MOSAICS PERIÒDICS ALA CASA CASTELLARNAU. Ramon Nolla / Ramon Masip

Transcripción

1 MOSAICS PERIÒDICS ALA CASA CASTELLARNAU Ramon Nolla / Ramon Masip

2

3 Introducció i conceptes

4

5 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 5 La repetició d un patró o disseny seguint certes pautes és una solució estètica que s ha utilitzat i se segueix utilitzant en les arts decoratives. Com podem veure a les tres fotos d indrets prou coneguts de la ciutat de Tarragona, les diferents pautes de repetició donen lloc a diversos tipus d objectes geomètrics, així en el cas de girar el patró al voltant d un punt obtenim una rosassa, si el traslladem en una direcció s obté una sanefa isi es trasllada en dues direccions el resultat és un mosaic periòdic. En l estudi d aquests objectes geomètrics o figures és fonamental el concepte de grup de simetria que és el conjunt de moviments del pla que les deixen invariants. Això vol dir que no modifiquen la seva forma, la seva grandària i la seva orientació.

6 6 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Els moviments del pla es classifiquen en: Translacions: Desplaçaments d una certa distància en una direcció i sentit determinat. És a dir, determinats per un vector. Girs: Rotacions al voltant d un punt i d una certa amplitud angular. Els girs de 180 es coneixen també com a simetries centrals. Simetries axials: Caracterizades per tenir un eix que actua com si fos un mirall, de manera que cada part en què l eix parteix el mosaic es pot superposar sobre l altra si la fem girar al seu voltant. Lliscaments: Resulten de compondre una simetria axial i una translació en la direcció de l eix de simetria. Amb tots aquests elements, es pot definir un mosaic periòdic com una figura plana tal que les translacions del seu grup de simetria estan generades per dues translacions en direcció diferent.

7 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 7 Cal imaginar el mosaic prolongat de forma indefinida en totes les direccions del pla. Atès que podem omplir tot el pla amb la repetida aplicació de translacions en dues direccions, resulta que el coneixement del patró en una certa regió del mosaic en forma de paral lelogram és suficient per construir tot el mosaic. Aquesta regió, de color gris a la figura, s anomena cel la reticular i traslladant el seu contingut en les direccions dels seus costats s obté el mosaic Els mosaics periòdics es classifiquen a partir del seu grup de simetria donant lloc a 17 tipus que s anomenen grups cristal logràfics plans, aquest resultat el va aconseguir el cristal lògraf rus E.S. Feodorov l any Aquests tipus s agrupen segons l ordre del mosaic, el qual es defineix com el nombre de vegades que s ha d aplicar el gir d angle mínim del seu grup de simetria per obtenir un gir de 360. A la casa museu Castellarnau hi podem trobar 9 tipus de mosaics diferents. Farem l estudi d un model de cadascun dels 9 tipus i classificarem 20 mosaics més que es troben a les dependències de la casa i que també pertanyen a algun d aquests tipus. Abans d això mostrem una cel la reticular de cadascun dels 17 tipus generals. Hi presentem ressaltada un part de la cel la anomenada base que és la regió mínima necessària per generar tot el mosaic amb els moviments del seu grup de simetria. El disseny de línies i colors que es fa a l interior de la base rep el nom de motiu mínim del mosaic. A les cel les trobem els símbols següents: Centres de gir Vèrtex de cel la 180 o Base Eix de lliscament Eix de simetria 120 o, 240 o 90 o, 180 o, 270 o 60 o, 120 o, 180 o, 240 o, 300 o

8 8 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Mosaics sense girs (ordre 1) Mosaic p1 Mosaic cm Mosaic pm Mosaic pg Mosaics amb girs de 180 (ordre 2) Mosaic p2 Mosaic cmm Mosaic pmm Mosaic pmg Mosaic pgg

9 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 9 Mosaics amb girs de 120 i 240 (ordre 3) Mosaic p3 Mosaic p31m Mosaic p3m1 Mosaics amb girs de 90, 180 ide270 (ordre 4) Mosaic p4 Mosaic p4g Mosaic p4m Mosaics amb girs de 60, 120, 180, 240 i 300 (ordre 6) Mosaic p6 Mosaic p6m

10

11 Els 9 tipus de mosaics periòdics ala casa Castellarnau

12

13 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 13 P1 Sala del billar (terra). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Generació del mosaic. La cel la reticular i el motiu mínim coincideixen. Els únics moviments existents són les translacions, fletxes negres, els quals generen el mosaic a partir de la cel la.

14 14 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Cm Rebedor (terra). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Simetries axials d eixos les línies discontínues vermelles. Lliscaments d eixos les línies discontínues verdes i vector de translació MP. C A M B P Generació de la cel la reticular Base Simetria axial Cel la reticular

15 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 15 Pm Sala de música (terra). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Simetries axials d eixos les línies discontínues vermelles. B A C Generació de la cel la reticular Base Simetria axial Cel la reticular

16 16 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Cmm Alcova de la sala groga (terra). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 180 o. Simetries axials d eixos les línies discontínues vermelles. Lliscaments d eixos les línies discontínues verdes i vectors de translació MP i MQ. P C A M B Q Generació de la cel la reticular Base Simetria axial Simetria axial Cel la reticular

17 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 17 Pmm Planta baixa (terra) Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 180 o. Simetries axials d eixos les línies discontínues vermelles. B A C Generació de la cel la reticular Simetria axial Simetria axial Cel la reticular Base

18 18 Pmg Mosaics perio dics a la casa Castellarnau Planta baixa (terra) Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 180o. Simetries axials d eixos les lı nies discontı nues vermelles. Lliscaments d eixos les lı nies discontı nues ver des i vectors de translacio P Q. C Q A Generacio de la cel la reticular P B

19 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 19 P4 Entrada del celler (paret). Pati Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 180 o. Girs de centres els punts i angles de 90 o, 180 o i 270 o. B A C Generació de la cel la reticular Base Gir de 90º Gir de 90º Gir de 90º Cel la reticular

20 20 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau P4m Distribuïdor (terra). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 90 o, 180 o i 270 o. Girs de centres els punts i angles de 180 o. Simetries axials d eixos les línies discontínues vermelles. Lliscaments d eixos les línies discontínues verdes i vectors de translació MP i MQ. C P Q A M B Generació de la cel la reticular Base Simetria axial Gir de 90º Gir de 90º Gir de 90º Cel la reticular

21 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 21 P31m Sala principal (terra central). Planta noble Moviments que el deixen invariable Translacions de vectors AB i AC, determinats pels costats de la cel la reticular, i les seves composicions. Girs de centres els punts i angles de 120 o i 240 o. Simetries axials d eixos les línies discontínues blanques. Lliscaments d eixos les línies discontínues verdes i vectors de translació PQ, QR i PR. B Q R A P C Generació de la cel la reticular Base Gir de 120º Gir de 120º Simetria axial Cel la reticular

22

23 Altres mosaics dels mateixos tipus ala casa Castellarnau

24

25 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 25 Biblioteca (terra). Planta noble P1 Sala vermella (paret). Planta noble Cm

26 26 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Alcova de la sala blava (terra). Planta noble Pmm Sala principal (terra lateral). Planta noble P4

27 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 27 Bany de l alcova de la sala blava (paret). Planta noble P4 Passadís de la biblioteca (terra). Planta noble P4

28 28 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Sala vermella (terra). Planta noble P4 Cuina (paret). Planta baixa P4

29 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 29 Sala groga (terra). Planta noble P4 Menjador (paret). Planta noble P4

30 30 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Entrada de la sala del billar (terra). Planta noble P4m Passadís de la biblioteca (sostre). Planta noble P4m

31 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 31 Sales del menjador, billar, música i bany (terra). Planta noble P4m Entrada del celler (paret). Pati P4m

32 32 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Sala del billar (sostre). Planta noble P4m Sala del billar (paret). Planta noble P4m

33 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau 33 Passadís i cuina (terra). Planta baixa P4m Planta baixa (terra) P4m

34 34 Mosaics periòdics a la casa Castellarnau Sala blava (terra). Planta noble P4m Menjador (terra). Planta noble P4m

35 Bibliografia AAVV [1987] Epsilon. Monografia dedicada a la Alhambra. Consejería de Cultura de la Junta de Andalucía, Asociación de Profesores de Matemáticas de Andalucía, Sevilla i Granada. [Reeditat per S.A.E.M. THALES, Granada, 1995]. Grünbaum, B.,Shephard, G.C. [1987] Tilings and patterns. W. H. Freeman and Company, New York. Martin, G.E. [1982] Transformation geometry. An introduction to simmetry. Springer, New York. Masip, R. [2000] La geometria a l educació secundària. Anàlisi i elaboració de recursos pedagògics.

36 IES Pons d Icart Departament d Educació Ajuntament de Tarragona Museu d Història De la totalitat de l obra c Ramon Nolla / Ramon Masip