Relación de Ejercicios de Contrastes de Hipótesis.

Transcripción

1 Relación de Ejercicios de Contrastes de ipótesis. Ponencia Andaluza de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. 1. La altura en cm. de las cañas producidas por una variedad de carrizo en cada cosecha es una variable aleatoria que sigue una ley normal con desviación típica = 16 cm. Para contrastar si la altura media de las cañas de la última cosecha es de 17 cm, se ha tomado una muestra aleatoria de 64 de estas cañas y se han medido sus longitudes, resultando como media muestral x = 166 cm. Son suficientes estos datos para rechazar que la altura media de las cañas de la última cosecha es de 17 cm, a un nivel de significación = ;5? : 17 : 17 Nivel de significación: '5 Z 1'96 2 Z, Z n 2 2 n '96, 17'96 17'47, 17'47 168'53, 171' x '53, 171'47 Rechazamos Estos datos son suficientes para rechazar, a este nivel, que la altura media de las cañas de esta cosecha sea de 17 cm.

2 2. Un comerciante ha observado durante un largo periodo de tiempo que sus beneficios semanales se distribuyen según una ley normal con una media de 5 euros y una desviación típica de 52 euros. A finales del año pasado se abrió un supermercado frente a su comercio y él cree que su beneficio semanal medio ha disminuido desde entonces. Para contrastar esta suposición, ha tomado una muestra aleatoria de 16 semanas del año actual y ha encontrado que el beneficio semanal medio de esa muestra es de 47 euros. Puede afirmarse, a un nivel de significación =.1, que estos datos avalan la creencia del comerciante? x 47 : 5 : 5 Nivel de significación: '1 Z 2'33 Z, n '33, 5 32'9, 4697'1, 16 x '1, Aceptamos No se puede afirmar, al nivel,1, que los datos de la muestra apoyan la creencia de que el nuevo supermercado ha disminuido el beneficio semanal medio del comerciante.

3 3. Solo el 75% de los alumnos de un centro de enseñanza realizan correctamente un test psicotécnico que lleva utilizándose mucho tiempo. Para tratar de mejorar este resultado, se modificó la redacción del test, y se propuso a un grupo de 12 alumnos de ese centro, elegidos al azar. De los 12 alumnos a los que se le pasó el nuevo test, lo realizaron correctamente 17. Podemos afirmar que la nueva redacción del test ha aumentado la proporción de respuestas correctas, a un nivel de significación =.25? pr 17 ' : p '75 : p '75 '25 P Z Z '975 Z 1'96 Nivel de significación: pq '75 '25, p Z,'75 1'96 n 12,'75 '775,' pr '89, ' Rechazamos Podemos afirmar que la nueva redacción del test ha aumentado la proporción de respuestas correctas, a un nivel de significación =.25.

4 4. El peso en vacio de los envases fabricados por una empresa, según su método usual, es una variable aleatoria que sigue una ley normal con media 2 gramos y una desviación típica de 1 gramo. Se desea contrastar si un nuevo proceso de fabricación no aumenta dicho peso medio. Para ello, se eligen al azar 25 envases fabricados por la nueva técnica y se encuentra que la media de su peso en vacío es de 2.5 gramos. Se puede afirmar, a un nivel de significación =.2, que el nuevo proceso ha aumentado el peso medio de los envases? x 2'5 : 2 : 2 '2 P Z Z '98 Z 2'5 Nivel de significación: 1, Z,2 2'5,2 '41,2'41 n 25 x 2'5, 2'41 Rechazamos A la vista de los datos obtenidos en la muestra, se puede afirmar, al nivel =.2, que el nuevo proceso ha aumentado el peso medio de los envases.

5 5. En unas elecciones municipales de una ciudad, el 42% de los votantes dieron su voto al partido A. En una encuesta realizada un año después a 5 personas con derecho a voto, sólo 184 votarían al partido A. Con estos datos, puede afirmarse que ha disminuido la proporción de votantes a ese partido? Responder a la pregunta anterior con niveles de significación =.1, =.25 y =.1. pr 184 '368 5 : p '42 : p '42 '1 P Z Z '99 Z 2'33 Nivel de significación: '25 P Z Z '975 Z 1'96 '1 P Z Z '999 Z 3'9 pq '42 '58 Para '1: p Z, '42 2'33, '3685, n 5 pq '42 '58 Para '25: p Z, '42 1'96, '3767, n 5 pq '42 '58 Para '1: p Z, '42 3'9 n, '3518, 5 p p p r r r '368 '3685, '368 '3767, '368 '3518, Los datos permiten afirmar que ha disminuido la proporción de votantes al partido A a los niveles.25 y.1, pero no ha disminuido la proporción al nivel.1.

6 6. En una ciudad, donde la proporción de fumadores con edad comprendida entre 18 y 2 años es del 3 %, el ayuntamiento ha realizado una campaña contra el consumo de tabaco. Dos meses después de terminar dicha campaña, se ha realizado una encuesta a 4 personas de estas edades, elegidas al azar, y se ha encontrado entre ellos a 92 fumadores. Podemos afirmar, a un nivel de significación =.5, que esta campaña ha modificado la proporción de fumadores entre 18 y 25 años? : p '3 : p '3 Nivel de significación: '5 Z 1'96 2 p q p q p Z, p Z 2 2 n n '3 '7 '3 '7 '31'96, '31'96 '3 '449, '3 '449 '2551, ' pr '23 '2551, ' Rechazamos Estos datos son suficientes para afirmar, al nivel.5, que se ha modificado la proporción de fumadores entre los 18 y 25 años.

7 7. Un fabricante de automóviles produce dos tipos de un determinado modelo de turismo: el tipo A, con motor de gasolina, y el tipo B, con motor de gasoil. De una muestra aleatoria de 2 turismos de este modelo, 112 son del tipo B. Proporcionan estos datos suficiente evidencia, a un nivel de significación =.1, de que los clientes prefieren el modelo del tipo B al del tipo A? pr 112 '56 2 : p '5 : p '5 '1 P Z Z '99 Z 2'33 Nivel de significación: pq '5 '5, p Z, '5 2'33 n 2,'5 '824,'5824 p '56, '5824 r Aceptamos No tenemos evidencias suficientes para afirmar que los clientes prefieren el modelo del tipo B de gasoil, al del tipo A de gasolina, al nivel de significación =.1.

8 8. Supongamos que 1 neumáticos de cierta marca duraron en promedio kilómetros. Si se supone que la población es normal con una desviación típica poblacional de 1295 km, utilizando =.5, podemos considerar que la duración media de los neumáticos es inferior a 22 km? x : 22 : 22 Nivel de significación: '5 Z 1'96 Z, n '96, '82, 21746'18, 1 x '18, 2 Rechazamos Podemos afirmar que la duración media de los neumáticos de dicha marca es menor de 22 km, con una probabilidad de error tipo I,, del 5 %.

9 9. Un constructor afirma que por lo menos el 75% de las casas que construye tienen calefacción. Se estaría de acuerdo con tal afirmación si una inspección aleatoria muestra que 72 de 135 casas cuentan con calefacción? (Usar =.1 ) pr 72 ' : p '75 : p '75 '1 P Z Z '9 Z 1'28 Nivel de significación: pq '75 '25 p Z, '75 1'28, n 135 '75 '477, '723, p '533 '723, r Rechazamos Los datos de la muestra son suficientes para rechazar, a este nivel =.1, la afirmación del constructor de que la proporción de casas con calefacción que éste construye no es inferior al 75 %.

10 1. Una compañía textil afirma que a lo sumo el 2% del público compra ropa de lana. Verifica esta afirmación para =.1, si una encuesta aleatoria indica que 46 de 2 clientes compran ropa de lana. pr 46 '23 2 : p '2 : p '2 '1 P Z Z '99 Z 2'33 Nivel de significación: pq '2 '8, p Z,'2 2'33 n 2,'2 '659,'2659 p '23, '2659 r Aceptamos Los datos de la muestra no son suficientes para rechazar, a este nivel, que la proporción del público que compra ropa de lana no supera el 2 %.

11 11. Se sabe que la longitud en cm de una determinada especie de coleópteros sigue una distribución normal de varianza.25 cm 2. Capturados 6 ejemplares de dicha especie, sus longitudes (en cm) fueron: Se puede aceptar la hipótesis de que la población tiene una longitud media de cm? (Usar = ;5 ) x : : '95 Nivel de significación: '5 P Z Z '975 Z 1' Z, Z n 2 2 n '5 '5 2'656 1'96, 2'656 1'96 2'656 '4, 2'656 '4 2' 256, 3' x 2'66 2'256, 3'56 Aceptamos No tenemos evidencias suficientes para rechazar que la longitud media de esa especie de coleópteros es de cm, con una probabilidad de error tipo I,, del 5 %.

12 EJERCICIO DE SELECTIVIDAD Un agricultor piensa que la producción media por naranjo, en su finca, es de 88 kg o más. Para confirmar su creencia selecciona, al azar, 1 de sus naranjos, pesa su producción y obtiene como resultado, en kg, para cada uno de ellos: 8, 83, 87, 95, 86, 92, 85, 83, 84, 95 Se acepta que la producción de un naranjo sigue una distribución Normal con desviación típica 5 kg. a) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación α =,5 b) Con los datos de esta muestra, qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación? : 88 : 88 Las medias muestrales se distribuyen 5 x N 88, x N 88, 1'58 1 Nivel de significación: '5 Z 1'645 Zona de acptación: Z, n '645, 88 2'6, 85'39, x 87 85'39, 1 Aceptamos Estos datos son suficientes para aceptar, a este nivel, que la producción media por naranjo de esta cosecha sea de 88 kg o mas.

13 12. La edad de la población que vive en residencias de mayores en Cádiz sigue una distribución normal de desviación típica 7.3 años. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 5, y se obtiene una media muestral de 69 años. Se puede asegurar que la edad media de la población que vive en residencias de mayores en Cádiz es mayor de 7 años con un nivel de significación del 5%? x 69 : 7 : 7 Las medias muestrales se distribuyen 7'3 x N 7, x N 7, 1'3 5 Nivel de significación: Zona de acptación: Z, n '5 P Z Z '95 Z 1'645 7'3 7'645, 7'7, 68'3, 5 x 69 68'3, Aceptamos Puede decirse que los datos de la muestra permiten afirmar que la media de edad de esas personas sea mayor que 7 años, al nivel de significación =.5.

14 13. Para conocer la producción media de sus olivos, un olivarero escoge al azar 1 de ellos, pesa su producción de aceitunas, y obtiene los siguientes valores, expresados en kg: 175, 18, 21, 215, 186, 213, 19, 213, 184, 195. Sabemos que la producción sigue una distribución normal con desviación típica igual a 15.3 kg. Con la información obtenida, se puede asegurar que la producción media de un olivo de ese agricultor es menor de 2 kg? Usar = x 196,1 1 x 196'1 : 2 : 2 Las medias muestrales se distribuyen 15'3 x N 2, x N 2, 4'84 1 Nivel de significación: Zona de acptación: Z, n '5 P Z Z '95 Z 1'645 15'3 2'645, 2 7'96, 192'4, 1 x 196'1 192'4, Aceptamos No puede decirse que los datos de la muestra confirman que la producción media de un olivo de ese agricultor es menor de 2 kg, al nivel de significación =.5.

15 14. El 4% de los escolares de cierto país suelen perder al menos un día de clase a causa de gripes y catarros. Sin embargo, un estudio sobre 1 escolares revela que en el último curso hubo 45 en tales circunstancias. Las autoridades defienden que el porcentaje del 4% para toda la población de escolares se ha mantenido. Contrastar con un nivel de significación del 5% la hipótesis defendida por las autoridades sanitarias, frente a que el porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos, explicando claramente a qué conclusión se llega. pr 45 '45 1 : p '4 : p '4 '5 P Z Z '95 Z 1'645 Nivel de significación: pq '4 '6, p Z,'4'645 n 1,'4 '25,'425 p '45, '425 r Rechazamos Estos datos son suficientes para afirmar, al nivel =.5, que el porcentaje de escolares que pierden al menos un día de clase por causa de gripes y catarros ha aumentado, por lo que ese porcentaje es mayor del 4 %. Entonces, la hipótesis mantenida por las autoridades no es correcta.

16 15. Una de las entradas a cierta ciudad andaluza sufría constantemente retenciones de tráfico, de forma que el tiempo de espera en la cola formada por el semáforo allí instalado seguía una distribución Normal de media 1 minutos y desviación típica 4 minutos. Con el fin de descongestionar ese punto y bajar la media de tiempo de espera, se habilitó una vía de acceso auxiliar. Transcurrida una semana se hizo un estudio sobre 36 vehículos y se obtuvo que el tiempo medio de espera en el citado semáforo fue de 8.5 minutos. Las autoridades municipales mostraron su satisfacción y dijeron que la medida había funcionado, pero la opinión pública, sin embargo, defiende que la situación sigue igual. Suponiendo que la desviación típica se ha mantenido: a) Plantee un test para contrastar la hipótesis defendida por la opinión pública frente a la de los responsables municipales. Si se concluye que la media de tiempo de espera bajó y realmente no lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%? c) A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 1%? a) x 8'5 : 1 : 1 El error se denomina Error tipo I (porque se rechazo la hipótesis nula siendo verdadera), y la probabilidad de cometer un error de tipo I se denomina b) x 8'5 : 1 : 1 Las medias muestrales se distribuyen 4 x N 1, x N 1, '67 36 Nivel de significación: Zona de acptación: Z, n '5 P Z Z '95 Z 1'645 4 = 1'645, 1'1, 8'9, 36

17 x 8'5 8'9, Rechazamos Estos datos son suficientes para afirmar, al nivel =.5, que el tiempo medio de espera en dicho semáforo ha bajado, por lo que ese tiempo de espera es ahora menor de 1 minutos. Entonces, la hipótesis mantenida por las autoridades municipales es correcta, y la medida de habilitar una vía de acceso auxiliar ha descongestionado el tráfico en la entrada de dicha ciudad. c) x 8'5 : 1 : Las medias muestrales se distribuyen x N 1, x N 1, '67 Nivel de significación: Zona de acptación: Z, n '1 P Z Z '99 Z 2'33 4 = 1 2'33, 1'55, 8'45, 36 x 8'5 8'45, Aceptamos Sin embargo, para un nivel =.1 no se puede rechazar la hipótesis nula, y por tanto el tiempo medio de espera en el semáforo sigue siendo de 1 minutos.

18 16. En un hospital se observó que los pacientes abusaban del servicio de urgencias, de forma que un 3% de las consultas podían perfectamente haber esperado a concertar una cita con el médico de cabecera, porque no eran realmente urgencias. Puesto que esta situación ralentizaba el servicio, se realizó una campaña intensiva de concienciación. Transcurridos unos meses se ha recogido información de 12 consultas al servicio, de las cuales sólo 3 no eran realmente urgencias: a) ay personal del hospital que defiende que la campaña no ha mejorado la situación. Plantee un test para contrastar esta hipótesis frente a que sí la mejoró. Si se concluye que la situación no ha mejorado y realmente sí lo hizo, cómo se llama el error cometido? b) A qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior con un nivel de significación del 1 %? a) pr 3 '25 12 : p '3 : p '3 El error se denomina Error tipo II (porque se acepta la hipótesis nula siendo falsa) b) pr 3 '25 12 : p '3 : p '3 '1 P Z Z '99 Z 2'33 Nivel de significación: pq '3 '7 p Z, '3 2'33, n 12 p '25 '225, r '3 '974, '225, Aceptamos La campaña de concienciación no ha reducido el porcentaje de pacientes (3 %) que abusan del servicio de urgencias, al nivel de significación =.1.

19 17. El alcalde de una ciudad prometió, en su programa electoral, oponerse a la construcción de una central de tratamiento de ciertos residuos, puesto que en aquel momento sólo un 1% de los ciudadanos estaban a favor de la central de tratamiento de residuos. En los últimos días se ha encuestado a 1 personas de las cuales 14 están a favor de la central. El alcalde afirma sin embargo que el porcentaje de ciudadanos a favor sigue siendo del 1% o incluso ha disminuido. Tiene razón el alcalde con un nivel de significación del 2 %? pr 14 '14 1 : p '1 : p '1 '2 P Z Z '98 Z 2'5 Nivel de significación: pq '1 '9, p Z,'1 2'5 n 1,'1 '61,'161 p '14, '161 r Aceptamos No tenemos evidencias suficientes para afirmar que el porcentaje de ciudadanos que están a favor de la construcción de la central de tratamiento de residuos es mayor del 1 %, al nivel de significación '2. Por tanto, los datos de la muestra avalan la opinión del alcalde de que el porcentaje de ciudadanos a favor sigue siendo del 1% o incluso ha disminuido.

20 18. Se desea estudiar el gasto mensual de los teléfonos móviles, en euros, de los estudiantes universitarios andaluces. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 1 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para el gasto mensual en móvil: Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica igual a 12 euros. a) Se puede asegurar que los estudiantes universitarios andaluces gastan menos de 5 euros mensuales en teléfono móvil? (Usar '1) b) Cuál es la desviación típica de la media muestral? x 36 1 x 36 : 5 : 5 Las medias muestrales se distribuyen 12 x N 5, x N 5, 3'794 1 Nivel de significación: Zona de acptación: Z, n '1 P Z Z '99 Z 2' '33, 5 8'84, 41'16, 1 x 36 41'16,

21 Rechazamos Estos datos son suficientes para afirmar, al nivel '1, que los estudiantes universitarios andaluces gastan menos de 5 euros al mes en teléfono móvil. b) Entonces 12 3'795 x 1

22 19. Una máquina de envasado automático llena en cada saco una cierta cantidad de determinado producto. Se seleccionan 2 sacos, se pesa su contenido y se obtienen los siguientes resultados (en kilos): 49; 5; 49; 5; 5; 5; 49; 5; 5; 5; 49; 5; 5; 51; 52; 48; 5; 51; 51; 51 A partir de esta información y suponiendo que la variable, peso de cada saco, se distribuye normalmente con desviación típica 1 kg: a) Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llena la máquina es de aproximadamente 51 kg? (Usar '1) b) Se puede admitir que el peso medio de los sacos que llena la máquina es menor de 5 kg? (Usar '5 ) a) : 51 : 51 Nivel de significación: '1 Z 2'575 2 Z, Z n 2 2 n '575, 51 2' '576, 51 '576 5'424, 51' x 5 Z A 2 Rechazamos Podemos afirmar que la máquina no envasa sacos de aproximadamente 51 kg, al nivel de significación '1

23 b) x 5 Tomamos como ipóteis nula lo contario de lo que queremos demostrar. : 5 : 5 '5 P Z Z '95 Z 1'645 Nivel de significación: 1 Z, 5'645, 5 '41, 49'59, n 2 x 5 ZA Aceptamos Podemos decir que los mismos datos apoyan la hipótesis de que el peso medio de los sacos no es inferior a los 5 Kg, al nivel de significación '5.