ARCH y GARCH. Series de tiempo. Miguel Ángel Chong R. 14 de mayo del 2013

Transcripción

1 Estadística Miguel Ángel Chong R. 14 de mayo del 013

2 Modelos estacionales multiplicativos y estacionarios En la mayor parte de los casos los datos no sólo están correlacionados con observaciones que están separadas por un múltiplo de s, sino que también pueden estar correlacionados con observaciones más cercanas. A continuación definiremos una familia de modelos que combinen efectos estacionales y no estacionales. Definición Diremos que {X t } t es un proceso estacional multiplicativo, con periodo s, y lo denotamos como ARMA(p, q) ARMA(P, Q) S si el proceso se escribe como p(b) P (B s )X t = q (B) Q (B s ) t, donde { t } t es ruido blanco y los polinomios de retraso son los siguientes: p(z) =1 1B pb p, P(z) =1 1B s PB Ps, q (z) =1+ 1 B + + q B q, Q (z) =1+ 1 B s + + Q B Qs.

3 Modelos estacionales no estacionarios Si tenemos una serie de la forma X t = m t + S t + Y t,vimosquevíadifierencias simples r d =(1 B) d podíamos eliminar la componente m t yhablamosdel uso de la diferencia estacional r D s =(1 B s ) D,paraeliminarlacomponente S t. Estos los operadores los usaremos para describir el modelo más general, es decir, una serie que tiene tanto una componente de tendencia como el de una parte estacional. Definición Sean d, D Z enteros no negativos. Diremos que {X t} t es un proceso auto-regresivo de promedios moviles integrado estacional multiplicativo de periodo s, denotado por ARIMA(p, d, q) ARIMA(P, D, Q) s o SARIMA(p, d, q) (P, D, Q) S si el proceso Y t = (1 B) d 1 B S D Xt, es un proceso ARMA(p, q) ARMA(P, Q) S causal p(b) P (B s )Y t = q(b) Q (B s ) t, donde { t} t es ruido blanco.

4 1 Identifica el modelo SARIMA(p, d, q) (P, D, Q) S 1 0.8B +0.5B rr 1 X t = 1 0.7B 1 0.5B 1 t, Cómo se ve la ecuación de los modelos 1 SARIMA(1, 0, ) (0, 1, 1) 3, SARIMA(1, 1, ) (, 1, 1), X t = (1+0.B) 1 0.8B 8 t.

5 Metodología de Box-Jenkins para modelos ARIMA estacionales Etapa de identificación de los órdenes p, d, q, P, D y Q. Una vez que hemos introducido una familia de proceso nuestro objetivo será, dada una serie de tiempo observada {x t} N t=1, encontrar un(os) modelo( de esa familia del cual podamos suponer que nuestra serie observada sea un elemento muestral. Usando el principio de parsimonia, es decir usar el modelo con el menor número de parámetros posibles. Etapa 1 Identificación de los parámetros d,d,p,p,q y Q Etapa Estimación de los coeficientes Etapa 3 Verificación de los supuestos No El modelo cumple con los supuestos sí Usar el modelo para hacer

6 Identificación del modelo, esta parte la podemos dividir en dos partes: 1 Buscamos la estructura no estacionaria (si es que la hay), es decir filtrar la parte de tendencia y/o parte estacional, para quedarnos con la parte estacionaria. Una vez obtenida la parte estacionaria buscarémos cuál es el modelo ARMA que mejor ajusta esta parte. En otras palabras buscamos encontrar una transformación de los datos originales de tal forma que obtengamos una serie estacionaria. Aquí tenemos dos posibles tipos de trasformaciones posibles

7 Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que la varianza no es constante, una forma de corregir este problema es aplicar una transformación del tipo Box Cox a los datos, es decir T (X t) = ( Xt 1 si 6= 0 log (X t) si =0. Cuando graficamos la serie de tiempo observada y notamos que no tiene una media costante es recomendable aplicarle el operador diferencia r; anteriormente habíamos platicado que el operador diferencia eliminaba tendencias lineales, m t = a 0 + a 1t, y que el operador diferenica aplicado dos veces, r,eliminatendenciascuadráticas,m t = a 0 + a 1t + a t.en la práctica no hacen falta diferenciar más de dos veces una serie para quitarle el componente de tendencia. Algunas veces las series de tiempo veces presentan un componente estacional S t con periodo s, esto lo podemos notar de manera gráfica a partir de la acf muestral, ya que las autocorrelaciones son muy significativa en los lags s, s, 3s, 4s,... ydecrecedemaneralenta.en estos casos es aconsejable aplicarle a la serie una diferencia estacional r s =(1 B s ), no es común que se requiera aplicar una diferencia más de una vez.

8 1 Encontrar d y D tal que la serie Y t =(1 B) d (1 B s ) D T (X t ) tenga aspecto estacionario. Notemos que la serie la serie de tiempo original X t corre de los índices t {1,,...,n}, mientras que la serie estacionaria Y t corre de los índices t {d + sd +1,...,n}. Examinar la ACF ylapacf muestrales asociadas a {Y t } t para aquellos enteros que son multiplos de s, (identificar los ordenes de P y Q del modelo). Si b ( ) y ˆk k son la ACF ylapacf muestral respectivamente de la serie {Y t } t, entonces P y Q pueden seleccionarse de forma tal que, b (ks) y ˆsk sk con k =1,,...sea compatible con la ACF ylapacf teóricas del modelo ARMA(P, Q) s. 3 Los ordenes de p y q deben ser seleccionados de forma tal que: b (1),...,b (s 1) sea complatible con la ACF teorica y ˆ11,..., ˆs 1 s 1 sea complatible con la PACF la teórica de un proceso ARMA(p, q). En las aplicaciones es usual que d {0, 1, } y D {0, 1}.

9 Modelos heterocedásticos condicionales Introducción Supongamos que tenemos una serie de ruido blanco {Y t } 1 centrada en una constante µ. SilasvariablesY t pudieramos probar que provienen de una normal y si además pudieramos ver que no son correlacionadas esto nos garantizaría la independencia de la serie {Y t }, y no por lo tanto la información del pasado de {Y t } no la necesitamos para explicar el futuro. Los modelos ARCH(r) introducidos por Engle en 198, buscan relajan la hipótesis de normalidad y perminten que tengamos procesos de ruido blanco formado por variables dependientes, es decir, que tendrémos una serie no correlacionada pero dependiente. Una clase de modelos con esta propiedad son los ARCH y GARCH. 1 Esta puede ser la serie de residuos obtenída después de ajustar un modelo ARMA a un conjunto de datos.

10 Por ejemplo si {I t } tt es la evolución de un activo entonces los rendimientos de un activo pueden ser medidos por la variable R t = log It I t porcentuales. 1 o R t = 100 log It I t 1 si lo queremos en terminos

11 Definición Sea {Y t } tz es un modelo autorregresivo heterocedástico condicional, y lo denotarmos ARCH(r) si Y t µ = t U t, donde rx t = 0 + j (Y t j µ). (1) j=1 0 > 0, j 0 con j {1,,...,r}, además las 0 sdebencumplir ciertas condiciones para que la varianza del proceso {Y t } tz tenga varianza. con {U t } tz son v.a.i.i.d. normales cero uno y los procesos t y U t son independientes

12 Definamos a F u como el conjunto de variables aleatorias que contiene toda la información hasta el instante u de siguiente manera F u := {Y s : s apple u, s Z} = {Y u, Y u 1, Y u,...}. Observaciones 1 t es función de las variables que definen el conjunto F t 1, U t es independiente de las variables que definen el conjunto F t 1.

13 Algunas características del proceso ARCH(1) A continuación nos centraremos en el proceso ARCH(1), Y t µ = t U t, donde t = (Y t 1 µ) y veremos algunas de sus propiedades. 1) E [Y t ]=µ y E [Y t F t 1 ]=µ ) Var [Y t ]= 0 1 1, si 0 apple 1 < 1, y Var [Y t F t 1 ]= t 3) Cov (Y t, Y t k ) = 0, Por lo tanto de las propiedades 1), ) y 3) concluimos que {Y t } tz es ruido blanco centrado en µ y {X t } tz = {Y t µ} tz es ruido blanco centrado en 0.

14 4) Tenemos que el proceso centrado en cero es igual a Xt = t Ut por lo tanto Xt t Ut = 0, restando t de ambos lados de la ecuación tenemos, Xt t Ut + t = t sustituyendo por lo que vale t tenemos que, obtenemos que Xt t Ut t = Xt 1. Si llamamos a Z t = t Ut t entonces notemos que podemos escribir a Xt = Xt 1 + Z t,queesunar(1) si logramos probar que Z t es ruido blanco. Notemos que Z t lo podemos escribir como Z t = 8 >< >: X t t t U t 1.

15 i) Entonces hay que probar que E [Z t ] es constante. ii) {Z t } es no correlacionada, E [Z t ] = 0 Cov (Z t, Z t k ) = 0 iii) Por último que la varianza de Z t no depende del tiempo. Var (Z t ) = 0 (1 + 1) (1 1 ) 1 3 1, m 4 = E Xt = 0 (1 + 1) (1 1 ) 1 3 1, siempre que 1 < 1 3.

16 Entonces X t = X t 1 + Z t es un AR(1) y por lo tanto la acf del cuadrádo de las serie será X (k) = Var (Z t) 1 k = (1 + 1) (1 1 ) k = 0 k 1 (1 1 ) X (k) = k 1.

17 5) El modelo ARCH(1) tiene colas más pesadas que una distribución Normal. Si 1 < 1 3 calculemos la kurtosis de la serie {X t}, K(X t ) = m 4 (Var (X t )) 3 0 = (1 + 1) (1 1 ) (1 1 ) = 3(1+ 1)(1 1 ) = > 3. Es decir que es más probable que aparezcan outliers en el ARCH(1) que en un proceso de ruido blanco Gaussiano. Esto es lo que pasa habitualmente en los rendimientos de un activo.

18 Modelos GARCH ARCH y GARCH Los modelos ARCH se pueden generalizar asumiendo que la varianza condicional del proceso no solo está relacionada con retrasos de los cuadrados de la serie X, sino que también con las varianzas condicionales pasadas t. t Definición Sea {X t} tz {Y t µ} tz es un modelo autorregresivo heterocedástico condicional generalizado, y lo denotarmos GARCH(r, s) si X t = tu t, donde rx t = 0 + j Xt j + j=1 sx j=1 j t j. 0 > 0y j 0conj {1,,...,r} y j 0conj {1,,...,s}, ademáslas 0 sylas 0 s deben cumplir ciertas condiciones para que la varianza del proceso {Y t} tz tenga varianza. con {U t} tz son v.a.i.i.d. normales cero uno y los procesos t y U t son independientes

19 Propiedades del modelo GARCH(1, 1) Podemos ver que si {X t } tz es un proceso GARCH(1, 1) X t = t U t, donde t = Xt t 1. 0 > 0, 1 0 y 1 0, con {U t } tz son v.a.i.i.d. normales con media cero y varianza uno y los procesos t y U t son independientes entonces; {X t } tz es ruido blanco centrado en 0, donde Var [X t ]= j + j < ,yVar (X t F t 1 )= 0 1 ( j + j),si