TEMA 12 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN

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Aarón Salas Ramos
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1 TEMA 12 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN

2 Preparación y Requisitos Objetivos Distinguir extremos locales de globales Utilizar las condiciones necesarias y/o suficientes para calcular los extremos de funciones de dos variables Interpretar geométricamente las condiciones necesarias de primer orden de extremos libres y condicionados Justificar con ayuda del desarrollo de Taylor de segundo orden las condiciones suficientes para extremos libres Prerrequisitos Extremos de funciones de una variable Cálculo de derivadas parciales Derivadas direccionales y propiedades del vector gradiente Teorema de Taylor Dónde Encontrar el tema Caballero, R. et al p. 9 y 10 Caballero, R. et al.(problemas) 10 y 11 Chiang, A. Cap. 9, 11 y 12 Larson et al. Cap. 15.8, 15.9 y 15.10

3 Introducción Condición Necesaria para máximo o mínimo en x : - Algebráica: Si existe f '( x ) f '( x ) = Geométrica: Si f( x) es suave en x la tangente es horizontal 0 0

4 Definiciones básicas n Sea f : Domino f R R y S Domino f x es MAX en S: f( x ) f( x), x S. 0 0 x es MIN en S: f( x ) f( x), x S. 0 0 x es MAX ESTRICTO en S: f ( x ) > f ( x), x S. 0 0 x es MIN ESTRICTO en S: f ( x ) < f ( x), x S. 0 0 Preguntas: Existen máximos y mínimos? Cómo puedo buscarlos? a T2 M1 T1 M2 b

5 Dos comportamientos Comportamiento global (absoluto) y comportamiento local (relativo) Los puntos M1 y T1 son máximos y mínimos absolutos Pero qué sucede con M2 y T2? La característica común entre M2 y M1, y entre T2 y T1 se recoge en el concepto de: PUNTO CRÍTICO

6 Puntos Críticos Teorema (Todo extremo relativo se produce en un punto fijo): Si f( x, y ) es un extremo relativo en una región abierta R, entonces ( x, y ) es un punto crítico de f

7 Ejemplo f( x, y) = x + y Puntos Críticos: Aquellos puntos del dominio que tienen derivada nula 2x = 0 ( xc, yc) = (0,0), f(0,0) = 0 2y = 0 2- El resto de puntos del domino siempre van a ser estrictamente mayores a 0, Luego se trata de un MÍNIMO GLOBAL ESTRICTO 3.- Hemos resuelto el problema algebráicamente f ( xy, ) = y x 2 2 2y 1- Puntos críticos. (0, 0) f (0, 0) = 0 2x 2 sin embargo, para 0 (,0) 0, luego (0,0) no es MIN 2 incluso, para 0 (0, ) 0, y no puede (0,0) MAX PUNTO de SILLA x f x = x < y f y = y > 2.- Hemos resuelto el problema intersecando planos verticales, y viendo que quedan puntos por encima y debajo

8 Clasificación de los puntos fijos: Método del Hessiano Aplicar Taylor de orden 2 a f( x, y) en ( x, y ) : 2 k fyy x0 y0 R2 h k f( x0 + h, y0 + k) f( x0, y0) = hfx'( x0, y0) + kfy'( x0, y0) + [ h fxx''( x0, y0) + 2 hkfxy''( x0, y0) ''(, )] + (, ) Dado que es punto crt. su derivadas parciales son nulas, luego lo importante es el signo del determinante HESSIANO f '' xx f '' xy Dado el hessiano H( x, y) = f '' xy f '' yy A = f ''; A = H( x, y) 1 xx 2 Luego, caben las posibilidades siguientes: Formas cuadraticas: Definida positiva: A > 0,... A > 0 1 n > 0 n par Definida negativa: A1 < 0, A2 > 0... An < 0 n impar Semidefinida positiva: los menores NO-nulos >0 Semidefinida negativa: los menores NO-nulos siguen los signos -,+,-, f '' > 0, H( x, y ) > 0 F. D. + f( x + h, y + k) f( x, y ) > 0 f( x, y ) es MIN local xx xx < 0 0 > F D f x0 + h y0 + k f x0 y0 < f x0 y0 2. f '' 0, H( x, y ) 0.. (, ) (, ) 0 (, ) es MAX local 3. H( x, y ) < 0 NO DEFINIDA f( x + h, y + k) f( x, y ) CAMBIANTE P.SILLA

9 Ejemplo

10 Método del Hessiano en funciones compuestas Objetivo: Estudiar los puntos crtc de funciones objetivo complicadas (compuestas) Técnica: Sustituir las funciones objetivo por otras más simples Cuándo es posible hacerlo? Ejemplo 1. Cuando la función objetivo es la composición de una función con una función monótona g( x, y) t (, ) = es el resultado de componer y la función (, ). El resultado es que (, ) y (, ) f x y e e g x y f x y g x y t comparten los puntos fijos dado que e es una transformación monótona de g( x, y) Ejemplo 2. f( x, y) = ln( g( x, y)) comparte los mismos puntos críticos que g( x, y), exceptuando aquellos para los que el logaritmo no está definido. Ejemplo 3. f( x, y) = g( x, y) comparte los mismos puntos críticos que g( x, y), exceptuando aquellos para los que la raíz no está definida

11 Extremos condicionados Objetivo: Optimizar f( x, y) sujetos a una restricción sobre las variables g( x, y ) = 0 Solución: Corte Vertical Corte Horizontal (Multiplicadores de Lagrange) Corte Vertical: Despejar y = φ( x) de la función restricción g( x, y) = 0 Sustituir en la función objetivo: f( x, φ( x)) = h( x) El problema se convierte en una optimización de una sola variable Observaciones: a.- El extremo obtenido de hx ( ) no es un extremo de f( xy, ) considerada aisladamente. b.- Sí es el extremo de la intersección vertical entre f( x, y) y el plano g( x, y) c.- La dificultad aparece cuando no es posible despejar y en la función restricción g( x, y)

12 Ejemplo 1 Objetivo: Minimizar la siguiente función Solución Despejar y sujeto a

13 Método de las curvas de nivel Hallar las curvas de nivel de la función objetivo: Optimizar (máximo o mínimo) implica encontrar el z óptimo que cumpla la restricción g (x, y) = 0. Por tanto buscamos el corte entre la curva de nivel y g (x, y) = 0 El MÍNIMO se produce en el punto de tangencia

14 Método de los multiplicadores de Lagrange El método gráfico muestra que se busca la TANGENCIA entre la función objetivo y la restricción Dos curvas son TANGENTES si sus vectores normales son PARALELOS Los vectores GRADIENTES de cada curva son vectores NORMALES En el punto de TANGENCIA se satisface que f debe ser múltiplo de g : f ( xy, ) = λ gxy (, )

15 Criterios de clasificación g ' = = ϕ ϕ = g ' * x * * Teorema de la Función Implícita: gxy (, ) 0 define IMPL. una func. y ( x) y '( x) ( x, y) * Dado que es opt. en x, x ( x) f( x, ( x)) debe satisfacer condiciones φ ϕ dφ * de primer orden (derivada respecto de x nula): φ'( x*) = ( x ) = f ' x+ f ' yϕ'( x) = 0 dx IDEA: Para clasificarlos usamos el criterio de la segunda derivada φ ''( x) Se pude demostrar que: 2 d φ 1 = dx g '( x, y ) y 2 si f y g son de clase 2 sobre un conjunto abierto de R, y ( x0, y0, λ0) punto crit. de Lxy (,, λ), entonces: g' g' g' L'' L'', luego g' L'' L'' (1) H( x, y, λ ) < 0 Min. Local de f x x xx xy y xy yy (2) H( x, y, λ ) > 0 Max. Local de f (3) H( x, y, λ ) = 0 Caso dudoso y y

16 Maximizando la utilidad Dada la función de utilidad de un consumidor representada por El problema es con ingreso de Y euros, y unos precios de 3 y 1 euro de cada bien Sujeto a Solución: Formamos el lagrangiano C.P.O Nivel de utilidad óptima es De las dos primera ecuaciones obtenemos, por cociente: C = C = C C Sustituyendo en la ecuación #3: Y 3C 3C = 0 Y Y C C1 = C2 = λ = = C2 1 1

17 Condiciones de segundo orden Formamos el Hessiano Orlado y lo evaluamos en el punto óptimo, B Y Y 1 H,, MÁXIMO

18 Qué Hemos Aprendido Máximos y mínimos locales de funciones de dos variables Condición necesaria. Puntos críticos Puntos de silla Condición suficiente. Criterio de las derivadas segundas Máximos y mínimos locales de funciones de dos o tres variables sujetas a una restricción de igualdad Formulación del problema Método de eliminación de variables Método de Lagrange. Condiciones necesarias de primer orden

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