CONCEPTO Y DEFINICIÓN PROPIEDADES PROBABILIDAD CONDICIONADA INDEPENDENCIA DE SUCESOS DAGOBERTO SALGADO HORTA

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1 PROBABILIDAD CONCEPTO Y DEFINICIÓN PROPIEDADES PROBABILIDAD CONDICIONADA INDEPENDENCIA DE SUCESOS DAGOBERTO SALGADO HORTA

2 PROBABILIDAD: CONCEPTOS CONCEPTOS Experiencia aleatoria: aquella experiencia afectada por las leyes del azar: impredecibilidad regularidad estadística. Resultado elemental de una experiencia aleatoria. Suceso: conjunto de resultados elementales de una experiencia aleatoria. A veces se le llama también resultado. Espacio muestral: conjunto de sucesos asociados a una experiencia aleatoria.

3 PROBABILIDAD: CONCEPTO CONCEPTO DE PROBABILIDAD DEFINICIÓN DE LAPLACE: LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NÚMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES FAVORABLES Y EL NÚMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES POSIBLES QUE PUEDEN DARSE

4 PROBABILIDAD: CONCEPTO CONCEPTO DE PROBABILIDAD DEFINICIÓN FRECUENCIALISTA: PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NÚMERO DE VECES QUE SE PRESENTA ESE SUCESO Y EL NÚMERO DE ENSAYOS REALIZADOS CUANDO EL NÚMERO DE ENSAYOS CRECE INDEFINIDAMENTE

5 PROBABILIDAD: CONCEPTO CONCEPTO DE PROBABILIDAD DEFINICIÓN SUBJETIVA: LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES EL GRADO DE CREENCIA QUE SE TIENE EN QUE ESE SUCESO ES CIERTO.

6 PROBABILIDAD: DEFINICIÓN DEFINICIÓN Un número P asociado a un resultado de una experiencia aleatoria es una probabilidad si cumple los siguientes axiomas: Todo suceso tiene una probabilidad no negativa. P(A) 0 La probabilidad del suceso seguro es 1 P(E)=1 La probabilidad de la unión de cualquier grupo de sucesos disjuntos es la suma de las probabilidades de cada uno de esos sucesos. P( Ai)= P(Ai) con Ai Aj=

7 PROBABILIDAD: PROPIEDADES PROPIEDADES La probabilidad del suceso imposible es 0: P( )=0 Una probabilidad nunca puede ser menor que 0 ni mayor que 1: 0 P(A) 1 Si un suceso A incluye a un suceso B, la probabilidad de A siempre es mayor o igual que la de B: Si B A P(B) P(A) La probabilidad del suceso complementario es: P(A)=1-P(A) La probabilidad de la unión de dos sucesos es: P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) Y en general podemos decir que: P A I = P( A i ) + P( A i A j ) + + ( 1) n 1 P A i i j i i i i=1,,...,n

8 PROBABILIDAD CONDICIONADA PROBABILIDAD CONDICIONADA CON ELLA SE PRETENDE VALORAR EL EFECTO QUE TIENE SOBRE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO EL HECHO DE DISPONER DE INFORMACIONES PARCIALES SOBRE EL MISMO SE DEFINE COMO PROBABILIDAD DEL SUCESO B CONDICIONADA A QUE HA OCURRIDO EL SUCESO A A LA SIGUIENTE P(B/A) = P(A B) / P(A)

9 INDEPENDENCIA DE SUCESOS SUCESOS INDEPENDIENTES DOS SUCESOS SE DICEN INDEPENDIENTES SI EL CONOCIMIENTO DE QUE HA OCURRIDO UNO DE ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DEL OTRO: P(B/A) = P(B) P(A/B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B)

10 TEOREMA DE BAYES TEOREMA DE BAYES Si los Ai son una partición del espacio muestral y el suceso B es de probabilidad no nula, se cumple: P(A i ) P(B/A i ) P(A i /B) = Σ P(A i )P(B/A i ) LOS Ai SUELEN INTERPRETARSE COMO LAS CAUSAS U ORÍGENES DE B, QUE A SU VEZ ES EL RESULTADO O CONSECUENCIA DE ALGUNO(S) DE LOS Ai EL TEOREMA DE BAYES PERMITE EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LAS CAUSAS VISTO EL EFECTO

11 OTROS COMENTARIOS SOBRE PROBABILIDAD VARIOS Sucesos independiente y sucesos excluyentes no es lo mismo. La reunión de sucesos equivale al o lógico, la disyunción no exclusiva: A B = A o B = [o A, o B, o ambos] La intersección de sucesos equivale al y lógico, la conjunción: A B = A y B = [A y B simultáneamente] Método del árbol para la solución de problemas de probabilidad: Es una representación gráfica de la secuencia de acontecimientos que definen el problema estudiado

12 VARIABLES ALEATORIAS CONCEPTO Y TIPOS CARACTERIZACIÓN PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD APROXIMACIONES

13 VARIABLES ALEATORIAS VARIABLE ALEATORIA LLAMAREMOS ALEATORIA A AQUELLA VARIABLE QUE TOMA VALORES INFLUIDA POR EL AZAR PODRÍAMOS CONTRAPONER VARIABLES Y FENOMENOS DETERMINISTAS CON VARIABLES Y FENÓMENOS ALEATORIOS

14 VARIABLES ALEATORIAS TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Toma valores de un conjunto discreto y cada valor posible xi tiene asignada una probabilidad p(xi) CONTINUA: Toma valores en un conjunto continuo y la distribución de la probabilidad a lo largo del mismo viene dada por una función f(x)

15 VARIABLES ALEATORIAS FUNCIONES: p(xi) se llama función de probabilidad f(x) se llama función de densidad F(x) se llama función de distribución: F(x) = P(X x) existe para variables discretas (F(xi)) o continuas

16 VARIABLES ALEATORIAS FUNCION DE PROBABLIDAD Asignar probabilidades en una variable discreta significa definir P(xi) en cada punto de la variable cumpliéndose: P(xi) 0 i ΣP(xi) = 1

17 VARIABLES ALEATORIAS Qué probabilidad hay de que aparezcan X uds defectuosas en una muestra de 10, cuando la producción tiene un 30% de defectuosas? Binomial Distribution 0.3 Event prob.,tria 0.3, x

18 FUNCIÓN DE DENSIDAD VARIABLES ALEATORIAS En el caso continuo la caracterización de la variable se realiza mediante la FUNCIÓN DE DENSIDAD f(x) Para comprender su significado puede ser útil recurrir a la analogía mecánica: La distribución de probabilidad es similar a una distribución de masa, y en el caso unidimensional la distribución de la masa a lo largo del eje es imagen de la distribución de la probabilidad. Al igual que la masa en un punto es nula, también lo es la probabilidad en un punto: ambas requieren intervalos para tomar valores no nulos

19 Cómo se distribuye la longitud de las Normal Distribution Mean,Std. dev. 850, density VARIABLES ALEATORIAS barras de una pata de mesa de tubo metálico cortado? El valor objetivo es 850 mm x

20 Qué porcentaje de las unidades VARIABLES ALEATORIAS producidas está entre 848 y 855 mm?

21 VARIABLES ALEATORIAS FUNCIÓN DE DENSIDAD Entre otros requisitos, una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua debe cumplir: f(x) 0 + x f ( x) dx = 1

22 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLES ALEATORIAS En variables discretas se cumple que: F(X) = P( x ) x i X i En variables continuas se cumple que: x F( x ) = f ( x ) dx d F( x ) f ( x) = dx

23 Función de cumulative probability Event prob.,trial 0.3, distribución en variable discreta x Función de distribución en variable continua. Normal Distribution cumulative probability VARIABLES ALEATORIAS Binomial Distribution Mean,Std. dev. 850, x

24 PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN Son similares a los estudiados en PARÁMETROS estadística descriptiva. Son de cuatro tipos: - Parámetros de Posición - Parámetros de Dispersión - Parámetros de Asimetría - Parámetros de Curtosis

25 VALOR MEDIO (MEDIA) Describe la posición de la variable aleatoria X (es decir, su orden de magnitud) si x es variable discreta PARÁMETROS E( x ) = xi P( xi ) i si x es variable continua E( x ) = + x f ( x ) dx En la analogía mecánica es el centro de gravedad de la distribución

26 VARIANZA Describe el grado de dispersión de la variable si x es variable discreta σ = ( x i m) P( x i ) PARÁMETROS si x es variable continua + σ = ( x m) f ( x)dx Su raíz cuadrada es la desviación típica σ En la analogía mecánica es el momento de inercia de la distribución

27 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ALGUNAS VARIABLES ALEATORIAS PRESENTAN COMPORTAMIENTOS CARACTERÍSTICOS QUE SON ESTÁNDARES DE FRECUENTE USO UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE CARACTERIZA POR UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DADA en el caso discreto se caracterizan también por la función de probabilidad, en el caso continuo por la función de densidad

28 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD LAS MÁS IMPORTANTES DENTRO DEL ÁMBITO DE LA CALIDAD SON LAS SIGUIENTES: VARIABLES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DISTRIBUCIÓN DE POISSON VARIABLES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL DISTRIBUCIÓN χ DISTRIBUCIÓN t DISTRIBUCIÓN F

29 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Considérese: Una población formada por N individuos. Una muestra extraída al azar de esa población y formada por n individuos. Una cierta característica A que identifica a D de los individuos de la población, con lo que p=d/n es la proporción de individuos con esa característica. La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A.

30 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA N A X = H(N, n, p) N-D D n X A

31 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA DE PARÁMETROS N, n, p: X H (N, n, p) x = {0, 1,, n} SUS CARACTERÍSTICAS SON: D N D x n x P( x ) = N n E( x ) = np N n σ ( x) = np(1 p) N 1

32 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Considérese: Una población formada por individuos. Una muestra extraída al azar de esa población y formada por n individuos. Una cierta característica A que identifica a una proporción p de individuos de la población. La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A. EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS n, p: X B (n, p) x = {0, 1,, n}

33 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL X = Número de defectuosas en la muestra X B(n,p) P P P P P P P P PP P P

34 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL X B (n, p) x = {0, 1,, n} SUS CARACTERÍSTICAS SON: n x n-x P(x) = p (1-p) x E(x) = n p σ(x) = n p (1-p)

35 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN de POISSON Considérese: Una muestra de tamaño infinito extraída al azar de una población. Una cierta característica A que se presenta con una probabilidad muy pequeña ( 0) en los individuos de la población. Un promedio finito λ de individuos de la muestra con esa característica. La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A.

36 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN de POISSON Se aplican mucho en análisis de defectos superficiales, donde la probabilidad de que aparezca un defecto en un punto concreto es muy baja, hay muchos puntos posibles donde aparecer el defecto y tenemos un promedio de defectos determinado. Poisson

37 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIÓN de POISSON EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON DE PARÁMETRO λ: X Ps (λ) x = {0, 1,, } SUS CARACTERÍSTICAS SON: P(x) = (e-λ λx) / x! E(x) = λ σ(x) = λ

38 APROXIMACIONES ENTRE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS H(N,n,p) N/n 10 n 50 N B(n,p) n p 0 p < 0.1 np 5* Ps(λ) np = λ

39 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL ES LA MÁS IMPORTANTE Y ÚTIL DE LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS E INCLUSO, BAJO CIERTAS CONDICIONES, DE LAS DISCRETAS. FUE DESCRITA POR GAUSS, Y SE DENOMINA TAMBIÉN DISTRIBUCION GAUSSIANA

40 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL UNA VARIABLE NORMAL DE PARÁMETROS m, σ SE DEFINE POR SU FUNCIÓN DE DENSIDAD: 1 f ( x) = e σ π ( x m ) σ DIREMOS ENTONCES QUE X N (m, σ) con x ]-, + [ SUS CARACTERÍSTICAS SON: E(x) = m σ(x) = σ

41 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA SE LLAMA NORMAL TIPIFICADA N (0, 1) A AQUELLA EN QUE: m=0 σ=1 LA FUNCIÓN DE DENSIDAD QUEDA AHORA: 1 f (x) = e π x LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA NORMAL TIPIFICADA ESTÁ TABULADA, PUES LA INTEGRAL QUE LA DEFINE A PARTIR DE f(x) NO TIENE PRIMITIVA

42 DISTRIBUCIONES CONTINUAS TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA LA TABLA DA VALORES DE F(x) ENTRANDO CON EL VALOR DE x A ESTA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN SE LE LLAMA CON FRECUENCIA φ(x)

43 TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA P(z<1.75) =

44 DISTRIBUCIONES CONTINUAS TABLAS DE LA NORMAL EL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN UNA NORMAL GENERAL REQUERIRÍA INTEGRAR LA FUNCIÓN DE DENSIDAD NUMERICAMENTE O DISPONER DE UNA TABLA PARA CADA N(m,σ) EN LUGAR DE ELLO, SE PREFIERE UN PROCEDIMIENTO LLAMADO TIPIFICACIÓN QUE CONSISTE EN CONVERTIR LA NORMAL N(m,σ) EN UNA NORMAL N(0,1) Y EMPLEAR LAS TABLAS DE ESTA NORMAL TIPIFICADA: Si x N (m, σ) z= x m σ N (0, 1) con lo cual sólo es necesaria una tabla para calcular probabilidades en la distribución normal.

45 Normal tipificada

46 X=N(850,4) P(846.5 < X <855)? P = P = P( X 846.5) = P Z = φ( 0.875) P( X 855) = P Z = φ(1.5) 4

47 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN χ de PEARSON SE DEFINE LA VARIABLE CHI CUADRADO CON n GRADOS DE LIBERTAD () COMO LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE n VARIABLES ALEATORIAS NORMALES TIPIFICADAS INDEPENDIENTES Zi = N(0,1) i = 1...n X= Z =χn i i ESTÁ DEFINIDA COMO NO NEGATIVA SU FUNCIÓN DE DENSIDAD ES ASIMÉTRICA

48 DISTRIBUCIÓN χ X= χ9 P(X>.7) = χ9,0.10=

49 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN t de STUDENT SE DEFINE COMO EL COCIENTE ENTRE UNA NORMAL TIPIFICADA Y LA RAIZ CUADRADA DE UNA CHI CUADRADO DIVIDIDA POR SUS GRADOS DE LIBERTAD, AMBAS INDEPENDIENTES : tn = donde : z χn /n tn ]-, + [ z = N(0,1), χ n = Chi cuadrado con n g.l. E(tn) = 0 D(tn) = n/(n-)

50 DISTRIBUCIÓN X=t6 t de STUDENT P(X>1.44)= 0.10 t6,0.01= 3.143

51 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN t de STUDENT Next time you have a beer, thank William Gosset, and next time you perform a t-test, have a Guiness. (La próxima vez que tomes una cerveza, agradéceselo a William Gosset, y la próxima vez que use la distribución t de Student, tómate una Guiness.)

52 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DISTRIBUCIÓN F de SNEDECOR SE DEFINE COMO EL COCIENTE DE DOS CHI CUADRADOS INDEPENDIENTES DIVIDIDAS POR SUS GRADOS DE LIBERTAD : Fn1,n = χ n1 / n1 χ n / n Toma valores no negativos Su función de densidad es asimétrica Su función de distribución se obtiene de tablas

53 DISTRIBUCIÓN X F3,10 F de SNEDECOR P(X>6.6)= 0.01

54 DISTRIBUCIÓN X F3,10 F de SNEDECOR F3,10(0.05)= 3.71

55 APROXIMACIONES ENTRE VARIABLES H (N, n, p) (N /n) >10 B (n, p) n > 50 p < 0.1 np < 5 Ps(np) = Ps(λ) np > 5* λ>5* NORMAL n>30 χ n n1>30 n>30 n>30 tn Fn1,n

56 binomial a normal x/index.html

57 INFERENCIA ESTADÍSTICA CONCEPTO DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO TIPOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA ESTIMACION PUNTUAL ESTIMACION POR INTERVALOS CONTRASTE DE HIPÓTESIS

58 INFERENCIA ESTADÍSTICA INFERENCIA ESTADÍSTICA CONJUNTO DE TÉCNICAS ESTADÍSTICAS QUE NOS PERMITEN EXTRAER CONCLUSIONES A PARTIR DE DATOS MUESTRALES?

59 INFERENCIA ESTADÍSTICA INFERENCIA ESTADÍSTICA TÉCNICAS DE INFERENCIA : ESTIMACIÓN PUNTUAL POR INTERVALOS CONTRASTE DE HIPÓTESIS SOBRE PARÁMETROS SOBRE DISTRIBUCIONES

60 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO Los parámetros de una población no suelen ser conocidos. Su estudio requiere la toma de muestra y su estimación a través de métodos estadísticos. Al estar calculados en base a información muestral (sujeta a variaciones aleatorias) estos parámetros muestrales son variables aleatorias.

61 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO POBLACION MUESTRA PARÁMETROS PARÁMETROS POBLACIONALES VALORES EXACATOS PERO DESCONOCIDOS CONSTANTE MUESTRALES VALORES APROXIMADOS PERO CONOCIDOS VARIABLE ALEATORIA

62 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL La media muestral se calcula mediante: n Xi x= i =1 n media y varianza de la media muestral son: E(x) = μ σ D ( x) = n es decir: la media poblacional de la media muestral coincide con la media poblacional de X. La varianza de la media muestral decrece con el tamaño de muestra

63 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Si la variable es normal, se cumple: σ x N(μ, σ) x N μ, n Aunque X no fuera una distribución Normal, si n es lo suficientemente grande, según el Teorema de Lindenberg-Levy, la media muestral seguiría teniendo una distribución normal.

64 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL La varianza muestral se determina mediante: ( Xi x ) s = n i =1 n n ( Xi x ) = n 1 i =1 n n 1 s Características en poblaciones normales: n s χn 1 σ n [ ] n 1 Es = σ n n (n 1) s σ n 1 χ E[s ] = σ n 1 n 1

65 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES Si tenemos X1=N(μ1,σ1) y X=N(μ,σ) x1 x = N μ1 μ, σ1 n1 + σ n

66 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES Si tenemos dos variables aleatorias independientes con distribuciones normales X1=N(μ1,σ1) y X=N(μ,σ) la distribución del cociente entre sus varianzas muestrales es: s1 / σ1 = Fn1 1,n 1 s / σ

67 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Si X=B(n,p), la media y la varianza de la proporción muestral son E(p ) = p p (1 p) D (p ) = n Si X=Ps(λ) la media y la varianza de la proporción muestral son E(p ) = p p D (p ) = n

68 ESTIMACIÓN PUNTUAL ESTIMACIÓN PUNTUAL SE PRETENDE AVERIGUAR EL VALOR DE UN PARÁMETRO DE UNA DISTRIBUCIÓN COMO ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS POBLACIONALES SE USAN LOS CORRESPONDIENTES ESTADÍSTICOS MUESTRALES

69 ESTIMACIÓN PUNTUAL ESTIMACIÓN PUNTUAL CARACTERÍSTICA DESEABLES EN UN ESTIMADOR: DEBE SER INSESGADO DEBE TENER VARIANZA MÍNIMA DEBE SER CONSISTENTE POR EJEMPLO : MEDIA POBLACIONAL... MEDIA MUESTRAL VARIANZA POBLACIONAL... ID. MUESTRAL (n-1) PROPORCIÓN POBLACIONAL... ID MUESTRAL

70 INTERVALOS DE CONFIANZA ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA SE PRETENDE ENCONTRAR UN INTERVALO TAL QUE CONTENGA CON UNA PROBABILIDAD DADA AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO ESTIMADO: HALLAR DOS ESTADÍSTICOS L1 Y L TALES QUE DEFINEN UN INTERVALO [L1, L] QUE INCLUYE AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO CON PROBABILIDAD (1- α) 1 - α = NIVEL DE CONFIANZA α = NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Intervalos de confianza

71 INTERVALOS DE CONFIANZA POBLACIONES NORMALES Para la media de una población normal de varianza conocida: x ± zα σ n de varianza desconocida: / x ± t nα 1 s n

72 INTERVALOS DE CONFIANZA POBLACIONES NORMALES Para la diferencia de medias de dos poblaciones normales de varianzas conocidas: ( x1 x ) ± z α σ 1 σ + n1 n de varianzas desconocidas, pero iguales: ( x1 x ) ± t nα1/ + n 1 S n1 n + ( n ) s ( n ) s S = 1 n1 + n

73 INTERVALOS DE CONFIANZA POBLACIONES NORMALES Para la varianza de una población normal: (n 1) s (n 1) s, χ χ n 1, α n 1,1 α Para la razón de varianzas de dos poblaciones normales: s / s s / s 1 1, Fnα / 1,n 1 Fn1 ( α1,/n) 1 1 1

74 INTERVALOS DE CONFIANZA POBLACIONES BINOMIALES Con aproximación a la Normal (np>5) pˆ ±z α pˆ (1 pˆ ) n Método exacto: Usar gráfica, entrando con p (estimada) y n y leyendo Li y Ls.

75 TEST DE HIPÓTESIS TEST DE HIPÓTESIS SE PRETENDE COMPROBAR SI SE VERIFICAN DETERMINADAS HIPÓTESIS ESTABLECIDAS SOBRE EL VALOR DE ALGÚN PARÁMETRO DE UNA DISTRIBUCIÓN O SOBRE LA PROPIA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE, Y HACERLO CON UN RIESGO DE ERROR MEDIBLE LA CERTEZA NO ES POSIBLE DADO EL CARÁCTER ALEATORIO DE LA INFORMACIÓN EMPLEADA

76 ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: HIPÓTESIS HIPÓTESIS NULA (H0) ES LA QUE SE DESEA COMPROBAR (Suele ir asociada a lo que e considera situación correcta o normal) TEST DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS NULA (H1) SUELE SER LA CONTRARIA DE LA HIPÓTESIS NULA (Con frecuencia va asociada a la situación incorrecta o no deseada)

77 ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: HIPÓTESIS TEST DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS SIMPLE / COMPUESTA La zona donde es cierta se reduce a un punto o a más de uno: m=10 m>10 HIPÓTESIS UNILATERAL / BILATERAL La zona donde es cierta se define a un solo lado o a los dos de un cierto valor: m 10 m>10

78 ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: ERRORES ERROR TIPO I RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES CIERTA (falsa alarma) TEST DE HIPÓTESIS ERROR TIPO II ACEPTAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES FALSA (no suena la alarma cuando debiera hacerlo)

79 ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: RIESGOS TEST DE HIPÓTESIS NIVEL DE SIGNIFICACIÓN ES LA PROBABILIDAD DE RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES CIERTA ES LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO I SE REPRESENTA POR α Y SE LE LLAMA RIESGO DEL FABRICANTE LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II SE REPRESENTA POR β Y SE LE LLAMA RIESGO DEL COMPRADOR

80 TEST SOBRE LA MEDIA TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa bilateral (H0 : m=m0 H1 : m m0), supuesta σ desconocida. 1. Calcular : x m0 t= s/ n. Comparar t con el valor de una t 3. Decidir: si t > tnα /1 se rechazaráh0 α/ n 1

81 TEST SOBRE LA MEDIA TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : m=m0 H1 : m > m0), supuesta σ desconocida 1. Calcular : x m0 t= s/ n. Comparar t con el valor de una t 3. Decidir: si t > tnα 1 se rechazaráh0 α n 1

82 TEST DE IGUALDAD DE DOS MEDIAS TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa bilateral (H0 : m1=m H1 : m1 m), supuestas las σ desconocidas pero iguales (n1 1)s1 + (n 1)s 1. Obtener la varianza media ponderada : S = n1 + n.calcular t = x1 x S n11 + n1 3. Comparar t con el valor de una t nα1/+n 4. Decidir : si t > t nα1/+n se rechazará H 0

83 TEST SOBRE LA VARIANZA Hipótesis nula simple contra alternativa TEST DE HIPÓTESIS bilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ σ0) Se obtendrá un intervalo de confianza en torno a S y se comprobará si σ0 queda incluida en el mismo : Si (n 1)s (n 1)s se aceptará H0 σ0, χn 1, α χn 1,1 α

84 TEST SOBRE LA VARIANZA TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ=σ0 1. Obtener H1 : σ > σ0) (n 1)s χ = σ 0. Leer de tablas χn 1,α 3. Si χ χn 1,α se aceptará H0

85 TEST SOBRE LA VARIANZA TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ=σ0 1. Obtener H1 : σ < σ0) (n 1)s χ = σ 0. Leer de tablas χn 1,1 α 3. Si χ χn 1,1 α se aceptará H0

86 TEST DE IGUALDAD DE VARIANZAS TEST DE HIPÓTESIS Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ1=σ H1 : σ1>σ), siendo s1 la desv. típica muestral mayor s1 1. Calcular F = s.leer de tablas Fnα1 1,n 1 3.Decidir : Si F> Fnα1 1,n 1 se rechazará H0

87 TEST SOBRE LA PROPORCIÓN H0(p=p0) vs H1(p p0) (Binomial) { A = np0 z α / np0 q0 x np0 + z α / np0 q0 } H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Binomial) { A = x np0 + z α np0q0 } H0(p1=p) vs H1(p1 p) (Binomial) p 1 p A = zα / 1 1 p n1 + n con p = n1p 1 np n1 + n

88 TEST SOBRE LA POISSON H0(p=p0) vs H1(p p0) (Poisson) { A = np0 z α / np0 x np0 + z α / np0 H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Poisson) { A = x np0 + z α np0 } }

89 TAMAÑOS DE MUESTRA Las muestras necesarias para proceder a estimar los parámetros de una distribución deben ser calculadas de modo que se garantice la adecuada precisión y confiabilidad de las estimaciones. En todo caso, debe garantizarse la aleatoriedad de la muestra.

90 MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS Estimación de la media (normal) z α / σ n= (N 1) ε zα / σ + N N Estimación de la proporción (binomial) z α / (p q) n= ( N 1) ε z α / (p q ) + N N Estimación de la media (poisson) z α / λ n= (N 1) ε z α / λ + N N

91 MUESTREO EN POBLACIONES INFINITAS Estimación de la media (normal) σ zα / n ε Estimación de la proporción (binomial) pq z α / n ε Estimación de la media (poisson) p zα / n ε

92 TAMAÑO DE MUESTRA EN TEST DE HIPÓTESIS El más importante de ellos es para el contraste de hipótesis es H0(μ=μ0) vs H1(μ μ0). Entonces el tamaño de muestra se calcula mediante: z α / + zβ n d

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