Modelos Econométricos Lección 2. Estacionariedad y raíces unitarias. Presentado por Juan Muro

Transcripción

1 Modelos Econométricos Lección 2. Estacionariedad y raíces unitarias Presentado por Juan Muro

2 Motivación La no estacionariedad, en general, de las series económicas en el tiempo provoca consecuencias estadísticas no deseadas (regresiones espúreas, inconsistencia de MCO, desconocimiento de la distribución asintótica de los estimadores MCO). Esta cuestión ocupó el trabajo de los económetras durante, principalmente, la década de los 90 del siglo pasado.

3 Tendencias en series temporales La observación de variables económicas en el tiempo nos indica la presencia de tendencias: un comportamiento regular de las series temporales, que puede ser fácilmente descrito(crecimiento continuo, decrecimiento continuo, fases prolongadas de crecimiento y decrecimiento alternadas). Ej. Pib, inflación, consumo. La presencia de tendencias es indicativa de no estacionariedad.

4 Tendencias en series temporales Una variable es estacionaria si su valor esperado y su varianza (finita) son invariantes a lo largo del tiempo y su autocovarianza solamente depende del desfase temporal.

5 Tendencias en series temporales Las series con tendencia se clasifican en dos tipos, según la transformación necesaria para convertir la serie no estacionaria en su transformada estacionaria : TSP: tendencia determinista DSP: tendencia estocástica Regresión frente al tiempo (TSP); diferencia (DSP). Ejemplos.

6 Tendencias en series temporales 20 Consumption per capita

7 Tendencias en series temporales 12 Inflation Log of per capita consumption

8 Tendencias en series temporales Expresiones formales TSP: tendencia determinista E Y t E Y t 1 = β DSP: tendencia estocástica E Y t E Y t 1 = α + u t

9 Tendencias en series temporales Las tendencias deterministas no producen malas consecuencias estadísticas aunque suelen predecir muy mal. Ejercicio: estimar un modelo de una variable macroeconómica con tendencia y comparar las predicciones con las observaciones reales. Use, por ejemplo, la variable cnsmptn de los gráficos anteriores.

10 Tendencias estocásticas y raíces unitarias Las tendencias estocásticas son la regla en Econometría. La búsqueda de raíces unitarias es constante. Para ello se usan contrastes de raíces unitarias. Formalmente E Y t E Y t 1 = α + u t Si u t es una variable aleatoria con esperanza nula sería un paseo aleatorio con deriva (α), random walk with drift.

11 Tendencias estocásticas y raíces unitarias Reciben el nombre de raíces unitarias porque en la ecuación Y t = α + βy t 1 + u t La presencia de tendencia estocástica hace que β=1. Con sustituciones recursivas la expresión anterior es igual a Y t = αt + u t

12 Tendencias estocásticas y raíces unitarias Se puede demostrar que en presencia de raíces unitarias la varianza de la serie crece sin límite. Esto provoca problemas en la consistencia y en la normalidad asintótica de los estimadores. Ej. En un paseo aleatorio con deriva el valor esperado y la varianza son E(Yt)=αt; var(yt)=tσ u2.

13 Un ejemplo de regresión espúrea El llamado problema de la regresión espúrea, muy usual en series con raíces unitarias, se produce porque se rechaza, muy frecuentemente, la hipótesis nula de no relación entre las variables aunque esa relación no exista (con elevados R 2 ). Ej. Hay ilusión monetaria? Murray (2005).

14 Un ejemplo de regresión espúrea Para contrastar si hay ilusión monetaria hacemos una regresión ingenua entre el log del consumo per cápita en USA frente a la inflación para el periodo Si no hay ilusión monetaria la inflación no tendrá efecto sobre el consumo en términos reales. Incluimos también una tendencia temporal.

15 TABLE 18.2 The Log of Consumption Regressed on the Log of Inflation and a Time Trend. Murray (2005).

16 Un ejemplo de regresión espúrea El estadístico de Durbin Watson es 0.58 (valor de referencia 2 si no hay autocorrelación). Usamos Newey-West (errores estándar). El estadístico t de log(inflation) es 3.07 Rechazamos la nula de que la inflación no determina el consumo real. Nuestra regresión aparentemente nos dice que hay ilusión monetaria.

17 Figure 18.2 Forecast and Actual Values of GDP, Consumption, Investment, and Inflation Murray (2005)

18 Lecture 25: Time Series Data: New Threats to Consistency (Chapter )

19 Contrastes de raíces unitarias La ecuación de referencia es Y t = α + β 1 Y t 1 + β 2 t + u t El contraste es H 0 : β 1 = 1 (y β 2 = 0). No se puede utilizar el procedimiento habitual (t de student) de contraste. Los contrates desarrollados, Dickey-Fuller (1979,1981), ADF, etc., se llaman contrastes de raíces unitarias.

20 Tiene la serie una raíz unitaria (no estacionaria en media en su componente regular)? Gráfico lineal: Creciente o decreciente, con pauta regular: síntoma de no estacionariedad en media. Pauta irregular: síntoma de estacionariedad en media. Se suele decir que las series estacionarias retornan a la media después de sufrir un shock. Ejemplo: AR(1) con β <1. Y t =α+ βy t-1 + ε t. E[Y t ]=E[α Σ β i ]+E[β t Y 0 ]+ E[Σ β i ε t-i ]= α/(1- β). Var[Y t ]=E[(Σ β i ε t-i ) 2 ]=σ 2 /(1- β 2 ).

21 Hay una raíz unitaria en la serie? Correlograma: Función de autocorrelación con caída lenta o lineal y función de autocorrelación parcial con primer valor cercano a la unidad (raíz unitaria): no estacionariedad en media.

22 Contrastes de raíces unitarias Dickey-Fuller Phillips-Perron KPSS

23 Contraste de Dickey-Fuller La ecuación inicial se hace Y t = α + (β 1 1)Y t 1 + β 2 t + u t El contraste es H 0 : (β 1 1)= 0, frente a la hipótesis alternativa de una única cola de que sea menor que cero. En esta situación, la distribución del estadístico t es asimétrica. Los valores de la distribución se encuentran tabulados para muchas especificaciones distintas (con término independiente, tendencia..)

24 Dickey-Fuller test Dickey-Fuller (1979, 1981). Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no estacionaria en media). Intuición: En y t = α + β y t-1 + ε t El contraste de β = 0 es equivalente al contraste de al menos una raíz unitaria. Se puede añadir una tendencia temporal (series con clara tendencia creciente o decreciente) o eliminar la constante (para series con media claramente nula). Es un contraste de una sola cola (valores negativos).

25 Contrastes de raíces unitarias En EViews se encuentran numerosos contrastes de raíces unitarias y los procedimientos de utilización de dichos contrastes. Ej. Trabajemos con la especificación ingenua anterior sobre la existencia o no de ilusión monetaria.

26 Contrastes de raíces unitarias Veamos en primer lugar si las variables incluidas en el modelo tienen tendencias estocásticas. Por ejemplo, para la inflación. Usaremos el contraste ADF.

27 Augmented Dickey-Fuller (ADF) test Qué sucede si en la ecuación auxiliar del contraste DF hay autocorrelación? Estadístico ADF se distribuye bajo la hipótesis nula como una t alterada. Tablas proporcionadas por MacKinnon(1991).

28 Augmented Dickey Fuller test para una tendencia estocástica en la variable Inflation Null Hypothesis: INFLATION has a unit root Exogenous: Cons tant Lag Length: 2 (Automatic - based on SIC, maxlag=10) t-statis tic Prob.* Augm ented Dickey-Fuller tes t s tatis tic Tes t critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-s ided p-values. Augm ented Dickey-Fuller Tes t Equation Dependent Variable: D(INFLATION) Method: Leas t Squares Date: 02/05/15 Tim e: 18:15 Sample (adjusted): Included obs ervations: 47 after adjus tm ents Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. INFLATION(-1) D(INFLATION(-1)) D(INFLATION(-2)) C R-s quared Mean dependent var Adjus ted R-s quared S.D. dependent var S.E. of regres s ion Akaike info criterion Sum s quared res id Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-s tatis tic Durbin-Wats on s tat Prob(F-s tatis tic)

29 Phillips-Perron test Phillips-Perron (1988). Hipótesis nula : Hay al menos una raíz unitaria (serie no estacionaria en media). Se corrige la inconsistencia de la matriz de varianzas y covarianzas calculada mediante un procedimiento alternativo al ADF (fundado en Newey-West).

30 KPSS test Hipótesis nula : Varianza del término de paseo aleatorio es nula (Estacionariedad o estacionariedad en tendencia). Estadístico: KPSS= T -2 ΣS t2 /s 2. Donde S t suma de residuos MCO de la variable frente a una constante y tendencia temporal; s 2 estimador de varianza de los errores. La distribución bajo la nula del estadístico KPSS no es estándar y los autores facilitan el nivel crítico de rechazo para distintos niveles de significación.

31 Contrastes de raíces unitarias Aplicación empírica: Elegir constante, constante y tendencia temporal o nada. Depende del tipo de serie considerada. Elegir el número de retardos de la variable dependiente ( y t ) a incluir en la regresión del contraste. Se incluyen para garantizar que al realizar el contraste se han eliminado las correlaciones existentes superiores al orden 1.

32 Contrastes de raíces unitarias Un análisis de la regresión inicial nos dice que la regresión es espúrea por lo que no podemos concluir que exista ilusión monetaria. No hay evidencia empírica que lo avale con la especificación adoptada.

33 Regresión espúrea, qué hacer? Las variables con tendencia estocástica no tienden a regresar al valor esperado después de sufrir un shock. El uso de una regresión en ese caso produce resultados equivocados. La primera propuesta para resolver el tema, sugerencia que en el día de hoy resulta relevante, es la de Granger y Newbold (1976).

34 Granger y Newbold La regresión en niveles representa el comportamiento a largo plazo de las variables. Si las variables tienen una tendencia estocástica (una raíz unitaria) su diferencia puede ser estacionaria. Realicemos regresiones en diferencias para eliminar la no estacionariedad aún a costa de perder la perspectiva a largo plazo.

35 Granger y Newbold Las variables en diferencias sí vuelven hacia la media cuando sufren un shock. Pro supuesto, utilizar diferencias cuando estas no son adecuadas ocasiona también problemas (sobrediferencias). Cuántas diferencias deben tomarse?

36 Orden de integración Una variable estacionaria se dice que es integrada de orden 0, I(0). Si la variable tiene una raíz unitaria (no estacionaria) es al menos I(1). Si la variable tiene dos raíces unitarias se dice que es I(2). El grado de integración de una variable indica el número de diferencias necesarias para convertirla en estacionaria.

37 Orden de integración Ejemplo: Cuál es el grado de integración de la variable riqueza? Bajo el supuesto de que la riqueza es la acumulación del ahorro en varios periodos. El resultado no sería evidente. Ejemplo: Cuál es el orden de integración de las variables de nuestra regresión sobre la ilusión monetaria?

38 Estimación de una ecuación que relaciona los cambios en el consumo (logs) en términos de los cambios en la inflación Dependent Variable: D(LOGCONS,1,0) Method: Least Squares Date: 02/05/15 Time: 19:03 Sample (adjusted): Included observations: 49 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(INFLATION,1,0) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)