2. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia. 3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia.

Transcripción

1 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Desarrollo del tema.. Concepto de elementos. Excitación sinusoidal.. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia. 3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia. 4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia. 5. Concepto de Impedancia. 6. El cuerpo de los números complejos C. La representación de los números complejos. 7. La representación de las magnitudes eléctricas en función de los números complejos.

2 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.. Concepto de elementos. Excitación sinusoidal. Cuando a un sistema se le somete a una excitación externa mediante una función, éste reacciona mediante una función respuesta. Se dice que el proceso está guiado por elementos si se cumple: a. Existe una combinación lineal entre las funciones excitatrices: k. E (t) + k. E (t) +... b. Existe una combinación lineal entre las funciones respuestas: k. S(t) + k. S(t) +... c. Existe una igualdad entre las excitaciones y las respuestas: k. E (t) + k. E (t) +... k. S(t) + k. S(t) +... En el caso de que la función excitación sea sinusoidal, se dirá que los elementos son cuando la función respuesta es también sinusoidal(seno o coseno) con la misma frecuencia. Existen tres elementos : a. Elementos resistivos. b. Elementos inductivos. c. Elementos capacitivos.. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia. Cuando al siguiente circuito le aplicamos la entrada a un osciloscopio se puede observar las imágenes siguientes: V56,6V F50 Hz

3 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. t 80 sen. π. 50. t T La pantalla del osciloscopio mostrará: U U0 sen ω t 80 sen 80 V T 0,0 s Si la intensidad es el cociente entre el potencial y la resistencia: I U R Uo sen. t R 0,08 sen. π. 50. t (A) I I0 sen ω t. ;; U0 I0. R Si en lugar de trabajar con los valores máximos, se utilizan los valores eficaces: Uef. R. Ief. Uef.R. I ef. En un circuito de corriente alterna con un resistor, la ley de Ohm se cumple tanto para los valores máximos como para los valores eficaces y las ondas de tensión y de intensidad se encontrarán en fase. 3

4 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. La potencia se calculará mediante la siguiente expresión: P U. I U0 sen ω t. I0 sen ω t U0. I0 sen ω t De acuerdo a las relaciones trigonométricas se cumplirá: sen ω t + cos ω t cos ωt sen ω t - cos ω t Resolviendo el sistema : cos t ;;; P Uef. Ief ( - cos ωt ) sen ω t La potencia generada tiene forma pulsante cuya frecuencia es el doble de la intensidad y tensión y su valor máximo será Uef. Ief y su valor mínimo será el 0 W. El valor máximo de la potencia será, P I0. U0 4

5 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Para calcular la potencia media, se deberá determinar el valor medio de la integral: T Pmedia cos ω t. U. I.( ) T Los límites de la integración serán de 0 a T. Al calcular la integral se obtiene el valor : P I 0. U0 I ef.u ef R. I ef Se define como intensidad eficaz de una corriente alterna como la intensidad de corriente continua que en una misma resistencia disipa la misma energía por unidad de tiempo que en el caso de la corriente alterna. Problema.- Se conecta a una resistencia de kω una fuente de alimentación de AC 56,6 V y 50 Hz de frecuencia ( ver la figura del osciloscopio). Calcular la potencia que se disipa en dicha resistencia y el valor de la potencia instantánea 4 ms después de haberse hecho nula la tensión decreciendo en el ciclo. Datos.- R kω ;; Uef 56,6 V ;; f 50 Hz ;; t 0,004 +T/ 0,04 s Resolución.- PR. I ef U ef 300 3, W R 000 U 0 80 Pinst U 0. I 0. sen ω t sen 00 π. t sen 00 π. 0,045,79W R 000 El cálculo del seno se realizará teniendo en cuenta que el argumento está medido en radianes. 3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia. En este caso se coloca una bobina de coeficiente de autoinducción mh, a la que se aplica una corriente alterna : U U0. sen ω t. Por la ley de Fareday de la autoinducción : Uin - L. di Aplicando las leyes de Kirchhoff para la malla constituida : Σ U Σ I. R ;; Como en nuestro circuito no existen resistencias: 5

6 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Σ U 0 U + Uin di U0. sen ω t - L. di 0 ; al separar variable diferenciales se obtiene : U0 U U 0 U. sen ω t. I 0 sen ω t. cos ω t 0 sen ( ω t π )I 0. sen ( ω t π ) L L L. ω L.ω La onda de la intensidad se encuentra desfasada con relación a la tensión. En este caso se encuentra retrasada en π/ radianes. U0 según esto, existirá una impedancia inductiva o inductancia, que es la L.ω I0 resistencia debida a la bobina : XL L. ω En el caso de que la referencia de la onda sea la intensidad: I I 0 sen ω t U U0 sen ( ω t + ) U0 cos ω t Problema.- Una bobina de 00 mh de autoinducción, se conecta a una fuente de alimentación de 0 V y 50 Hz de frecuencia. Calcular la Intensidad eficaz que circula por el circuito y su valor instantáneo sabiendo que el origen de tiempos es el momento que la intensidad comienza a aumentar partiendo del valor nulo. Datos.- L 0, H ;; Vef 0 V ;; f 50 Hz ;; Resolución.- I ef U ef L.ω I I 0 sen ω t 0 6,3 A 0, 50 Ief sen ω t 9,00 sen 34 t ( A) 6

7 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Al conectar la fuente de alimentación a un osciloscopio, la función observada es: En el siguiente dibujo se aprecia cómo la tensión se encuentra desfasada respecto a la intensidad y adelantada π/ Para calcular la potencia de un circuito inductivo, se debe de tener en cuenta lo siguiente: 7

8 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. PU 0 cos ω. t I 0 sen ω. t U 0. I 0 sen ω. t I ef. U ef. sen ω.t PU. I U 0 sen( ω.t + π ).I 0 sen ω.tu 0 (sen ω.t.cos π +cos ω.t sen π ). I 0 sen ω.t I ef. U ef.sen ω t T P I.U sen ω.t 0 0 ef ef La potencia varía senoidalmente con una frecuencia el doble que la tensión o la intensidad. El valor medio de la potencia ( potencia activa) es nulo. La amplitud de las oscilaciones será : U ef P U. I L. ω. I M ef ef ef Representando la potencia Lω Cuando la tensión y la intensidad son positivas o negativas, la potencia instantánea es positiva, almacenando energía la bobina. Cuando la tensión y la intensidad son de sentido opuesto, la potencia es negativa y significa que la bobina cede energía; este proceso alternativamente sucede alternativamente. Durante el primer cuarto de periodo la bobina se carga y en el cuarto siguiente se descarga. La energía almacenada por la bobina en un instante determinado será : d W P L I W di I L I di ;; W L. I. di L. I L. I ef sen ω t 0 L Ief ( - cos ω t ) La energía varía senoidalmente con frecuencia el doble que la de la intensidad entre 0 y L I, apreciándose la variación en la siguiente representación: 8

9 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. ef ef 4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia. Está formado por un condensador excitado por una corriente alterna sinusoidal de valor : U U0 sen ω t En este caso, la fuente de alimentación genera una AC de U ef 0 V y frecuencia f 50 Hz. Alimenta un condensador de 00 μf de capacidad. La señal observada se envía a un osciloscopio, cuya pantalla muestra lo siguiente : 9

10 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Con un retraso de la onda de tensión respecto a la intensidad. Para calcular los valores instantáneos, se recurre a la derivación de la tensión respecto al tiempo: IC du du ; ;U U 0 sen ω.t ; ; U 0. ω cos ω t ;; I C U 0 ω cos ω.t I C. ω.u 0 sen( ω. t + π ) ; ; I 0 C. ω.u 0 Por lo tanto, se puede definir una reactancia XC o capacitancia que es igual a : X C U 0X C. I 0 Cω Por otra parte se produce un desfase entre la tensión y la intensidad, en este caso, la intensidad se adelanta π/ respecto a la tensión: U U0 sen ω t 0

11 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. I I m sen (ω t + ) La capacitancia de un circuito disminuye al aumentar la frecuencia. Problema 3.- Un condensador de 00 μ F de capacidad se conecta a una tensión de 0 V y 50 Hz de frecuencia (AC), según el circuito dibujado en esta sección. Hallar los valores eficaz e instantáneo de la intensidad, suponiendo que empieza a contar el tiempo en el instante que la intensidad comienza a aumentar, partiendo del valor nulo. Datos.- C F ;; Vef 0 V ;; f 50 Hz ;;; desfase inicial 0 Resolución : ω. π. f 34,5 rad/s XC 3,83 Ω ;; Ief Uef // Xc 6,9 A ;; I m C. Ief 9,77 A I I m sen ω t 9,77 sen 34,5 t Para calcular la potencia de un circuito capacitivo, es necesario tener en cuenta: ) U0 I 0 sen ω t ( sen ω t. cos sen ω t cos ω t U0 I 0 sen ω t Ief Uef. sen ω t P U. I U0 sen ω t. I 0 sen (ω t + + cos ω t sen ) U0 I 0 Según esto, la potencia varia senoidalmente con una frecuencia el doble de la tensión o intensidad. El valor medio o promedio (la potencia activa), vale cero P0. La amplitud de la potencia será : PM Uef. Ief XC. Ief

12 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. La magnitud así definida recibe el nombre de potencia reactiva de capacidad y se representa por la letra Q. Se mide en voltamperio reactivo (Var). Físicamente no es una potencia, como en el caso de la autoinducción, esta magnitud se puede medir y resulta muy importante en los cálculos electrotécnicos. En la representación de la potencia en función del tiempo, se observa que cuando la tensión y la intensidad son positivas o negativas las dos, la potencia es positiva y el condensador almacena energía; cuando la tensión es negativa y la intensidad es positiva o viceversa, la potencia es negativa y el condensador se descarga y pierde energía. Si inicialmente el condensador se encuentra descargado, con tensión nula, la energía varía de la siguiente forma: T T U du W P C.U C.U. du C.U C U ef. sen ω.t C. U ef ( cos. ω. t ) dq du U.C. La energía variará solenoidemente con una frecuencia doble de la tensión y de la intensidad, variando sus valores entre 0 y C Um PU. I U.

13 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. 5. Concepto de Impedancia. Como ya se ha explicado en los diferentes elementos de un circuito de AC se cumple la ley de OHM : Uef R. Ief Uef XL Ief Uef XC Ief En general R, XL y XC, reciben el nombre de impedancia Z, por lo que : Uef Z. Ief. También se cumplirá que : U0 Z I 0 6. El cuerpo de los números complejos C. La representación de los números complejos. Matemáticamente existe una operación no cerrada dentro de los números reales. Esta operación es la raíz de índice par de un número R-. Para salvar esta inconveniencia, se definen un nuevo conjunto de números imaginarios, cuya unidad es i. Los números imaginarios se representan en una recta perpendicular a la recta real. La unión de los números imaginarios y los números reales, constituyen los números complejos C, formando un cuerpo de números, pues todas las operaciones son cerradas. Un número complejo se representa : Recta imaginaria Recta Real a 3, es la parte real ;; b 4, es la parte imaginaria. M, es el módulo a M cos Φ ;; b M sen Φ ;; C M ( cos Φ + i senφ ) 3

14 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también lo son: a + b i a + b i, si y si solo : a a y b b Dos números complejos son conjugados cuando : a a y b - b ejemplo - + 3i y - - 3i Dos números complejos son opuestos cuando: a - a y b - b ejemplo 4 i y i Operaciones con números complejos: a. Suma o diferencia. (a + b i ) + ( c + d i ) ( a + c ) + ( b + d ) i (,-) + (-3,) ( -3, -3+) (-, - ) - i b. Productos y cocientes.aφ. Bξ ( A. B)φ+ξ (5. 4) La representación de las magnitudes eléctricas de corriente alterna en función de los números complejos. Las magnitudes eléctricas de los circuitos eléctricos de corriente alterna, se puede usar el sistema vectorial complejo, de tal forma que la intensidad, siempre se colocará en la recta real en el sentido positivo. Circuito con resistencia ( R) El valor complejo de U, será : Uef (R Ief, 0 ) Uef (R Ief)0 Circuito con inductancia ( XL ) El valor complejo será Uef ( 0, XL Ief ) 4 Uef (XL Ief)π/

15 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Circuito con capacitancia ( XC ) El valor complejo será Uef ( 0, - XC Ief) Uef (XC Ief) -π/ En la tabla de la siguiente se muestra el resumen : Problema 4.- Una corriente alterna de frecuencia 50 Hz, posee una intensidad nula cuando t 0. Calcular el valor de la intensidad a /6, /8 y ¼ del periodo. Calcular también la intensidad eficaz si la máxima es de 5 A. Datos.- f 50 Hz. ;; I 0 5 A. I ef Resolución. ω T I0 0,6 A ; ; I I 0 sen ω t 5. sen 00 π t ωt T T 0, ,7853,5707 t T/6 ;; I 5 sen 0,396 5,74 A t T/8 I 5 sen 0,7853 0,60 A 5

16 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. t T/4 I 5 sen, A Problema 5.- A una inductancia de 5 mh, se le aplica una tensión de alterna de U 0 sen ωt. Si la frecuencia es de 50 Hz, calcular: a. La expresión algebraica del valor instantáneo de la intensidad. b. La fuerza electromotriz inducida en la bobina. Datos.- f 50 Hz. ;; Uef 0 V Resolución.- U U 0 I I 0 sen(00 π t π ); ; I A 3 X L L. ω π di I 40 sen (00 π t π ) ; ; U L L I 0 ω cos ( ω t π )L I 0 ω sen ω t0 sen ω t Problema 6.- La potencia reactiva de una bobina, a la que se aplica una tensión de 0 V, 50 Hz es de 500 Var. Hallar el coeficiente de autoinducción de la bobina. Resolución.- Q 500,7 A ; ; U ef X L. I ef U ef 0 U X 0 96,9 X L ef 96,9 Ω ; ; X L ω. L; ; L ωl 308 mh I ef,7 00 π I ef Problema 7.- Un condensador de 50 μ F se conecta a un generador de tensión U 0 sen 00 π t (V), calcular: a. La reactancia capacitiva del condensador. b. La intensidad eficaz. c. La expresión algebraica de la intensidad referida a la tensión aplicada. Resolución.- X C U 0 63,66 Ω ;; I ef ef 3,46 A ;; I 0. I ef.3,464,89 A 6 ω. C π X C 63,66 II 0 sen( ω t + π )4,89 sen(00 π t + π ) Problema 8.- Un condensador absorbe una intensidad de 0 ma a una tensión de 6 V y frecuencia de 50 Hz. Determinar: a. La reactancia. b. La capacidad. c. La potencia. 6

17 CIDEAD. º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA. Resolución.U 6 X C ; ; X C ef 600 Ω ; ; C,98 μ F ; ; QI ef. U ef 6 0 VAr ω.c I ef 0.0 ω. X C π 7