TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informática de Sistemas

Transcripción

1 TEORÍA DE AUTÓMATAS I Informática de Sistemas Soluciones a las cuestiones de examen del curso 2006/07 Febrero 07, ª semana. Dado un autómata de pila, intentamos implementarlo mediante un computador moderno; la cinta de entrada se simulará introduciendo mediante el teclado los símbolos de la cadena a medida que el computador los solicite. Es esto posible? a) Sí, siempre que el computador tenga capacidad (tamaño) suficiente para representar todos los estados y las transiciones. b) No, es imposible. c) Depende del autómata. Solución: C. La implementación es posible para aquellos autómatas en que el número de símbolos insertados en la pila se mantiene por debajo de cierto límite. Si el número de símbolos que puede insertar en la pila crece arbitrariamente (dependiendo de la cadena), la implementación es imposible. 2. Sea n un número natural tal que n 2. El número total de máquinas de Turing con n estados es: a) Finito contable b) Finito incontable c) Infinito. Solución: C. Es finito cuando fijamos el alfabeto y el conjunto de símbolos de cinta; sin estas restricciones, el número es infinito. (Esta observación es importante para la demostración del teorema 3.5.). Por otra parte, un conjunto finito nunca es incontable. 3. Sea L un lenguaje definido a partir de un alfabeto Σ que contiene un solo símbolo: a) L siempre es regular b) L siempre es independiente del contexto, pero puede no ser regular c) L puede no ser independiente del contexto Solución: C. El conjunto de lenguajes de Σ es no numerable (porque cada cadena corresponde a un número natural el que indica su longitud y el conjunto de partes de N es no numerable), mientras que el conjunto de lenguajes estructurados por frases es numerable. Por tanto existe algún L que no es estructurado por frases y por tanto no es regular ni independiente del contexto. 4. El lenguaje generado por la gramática : S xaby, A xbc, A ybz, B yx, B λ, C xb, C xyz, es a) regular

2 2 b) independiente del contexto, no regular c) estructurado por frases, no independiente del contexto El lenguaje contiene exactamente 8 cadenas. Observen que no se pregunta por el tipo de gramática (que es independiente de contexto), sino por el tipo de lenguaje (que, además de ser independiente de contexto, es regular). 5. Para un alfabeto Σ no vacío, el conjunto de lenguajes finitos es a) finito b) infinito contable (numerable) c) infinito no contable (no numerable) Solución: B. Porque es un subconjunto de los lenguajes regulares, que son contables. 6. Sea M un autómata finito cuyo único estado de aceptación es el estado inicial. Puede L(M) contener exactamente tres cadenas? a) Sí b) No c) Depende del número de símbolos que contenga su alfabeto Solución: B. Si tiene alguna cadena w distinta de la cadena vacía, también debe contener las infinitas cadenas w*. 7. Sea el alfabeto {x, y}. Cuántas cadenas contiene el lenguaje aceptado por la máquina de Turing R Δ? a) Ninguna b) Varias (un número finito mayor que uno) c) Infinitas Solución: C. El lenguaje que acepta es Σ*. 8. La unión de dos lenguajes decidibles (por máquinas de Turing), es decidible? a) Sí, siempre b) No, nunca c) Depende de los casos Sea M la máquina que decide el primero y M 2 la que decide el segundo. Podemos construir una máquina de Turing M (de dos cintas) que simule primero M sobre la primera cinta y luego M 2 sobre la segunda; si el contenido de al menos una de las cintas es Y, la máquina M limpia la segunda cinta y escribe Y en la primera; si las dos cintas contienen N, la máquina M limpia la segunda cinta y se detiene. 9. La estrella de Kleene de un lenguaje independiente de contexto, es siempre un lenguaje independiente de contexto? a) Sí, siempre b) No, nunca c) Depende de los casos

3 3 Partiendo de una gramática independiente de contexto que genere L, renombramos S como S, y añadimos las reglas S S S y S λ. La gramática obtenida es independiente del contexto y genera el lenguaje L*. 0. Sean Σ = {a, b}y L := {w Σ* w comienza por la subcadena ba y contiene un número par de a s}. a) Existe un autómata finito determinista con 5 estados que reconoce L b) Existe un autómata finito determinista que reconoce L, pero necesariamente tiene más de 6 estados c) No existe un autómata finito determinista que reconozca L; ya que no se trata de un lenguaje regular b b a b b a a a. Indique cuál de las siguientes operaciones no puede realizar una máquina de Turing: a) La función f : f (x) = 0 si x es impar; f(x) indeterminado si x es par b) Decidir el lenguaje de las matrices m n ; m, n N y m número primo c) Decidir el lenguaje intersección de dos lenguajes indecidibles Solución: C. La función de la opción A es claramente una función computable; no requiere más que discernir entre números pares e impares. Decidir el lenguaje de la opción B, por su parte, sólo requiere dictaminar si m es un número primo, problema que también tiene solución algorítmica. Finalmente, la intersección de dos lenguajes indecidibles puede ser indecidible (por ejemplo, la intersección de dos lenguaje L y L indecidibles tales que L = L, es un lenguaje indecidible), y una máquina de Turing no puede decidir un lenguaje indecidible. 2. Indique cuál de los siguientes lenguajes sobre Σ = {0, } NO es regular: a) L = { 2n n 0} b) L = {0 m n 0 m n 000} c) L = {w El número de subcadenas 0 de w coincide con el número de subcadenas 0 de w} El lenguaje de la opción A no cumple el lema de bombeo. El lenguaje de la opción B es regular porque es finito. El lenguaje de la opción C puede representarse mediante la expresión regular: 0(0 ) * 0 (0 )* 0 λ. 3. Sea L = {a n b n c n } un lenguaje del alfabeto Σ = {a, b, c}. Considere la máquina de Turing de la figura, cuyos símbolos de cinta son a,b, c, d y Δ. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera::

4 4 d a,d b,d Δ R a dr dr dl b c Δ Δ c,δ Δ b,c a, Δ R a) La máquina decide el lenguaje L b) La máquina reconoce el lenguaje L* c) La máquina reconoce el lenguaje L Solución: B. 4. Sean L = {a i b j c k i<j o bien j<k} y L el generado por la gramática S XbC, S AYc, X axb, X Xb, X λ, C Cc, C λ, A Aa, A λ,y byc, Y Yc, Y λ. Indique cuál de las siguientes relaciones es cierta (Nota: el símbolo denota inclusión estricta): a) L=L b) L L c) L L 5. Indique cuál de los siguientes lenguajes NO es independiente del contexto: a) L = Σ L, L = {0 n n n 0} b) L = {a i b j c k k= min(i,j)} c) L = {wax w, x {0,}*, w R (es decir, la inversa de la cadena w) subcadena de x} Solución: B. No cumple el lema de bombeo. Las gramáticas independientes del contexto que generam A y C son, respectivamente, S E0E, S 0A, S B, E E0, E E, E λ, A 0A, A 0A, A λ, B 0B, B B, B λ ; y S S0, S S, S A, A 0A0, A A, A B, B B0, B B, B #. 6. Indique la opción en que figuren expresiones regulares equivalentes entre sí: a) (x*y)*, x*(yx*)*y b) (x*y)*, λ x*(yx*)*y c) (xz y) (zz)* (zy (xy)* (xz y) (zz)*)*, (xy)* (xz y) (zz)* (zy (xy)* (xz y) (zz)*)* Solución: B. Febrero 07, 2ª semana 7. Queremos construir un autómata de pila que acepte el lenguaje x n+ y n. Qué valores han de tener las etiquetas Etiqueta_ y Etiqueta_2 para que la siguiente solución sea correcta?

5 5 λ,λ;# Etiqueta_ Etiqueta_2 y,z;λ λ,#;λ a) Etiqueta_= x,λ;z Etiqueta_2= λ,z; λ b) Etiqueta_= x,λ;y Etiqueta_2= λ,λ; λ c) No existen valores de Etiqueta_ y Etiqueta_2 que hagan correcta la solución 8. Dado un autómata finito definido para un alfabeto Σ con n símbolos, indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a) Debe contener al menos n transiciones b) Puede no contener ninguna transición c) Puede contener cualquier número de transiciones distinto de cero Solución: B. El conjunto de transiciones de un autómata no-determinista puede ser cualquier subconjunto de S Σ S, incluso el conjunto vacío. 9. Sean Σ = {x} y L = {cadenas de longitud impar}. Queremos construir una máquina de Turing M tal que L(M) = L. Para qué valores de las etiquetas Etiqueta_ y Etiqueta_2 es correcta la siguiente solución? Etiqueta_ Etiqueta_2 Δ/R Δ/R a) Etiqueta_ = x/r, Etiqueta_2 = x/r b) Etiqueta_ = x/x Etiqueta_2 = x/r c) No existen valores para Etiqueta_ y Etiqueta_2 que hagan correcta la solución Solución: C. Porque del estado de parada no puede salir ningun arco. 20. La afirmación: Una máquina de Turing universal es capaz de decidir cualquier lenguaje independiente del contexto. a) Es verdadera b) Es falsa c) Sólo es verdadera para lenguajes independientes del contexto reconocibles mediante autómatas de pila deterministas Todo lenguaje independiente del contexto es decidible mediante una máquina de Turing, que puede ser simulada mediante una máquina de Turing universal. 2. Un lenguaje generado por una gramática independiente de contexto

6 6 a) es siempre regular b) nunca es regular c) depende de los casos Solución: C. Una gramática independiente del contexto puede generar lenguajes independientes del contexto regulares o no regulares. Es fácil encontrar ejemplos. 22. El resultado de concatenar dos lenguajes independientes de contexto, es siempre independiente de contexto? a) Sí, siempre b) No, nunca c) Depende de los casos 23. Dados dos lenguajes independientes de contexto L y L 2, existe una gramática G tal que L(G) = L L 2? a) Sí, siempre b) No, nunca c) Depende de los casos L y L 2, por ser independientes de contexto, son estructurados por frases y en consecuencia su intersección también lo es. Todo lenguaje estructurado por frases es generado por una gramática. 24. Para todo autómata finito M (con uno o más estados de aceptación), existe un autómata finito M con un solo estado de aceptación tal que L(M) = L(M )? a) Sí, para todo M b) Si y sólo si los estados de aceptación de M no son origen de ninguna transición c) Depende del alfabeto considerado Siempre existe M, aunque en algunos casos habrá de ser necesariamente NO determinista. Para construir M a partir de M basta con: ) elegir uno de los estados de aceptación de M como estado de aceptación de M, 2) tender una transición lambda desde el resto de los estados de aceptación de M hacia dicho estado. 25. Sea el alfabeto {x, y}. Cuántas cadenas contiene el lenguaje aceptado por la siguiente máquina de Turing? R Δ R a) Ninguna b) Una c) Varias (un número finito mayor que uno) Solución: B. Es la cadena vacía.

7 7 26. La intersección de dos lenguajes decidibles (por máquinas de Turing), es decidible? a) Sí, siempre b) No, nunca c) Depende de los casos Sea M la máquina que decide el primero y M 2 la que decide el segundo. Podemos construir una máquina de Turing M (de dos cintas) que simule primero M sobre la primera cinta y luego M 2 sobre la segunda. Si el contenido de ambas cintas es Y, la máquina M limpia la segunda cinta y se detiene; si no, escribe N y se detiene. 27. Indique cuál de los siguientes lenguajes NO es regular: a) Σ = {a, b}, L = { w Σ * i w : si a aparece en la posición i de w entonces b aparece en la posición i + 2} b) Σ = {0,, b, c}. L n = { w Σ * w = ubvbwcv con u,w {0,, b}* y v {0, }*, v n }, n N c) Σ = {a, b}, L = { w Σ * el número de a s en w dobla al número de b s en w} Solución: C. 28. Indique cuál de las siguientes afirmaciones referidas al lenguaje L = {a i b j c k i, j, k 0 si i entonces j = k} es FALSA: a) El lenguaje cumple el lema de bombeo para lenguajes regulares b) El lenguaje es regular c) El conjunto de cadenas del lenguaje es infinito contable Solución: B. El lenguaje NO es regular, a pesar de cumplir el lema de bombeo 29. Indique cuál de las siguientes relaciones es verdadera: a) 00 0*(0)** b) 00 0*( 0)*0* c) 00 (0* *)(0* *)(0* *) 30. Sean L el lenguaje generado por la expresión regular (ab)*(a b)* y L el generado por la gramática S as, S Sb, S λ. Indique cuál de las siguientes relaciones es cierta (Nota: el símbolo denota inclusión estricta): a) L=L b) L L c) L L Solución: B.

8 8 3. Sea L el lenguaje del alfabeto Σ = {a, b} cuyas cadenas tienen igual número de a s que de b s. Considere la máquina de Turing de la figura, cuyos símbolos de cinta son a,b, d y Δ. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA: d a,d Δ R a dr dl b Δ Δ Δ Δ b dr R Δ b,d a a) La máquina de Turing de la figura decide el lenguaje L b) La máquina de Turing de la figura reconoce el lenguaje L c) La máquina de Turing de la figura nunca tiene una terminación anormal La máquina reconoce, pero NO decide el lenguaje. 32. Sean L el lenguaje de las cadenas capicúas de Σ = {a, b} y L el generado por la gramática S asa, S bsb, S axb, S bxa, X ax, X bx, X λ. Indique cuál de las siguientes relaciones es cierta (Nota: el símbolo denota inclusión estricta): a) L=L b) L=Σ L c) L L Solución: B. La gramática genera el conjunto de cadenas NO capicúas

9 Septiembre 2007, tipo A.Sean u, v, z cadenas de símbolos de un alfabeto. Indique cuál de las siguientes relaciones puede ser falsa: a)(uv)z = u(vz) b)xλ = λx c) xy < x + y (donde x denota la longitud de la cadena x) Solución: C. xy = x + y. 2.Sean A, B y C lenguajes de un alfabeto. Indique cuál de las siguientes relaciones puede ser falsa: a)a(b C) = AB AC b)a( i I B i ) = ( i I AB i ) c)a(b C) = AB AC Solución: C. Considere A = {a, ab}, B={b} yc={λ}. Tenga en cuenta que la concatenación de cualquier conjunto con el conjunto vacío es el conjunto vacío. 3.Sean L y L los lenguajes reconocidos, respectivamente, por los autómatas situados en la izquierda y derecha de la siguiente figura. Sea L el lenguaje del alfabeto Σ = {0,} cuyas cadenas tienen igual número de ceros que de unos, y tales que en cada prefijo la diferencia entre el número de 0s yelnúmerodes sea a lo sumo de una unidad. Indique cuál de las siguientes relaciones es verdadera: a)l = L b)l = L c)l = L Solución: C. L incluye a 0 *, que no incluyen L ni L 4.Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

10 2 a)en un autómata finito determinista para cada estado existe exactamente una transición por cada símbolo del alfabeto de la máquina. b)en un autómata finito no determinista puede haber cero, una o más transiciones desde un estado leyendo el mismo símbolo de entrada que conduzcan a estados diferentes (o posiblemente al mismo). c)para un autómata finito no determinista siempre podrán recorrerse una o más rutas distintas al leer una cadena dada, y por tanto todas deberán examinarse para verificar si alguna termina en un estado de aceptación. Solución: C. Puede que no pueda recorrerse ninguna ruta porque falte transición aplicable en algún estado dado. 5.Indique cuál de los siguientes lenguajes no es independiente del contexto: a)l = {a n b n (n mod 6) = 3} b)el conjunto de todas las cadenas de 0s ys en las que el tercer símbolo leído desde la derecha no sea o que el primer símbolo leído desde la izquierda no sea 0. c)l = {a n b n- c n+3 n } Solución: C. No cumple el lema de bombeo. 6.Sean L el lenguaje reconocido por el autómata de la figura y L el lenguaje generado por la expresión regular 0(00) * (00) * (λ ((00) * )) * 0(00) *. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera (nota: el símbolo denota inclusión estricta): 0 0 a)l = L b)l L c)l L 7.Considere la gramática: exp exp + dig, exp exp dig, exp dig, dig 0, dig, dig 2, dig 3, dig 4, dig 5, dig 6, dig 7, dig 8, dig 9; donde exp y dig son símbolos no terminales (exp es el símbolo de inicio) y +, -, 0,,2,3,4,5,6,7,8 y 9 símbolos terminales. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)para algunas cadenas del lenguaje existe más de un árbol de derivación posible. b)no existe ninguna otra gramática que genere el mismo lenguaje tal que para alguna o algunas cadenas exista más de un árbol de derivación posible.

11 3 c)algunas cadenas del lenguaje pueden generarse mediante la aplicación de más de una secuencia distinta de reglas. Solución: C. Aunque existe un único árbol de derivación para cada cadena, este puede generarase mediante la aplicación de diferentes secuencias de reglas. B es falsa (ejemplo de tal gramática: exp exp + exp, exp exp - exp, exp dig, dig 0, dig, dig 2, dig 3, dig 4, dig 5, dig 6, dig 7, dig 8, dig 9). 8.La concatenación de lenguajes tiene las siguientes propiedades: a)asociativa y conmutativa b)asociativa y elemento neutro c)asociativa, conmutativa y elemento neutro Solución: B. Es asociativa porque x(yz) es igual a (xy)z. Elelementoneutroesel lenguaje que sólo contiene la cadena vacía. Es muy fácil ver que no es conmutativa; por ejemplo, tomando los lenguajes {a} y {b}. 9.Para un alfabeto Σ no vacío, el conjunto de lenguajes finitos es a)finito b)infinito contable (numerable) c)infinito no contable (no numerable) Solución: B. Es un subconjunto infinito de los lenguajes regulares, que son contables. 0.Sea c(l) el complementario de L. a)es posible que existan dos gramáticas en forma normal de Chomsky, una para L y otra para c(l). b)es imposible que existan dos gramáticas en forma normal de Chomsky, una para L y otra para c(l). c)existe una gramática G en forma normal de Chomsky tal que bien L(G) = L o bien L(G) = c(l). Solución: B. Una gramática en forma normal de Chomsky no puede generar la cadena vacía. (La respuesta C no es correcta porque puede ocurrir que ni L ni c(l) sean independientes de contexto.).considere la máquina de Turing de la figura e indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

12 4 /,L 0/0,R /,R 2/2,R 3/3,R 4/4,R 5/5,R 6/6,R 7/7,R 8/8,R 9/9,R 0/0,L /2,L 2/4,L 3/6,L 4/8,L /,R 5/0,L 6/2,L 7/4,L 8/6,L 9/8,L 0/,L /3,L 2/5,L 3/7,L 4/9,L /,L 5/,L 6/3,L 7/5,L 8/7,L 9/9,L a)la máquina puede utilizarse para multiplicar por dos un número en base 0. Inicialmente el número se encuentra en la cinta (una cifra por casilla a partir de la segunda, en la primera casilla hay un carácter blanco, y el resto de la cinta está también en blanco) y la cabeza de lectura señala a la primera cifra del número. Al detenerse la máquina, se ha sustituido el número por el resultado y la cabeza lectora señala a la primera casilla de la cinta b)si la máquina se arranca con la configuración , termina con la configuración c)la máquina puede tener una terminación anormal En el caso de que se llegue al estado de parada por la transición dibujada a la derecha (el número multiplicado por 2 tiene una cifra más que el inicial) la máquina tiene una terminación anormal (si se utiliza tal y como se indica en la opción A). 2.Considere funciones f(l ) = L 2, donde L y L 2 son lenguajes con alfabeto {,0}. Una función f se denomina regular si siempre que L 2 es regular entonces también L es regular. Indique cuál de las siguientes funciones no es regular: a)la función que añade la subcadena al final de toda cadena de L. b)la función que reeemplaza todos los unos por ceros y todos los ceros por unos en las cadenas de L. c)el lenguaje que conserva de L la cadena vacía y elimina el primer carácter de todo el resto de las cadenas. Solución: C. La función de la opción A es regular: si existe una expresión regular que define las cadenas de L 2, entonces basta con eliminar de ella la subexpresión para obtener la expresión regular que define las cadenas de L. Para la obtención de la expresión regular que define las cadenas de L a partir de la expresión que define las cadenas de L 2 en el caso B basta con intercambiar ceros y unos. En cuanto al caso C, es fácil encontrar un contraejemplo: Si L es el lenguaje cuyas cadenas verifican que el primer símbolo es un símbolo 0 cuando la longitud de la cadena es un número primo, y en caso contrario (un lenguaje no regular), L 2 resulta ser {,0}*, un lenguaje regular.

13 5 3.Indique para qué valores de las etiquetas Etiqueta y Etiqueta2 el autómata representado en la figura NO reconoce el lenguaje x n y m z n, n y m enteros positivos n,m 0: x,λ;x y,λ;λ z, x;λ λ,λ;# Etiqueta Etiqueta2 λ,#;λ a) Etiqueta = λ,λ;λ y Etiqueta2 = λ,λ;λ b)etiqueta = λ,λ;x y Etiqueta2 = λ,x; λ c)etiqueta = y,λ;λ y Etiqueta2 = z,x;λ Solución: C. El autómata resultante de realizar la sustitución C no reconoce las cadenas con n=0 y/o m=0. 4.Indique para qué valores de las etiquetas Etiqueta y Etiqueta2 la máquina de Turing representada en la figura reconoce el lenguaje formado por los palíndromos (palabras capicúas ) del alfabeto {x, y, z}: Etiqueta ω R } S L R L L Etiqueta2 a)etiqueta = x,y,z y Etiqueta2 = ω b)etiqueta = x,y,z y Etiqueta2 = x c)la máquina no puede reconocer el lenguaje en ninguno de los dos casos anteriores Solución: C. La máquina resultante al realizar las sustituciones tanto A como B acepta la cadena xy. 5.Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)la unión de infinitos conjuntos NO regulares NO puede ser regular b)la estrella de Kleene de un lenguaje NO regular puede ser regular c)un conjunto cuyo complementario sea finito puede NO ser regular Solución: B. La unión de infinitos conjuntos no regulares puede ser regular ( la unión infinita de los lenguajes Lm= x n y n+m es un lenguaje regular). Un conjunto cuyo complementario sea finito (L) puede expresarse como diferencia entre dos conjuntos

14 6 regulares (S*-L), y por tanto es regular. La estrella de Kleene de un lenguaje no regular puede ser regular (p.e. dado L = {x n, n número primo}, L* es regular). 6.Suponga que se desea construir una máquina de Turing que enumere en orden sobre su cinta todos los números enteros. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)la máquina necesariamente habría de proporcionar el resultado en notación binaria. b)la máquina podría devolver el resultado en notación decimal. c)no existe ninguna máquina de Turing, ya que el problema planteado no es computable. Solución: B. Es fácil construir una máquina de Turing que enumere en orden sobre su cinta todos los números enteros, y nada impide que se escriban números en notación decimal en su cinta. Septiembre 2007, tipos E, B y C 7.Sean L el lenguaje reconocido por el autómata de la figura y L el lenguaje generado por la expresión regular b(0 ) * (b bb) (b bb). Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera (nota: el símbolo denota inclusión estricta): a)l = L b)l L c)el autómata es determinista λ λ b λ b λ b 0 8.Indique cuál de las siguientes igualdades no se verifica necesariamente entre expresiones regulares α, β y γ: a)α α = α b)λα = αλ c)( α) * = Solución: C.

15 7 9.Considere las siguientes expresiones regulares: r =( 0 00) * ( λ 0 00), r 2 =((λ 0 00)) * ( λ 0 00), r 3 =((λ 0) (λ 0)) * ( λ 0)( λ 0). Indique cuál de las siguientes opciones es cierta: a)r = r 2 = r 3 b)r = r 2 r 3 c)r r 2 = r 3 20.Considere las gramáticas G :S aa, S a, A Ba, B ac, C Sa; G 2:S aa, S c, A Ba, B ac, C Sa; G 3:S AB, B ccb, Accc aaaa, AB a. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a)las gramáticas G 2 y G 3 generan el mismo lenguaje; G 2 verifica la forma normal de Chomsky. b)la gramática G genera el lenguaje L = {a 4k+ k 0}. c)la gramática G 3 no es independiente del contexto, y por tanto el lenguaje generado por ella no es independiente del contexto. Solución: B. 2.Sea L cualquier lenguaje tal que L a * (donde a es un símbolo). Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)si L es independiente del contexto, entonces verifica el lema de bombeo de los lenguajes regulares. b)el lenguaje L es siempre independiente del contexto. c)el lenguaje L siempre puede generarse mediante una gramática escrita en forma normal de Chomsky. 22.Indique cuál de las siguientes igualdades entre expresiones regulares es cierta: a)a(a ba) * = (a ab) * a b)a(a ba) * = aa * b * a c)a(a ba) * = aa * (ba) * 23.Considere las gramáticas G :S as, S aa, S a, A ab, A bs, B ab, B bb, C aa, C bc; y G 2 : S as, S aa, S a, A bs. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)el conjunto de las cadenas de longitud menor o igual que cuatro generadas por G 2 es: {a, aa, aaa, aaba, aba,aaaa}. b)g y G 2 generan el mismo lenguaje. c)el conjunto de las cadenas de longitud menor o igual que cuatro generadas por G es: {a, aa, aaa, aaba, abaa,aaaa}.

16 8 Solución: B. 24.Sea L el lenguaje de alfabeto Σ = {a,b,c} y cadenas de forma wcv, donde w y v son cadenas de a s y b s y w y v tienen la misma longitud pero v no es la cadena inversa de w. Dicho lenguaje coincide con el generado por la gramática a)s asa, S bsb, S arb, S bra, R ara, R brb, R arb, R bra, R c. b)s asa, S bsb, S arb, S bra, R arb, R bra, R c. c)s asa, S bsb, S arb, S bra, R ara, R brb, R c. Como w y v no pueden ser cadenas inversas, al menos debe existir un par de caracteres de w y v que ocupen posiciones simétricas con respecto al centro de la cadena y sean diferentes. Por tanto, toda cadena de L puede ser generada por la gramática, y toda cadena generada por la gramática pertenece a L. La respuesta b no es correcta porque esa gramática no genera la cadena aacab, ylac no es correcta porque la gramática no genera la cadena aacbb. 25.Sea L 00 el conjunto de los lenguajes que tienen al menos 00 cadenas. Sea L R el conjunto de los lenguajes regulares, L I el conjunto de los lenguajes independientes del contexto y L E el conjunto de los lenguajes estructurados por frases. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: a)l 00 L R b)l 00 L R, L 00 L I c)l 00 L E Solución: C. L 00 contiene, entre otros, todos los lenguajes no estructurados por frases. 26.Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a)todo subconjunto de un lenguaje regular es regular b)todo lenguaje regular tiene un subconjunto regular c)para todo lenguaje regular existe un autómata determinista que lo reconoce El lenguaje {x n y n n 0}, por ejemplo, es subconjunto de x*y* ynoes regular. B es verdadera : el conjunto vacío es un lenguaje regular y es subconjunto de cualquier conjunto. C es verdadera, ya que sabemos que para todo lenguaje regular existe un autómata finito determinista que lo reconoce. 27.Sea M un autómata de pila. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: a)sea L={a, ba}. L puede ser aceptado por un autómata de pila determinista que siempre llegue a los estados de aceptación con pila vacía b)sea L={a, ab}. L puede ser aceptado por un autómata de pila determinista que siempre llegue a los estados de aceptación con pila vacía c)si M es un autómata de pila determinista que siempre llega a los estados de aceptación con pila vacía, entonces L(M) no puede ser aceptado por un autómata de pila no determinista

17 9 Solución: C. A y B son ciertas, ya que L es un lenguaje regular. C es falsa: para todo lenguaje reconocido por un autómata de pila determinista existe un autómata de pila determinista que lo reconoce y acepta. 28.Sea c(l) el complementario de L. a)es posible que existan dos gramáticas en forma normal de Chomsky, una para L yotra para c(l). b)es imposible que existan dos gramáticas en forma normal de Chomsky, una para L y otra para c(l). c)existe una gramática G en forma normal de Chomsky tal que bien L(G) =L obien L(G) = c(l). Solución: B. Una gramática en forma normal de Chomsky no puede generar la cadena vacía. (La respuesta C no es correcta porque puede ocurrir que ni L ni c(l) sean independientes de contexto.) 29.Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a)la concatenación de un lenguaje regular con su complementario puede no ser regular. b)la concatenación de un lenguaje estructurado por frases decidible y su complementario puede no ser estructurado por frases. c)el complementario de un lenguaje independiente de contexto puede ser regular. Solución: C. El complementario de un lenguaje regular es regular, y la concatenación de dos lenguajes regulares es siempre regular. El complementario de un lenguaje estructurado por frases es estructurado por frases, y la concatenación de dos lenguajes estructurados por frases es un lenguaje estructurado por frases. Finalmente, el complementario de un lenguaje independiente del contexto regular, por ejemplo, es siempre regular. 30.Indique cuál de las siguientes opciones NO describe un lenguaje: a)el conjunto de las palabras definidas en el diccionario de la Real Academia Española. b)los números racionales escritos en notación decimal. c) El conjunto de los programas sintácticamente válidos escritos en C. Solución: B. Un lenguaje se define como un conjunto de cadenas formadas por los símbolos de un alfabeto. Algunos números racionales (p.e., /3) son cadenas de longitud infinita. 3.Indique para qué valores de las etiquetas Etiqueta y Etiqueta2 el autómata representado en la figura reconoce la estrella de Kleene del lenguaje {x n y n }:

18 0 x,λ;x λ,λ;# y,x;λ Etiqueta λ,#;λ λ,λ;x Etiqueta 2 a)etiqueta = y,x;λ y Etiqueta2 = x,λ;# b)etiqueta = y,λ;x y Etiqueta2 = y,x;λ c)etiqueta = y,x;λ y Etiqueta2 = y,λ; x Los autómatas resultantes de realizar las sustituciones de B y C no reconocen, p.e. la cadena xxyy y la cadena xyxy, respectivamente. 32.Indique para qué valores de las etiquetas Etiqueta y Etiqueta2 la máquina de Turing representada en la figura acepta la cadena xyy: / /R x/r Etiqueta y/l x/r y/r Etiqueta2 y/x a)etiqueta = x / y Etiqueta2 = / b)etiqueta = / y Etiqueta2 = x / c)la cadena no puede ser aceptada, independientemente del valor de las etiquetas Solución: C. Sea cual sea el valor de las dos etiquetas, la máquina entra en un bucle de dos transiciones: x/r y y/l.