Inferencia estadística Selectividad CCSS MasMates.com Colecciones de ejercicios

Transcripción

1 1. [ANDA] [EXT-A] En una bodega utilizan una máquina que debe envasar el vino en botellas con un contenido de 750 ml. Para comprobar si esa máquina funciona correctamente, se toma una muestra de 36 botellas y se observa que el contenido medio de las mismas es de 748 ml. Suponiendo que la variable "contenido" sigue una distribución Normal con varianza 25, analice mediante un contraste de hipótesis bilateral H o : = 750 si se puede aceptar, con un nivel de significación de 0.05, que la máquina envasadora funciona correctamente. 2. [ANDA] [EXT-B] El gasto mensual de las familias de un municipio se distribuye según una variable Normal con desviación típica igual a 180 euros. Seleccionadas 30 familias al azar, han tenido un gasto medio mensual de 900 euros. a) Calcule un intervalo de confianza para el gasto medio mensual de las familias de ese municipio con un nivel de confianza del 98%. b) Calcule el tamaño muestral mínimo necesario para estimar el gasto medio mensual de las familias con un error no superior a 60 euros, con el mismo nivel de confianza. 3. [ANDA] [JUN-A] Se quiere estimar la proporción de hembras entre los peces de una piscifactoría; para ello se ha tomado una muestra aleatoria de 500 peces, y en ella hay 175 hembras. a) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de hembras en esta población de peces, con un nivel de confianza del 94%. b) A la vista del resultado del muestreo se quiere repetir la experiencia para conseguir un intervalo de confianza con el mismo nivel y un error máximo de 0.02, cuál es el tamaño mínimo que debe tener la nueva muestra? 4. [ANDA] [JUN-B] El tiempo que los españoles dedican a ver la televisión los domingos es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal de media desconocida y desviación típica 75 minutos. Elegida una muestra aleatoria de españoles se ha obtenido, para la media de esa distribución, el intervalo de confianza (188.18,208.82), con un nivel del 99%. a) Calcule la media muestral y el tamaño de la muestra. b) Calcule el error máximo permitido si se hubiese utilizado una muestra de tamaño 500 y un nivel de confianza del 96%. 5. [ARAG] [EXT-B] El peso (en gramos) de las naranjas de un agricultor es aleatorio, con distribución normal de desviación típica igual a 30 gramos. Queremos construir un intervalo de confianza para la media del peso de las naranjas del agricultor. a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 98% tenga una amplitud menor o igual que 10 gramos. b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 100; pesamos las 100 naranjas y calculamos su promedio, que es igual a 160 gramos. Construir el intervalo de confianza del 98% para la media del peso de las naranjas del agricultor. 6. [ARAG] [JUN-A] Una máquina fabrica tuercas con un diámetro interior (en milímetros) que es aleatorio, con distribución normal de desviación típica igual a 0,2 milímetros. Queremos construir un intervalo de confianza para la media del diámetro interior de las tuercas. a) Determinar el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza del 95% tenga una amplitud menor o igual que 0,06 milímetros. b) Decidimos tomar una muestra de tamaño 200, medimos el diámetro interior de las 200 tuercas y calculamos su promedio, que vale 2,57 milímetros. Construir el intervalo de confianza del 95% para la media del diámetro interior de las tuercas que fabrica la máquina. 7. [ASTU] [EXT-B] Un laboratorio farmacéutico afirma que el tratamiento con uno de sus productos es capaz de eliminar los problemas de insomnio en al menos un 80% de pacientes. Para contrastar dicha afirmación un laboratorio de la competencia realiza un estudio con 100 personas con problemas de insomnio a las que les suministra el tratamiento con dicho fármaco y observa que 78 han dejado de sufrir esa patología. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el laboratorio decía la verdad, frente a la alternativa de que el porcentaje de pacientes que dejan de padecer insomnio es menor del 80%. b) A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desvisción típica 1: F(0'05) = 0'52, F(0'5) = 0'69, F(0'95) = 0'83, F(1'64) = 0'95, F(1'96) = 0'975). 8. [ASTU] [JUN-B] Inicialmente el procentaje de usuarios no satisfechos con el software en pruebas era del 30%. Tras unas medidas de mejora, se tomó una muestra aleatoria de 800 usuarios y se observó que 208 manifestaron no estar satisfechos con Página 1 de 5

2 el software. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que las medidas no han surtido efecto, frente a la alternativa de que sí se ha reducido el porcentaje de usuarios no satisfechos. b) A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 4%? (Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(0'04) = 0'516, F(0'96) = 0'831, F(1'75) = 0'96, F(2'05) = 0'98, F(2'47) = 0'993) 9. [C-LE] [EXT-A] Los pesos de los sacos de leña que se venden en una gasolinera siguen una distribución normal con desviación típica 1 kg. Se quiere comprobar con una confianza del 95% que el peso de 10 kg que marca la etiqueta de cada saco es correcto. Para ello se toman al azar 100 sacos de leña, resultando un peso medio de 9.75 kg. a) Plantea un test de hipótesis adecuado que permita hacer la comprobación requerida. b) Proporciona un intervalo de confianza al 90% para el peso medio de los sacos. 10. [C-MA] [EXT-A] La concentración de ácido úrico en sangre, en mujeres sanas, se distribuye según una normal de media desconocida y desviación típica 1 mg/dl. Se seleccionan al azar 100 mujeres y, mediante un análisis, se observa que la concentración media de ácido úrico en la muestra estudiada es de 3.5 mg/dl. a) Halla un intervalo de confianza para la media de la concentración de ácido úrico en las mujeres con un nivel de confianza del 97%. b) Explica, razonadamente, cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. 11. [C-MA] [EXT-B] En un centro de investigación, se está estudiando el tiempo de eliminación de una toxina en la sangre mediante un fármaco. Se sabe que el tiempo de eliminación de esta toxina sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 6 horas. Se toma una muestra aleatoria de 10 pacientes y se concluye que el tiempo que tardan en eliminar dicha toxina es: 39, 41, 42, 44, 48, 50, 53, 54, 59 y 60 horas respectivamente. a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de eliminación de dicha toxina con un nivel de confianza del 97%. b) Cuál debería ser como mínimo el tamaño de la muestra, para que el error máximo admisible de estimación de la media sea inferior a 2 horas, con un nivel de confianza del 97%? 12. [C-MA] [JUN-A] Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de invierno gastaron: 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente. a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio poblacional con un nivel de confianza del 95% b) Explica razonadamente cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de confianza. 13. [C-MA] [JUN-B] Una fábrica produce cables de acero, cuya resilencia sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica = 10 KJ/m 3. Se tomó una muestra aleatoria de 100 piezas y mediante un estudio estádistico se obtuvo un intervalo de confianza (898.04, ) para la resilencia media de los cables de acero producidos en la fábrica. a) Calcula el valor de la resilencia media de las 100 piezas de la muestra. b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. 14. [CANA] [EXT-A] El año pasado, el precio medio del metro cuadrado de vivienda nueva, en una zona de una determinada ciudad, era de 1800 euros con una desviación típica de 200 euros. La semana actual, para una muestra de 35 viviendas de 90 metros cuadrados, de la zona y ciudad antes citadas, el precio medio por vivienda es de euros. a) Con una significación del 5%, se puede aceptar la hipótesis de que el precio medio del metro cuadrado de vivienda nueva, en la zona y ciudad citadas, sigue siendo de 1800 euros y que, por tanto, no hay evidencias de que haya disminuido? b) Se obtiene la misma conclusión con una significación del 0,5%? 15. [CANA] [EXT-A] Para una muestra de 49 técnicos especialistas contratados en un país de la Unión Europea, el sueldo medio es de 2075 euros con una desviación típica de 250 euros. a) Construir un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,99, parda la media del sueldo de dichos técnicos especialistas. b) Si = 0,1, cuál es el tamaño muestral necesario para cometer un error menor que 10 euros para estimar el sueldo medio de los mencionados especialistas? Página 2 de 5

3 16. [CANA] [EXT-B] Para una muestra de 450 jóvenes, 110 dicen que sus lecturas favoritas son cómics. a) Para un nivel del 90%, obtener un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que tienen los cómics como sus lecturas favoritas. b) Para un nivel de significación del 1,5%, se puede aceptar la hipótesis de que es, al menos, igual a 0,25 la proporción de jóvenes para los que sus lecturas favoritas son cómics? 17. [CANA] [EXT-B] En un aeropuerto, el tiempo de espera tiene una media de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos. Si un viajero parte de dicho aeropuerto: a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera esté entre 15 y 30 minutos? b) Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 26 minutos. c) Un pasajero viaja de lunes a viernes, calcular la probabilidad de que el tiempo medio de espera de las 5 esperas sea superior a 25 minutos. 18. [CANA] [JUN-A] Ante la noticia de que los españoles toman de media 9,7 gramos de sal al día (casi el doble de la cantidad recomendada por la OMS, que es de 5 gramos por persona y día), en una determinada ciudad de habitantes se hizo una campaña que consistió en rebajar la cantidad de sal en la fabricación del pan. En dicha ciudad, se toma una muestra de 144 personas para las que la media de consumo diario de sal es de 8,7 gramos con una desviación típica de 2,1 gramos. a) Con una significación del 5%, se puede rechazar que el consumo no ha bajado? b) Con una confianza del 99%, cuál es, en gramos, el máximo estimado del consumo diario medio de sal por persona? Cuál es, en kilogramos, el máximo estimado del consumo diario medio de sal en toda la ciudad? 19. [CANA] [JUN-A] En un periódico se lee la siguiente afirmación: "Con una confianza del 99%, la proporción de fumadores entre los jóvenes de 2º de Bachillerato está entre el 32% y el 38%" a) Cuál es la proporción muestral y cuál es el error máximo? b) De qué tamaño es la muestra tomada para esta estimación? c) Con una significación del 5%, se puede rechazar que la proporción de fumadores es, como mínimo, del 36,5%? 20. [CANA] [JUN-B] Hace 5 años el consumo medio de agua por domiciclio en un municipio era de 16 m 3 mensuales. Se ha hecho una campaña de ahorro de agua y, luego, se ha observado una muestra de 15 domicilios elegidos al azar, y se ha obtenido un consumo medio de 14,9 m 3 con una desviación típica de 3,6 m 3. a) Con una significación del 10%, se acepta que el consumo medio sigue siendo 16 m 3 o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido? b) Si la misma información se hubiese obtenido de una muestra de 36 domicilios, con una significación del 10%, se acepta que el consumo medio sigue siendo 16 m 3 o, por el contrario, hay evidencias de que ha disminuido? 21. [CANA] [JUN-B] El tiempo de un usario en ventanilla sigue una normal de media 8 minutos con una desviación típica de 2,5 minutos. a) Cuál es la probabilidad de que un usuario tarde entre 5 y 10 minutos? b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de 4 usuarios supere los 11 minutos? c) Si en la cola hay 24 usuarios, cuántos de ellos se espera que tarden más de 8 minutos? 22. [EXTR] [EXT-B] El cociente intelectual de una persona se obtiene tras la repetición de diferentes test. Se sabe que los resultados de dichos test se distribuyen según una normal con desviación típica 10 y media desconocida. Se le realizan a una persona 9 test obteniendo los sigueintes resultados: 105, 106, 109, 115, 100, 117, 116, 114, 108 a) Calcular el intervalo de confianza para al 95%. b) Al 95% de confianza, se puede rechazar la hipótesis de que es 120? 23. [EXTR] [JUN-B] Una compañía de zapatillas ha sacado un nuevo modelo. En su publicidad indican que los atletas de medio fondo pueden disminuir el tiempo de sus marcas en 4 segundos. Se realizan pruebas a 100 atletas y se observa que el tiempo medio de disminución fue de 3.5 segundos. Se sabe que la distribución de ese tiempo es normal con desviación típica 4 segundos. Con un nivel de confianza del 95%, podríamos aceptar que la hipótesis de la compañía es cierta? Justificar la respuesta. Página 3 de 5

4 24. [MADR] [EXT-A] El tiempo de renovación de un teléfono móvil, expresado en años, se puede aproximar mediante una distribución normal con desviación típica 0,4 años. a) Se toma una muestra aleatoria simple de 400 usuarios y se obtiene una media muestral igual a 1,75 años. Determínese un intervalo de confianza al 95% para el tiempo medio de renovación de un teléfono móvil. b) Determínese el tamaño muestral mínimo necesario para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y la media poblacional sea menor o igual a 0,02 años con un nivel de confianza del 90%. 25. [MADR] [EXT-B] Se considera una variable aleatoria con distribución normal de media y desviación típica igual a 210. Se toma una muestra aleatoria simple de 64 elementos. a) Calcúlese la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y sea mayor o igual que 22. b) Determínese un intervalo de confianza del 99% para, si la media muestral es igual a [MADR] [JUN-A] El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con la tarifa AA se puede aproximar por una distribución normal con media 3,5 Mb y desviación típica igual a 1,4 Mb. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 49. a) Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3,37 Mb? b) Supóngase ahora que la media poblacional es desconocida y que la media muestral toma el valor de 3,42 Mb. Obténgase un intervalo de confianza al 95% para la media de la población. 27. [MADR] [JUN-B] La duración en horas de un determinado tipo de bombillas se puede aproximar por una distribución normal con media y desviación típica igual a 1940 horas. Se toma una muestra aleatoria simple. a) Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del 95%, el valor absoluto de la diferencia entre y la duración media observada X de esas bombillas sea inferior a 100 h? b) Si el tamaño de la muestra es de 225 y la duración media observada X es de h, obténgase un intervalo de confianza al 90% para. 28. [MURC] [EXT-A] De una muestra aleatoria de 700 individuos de una población, 100 son mujeres. Hallar un intervalo de confianza al 98% para la proporción de mujeres de esa población. 29. [MURC] [EXT-B] Hace veinte años la edad en la que la mujer tenía su primer hijo seguía una distribución normal con media 29 años y desviación típica de 2 años. Recientemente en una muestra aleatoria de 144 mujeres se ha obtenido, para dicha edad, una media de 31 años. Con un nivel de significación de 0,05, se puede afirmar que la edad media en la que la mujer tiene su primer hijo es mayor actualmente que hace 20 años? 30. [MURC] [JUN-A] Según un estudio realizado en el año 2000, en una población la proporción de personas que tenía sobrepeso era del 24%. En los últimos años ha disminuido la actividad física que realizan los individuos, lo que hace sospechar que dicha proporción ha aumentado. Para contrastarlo, se ha tomado recientemente una muestra aleatoria de 1195 individuos, de los cuales 310 tienen sobrepeso. Con un nivel de significación del 1%, se puede rechazar que la proporción sigue siendo del 24% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado? 31. [MURC] [JUN-B] El tiempo de espera para ser atendido en la caja de un establecimiento sigue una distribución normal de desviación típica 5 minutos. Calcular el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el tiempo medio de espera con un error que no sea superior a medio minuto. Cuál es dicho tamaño mínimo para un nivel de confianza del 99%? 32. [RIOJ] [EXT-B] Se sabe que las puntuaciones obtenidas en un test siguen una distribución normal de media 58 puntos y desviación típica 5 puntos. a) Si se toma una muestra de 16 personas, cuál es la probabilidad de que la media de las puntuaciones obtenidas por esa muestra supere los 56 puntos? b) Calcula un intervalo de confianza, con un nivel del 90%, para la variable de las medias de las muestras de tamaño [RIOJ] [JUN] Se supone que el tiempo de espera desde que se pide un pincho en la calle Laurel hasta que nos lo sirven se puede Página 4 de 5

5 aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica 0,5 minutos y tiempo medio de espera 6 minutos. Se toma una muestra aleatoria de 100 pedidos. Determínese un intevalo de confianza al 90% para el tiempo medio de espera de un pedido de pinchos en la calle Laurel. Soluciones 1. no 2. (823'43,976'57); (0'31,0'39); '5; 351; 6' ; (153'022,166'978) ; (2'542,2'598) 7. H 0 : p 0'8, H 1 : p < 0'8; se acepta 8. H 0 : p 0'3, H 1 : p < 0'3; se reduce 9. no se acepta; (9'585,9'915) 10. (3'283, 3'717) 11. (44'88,53'12); (66'60,91'40) ; 86'64% 14. no se acepta; se acepta 15. (1983'04,2166'96); (0'211,0'277); se acepta 17. 0'7142; 0'6664; 0' no se acepta; 9'15 g, 475'8 kg 19. 0'35, 0'03; 1677; no 20. si; no 21. 0'6730; 0'0082; 0'5 22. (103'47,116'53); si 23. si 24. (1'7108,1'7892); '401; (1464'41,1599'59) 26. 0'2578; (3'028,3'812) ; (12202'25,12627'75) 28. (0'133,0'173) 29. si 30. no , '9452; (56'355,59'645) 33. (5'92,6'08) Página 5 de 5