Incertidumbre No Estructurada y Estabilidad Robusta

Transcripción

1 Pontificia Universidad Católica del Perú ICA624: Control Robusto 5. No y Robusta Hanz Richter, PhD Profesor Visitante Cleveland State University Mechanical Engineering Department 1 / 18

2 Lazo Bien Definido de No No Consideremos el lazo realimentado general (puede ser MIMO): Para que el lazo esté bien definido, hace falta que las funciones de transferencia de cada entrada (r, n, d y d u ) a cada salida (u, u p e y) sean todas propias. Porqué decimos que una función de transferencia impropia es físicamente imposible (discusión: causalidad). r Puede verse que basta con que la matriz de transferencia de los disturbios a u sea propia para que el resto de matrices sean propias: [ ] dp u d debe ser propia. K u d p u p G d y n 2 / 18

3 Condiciones para la buena definición Lazo Bien Definido de No No Definiendo ˆK = K y combinando las señales externas, el siguiente lazo captura la matriz de transferencia de interés: w e 1 Si G = (A,B,C,D) y ˆK = (Â, ˆB,Ĉ, ˆD), se demuestra (Zhou y Doyle) que el lazo quedará bien definido siempre y cuando: [ I ˆD D I G ] ˆK e w 2 sea invertible 3 / 18

4 de No No La estabilidad interna implica que las funciones de transferencia de cada entrada (r, n, d y d u ) a cada salida (u, u p e y) sean todas parte de RH. Por las razones anteriores, basta establecer que la matriz de transferencia de W = (w 1, w 2 ) a E = (e 1, e 2 ) pertenezca a RH. E(s) W(s) = = [ (I ˆKG) 1 ] ˆK(I G ˆK) 1 G(I ˆKG) 1 (I ˆKG) 1 [ I + ˆK(I ˆKG) 1 G ˆK(I G ˆK) 1 (I ˆKG) 1 G (I ˆKG) 1 Cada una de las 4 componentes (en sí matrices de transferencia) de la matriz anterior deben ser RH para obtener estabilidad interna. ] 4 / 18

5 de No No Generar G y K (MIMO) aleatoriamente (en forma de espacio de estados) y verificar si el lazo resultante es internamente estable. 5 / 18

6 : Casos Particulares de No No Corolario 5.2 (Zhou & Doyle): Supongamos que ˆK RH. Entonces el lazo será internamente estable siempre y cuando esté bien definido y G(I ˆKG) 1 RH. Corolario 5.3 (Zhou & Doyle): Supongamos que G RH. Entonces el lazo será internamente estable siempre y cuando esté bien definido y ˆK(I G ˆK) 1 RH. Corolario 5.4 (Zhou & Doyle): Supongamos que ˆK y G pertenecen a RH. Entonces el lazo será internamente estable siempre y cuando (I G ˆK) 1 RH. 6 / 18

7 de Teorema General de No No Sean n k y n g los números de polos de ˆK y G en el lado derecho abierto. El lazo será internamente estable siempre y cuando esté bien definido y: 1. El número de polos de G ˆK en el lado derecho abierto sea n k +n g 2. (I G ˆK) 1 sea estable. La primera condición evita cancelaciones de ceros con polos inestables (lo cual no afectaría la estabilidad entrada/salida pero sí la interna). 7 / 18

8 de No No Para las siguientes matrices de transferencia: [ G(s) = K(s) = s+2 1 s+1 s (s+1) 2 (s+1) 2 [ 1 s+4 s Decidir si el lazo está bien definido. Si lo estuviera, determinar la estabilidad interna. ] ] 8 / 18

9 No de Descripciones de No No : G(s) = G o (s)+w 1 (s) (s)w 2 (s) con (jw) < 1 : con (jw) < 1 G(s) = (I +W 1 (s) (s)w 2 (s))g o (s) G o (s) es el modelo nominal (nuestro mejor intento de modelar al sistema) La incertidumbre (s) no tiene una forma particular (matriz de transferencia). Es un término genérico que intenta capturar todos los errores posibles. Los pesos W 1 (s) and W 2 (s) se usan para acotar la magnitud de la incertidumbre de acuerdo a la frecuencia. 9 / 18

10 : Respuesta en Frecuencia de un Actuador de Disco Duro de Descripciones de No No Usualmente, la incertidumbre es mayor a alta frecuencia. En sistemas electromecánicos, la incertidumbre en fase podría ser de hasta ±180 para frecuencias suficientemente altas. 10 / 18

11 de No No Supongamos que existe una familia de modelos para la planta. La distribución de estos modelos representa la incertidumbre. La familia de modelos puede expresarse de manera paramétrica o experimental. de familia paramétrica: G(s) = αs+β δs+γ donde α, β, δ y γ están entre 1.5 y 3. También puede haberse estimado G(s) mediante un analizador espectral o por identificación de sistemas, resultando en una colección de modelos correspondientes a intentos repetidos. En ambos casos, se puede usar Matlab para ajustar una función W(s) cuya magnitud represente una cota superior para (s). 11 / 18

12 ... de No No El procedimiento es como sigue: 1. Se grafica el error en magnitud G(jw) G o (jw) en un rango de frecuencias apropiado usando una malla de combinaciones de parámetros. 2. El paso anterior puede provenir de datos experimentales (analizador espectral). 3. Habrá una magnitud limitante (cota superior). Se escogen puntos para ajustar una función de transferencia W(s) propia, estable y de fase mínima (ceros con partes reales negativas). Se cumplirá que (jw) W(jw). Ahora podemos usar la representación aditiva G(s) = G o (s)+w(s) (s) con (s) Se puede hacer lo mismo usando la descripción multiplicativa (s) = G(s) G o(s) G o (s) 12 / 18

13 - Matlab de No No Supongamos que cierto sistema tiene la forma w 2 n G(s) = k s 2 +2ζw n s+wn 2 donde k varía entre 0.8 y 1.2, w n entre 13 y 17, y ζ entre 0.08 y Los valores nominales (G o (s)) son 1, 15 y 0.1, respectivamente. Usar los comandos freqresp, ginput, vpck, fitmag, unpck para encontrar un peso aditivo W a (s) y un peso multiplicativo W m (s) tales que a (jw) W a (jw) y m (jw) W m (jw) 13 / 18

14 de No Ganancia Pequeña No Sea M(s) RH una matriz de transferencia fija y (s) RH una matriz de transferencia incierta: w e 1 El lazo cerrado estará bien definido y será internamente estable para cualquier (s) RH siempre y cuando: M e 2 + (s)m(s) < 1 Pensar en lo que ocurre cuando un micrófono se pone muy cerca al parlante y el volumen del amplificador es alto. + w 2 14 / 18

15 No de No No El teorema de ganancia pequeña se aplica directamente al análisis de estabilidad robusta MIMO bajo la siguiente configuración general del lazo: K Aquí G representa una familia de plantas sujetas a incertidumbre, con planta nominal G o y una de las 2 descripciones de incertidumbre: G G = G o +W 1 W 2 G = (I +W 1 W 2 )G o 15 / 18

16 de No No Teorema 8.4 (Zhou y Doyle): Sea una familia de plantas sujetas a incertidumbre con descripción aditiva G = G o +W 1 W 2 Sea K un compensador internamente estabilizante para la planta nominal G o. Entonces el sistema de lazo cerrado estará bien definido y será internamente estable para cualquier (s) RH con (s) < 1 siempre y cuando: Recordar que W 2 KS o W 1 1 S o = (I +GK) 1 16 / 18

17 de No No Sea una familia de plantas sujetas a incertidumbre con descripción multiplicativa G = (I +W 1 W 2 )G o Teorema 8.5 (Zhou y Doyle): Sea K un compensador internamente estabilizante para la planta nominal G o. Entonces el sistema de lazo cerrado estará bien definido y será internamente estable para cualquier (s) RH con (s) < 1 siempre y cuando: W 2 T o W 1 1 Recordar que T o = I S o 17 / 18

18 de No No Sean K = I y G o (s) = [ 1 s+1 1 s+1 2 s+3 1 s+1 Si G = G o + con (s) γ, encontrar el mayor valor permisible para γ para obtener estabilidad robusta. Repetir si G = (I + )G o. Repetir ambos casos con ] G o (s) = ] 5s+1 [ s 1 (s+1) 2 1 (s+1) 2 s 1 (s+1) 2 (s+1) 2 18 / 18