calibrada de Harvey y Lawson Ejercicio
158 Epílogo 28 Existen otras ilustraciones de la conjetura: monopolos y sus generalizaciones vórtices y sus generalizaciones la geometría calibrada de Harvey y Lawson Ejercicio: Buscar más ejemplos!
159 Muchas gracias. 29
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