= 1-ppois(30,20) 0 013

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1 Estadística Grupo E APELLIDOS: NOMBRE: DNI:.. - JUSTIFIQUE TODAS LAS RESPUESTAS! Debe indicar el origen de todo resultado. 1. (1 punto) Una empresa estudia el número de defectos producidos sobre la superficie de cierto modelo de pala quitanieves por jornada laboral. En una muestra de diez palas se ha obtenido una media de 3 1 defectos. Hay evidencia estadística (al 5 % de significación) de que el número medio de defectos poblacional supera 2? Al ser la variable del tipo recuento por unidad de tiempo, podemos sospechar que sigue una distribución de Puasón. La media poblacional sería su parámetro, es decir, con la notación habitual, µ = λ. Se pregunta por la evidencia de la hipótesis λ > 2. Como no contiene el igual, esa hipótesis sería la alternativa (H 1 ) de un contraste cuya hipótesis nula sería H 0 : λ = 2 (o bien H 0 : λ 2). Como es un contraste sobre la media poblacional, para calcular su p-valor usamos la media muestral: p-valor = Pr( X 3 1) = Pr 10 i=1 = 1-ppois(30,20) X i 31 = Pr (P(20) 31) Como el p-valor es menor que el nivel de significación (5 %), la muestra no aporta evidencia estadística para apoyar la hipótesis de que el número medio de defectos producidos por jornada laboral es mayor que 2. Si la calculadora no permite hacer cálculos de probabilidades acumuladas, aunque la muestra es pequeña (n = 10) el cálculo del p-valor podría hacerse mediante la aproximación gausiana de la puasón: Pr (P(20) 31) Pr ( N(20, 20) 30 5 ) Otra posibilidad es emplear el estadígrafo del contraste para media poblacional, usando (aunque advirtiendo del pequeño tamaño muestral) la distribución gausiana y considerando la media poblacional (bajo H 0 ) λ = 2 como valor de la varianza, o bien 1

2 la distribución t o la gausiana y considerando la media muestral como estimador de la varianza, por las propiedades de la puasón. Por ejemplo, ( p-valor = Pr t 9 x µ ) 0 ŝ : n = : (0 5 puntos) Qué es una muestra aleatoria simple? Una muestra aleatoria simple extraída de una población X es una colección de n variables aleatorias X 1,..., X n independientes y con la misma distribución que X. 3. (0 5 puntos) Indique qué factores intervienen, y cómo, en la anchura de un intervalo de confianza para la media de una población gausiana. Dicho intervalo de confianza tiene la expresión Su anchura es, por tanto, 2 z 1 α 2 x ± z 1 α 2 ŝ n ŝ n, por lo que depende de z 1 α, es decir, el cuantil de orden 1 α : 2 de una distribución gausiana 2 típica; o sea, que depende de α, el nivel de significación o, de otra manera, de 1 α, el nivel de confianza; a mayor confianza, menor α, luego mayor es 1 α : 2, luego mayor es z 1 α:2, luego más ancho es el intervalo. ŝ, es decir, la estimación de la desviación típica poblacional; por tanto, cuanto mayor sea la dispersión de la población, mayor será su desviación típica, luego mayor será su estimación, luego más ancho será el intervalo. n, es decir, el tamaño muestral; a mayor tamaño muestral, mayor será n y, como está en el denominador, menor será la anchura del intervalo. 4. (1 punto) La variable A representa temperaturas medidas en Madrid (España) en C y la variable B representa temperaturas medidas en Madrid (Áyoua) en F. A: B: a) En qué Madrid hay más dispersión de temperaturas? Estamos hablando de dispersión en dos poblaciones distintas, medidas en distintas unidades. Si no conocemos la fórmula de conversión, podemos pensar en usar una medida de dispersión relativa, como el coeficiente de variación. Así, tendríamos: CV A = CV B =

3 Habría más dispersión de temperaturas en el Madrid de España. Sin embargo, téngase que en cuenta que el coeficiente de variación es adecuado para variables intervalares, pero es discutible en el caso de escala de razón. En este caso, aunque la temperatura sea una variable racional, podríamos considerar que los ceros de ambas escalas están bastante próximos y que, por tanto, el coeficiente de variación tiene sentido (sería un problema mucho mayor si en vez de grados Selsius fueran quélvines). b) En qué Madrid la temperatura máxima puede considerarse más extrema? Tipificando las medidas: en A: máxima = Ā s A = = en B: máxima = B s B = = Por tanto, la máxima es más extrema en Madrid de Áyoua. 5. (1 punto) Sea X el número de horas de estudio y Y la nota obtenida en cierto examen. La tabla siguiente representa la frecuencia de alumnos para cada combinación observada de X y Y: X Y frecuencia Obtenga la recta de regresión para predecir Y en función de X y comente la bondad del ajuste. Usando alguna calculadora, por ejemplo R, se puede obtener: > x <- c ( 10, 5, 15, 10, 10) > y <- c ( 8, 7, 9, 4, 5) > n <- c (124, 736, 281, 723, 212) > X <- rep (x, n); Y <- rep (y, n) > summary (lm (Y ~ X)) Call: lm(formula = Y ~ X) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** X ** --- 3

4 Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 2074 degrees of freedom Multiple R-squared: ,Adjusted R-squared: F-statistic: 6.87 on 1 and 2074 DF, p-value: Por tanto, la recta de regresión sería Ŷ = X y el coeficiente de determinación es muy bajo (R 2 < 1 %), ni siquiera significativo (p-valor < 0 009). Por tanto, podemos concluir que no hay relación recta (lineal) entre X y Y. Para explorar la existencia de relaciones de otro tipo, podemos hacer un diagrama de dispersión; por ejemplo: plot (jitter (X), jitter (Y)) Por la densidad de los puntos, el diagrama podría sugerir una relación cuadrática; no hemos estudiado la obtención de sus coeficientes. 4

5 6. (0 5 puntos) Respecto a la desviación típica, a) cuál es su definición exacta? La desviación típica de una variable estadística que toma los valores x 1,..., x r con frecuencias relativas f 1,..., f r es s X = r (x i x) 2 f i i=1 donde x es la media muestral de la variable estadística. La desviación típica de una variable aleatoria discreta que toma los valores x 1,..., x r con probabilidades f 1,..., f r es σ X = r (x i µ X ) 2 f i i=1 donde µ X es la esperanza de la variable aleatoria. La desviación típica de una variable aleatoria continua con función de densidad f es σ X = (x µ X ) 2 f (x) dx b) cómo se puede interpretar aproximadamente? La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, y la varianza es la media de desviaciones cuadráticas respecto a la media. La media de la raíz cuadrada de una variable no es la raíz cuadrada de la media de la variable pero, si suponemos que se parecen, entonces podemos interpretar la desviación típica como una medida de centralización de las distancias de los valores de la variable a la media de la variable. En resumen, aproximadamente la media de las distancias a la media. Y si, además, la distribución de la variable es más o menos gausiana? En una campana de Gaus, los puntos de inflexión están a una desviación típica de distancia de la media. Por tanto, con la media y la desviación típica se puede tener una idea de la distribución de la variable. También se puede indicar que la proporción de la población que está a menos de una desviación típica de la media es poco más de dos tercios. A menos de dos desviaciones típicas estaría poco más del 95 % de la población. 7. (0 5 puntos) De los siguientes histogramas, a cuál le corresponde un coeficiente de variación del 20 %, a cuál uno del 50 % y a cuál uno del 100 %? 5

6 El primer gráfico tiene una forma gausiana, por lo que su media debe de estar en torno a 100. Los puntos de inflexión parecen estar entre 70 y 80 (a la izquierda) y entre 120 y 130 (a la derecha), por lo que su desviación típica estaría entre 20 y 30. Por consiguiente, su coeficiente de variación estaría en torno a 0 2 ó 0 3. De los valores sugeridos, el más próximo es el 20 %. El segundo gráfico también es gausiano con media en torno a 100. Por las mismas razones, podemos pensar en una desviación típica entre 40 y 80, es decir, un coeficiente de variación entre 40 % y 80 %. De los valores del enunciado, el 50 % parece adecuado. Por descarte, podemos suponer que al tercer gráfico le corresponde un coeficiente de variación del 100 %. Podemos confirmarlo considerando que presenta una distribución de forma exponencial, de la que sabemos que coinciden su media y su desviación típica. 8. (1 punto) A partir de la imagen del sobre de cromos del reverso de esta hoja: 6

7 a) Si compramos 50 sobres, cuál es la probabilidad de conseguir al menos un balón de oro? Voy a suponer que el contenido de un sobre es independiente de cualquier otro sobre que compre. Si p es la probabilidad de que un sobre contenga un balón de oro, y X es la variable aleatoria número de balones de oro obtenidos en 50 sobres, entonces X sigue una distrubución B(50, p), es decir, una binomial de parámetros n = 50 y p. La probabilidad pedida sería entonces ( ) 50 Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) = 1 p 0 (1 p) 50 0 Pr(X 1) = 1 (1 p) 50 Para determinar p debemos interpretar la ambigua expresión 4 BALÓN de ORO / 1 CARD INVENCIBLE (1 en 50 sobres). Si interpretamos que aparece 1 balón de oro cada 50 sobres, entonces p = 1 : 50 = 0 02 y Pr(X 1) 64 %. Si interpretamos que, cada 50 sobres, aparece o 1 balón de oro o una card invencible, equiprobablemente, entonces p = (1 : 2) : 50 = 0 01 y Pr(X 1) 39 %. Si interpretamos que, cada 50 sobres, aparece 1 de los 4 balones de oro o una card invencible, equiprobablemente cada una de las 5 cartas, entonces p = (4 : 5) : 50 = y Pr(X 1) 55 %. En principio, el dato de que hay 459 cards, que es la suma de los diversos tipos de cartas, 459 = puede hacer suponer que p = 4 : 459 = Sin embargo, esta interpretación es difícilmente conjugable con la afirmación de 1 en 50 sobres, sobre todo si la ampliamos a otros tipos de cartas: El 1 en 6 sobres de los porterazos, diamantes y «fuerza 4» dista de ( ) : El 1 en 7 sobres de los dúos imparables y «súper cracks» dista de (21 + 9) : b) Qué probabilidad hay de que un sobre contenga un porterazo o un ídolo? Indica qué hipótesis necesitas para calcularla. Sea P el suceso «el sobre contiene porterazo» y sea I el suceso «el sobre contiene ídolo». Se pide la probabilidad de la unión Pr P I = Pr P + Pr I Pr P I Por la indicación del sobre 40 ÍDOLOS (1 en 2 sobres) supondré que Pr I = 0 5. Respecto a la Pr P, la indicación es 9 PORTERAZOS / 9 DIAMANTES / 5 FUERZA 4 (1 en 6 sobres). Cabe la misma ambigüedad que en 7

8 el apartado anterior, por lo que dicha probabilidad podría ser 1 : , o bien (1 : 3) : , o bien (9 : ( )) : Respecto a la Pr P I, para poder hacer algo voy a tener que añadir alguna hipótesis. Podría suponer que los sucesos P y I son incompatibles (si sólo hubiera un cromo por sobre, por ejemplo) y entonces Pr P I = 0. Lo más habitual (y lo más razonable, suponiendo varios cromos por sobre y sin saber el número de ellos) sería suponer independencia, y considerar entonces que Pr P I = Pr P Pr I. 9. (1 3 puntos) Sea la variable X con función de distribución F(x) = x2 2 F(x) = x + x2 2 si x [1, 2]. Esa función F no es una función de distribución: Toma valores mayores que 1: por ejemplo, F(2) = 6 5. si x [0, 1], No es continua y no es escalonada (en la asignatura sólo hemos visto variables aleatorias continuas, cuya función de distribución es continua, y variables aleatorias discretas, cuya función de distribución es escalonada, es decir, formada por trozos horizontales): lím F(x) = 1 4 = lím x 1 2 F(x) x 1 + Ni siquiera está bien definida en x = 1, ya que las definiciones en los dos intervalos (ambos cerrados en el 1) dan valores distintos (0 5 y 4). a) Represente la función de densidad de X. Si F fuera una función de distribución, su función de densidad sería su derivada f = F : f (x) = Su representación gráfica sería: x si 0 < x < 1 x + 2 si 1 < x < 2 0 otramente 8

9 No es una función de densidad, ya que su integral (área bajo la curva) es mayor que 1 (contiene el rectángulo de base entre 1 y 2 y altura entre 0 y 3, luego de área 3). b) Cuál es su moda, su media, su mediana, su desviación típica y su percentil 5? Si f fuera una función de densidad, la moda de la variable X correspondería al punto más alto de f (x = 2), luego su moda sería 2. Si F fuera una función de distribución, la mediana M de X sería tal que F(M) = 0 5. Tomando la definición de la izquierda, tenemos que F(1) = 0 5, por lo que 1 sería la mediana. Similarmente, para su percentil 5, que cae a la izquierda de la mediana, tendríamos: 0 05 = F(P 5 ) = P2 5 2 = P La esperanza de X sería E X = x f (x) dx = (No tiene sentido porque X toma valores menores que 2; la razón del sinsentido es que f no es una función de densidad.) 9

10 La desviación típica sería 2 (x EX) 2 f (x) dx lo que es absurdamente grande, debido a la absurdez de la esperanza. c) Pr [0 8 < X 1 1]? Si F fuera función de distribución, entonces Pr [0 8 < X 1 1] = F(1 1) F(0 8) = = lo que es absurdo, por ser un número mayor que (0 2 puntos) Cuál es la medida de dispersión absoluta de cálculo a mano más cómodo? Teniendo en cuenta las operaciones aritméticas realizadas, la medida más simple es el recorrido, porque requiere sólo identificar el máximo y el mínimo y restarlos. Una varianza o un recorrido intercuartílico requieres muchas más operaciones «a mano». 11. (1 punto) Si cierta máquina funciona bien, lo que sucede el 90 % del tiempo, produce un 1 % de tornillos defectuosos. Si funciona regular, lo que sucede la mitad de las veces que no funciona bien, produce un 5 % de defectuosos. Si funciona mal, lo que sucede la otra mitad, produce un 10 %. En una muestra de cinco tornillos producidos por la máquina se ha encontrado uno defectuoso (aunque podría haber más). Cuál es la probabilidad de que la máquina funcione bien? Sea D el suceso encontrar al menos un tornillo defectuoso en una muestra de cinco tornillos. Si p es la probabilidad de que un tornillo sea defectuoso, entonces la probabilidad de D es Sean los sucesos Pr D = Pr(B(5, p) 1) = 1 (1 p) 5 B = la máquina funciona bien R = la máquina funciona regular M = la máquina funciona mal Según los valores del el enunciado, Pr B = 0 90 Pr(D B) = 1 (1 0 01) Pr R = 0 05 Pr(D R) = 1 (1 0 05) Pr M = 0 05 Pr(D M) = 1 (1 0 10) El enunciado pide Pr(B D), así que, aplicando Bayes, Pr(D B) Pr B Pr(D B) Pr B + Pr(D R) Pr R + Pr(D M) Pr M

11 12. (0 5 puntos) Cuáles de las siguientes fórmulas calculan la media muestral? a) b) c) ni=1 x i n Esta fórmula calcula la media muestral de una muestra de n datos x 1,..., x n. ri=1 x i n i n Esta fórmula calcula la media muestral de una muestra de tamaño n = n n r en la que se han observado los valores x 1,..., x r con frecuencias absolutas respectivas n 1,..., n r. ri=1 x i f i n Esta fórmula no es correcta, si consideramos la notación habitual de f i para las frecuencias relativas. Si f i fuera una frecuencia absoluta (lo que en la asignatura denotamos como n i ) entonces cabría la respuesta del apartado anterior. d) r i=1 x i f i Esta fórmula calcula la media muestral de una muestra de tamaño desconocido en la que se han observado los valores x 1,..., x r con frecuencias relativas respectivas f 1,..., f r. e) x f (x) dx Esta es la fórmula de la esperanza o media poblacional de una variable aleatoria continua con función de densidad f. No es la fórmula de una media muestral. 13. (1 punto) Sea X = «gravedad de defecto» (ninguno, leve, grave) y sea Y = «aditivo usado» (A, B, C). Se ha realizado una serie de experimentos y se ha obtenido la siguiente tabla de frecuencias conjuntas absolutas: 11

12 Y X ninguno leve grave A B C Aplicando el R-Commander a esta tabla obtenemos esta salida: >.Table # Counts >.Test <- chisq.test(.table, correct=false) >.Test Pearson s Chi-squared test data:.table X-squared = , df = 4, p-value = >.Test$expected # Expected Counts > round(.test$residuals^2, 2) # Chi-square Components Qué conclusiones se pueden obtener? Consideramos en primer lugar el contraste de hipótesis 12

13 H 0 : H 1 : X y Y son independientes X y Y son dependientes La salida contiene el p-valor del contraste, , que, por ser inferior al nivel de significación habitual en esta asignatura (5 %), lleva a concluir que existe cierta dependencia entre las dos variables. (El p-valor es fiable porque en la tabla de frecuencias absolutas esperadas, «expected counts», no hay ningún valor menor que 5.) Para profundizar en el análisis, podemos deducir por la tabla de sumandos del estadígrafo χ 2 («chi-square components») que el aditivo A (correspondiente a la primera fila) es el que más se aleja de la distribución esperada: los valores de sus sumandos cuadruplican a las desviaciones del otro aditivo que más se desvía (el C) por lo que A es el aditivo que tiene un comportamiento separado del de los otros dos. Calculemos ahora la tabla de distribuciones de tipos de defecto condicionadas por aditivo: > n <- matrix (c (25,100,175,50,125,200,75,150,225), 3) > t (apply (n, 1, prop.table)) [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] [3,] El aditivo A produce una proporción de graves bastante mayor (un 10 %) que los otros, y una proporción de leves bastante menor. Entre el B y el C las diferencias no superan el 2 5 %. El peor aditivo es el A. El C parece algo mejor que el B. 13