). Derivando e igualando a cero: u (x) = 0. x = 4 y = 4. 2 La segunda derivada: u (x) = u (4) = < 0, luego en 18 el punto (4,4) hay un máximo.

Transcripción

1 TEMA.- OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD El problema consiste en optimizar una función de n variables z = f(x, x,..., x n ) sujeta a las m condiciones: g (x, x,..., x n ) = b g (x, x,..., x n ) = b... g m (x, x,..., x n ) = b m siendo m < n. Método de sustitución.- Si es factible despejar m incógnitas del sistema anterior, en función de las otras nm incógnitas, sustituimos sus valores en z y el problema se reduce a una optimización sin restricciones. Un ejemplo: Se trata de maximizar u(x,y) = ln(+xy), sujeto a x + y = 8 Despejamos y = 8 x, sustituimos en u(x,y) y el problema se reduce, por lo tanto, a maximizar u(x) = ln( + 8x x 8 x ). Derivando e igualando a cero: u (x) = 8x x x = 4 y = 4. 8x x 8 x La segunda derivada: u (x) = u (4) = <, luego en 8x x 8 el punto (4,4) hay un máximo. Método de los multiplicadores de Lagrange.- /

2 /

3 .- Existirá máximo si H y H.- Existirá mínimo si H y H iii. Función objetivo con n variables independientes y m restricciones /

4 Condición suficiente de optimalidad global.- 4/

5 Interpretación de los multiplicadores de Lagrange.- Si f toma el valor óptimo en x * * df (x ), entonces k ó también df(x * ) = k db k. db EJERCICIOS k Lo resolveremos por el método de sustitución. Se tiene que x = 8 y luego U(x,y) = = f(y) = ln(8y) + lny. df(y) 4 La derivada 4y = 8 y y =. dy 8 y y d f (y) 8 La segunda derivada: que es menor que cero en todo punto del dy 8 y y dominio de f(y). Luego en y =, f(y) toma un máximo global. Por tanto en el punto (, ) se maximiza U(x,y) a) La función lagrangiana (x, y) = xy + y + (P x + P y M) y + P = x + + P = P x + P y = M M P M P Resolviendo el sistema se obtiene x = ; y = ; = 4P 4P M P P P 5/

6 El Hessiano orlado: P P H P = 4P P >, luego las cantidades obtenidas P maximizan la utilidad. b) La variación que experimentará la utilidad máxima ante un cambio (de una unidad) en la cantidad de dinero disponible es el valor opuesto del multiplicador de Lagrange, es decir, M P. P P La función lagrangiana (x, y) = 4x + y + (x + y 5) 8x + = y + = x + y = 5 Resolviendo el sistema se obtiene x =5; y =5; = 5 El Hessiano orlado: H 8 = 6 <, luego el punto (5, 5) minimiza la función objetivo. Si la constante de restricción pasa de 5 a 5, el valor de la función objetivo en el óptimo aumentará aproximadamente 5 unidades (el opuesto de ) Lo resolveremos por sustitución. x+y=4 y = 4 x f(x) = x + 8x x (6 8x + x ) = 8x x f (x) = 8 6x = x = y =. Por otra parte f (x) = 6 < en el punto (, ) hay un máximo relativo. Como la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de f(x,y): es definida 4 negativa, la función f(x,y) es cóncava. Además el conjunto factible es convexo, luego el punto (, ) es máximo global. Lo resolveremos por sustitución: 6/

7 x + y = y = x f(x) = x x f (x) = x x = por otra parte: f (x) = 6x f ''() (,) es mínimo f '', x y local x y 8 es máximo local Se trata de minimizar C(x, y) = x + (y ), sujeto a Q(x, y) = x + (y ) = 9. La función lagrangiana: (x, y) = x + (y ) + [x + (y ) 9] + x = (y ) + (y ) = x + (y ) = 9 admite como única solución (con los factores positivos): x =, y =, = 6. El hessiano orlado H x = 8(y ) 8x ( + ) = (y ) x (y ) = (particularizado para la solución obtenida) = 84 <, luego dicha solución minimiza el coste. El valor mínimo sería C(, ) = + ( ) =. b) El coste marginal de aumentar una pequeña cantidad, por ejemplo una unidad, el nivel de producción, sería el opuesto del valor del multiplicador, es decir 6, lo que significa que disminuiría sus costes. 7/

8 El ejercicio consiste en maximizar U(x,y,z) = 5lnx+ lny + lnz sujeto a x + y + 4z =. La función lagrangiana (x, y) = 5lnx + lny + lnz + (x + y + 4z ) 5 + = x + = y + 4 = z x + y + 4z = sistema que resuelto proporciona x = 5, y = 5, z = 5, = El Hessiano orlado: H, y H , luego las cantidades obtenidas maximizan la utilidad. La función lagrangiana: (x, y) = x + y + (x + y) x + x = + = x + y = 8/

9 8 admite como soluciones (x =, y =, = ) y ( x =, y =, = ) 7 El hessiano orlado H x x 6x = 6x. Para la primera solución H = <, luego el punto (, ) es mínimo local. Para la segunda solución H = >, luego el punto 8, 7 es máximo local. a) Se trata de maximizar U(x,y) = lnx + lny, sujeto a px + qy = r. La función lagrangiana (x, y) = lnx + lny + (px + qy r) p x q y px qy r Resolviendo el sistema se obtiene x = r r ; y = ; = p q r p q q p El Hessiano orlado: H p >, luego los valores obtenidos de x x y q y x e y maximizan la utilidad. 9/

10 b) Como la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de U(x,y): x es y definida negativa, la función U(x,y) es cóncava. Además el conjunto factible es convexo, luego r r el punto, es máximo global. p q c) Sería el opuesto del valor del multiplicador, r a) Se trata de maximizar U(x,y) = x,6 y,4, sujeto a x + y = 6. La función lagrangiana (x, y) = x,6 y,4 + (x + y 6),4 y 6 x,6 x 4 y x y 6 Resolviendo el sistema se obtiene x =8; y = 8; = 4 9 4,6 El Hessiano orlado: H,4,6,4,4y,4 96x 88 6y >,,4,4,6,6,4,6, 4 x x y y x y x,6,4,4x,4,6,6 x y y luego los valores obtenidos de x e y maximizan la utilidad. /

11 b) Como la forma cuadrática asociada a la matriz hessiana de U(x,y):,4,4y,4,4,4,6 x x y,6 es semidefinida negativa (el determinante es cero), la función U(x,y) es,4,4x,4,6,6 x y y cóncava. Además el conjunto factible es convexo, luego el punto (8, 8) es máximo global. c) Sería el opuesto del valor del multiplicador, 4 9 4,6,69 Se trata de minimizar x + (y ) +, sujeto a x + (y ) = 9, con x, y La función lagrangiana: (x, y) = x + (y) + + [x + (y) 9] + x = (y) + (y) = x + (y) =9 x, y admite como solución x =, y =, = 6 El hessiano orlado H x (y ) x (y ), para x =, y =, = toma el valor < luego el punto (, ) es mínimo local. 7 /

12 La función lagrangiana: (x, y) = 4x + y + (x+ y 5) 8x + = y + = x + y 5 = admite como solución x = 5, y = 5, = 5 local. El hessiano orlado H 8 = 6 < luego el punto (5, 5) es mínimo El efecto sobre el valor de la función objetivo en el óptimo, puesto que el incremento de la constante es muy pequeño ( frente a 5) es prácticamente igual al opuesto del valor del multiplicador, es decir, se producirá un aumento aproximado de 5. a) Se trata de maximizar U(x,y) = 6xy + (y ), sujeto a 4x + y = 8. La función lagrangiana (x, y) = 6xy + (y ) + (4x + y 8) 6y + 4 = 6x + + = 4x + y = Resolviendo el sistema se obtiene x = ; y = ; = 6 la utilidad. El Hessiano orlado: 4 H 4 6 = 96 >, luego las cantidades obtenidas maximizan 6 /

13 Sustituyendo los valores obtenidos en la función de utilidad se obtiene 5 7 U, 6 b) Se trataría ahora de maximizar U(x,y) = 6xy + (y ), sujeto a 4x + y 8. Las condiciones necesarias de Khun-Tucker 6y + 4 = 6x + + = (4x + y) = 8 Para que 4x + y < 8, tendría que ser = x = Luego con una renta monetaria < 8 no se aumenta la utilidad. que carece de significado. 7 /