Universidad Nacional Autónoma de Honduras. Calculando la viscosidad del agua usando un tubo capilar

Transcripción

1 Universidad Nacional Autónoma de Honduras Facultad de Ciencias Escuela de Física FS-493 Laboratorio Avanzado 2 Calculando la viscosidad del agua usando un tubo capilar Alumno: Miguel Ángel Serrano Número de Cuenta: Catedrático: M. Sc. Maximino Suazo 17 de Diciembre de 2014

2 Resumen En el siguiente informe desarrollamos el cálculo de la viscosidad del fluido mas importante en nuestro planeta, el agua. Se analiza el flujo de agua de una columna vertical a través de un tubo capilar largo horizontal, para luego hacer una linealización de los datos medidos de altura en función del tiempo, con los cuales se logro obtener una viscosidad de η = (9,3 ± 0,2) 10 4 kg Introducción: ms Una forma de caracterizar los materiales es mediante propiedades de las sustancias, tal como es la viscosidad. En nuestro caso tenemos una muestra de agua de grifo (agua de la llave), y nos podemos interrogar Cual es la viscosidad de nuestra muestra de agua? Mediante el uso de la ecuación de Poiseuille podemos describir el flujo de un fluido a través de un tubo capilar, con esto podriamos modelar el decaimiento de la altura de una columna vertical de agua con mediciones sencillas, con los cuales mediante una manipulación matemática obtendremos la viscosidad de nuestra muestra de agua, para despues ser sujeta a comparación con datos tabulados en textos y demas fuentes, para establecer si hay una diferencia notable que nos podría sugerir que la muestra utilizada en el experimento esta contamidada. Objetivos: Determinar el valor de la viscosidad de una muestra de agua de grifo, y establecer si hay una diferencia en la viscosidad de nuestra muestra de agua en comparación con los datos tabulados en libros o manuales. Determinar si el agua que fluye por las tuberias de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras esta contaminada midiendo su viscosidad dinámica. Marco Teórico: Cuando una columna de agua vertical fluye a un tubo capilar horizontal largo, nosotros obtenemos un ejemplo de decaimiento exponencial. El montaje propuesto es un tubo largo colocado verticalmente al cual nosotros conectamos un tubo capilar mediante el uso de una unión (ver Figura 1), para hacer una simulación de dicho decaimiento. 1

3 Figura 1: Montaje El flujo a través del sistema sigue la ecuaciíon de Poiseuille como se habia mencionado anteriormente: Q = π(p 1 P 2 ) r4 8ηL (1) Donde Q es el flujo volumétrico por unidad de tiempo, P 1, P 2 son las presiones en los extremos de los tubos, r es el radio del tubo capilar, L es la longitud del tubo capilar y η es la viscosidad. Por otra parte nosotros podremos expresar el flujo volumétrico en términos de la geometría del sistema: Q = A dh dt (2) Donde A es el area transversal del tubo vertical, y el término dh es la variación de la altura con dt respecto al tiempo, el signo negativo se introduce por el hecho de que la altura va decreciendo. La presión presente en los tubos es la presión atmosférica para el tubo capilar, y la presión atmosférica más la presión hidrostática (ρgh): P 1 = P o + ρgh P 2 = P o P 1 P 2 = ρgh Si igualamos las ecuaciones (1) y (2) y ademas sustituimos la diferencia de presiones podemos llegar a una expresión diferencial para h(t): 2

4 A dh dt = π(ρgh) r4 8ηL dh dt = πρgr4 8ηLA h Nombramos el término de decaimiento exponencial como ξ = πρgr4 y resolvemos la ecuación 8ηLA diferencial mediante el método de variables separables llegamos a la expresión: h = h o e ξt Donde h o es la altura inicial del sistema o h(t = 0). Finalmente, hacemos una linealización a la expresión anterior para poder ajustar los datos experimentales y luego despejar para el valor de la viscosidad. Ln(h) = Ln(h o e ξt ) Ln(h) = Ln(h o ) ξt (3) Al hacer el ajuste lineal encontraremos un valor para ξ por lo cual finalmente obtendriamos una expresión para la viscosidad como se muestra a continuación: η = πρgr4 8ξLA (4) OBSERVACIÓN: Los datos A y r no serán medidos directamente con un instrumento, se haran mediciones indirectas para obtener un valor mas acertado, debido a que la medición de dichas variables son de crucial importancia para obtener mejores resultados. Equipo y Materiales: (I) Cinta Métrica (II) Soporte (III) Tubo transparente (IV) Tubo capilar (V) Materiales de fontanería para lograr la unión (VI) Cinta Adhesiva (VII) Cronómetro (VIII) Embudo 3

5 Figura 2: A la izquierda el tubo vertical, a la derecha el tubo capilar Procedimiento: Es de vital importancia tener un buen valor de A y de r ya que la medición final depende de ellos, por lo cual, en vez de hacer una medición directa los mediremos por métodos indirectos Procedimiento 1: Determinando el Área del Tubo Vertical (I) Preparar el montaje de manera que el tubo quede de manera vertical y una lectura de la altura sea fácil. (II) Llenar el tubo con agua hasta obtener una altura de aproximadamente 5cm, mida esa altura. (III) Dejar caer el agua en una probeta y mida el volumen. (IV) Llenar el tubo hasta obtener una altura de aproximadamente 10cm más que la altura anterior, mida esa altura. (V) Dejar caer el agua en una probeta y mida el volumen. (VI) Repetir pasos IV y V hasta tener un número apropiado de datos (mayor que 8). 4

6 Procedimiento 2: Determinando el Radio del Tubo Capilar (I) Medir la longitud del tubo capilar. (II) Medir la masa del beaker. (III) Llenar el tubo capilar con agua. (IV) Vaciar el agua en un beaker (V) Repetir pasos (III) y (IV ) un poco mas de 10 veces. (VI) Medir la masa del beaker y el agua. Observación: La masa del agua deberia de ser de al menos 50g. de no ser asi, llenar y vaciar el tubo capilar unas cuantas veces más. Procedimiento 3: Mediciones del Altura vs. el Tiempo (I) Armar el montaje que es mostrado en la figura 1, asegurandose de que el tubo vertical este perpendicular con el suelo. (II) Medir tanto la temperatura ambiente, como la del agua. (III) Pegar la cinta mética al soporte de manera que se pueda medir distintas alturas durante el tiempo de descarga. (IV) Opcional Pegar cinta adhesiva cada 5 o 10 centimetros para facilitar las lecturas de tiempo. (Ver Figura 3) (V) Llenar el tubo con agua, con la ayuda de un embudo. (VI) Familiarizarse con la descarga y medir los datos (altura y tiempo), medir al menos unos 10 datos asegurandose de tomar datos no tan cerca a la unión. Observación: El desarrollo de este experimento es más facil si hay una persona ayudando, ej: una persona llena el tubo con agua, mientras la otra esta lista para medir los tiempos y alturas. 5

7 Figura 3: Marcas cada 5cm para facilitar las mediciones de altura Tabla u Hoja de Datos: Las pimeras dos tablas mostradas son las correspondientes a los primeros dos procedimientos. n V(mL) h(m) 1 5,0 ± 0,5 0,056 ± 0, ,5 ± 0,5 0,166 ± 0, ,5 ± 0,5 0,246 ± 0, ,5 ± 0,5 0,307 ± 0, ,5 ± 0,5 0,423 ± 0, ,5 ± 0,5 0,504 ± 0, ,5 ± 0,5 0,620 ± 0, ,0 ± 0,5 0,694 ± 0, ,5 ± 0,5 0,798 ± 0, ,0 ± 0,5 0,894 ± 0,001 Masa Beak (g) 133,0 ± 0,1 Masa Beak+Agua (g) 187,4 ± 0,1 Longitud (m) 1,210 ± 0,001 Longitudes Vaciadas 13 ρ(kg/m 3 )

8 La tercera tabla es la correspondiente al Procedimiento 3: Estas cantidades obviamente estan incompletas porque no tienen una incertidumbre, en este n t(s) h(m) Datos de Altura vs. Tiempo caso dejamos ambas a criterio propio, ya que a mi criterio cuando medimos por cronómetro tenemos un error humano mas significativo que el del instrumento: h = 0,003m t = 0,1s Ademas reportamos el valor de la temperatura del ambiente como T = 21±1 C, sin embargo la lectura hecha en el agua fue de T h = 22 ± 1 C, que sera el valor de tempertatura que tomaremos. Tratamiento de Datos Experimentales: Primero se usará la primera tabla para encontrar el área de la siguiente manera: V = Ah Los datos proporcionados estan en ml recordando que 1mL = 1cm 3, haremos una regresi on lineal con los datos, notemos que la pendiente de la regresión sera el área del tubo. Observemos el ajuste generado en en programa GNUPLOT: 7

9 Figura 4: Ajuste para encontrar el área Tras dicho ajuste podemos encontrar el valor del área del tubo vertical que es de: A = (8,19 ± 0,09) 10 5 m 2 Lo siguiente que podemos calcular es el radio del tubo capilar, usaremos la formula de densidad y despejando para r 2 obtenemos: r 2 = m πρh De esta manera nosotros podemos encontrar r 2, r 2 (teniendo el cuidado de usar las unidades correctas) : r 2 = Masa Beak+Agua Masa Beak 13 π L ρ r 2 = 1, m 2 r 2 max = 1, m 2 r 2 max = 1, m 2 r 2 = r2 max r 2 min 2 r 2 = m 2 El radio al cuadrado del tubo capilar que reportamos es: r 2 = (1,099 ± 0,005) 10 6 m 2 8

10 Lo que falta analizar es la linealización que haremos para encontrar la constante de tiempo ξ y luego despejar para finalmente encontrar la viscosidad de nuestra muestra de agua. Primeramente es necesario encontrar el logaritmo natural de las alturas, la siguiente tabla, es la tabla con la cual haremos la regresión lineal de Ln(h)vs.t: n t(s) Ln(h) Mostrando la linealización, a pesar de no ser relevante para el informe cabe notar que tome los tiempos 5 veces, y de estos datos eran los que mejor se ajustaban al modelo lineal (esto se puede notar nítidamente en la gráfica). 9

11 Figura 5: Ajuste para encontrar ξ De donde nosotros reportamos: ξ = (0,0507 ± 0,0001)s 1 Finalmente podemos calcular el valor de la viscosidad del agua de manera experimental utilizando la ecuación (4). η = πρg(r2 ) 2 8ξLA η = 9, η max = 9, η min = 9, η = ηmax η min 2 η = 0, kg ms 4 kg ms 4 kg ms 4 kg ms El valor experimental de la viscosidad del agua en este experimento es de: 4 kg η = (9,3 ± 0,2) 10 ms Para observar que tan bien fue nuestro experimento, nada mas falta calcular el error e 4 kg incertidumbre relativa porcentuales, compararemos con un valor teórico de η = 9,5 10 I % = η η 100 I % = 2,2 % E % = ηt ηexp η t 100 E % = 2,1 % 10 ms :

12 Discusión de Resultados Experimentales: Como podemos observar, a pesar del largo proceso para determinar la viscosidad del agua mediante el experimento planteado anteriotmente,podemos concluir que es un método exitoso, ya que no solo pudimos calcular la viscosidad sino que tuvimos un error experimental del 2,1 % ; esto es en comparación al valor teórico de la viscosidad del agua a una temperatura de 22 C, sin embargo debemos de tomar en cuenta que la temperatura reportada fue de T = (22 ± 1) C lo que nos sugiere la posibilidad que la temperatura del agua utilizada es de 23 C, con lo cual el error experimental se reduce a 0,3 %. Podemos ver que la incertidumbre porcentual es de 2,2 % lo cual es un gran logro debido a que para llegar al cálculo final de la viscosidad necesitamos usar dos mediciones indirectas, y que la incertidumbre para medir los volumenes era muy alta, lo cual hace que las mediciones de A y r tengan una incertidumbre mayor. Lastimosamente no pudimos conseguir un tubo vertical más grande o un tubo capilar más pequeño en diametro (o mś largo en su defecto). De haberlo hecho el flujo de agua habría sido más lento y se hubiera podido tomar un número más significativo de datos con menos dificultad. Con fin de obtener las mejores mediciones posibles se hizo la toma de datos de los tiempos 5 veces. En general puede decirse que este es un experimeno muy interesante que puede ser utilizado para obtener más información, por ejemplo, podriamos usar el mismo montaje (de nuevo seria mejor si las dimensiones de los tubos son optimizadas) e introducir una pequeña variante. Es posible plantearse como problema la determinación de la aceleración debido a la gravedad. El mismo analisis teórico es necesario, pero en cambio la pendiente de la linealización seria despejada para el valor g. Incluso se podrı a preparar el montaje para un flujo mas lento del agua si el laboratorio en el cual se trabaja tiene una temperatura baja, de esta manera la viscosidad del agua seria mayor. Conclusiones: El cálculo de la viscosidad dinámica del agua mediante un análisis del decaimiento exponencial del flujo volumétrico en un tubo capilar es satisfactorio ya que se logro calcular experimentalmente con un error bajo (2,1 %) al compararlo con un valor teórico tabulado en textos, con lo que pondemos concluir que el equipo es adecuado para realizar este experimento. Debido a que el valor obtenido de la viscosidad dinámica del agua de la UNAH no presento una variación con los datos presentados en las tablas de viscosidad se concluye que el agua que fluye en las tuberias de la Universidad Nacional Autónoma de Honduras no esta contaminada. 11

13 Referencias [1] Symon, Keith R., Mechanics Cápitulo 8, Tercera Edición. [2] Smithson, J. R., Pinkston, E. R. Half Life of a Water Column as a Loboratory Excercise in Exponential Decay. [3] tware.com/dox edu/qui/viscoh2o.pdf 12