Medida de la Función de Transferencia de un Circuito RLC.

Transcripción

1 Medida de la Función de Transferencia de un Circuito LC. DATSI 9 de octubre de 2014

2 1. Introducción El circuito sobre el que se pretende medir la función de transferencia en el laboratorio es el representado en la figura 1, en donde se han indicado los valores nominales de los elementos a emplear. L=100mH r C=10nF Ve =1K Ω Vs Figura 1: Esquema del circuito LC. V e es la señal de entrada, es decir, la proporcionada por el generador de funciones y V s es la tensión que obtenemos en la salida. A pesar de que en el esquema hay cuatro elementos: L, r, C y, realmente la resistencia r no es un elemento físico separable, sino que es una resistencia parásita (no deseada) debida principalmente al bobinado de la inductancia y que no podemos eliminar, salvo que se prescinda de la bobina. Analizando el circuito se llega a la conclusión de que la relación entre la tensión de entrada V e (jω) y la tensión de salida V s (jω), es decir, la función de transferencia del circuito es: F (jω) V s(jω) V e (jω) = ( r) j(ωl 1 ωc ) (1) La parte real del denominador es constante, mientras que la parte imaginaria del mismo depende de ω. De hecho, hay una frecuencia a la cual se anula la parte imaginaria y por tanto, a la cual el módulo de la función de transferencia es máximo y puramente real. Dicha frecuencia, denominada la frecuencia (angular) de resonancia ω 0 del circuito, viene dada por la solución de la ecuación: j(ω 0 L 1 ω 0 C ) = 0 = ω 0 = 1 LC (2) A dicha frecuencia, el circuito se convierte en un divisor de tensión resistivo: F (jω 0 ) = r Se puede escribir la función de transferencia de una manera más normalizada, aprovechando la definición de la frecuencia de resonancia e introduciendo el factor de calidad Q de un circuito LC. Este último se define como el cociente entre (el valor absoluto) de la impedancia de la bobina (o del condensador) a la frecuencia de resonancia y la resistencia total del circuito. En nuestro caso: Q = ω 0L r = 1 ω o C( r) Con ello se puede escribir la función de transferencia en forma normalizada como: F (jω) = r 1 [( ) 1 jq ωω0 (3) (4) ( )] (5) ωo ω

3 Escribirlo de esta forma no cambia el resultado, pero es más fácil interpretar el significado de la expresión e intuir el comportamiento del circuito. El principal efecto de la resistenciá parásita de la bobina es que el valor máximo de la función de transferencia no va a a ser la unidad, sino ligeramente inferior: F (jω 0 ) < 1. Por otra parte, el término que está entre corchetes cuadrados en el denominador nos mide cuán lejos estamos de la frecuencia de resonancia: vale cero a la frecuencia de resonancia, y aumenta en valor absoluto cuando nos alejamos de ella (se hace positivo si la sobrepasamos y negativo si estamos por debajo de ella). Al alejarnos de la frecuencia de resonancia el módulo del denominador aumenta y la señal en la salida disminuirá: la señal de entrada verá rechazado su paso por el circuito. El punto interesante es que la importancia de la parte imaginaria viene afectada por el factor de calidad Q. Para que la parte imaginaria adquiera un valor importante podemos hacer dos cosas: o alejarnos mucho de la frecuencia de resonancia, o tener un circuito con un factor de calidad muy alto. Dicho de otra forma, un circuito es tanto más selectivo en frecuencia, cuanto mayor sea su factor de calidad, porque aumentar el factor de calidad equivale a alejarnos en frecuencia y por tanto a aumentar el rechazo. La función de transferencia proporciona valores que son números complejos. En la práctica nos vamos a limitar a medir el módulo de la misma. Sin embargo, aprovecharemos el hecho de que el desfasaje entre entrada y salida es nulo a la frecuencia de resonancia para medir ésta. 2. Trabajo previo al laboratorio. Al entrar en el laboratorio, se deberá entregar una copia de los siguientes cálculos en la primera hoja de respuestas: Obtención de forma razonada de la expresión de la función de transferencia dado por la ecuación (1). El cálculo de cuál es la frecuencia de resonancia nominal f 0 = ω 0 /(2π), es decir, para los valores nominales de los elementos. El valor del factor de calidad para los valores nominales de todos los elementos, tomando la resistencia parásita de la bobina como despreciable, es decir, como cero. 3. Trabajo experimental en el laboratorio Preliminares. 1. Se comprobará con el polímetro el valor de la resistencia de 1KΩ que se vaya a emplear, no sólo por descartar la posibilidad de haber equivocado dicha resistencia con la de 10KΩ, sino para conocer exactamente el valor de la misma, pues será necesario para cálculos posteriores. Esta medida se transladará a la segunda hoja de respuestas. 2. Se medirá la resistencia parásita de la bobina con el polímetro. No es de esperar que su valor sea muy elevado, pero puede llegar a ser de hasta 300Ω. Esta medida se transladará asimismo a la segunda hoja de respuestas Montaje del circuito LC. El paso siguiente es montar el circuito LC de la figura 1 en una placa de inserción, tal y como se aprecia en dicha figura 1. A veces, puede ser cómodo disponer de un pequeño cable para poder 1 Se recuerda que r es la resistencia interna parásita de la bobina y no un elemento a conectar.

4 conectar las sondas más fácilmente a los puntos de medida en el circuito. Ello es especialmente cierto para poder conectar la entrada al terminal libre de la bobina. El osciloscopio estará en modo dual. Ninguno de los mandos de funciones especiales (modo XY, magnifiers, etc.) deben estar activados. Tanto los mandos de amplitud, como de la base de tiempos deben estar inicialmente en la posición de calibrado. A continuación encender el osciloscopio y el generador de funciones. Se debe comprobar que el nivel de cero de ambos canales del osciloscopio coincida con el eje horizontal (y = 0). Como ya es sabido, ello se logra poniendo cada canal en Gnd y actuando con el mando de posición Y del canal en cuestión. Una vez hecho esto, se dejarán ambos canales en AC y, dado que vamos a tener señales del orden del voltio, en la escala de 0.5V/div. La escala de tiempos se puede situar provisionalmente en 1ms/div, pero será necesario poner una escala menor. Durante toda la práctica se empleará una señal sinusoidal de entrada de 1V de amplitud. Se conectará el canal 1 del osciloscopio a la salida del generador de funciones, el cual debe estar en modo sinusoidal, sin offset y se graduará la amplitud del mismo para que sea de 1V, es decir, en la escala de 0.5V/div, que ha sido previamente seleccionada, pico a pico debe medir exactamente cuatro divisiones. A continuación se procederá a conectar el generador y el canal 1 del osciloscopio a la entrada del circuito. Evidentemente, se conectarán al extremo libre de la bobina, mientras que el extremo libre de la resistencia hace las veces de terminal de referencia (o de masa) y a él se conectarán todos los terminales de masa, según el esquema de la figura 2. El canal 2 del osciloscopio se conectará a la salida del circuito. Generador L r C Ve Vs Canal 1 Canal 2 Figura 2: Conexionado de los aparatos al circuito LC. Se observarán dos señales sinusoidales en el osciloscopio, la de mayor amplitud es el canal 1, es decir, la entrada; mientras que la de menor amplitud es el canal 2, es decir, la salida. Varíese la frecuencia del generador por encima y por debajo de la frecuencia de resonancia calculada previamente con los valores nominales de los elementos. Se observará que varía, tanto la amplitud de la señal de salida, como el desfasaje entre ambas señales Medida de la frecuencia de resonancia. Póngase el generador de funciones en una frecuencia cercana a la nominal de resonancia y sitúese la base de tiempos del osciloscopio en una escala, donde sea cómodo realizar medidas y se pueda observar claramente al menos un periodo de las señales. No es preciso que la base de tiempos esté en este momento en la posición de calibrado. Se deberá variar la frecuencia del generador de funciones hasta que coincidan en fase ambas señales. De hecho, casi coincidirán en amplitud cuando coincidan en

5 fase. Típicamente, se observará en la pantalla del osciloscopio una imagen análoga (no necesariamente igual) a la de la figura 3. Ch 2 Ch 1 Figura 3: El sistema LC en resonancia. La resonancia se caracteriza por el hecho de que la impedancia del condensador y de la bobina se compensan exactamente la una a la otra y por tanto el desfasaje entre la entrada y la salida debe ser nulo. La frecuencia que esté marcando el generador de funciones (cuando se consigue que ambas señales estén en fase) es la frecuencia de resonancia experimental f 0 del circuito. Si se desea, se puede variar el mando del calibrado de amplitud del canal 1 para observar la correcta superposición de ambas señales. Se transladará el valor experimental de la frecuencia de resonancia a la hoja de respuestas. Dado que, desde la práctica anterior, se conoce el valor del condensador, se calculará el valor de la bobina que corresponde al valor experimental obtenido para la frecuencia de resonancia. Asimismo se recalculará el valor del factor de calidad con los datos obtenidos experimentalmente (fecuencia de resonancia, resistencia parásita de la bobina y capacidad del condesador, o bien inductancia de la bobina). Se transladarán los resultados de estos cálculos a la segunda hoja de respuestas Medida del módulo de la función de transferencia. Hay que asegurarse de que se tiene la sonda del canal 1 del osciloscopio a la entrada del circuito, el osciloscopio en modo dual y con el canal 2 a la salida (y sin invertir). Las referencias de cero es preferible dejarlas en la parte inferior del osciloscopio. La medida del módulo de la función de transferencia consiste simplemente en medir la amplitud de la señal de salida, es decir, el canal 2, para distintas frecuencias. Es preciso vigilar que la amplitud de la señal de entrada siga siendo 1V en todas las medidas, pues algunos generadores sufren pequeñas variaciones de amplitud al variar la frecuencia. Será necesario ir cambiando la escala del canal 2 para realizar la medida de la forma más exacta posible. Las frecuencias a las que se tienen que realizar las medidas de la función de transferencia son f 0 1, 6kHz, f 0 1, 1kHz, f 0, f 0 ± 300Hz, f 0 ± 800Hz, f 0 1, 4kHz y f 0 2, 3kHz. Se transladarán estas medidas a la segunda hoja de respuestas y se representará con ellas el módulo de la función de transferencia.