El equivalente en decimal V de un número binario se puede conocer usando la siguiente formula: n 1 d i {0,1}

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1 Apuntes de Arquitectura de Computadoras Por M. C. Miguelangel Fraga Aguilar Repaso 1- Representaciones numéricas Números sin Signo. En las computadoras modernas se representa a los números usando el sistema binario. La representación de números enteros en sistema binario consiste en usar una cadena de dígitos binarios donde la posición de cada dígito indica su peso. El equivalente en decimal V de un número binario se puede conocer usando la siguiente formula: n 1 V = d i 2 i ; i=0 d i {0,1} Ejemplo: el equivalente decimal del número binario 1b se puede obtener por medio de la siguiente tabla: i Peso Dígito (d i ) V=1x16x8x4x2x1=22 Números con signo Históricamente se han usado tres notaciones para representar a los números con signo en las computadoras: Magnitud y signo, complemento a uno y complemento a dos. La más utilizada en la actualidad es la de complemento a dos, pero las otras aún son aplicadas en algunos nichos especiales. Magnitud y signo. En la notación de magnitud y signo, el bit más significativo se utiliza para representar el signo del numero, mientras que el resto de los bits representan su magnitud. Un uno en el bit de signo indica que el número es negativo y un cero que es positivo. Por ejemplo, si

2 queremos representar el en cuatro bits, tendríamos que poner en uno el bit de signo y en 010b los tres bits de la magnitud, dando por resultado el b Como para representar números en una computadora se utiliza un número finito de bits, la recta numérica de las matemáticas tradicionales se transforma en un circulo numérico en el que se encuentran todos los números que pueden representarse con el numero de bits utilizado. A manera de ejemplo, se muestra el circulo numérico para los números en magnitud y signo de cuatro bits: Números negativos -5-0 Figura R1 Circulo numérico para los números en magnitud y signo de cuatro bits La notación de magnitud y signo tiene varios inconvenientes. El primero es que como puede observarse en la Fig. R1, tiene dos representaciones para el cero, una positiva y una negativa. La segunda es que al momento de realizar sumas y restas con esta representación, se requiere hacer una comparación entre los operandos para poder saber el signo del resultado, lo cual requiere tanto esfuerzo computacionalmente como la suma en sí. Además, la dirección de incremento en los números positivos es en el sentido horario, mientras que en los negativos es en sentido anti horario, lo cual también aumenta la complejidad de los circuitos que realizan las operaciones aritméticas. El rango de números que puede representarse usando n bits con esta notación se puede determinar de la siguiente manera: el numero de combinaciones diferentes que pueden hacerse con n bits es 2 n. Complemento a En la notación de complemento a uno, los números negativos se representan como el complemento a uno de los números positivos. La operación de complemento a uno equivale a cambiar el signo de un número en esta notación. La definición matemática del +6

3 complemento a uno C de un número V es C=2 n -V. 2 n es el número inmediato superior al rango de números sin signo en n bits. Al restarle el número positivo deseado en la operación de complemento, se pasa la mitad superior de la recta numérica abajo de la mitad inferior y se elimina el problema de la dirección de incremento anti horario en los números negativos. Esto puede observarse en las rectas numéricas de la fig. R2 y en el circulo numérico de la fig. R Con signo Sin signo Figura R2 Recta numérica desplazada en el complemento a uno de 3bits Números Negativos Figura R3 Circulo numérico para los números en complemento a uno de 4 bits

4 Una manera simple de obtener el complemento a uno es negar cada uno de los bits del número. A pesar de que se resuelve el problema de la dirección de incremento, continúa el de la doble representación para el cero, lo que genera errores en las sumas y restas. Complemento a dos La notación de complemento a dos es la más utilizada en las computadoras modernas. Resuelve el problema de la doble representación del cero eliminando al cero negativo y sustituyéndolo por un número negativo más que los positivos. La definición matemática del complemento a dos es C=2 n -V. Como puede observarse, esta formula es muy similar a la del complemento a uno, pero no incluye la resta del uno, por lo que el complemento a dos es igual al complemento a uno más uno. Una forma rápida de calcular el complemento a dos de un número es buscar de derecha a izquierda el primer uno y copiar la cadena hasta este uno, y a partir de el colocar los bits restantes negados. A manera de ejemplo, el complemento a dos de b es Con signo Sin signo Figura R4 Recta numérica desplazada para el complemento a dos de 3bits

5 Números negativos Números positivos Figura R5 - Circulo numérico para los números en complemento a dos de 4 bits Acarreo y sobre flujo En una computadora se representa a los números como un serie de unos y ceros. Estos representan tanto a los números sin signo, así como a los con signo. Al hacer sumas o restas es posible que el resultado se salga del rango de números que se puede representar con número determinado de bits. Las computadoras modernas tienen dos indicadores que nos dicen cuando se sobrepasa este rango. El primero es la bandera de acarreo (C) que indica cuando el resultado de una operación se sale del rango de los números sin signo y la bandera de sobre flujo (V) indica que se sale de rango de los números con signo. Ejemplos: Represente el numero 234d en notación de magnitud y signo, complemento a uno y complemento a dos en 16 bits. Solución: 1234d equivale a 04D2h, para la notación de magnitud y signo solo hace falta cambiar el bit de signo y obtendremos: 84D4h. Para el complemento a dos, usamos la definición: 0h-04D2h=FB2Eh. Restamos uno y obtenemos el complemento a uno: FB2D