Diez ejemplos de clasificación de puntos críticos cuando el hessiano es nulo.

Transcripción

1 Diez ejemplos de clasificación de puntos críticos cuando el hsiano nulo. 1. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 2 y 3 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2xy 3, 3x 2 y 2), y los puntos críticos son (0, y 0 ), y 0 ; (x 0, 0), x 0. Es decir, los puntos críticos de te campo calar corrponden a cada punto de los ej coordenados x e y. H(x, y) = 24x 2 y 4, y H (x 0, 0) = H (0, y 0 ) = 0, por lo que el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter de ningún punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio tangente en los puntos críticos Observemos que sobre los ej coordenados x o y, el campo calar se anula; además rulta f(x, y) 0 en los cuadrant I y II, mientras que f(x, y) 0 en los cuadrant III y IV. Por lo tanto, cada punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en un punto crítico. 2. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 3 + xy 2 = x ( x 2 + y 2) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 3x 2 + y 2, 2xy ), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 12x 2 4y 2, y H(0, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. 1

2 Signo de f en su dominio Observemos que en los cuadrant I y IV, f(x, y) 0, mientras que en los cuadrant II y III f(x, y) 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 3. Consideramos el campo calar f(x, y) = y 3 (x + 1) 2 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2(1 + x), 3y 2), y el único punto crítico de f ( 1, 0). H(x, y) = 12y, y H( 1, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Observemos que sobre la curva de ecuación y 3 (x + 1) 2 = 0, f(x, y) = 0, mientras que por encima de a curva f(x, y) > 0 y por debajo de la curva f(x, y) < 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. Signo de f en su dominio tangente en el punto crítico 4. Consideramos el campo calar f(x, y) = xy 4 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( y 4, 4xy 3), y los punto críticos de f son (x 0, 0), x 0. Es decir, los puntos críticos corrponden a cada punto del eje x. H(x, y) = 16y 6, y H (x 0, 0) = 0, x 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter de los puntos críticos del campo calar f. 2

3 Signo de f en su dominio tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que para x > 0 f(x, y) > 0, mientras que para x < 0 f(x, y) < 0. Luego el punto crítico (0, 0) tiene que ser un punto silla; los puntos críticos con primera coordenada positiva tienen que ser mínimos (ya que para cualquier entorno de radio arbitrario, f mantiene signo constante (positivo)); los puntos críticos con primera coordenada negativa tienen que ser máximos (ya que para cualquier entorno de radio arbitrario, f mantiene signo constante (negativo)). 5. Consideramos el campo calar f(x, y) = (x 2) 2 (y +4) 4 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 2( 2 + x), 4(4 + y) 3), y el único punto crítico de f (2, 4). H(x, y) = 24(y + 4) 2, y H (2, 4) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre la curva de ecuación (x 2) 2 (y +4) 4 = 0, f(x, y) = 0, mientras que en la parte convexa f(x, y) > 0 y en la parte cóncava f(x, y) < 0. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 6. Consideramos el campo calar f(x, y) = (y x 2 )(y 3x 2 ) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 12x 3 8xy, 4x 2 + 2y ), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 8(x 2 2y), 3

4 y H (0, 0) = 0. Es decir, el criterio de las derivadas segundas no decide el carácter del punto crítico del campo calar f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre las curvas y = x 2 y y = 3x 2 f(x, y) = 0; entre las curvas f(x, y) < 0 y f(x, y) > 0 para cualquier otra región del plano. Luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 7. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 4 +y 4 2(x y) 2 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 4( x + x 3 + y), 4(x y + y 3 ) ), y los puntos críticos de f son (0, 0), ( 2, 2 ), ( 2, 2 ). H(x, y) = 48y x 2 ( 1 + 3y 2 ). Es fácil comprobar, a través del criterio de las derivadas segundas, que sobre los puntos críticos ( 2, 2 ) y ( 2, 2 ), el campo calar f prenta un mínimo relativo. Sin embargo, sobre (0, 0) el criterio no decide porque H (0, 0) = 0. Signo de f sobre dos trayectorias Gráfica de f y de los planos Gráfica de f y de los planos tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que sobre la recta y = x, f(x, x) = 2x 4 0, mientras que sobre la recta y = x f(x, x) = 2x 4 8x 2 que para x < 1 asume valor negativos. Luego en cualquier entorno con centro en el origen existen imágen de f positivas y otras negativas; luego el punto crítico debe ser un punto silla, porque no se mantiene constante el signo de f sobre ningún entorno de radio arbitrario con centro en él. 4

5 8. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 6 y 6 x 2 = x 2 ( x 4 y 6) definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 6x 5 2xy 6, 6x 2 y 5), y los puntos críticos de f son (0, y 0 ), y 0. Es decir los puntos críticos corrponden a los puntos del eje y. H(x, y) = 12x 2 y 4 (75x 4 + 7y 6 ), y H (0, y 0 ) = 0, y. Es decir, el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. Signo de f en su dominio Observemos que sobre la curva x 4 y 6 = 0 f(x, y) = 0, mientras que en la parte convexa f(x, y) > 0 mientras que en la parte cóncava f(x, y) < 0. Luego, sobre el punto (0, 0), el campo calar f no mantiene signo constante y por lo tanto, se trata de un punto silla. Para el rto de los puntos, f mantiene signo constante negativo y por lo tanto en cada punto crítico hay un máximo relativo. 9. Consideramos el campo calar f(x, y) = x 2 (x 3y) + y 3 definido sobre R 2. Su gradiente f(x, y) = ( 3x(x 2y), 3x 2 + 3y 2), y el único punto crítico de f (0, 0). H(x, y) = 36(x 2 xy + y 2 ), y H (0, 0) = 0. Es decir, el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. Observemos que sobre la recta y = x/3 f(x, y) = y 3, que rulta un valor positivo para y > 0 y negativo para y < 0. Luego, sobre el punto (0, 0), el campo calar f no mantiene signo constante y por lo tanto, se trata de un punto silla. 5

6 Gráfica de f tangente en el punto crítico 10. Consideramos el campo calar f(x, y) = e (x y)2 definido sobre R 2. Su gradiente ( ) f(x, y) = 2e (x y)2 (x y), 2e (x y)2 (x y), y los puntos críticos son de la forma (x 0, x 0 ), x 0. H(x, y) 0, y el criterio no decide sobre ningún punto crítico de f. tangente en los puntos críticos tangente en los puntos críticos Observemos que f(x, y) > 1 sobre su dominio y por lo tanto mantiene la gráfica de f se mantendrá por encima de su plano tangente sobre cualquier entorno con centro en el punto crítico (f(x, y) f (x 0, x 0 ) tiene signo constante (positivo) sobre entorno con centro en un punto crítico, para todo x 0 ); luego cada punto crítico corrponde a un mínimo relativo de f. 6