Procesamiento digital de señales Semana 2. (primera parte) Conversión Analógica-Digital-

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María Antonia Alarcón Saavedra
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1 Procesamiento digital de señales Semana 2. (primera parte) Conversión Analógica-Digital- Dra. María del Pilar Gómez Gil Otoño 2017 Coordinación de computación Versión: 5 de Septiembre 2017 INAOE (c) P.Gómez Gil, INAOE

2 Tema Conversión Analógica - Digital (tarea: leer el capítulo 3 del libro de texto) Gran parte del material de esta presentación fue tomado de: Smith, Steven The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing W., Second Edition, 1999, California Technical Publishing Smith, Steven W. Digital Signal Processing. A Practical Guide for Engineers and Scientist. Amsterdam: Newnes, Elsevier Science ISBN: X. (c) P.Gómez Gil, INAOE

3 Puntos importantes O Recordatorio de definiciones básicas de: frecuencia, periodo, LSB, decibel, frecuencia de muestreo, ancho de banda O Cuantificación o cuantización O Teorema de muestreo O Frecuencia y razón de Nyquist O Filtros analógicos (c) P.Gómez Gil, INAOE

4 Algunas definiciones O Frecuencia : Número de ocurrencias por unidad de tiempo de un evento que se repite. O La frecuencia se mide en Hertz (Hz) O Hz= 1 ciclo/segundo O Periodo: Duración de un ciclo de un evento que se repite. O El periodo es el recíproco de la frecuencia (c) P.Gómez Gil, INAOE

5 Cuantificación O O O La información digital difiere de su correspondiente representación analógica en dos aspectos: O está muestreada y O está cuantificada (quantized). Para manejar información en una computadora, es importante saber qué información se necesita mantener y cual puede perderse sin que afecte a la aplicación. Para esto se necesita definir: O Frecuencia de muestreo de la señal O Numero de bits a utilizarse para representar cada dato O Tipo de filtro analógico que se requiere para convertir de analógico a digital (c) P.Gómez Gil, INAOE

6 Proceso de conversión A-D S/H = sample and hold (muestreo) ADC = convertidor ( parte de la Figura 3-1 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

7 Ejemplo de conversión AD (parte de la Figura 3-1 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

8 (parte de la Figura 3-1 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

9 Características del ejemplo (1/2) O El voltaje está entre 0.0 y O Se desean usar 12 bits para representar los dato en forma digital; entonces existen 2 12 = 4,096 posibles valores, que puede representar del valor 0 al valor O El cambio entre los valores de entrada y los muestreados (figuras a y b) ocurre en tiempos específicos y uniformes. En esta parte del proceso, la variable independiente (tiempo) se convierte de continua a discreta, (c) P.Gómez Gil, INAOE

10 Características del ejemplo (2/2) O Durante la segunda parte del proceso, que convierte los datos muestreados y cuantizados (figuras b y c), a cada valor en b se le asigna su correspondiente valor en alguno de los representados por los bits. O Esto implica una aproximación. Por ejemplo, y se convertirán al mismo valor: 2,560. Aquí la variable dependiente (voltaje) se convierte de continua a discreta. (c) P.Gómez Gil, INAOE

11 Sobre el error de cuantización O El error generado por este método de cuantización de cada punto, es máximo ±½LSB O Este error tiene una forma como de ruido al azar. El error esta uniformemente distribuido alrededor de ±½LSB con media cero y desviación estándar σ = 1 12 LSB (c) P.Gómez Gil, INAOE

12 LSB (Least Significant Bit), o paso de cuantización O Es la distancia que hay entre 2 niveles adyacentes de una cuantización, y corresponde al valor analógico de un bit. O Supongamos un digitalizador de 8 bits. Esto implica que hay 256 posibles valores (2 8 = 256) (c) P.Gómez Gil, INAOE

13 Para este ejemplo. Si se usan Se genera un error con una desviacion estandar de /256 1/900 LSB /4,096 1/14,000 LSB 16 (c) P.Gómez Gil, INAOE

14 El teorema de muestreo O Un muestreo correcto es aquel que genera puntos suficientes para re-construir exactamente la señal original, sin ninguna ambigüedad O El teorema de muestreo de Shannon, conocido también como razón de muestreo de Shannon, estable la relación entre la frecuencia de la función con la frecuencia de muestreo que permite un muestreo correcto (c) P.Gómez Gil, INAOE

15 Frecuencia de muestreo O En una función continua x(t), la variable continua t se reemplaza con nt s, que es un valor discreto de dicha variable t continua. O La variable n (discreta) representa el subíndice del arreglo de datos y Ts es el periodo de muestreo, esto es, el tiempo que hay entre dos muestras. O La frecuencia de muestreo se define como: f s 1 T s (c) P.Gómez Gil, INAOE

16 Ejemplo de un muestreo adecuado O Señal con DC constante = función coseno con frecuencia 0 (Fig,3.3 (a). Smith 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

17 Ejemplo de un muestreo adecuado O Función seno con frecuencia 90 ciclos/seg, muestreada a 1000 muestras/seg. (c) P.Gómez Gil, INAOE

18 En el ejemplo anterior f 90 ciclos/seg undo f s f 0.09 fs f 0.09(1000) 90 f s 1000 muestras/s egundo f / 0.09 f (9 /100) 1.1. f (c) P.Gómez Gil, INAOE

19 Ejemplo de un muestreo adecuado (c) P.Gómez Gil, INAOE

20 Razón de Nyquist (1/2) O Está basada en el teorema de muestreo de Shannon, que establece que: f s 2( bandwidth ) O Donde bandwidth (ancho de banda) es el rango de frecuencias de la señal de interés. Si bandwidth = [0,f] entonces: f s 2 f f f s 2 (c) P.Gómez Gil, INAOE

21 Razón de Nyquist (2/2) O Entonces la frecuencia o razón de Nyquist, en el libro se define como: razon de Nyquist O Diferentes autores usan los términos frecuencia de Nyquist y razón de Nyquist para diferentes cosas relacionadas: máxima frecuencia de la señal, dos veces la máxima frecuencia, razón de muestreo o mitad de razón de muestreo. Tener cuidado con eso 1 2 f s (c) P.Gómez Gil, INAOE

22 Un muestreo inadecuado (aliasing) (c) P.Gómez Gil, INAOE

23 Un ejemplo animado O Suponga que se puede muestrear una señal a 20K Hz O Cuáles son las señales Seno/Coseno que pueden digitalizarse correctamente en dicho sistema? O Recordar que: f f s 2 (c) P.Gómez Gil, INAOE

24 Animación de aliasing (cortesía de Ramirez-Cortés, 2014) (c) P.Gómez Gil, INAOE

25 Aliasing O Ocurre pues la señal digital no puede contener frecuencias mayores a la mitad de la frecuencia de muestreo O Alaising no solo afecta la frecuencia de una señal, sino también su fase, introduciendo un des-fasamiento de 180 o (c) P.Gómez Gil, INAOE

26 Sin(x) (c) P.Gómez Gil, INAOE

27 Oscilaciones x( t) y( t) Acos(2 ft ) Asin( 2 ft ) Acos(2 ft ) 2 O A,f, son constantes que indican amplitud, frecuencia y fase respectivamente O Ambas funciones son idénticas, excepto por un desplazamiento de /4 radianes O A radian = 180/ grados O 2 radianes = 360 o (c) P.Gómez Gil, INAOE

28 Conversión digital-analógica O Teóricamente, la manera mas fácil de convertir una señal digital a analógica es tomar los ejemplos de la señal y ponerlos en un tren de pulsos O Tren de pulsos: serie de picos (pulsos) que coinciden con la señal original en el instante de muestreo (c) P.Gómez Gil, INAOE

29 Ejemplo de tren de pulsos (Fig,3.5 (a) y (c) Smith 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

30 Proceso de re-construcción O Teóricamente, si no ocurrió aliasing, la señal analógica original se puede reconstruir perfectamente pasando el tren de pulsos a través de un filtro pasa bajas. O Este filtro deberá tener el punto de corte de frecuencia en ½ de la razón de muestreo O Esto se hace pues el tren de pulsos tiene un espectro de frecuencia idéntico a la señal original, para todas sus frecuencias abajo de la frecuencia de Nyquist (1/2 Fs) O En las frecuencias altas, el tren de pulsos tiene repetida esta información (c) P.Gómez Gil, INAOE

31 Señal digital expresada con pulsos (parte de la Figura 3-6 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

32 Iniciando la re-construcción (parte de la Figura 3-6 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

33 Sinc(x) (Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

34 Filtro para reconstruir (parte de la Figura 3-6 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

35 Señal reconstruida (parte de la Figura 3-6 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

36 Recordar que O En la información de las señales digitales: 1. El número de bits usados por cada muestra limitan la resolución de la variable dependiente 2. La frecuencia de muestreo limita la resolución de la variable independiente. O Esto implica que: O las frecuencias arriba de ½ F s se pierden. (c) P.Gómez Gil, INAOE

37 Mito sobre las señales analógicas O Es un mito que las señales analógicas tienen resolución infinita debido a que son continuas. O Las señales analógicas también tiene limitación en la resolución, debido al ancho de banda de la señal que representan y al ruido propio de la adquisición de la señal. (c) P.Gómez Gil, INAOE

38 Conversión correcta AD-DA Figura 3-7 de Smith, 1999) (c) P.Gómez Gil, INAOE

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