Determinación de las capacidades de fabricación y almacenaje óptimas en un sistema con logística inversa y demanda periódica

Transcripción

1 II Inernaional Conference on Indusrial Engineering and Indusrial Managemen XII Congreso de Ingeniería de Organización Sepember -5, 2008, Burgos, Spain Deerminación de las capacidades de fabricación y almacenaje ópimas en un sisema con logísica inversa y demanda periódica Ernes Benedio Bene,2, Alber Corominas Subias,2 Deparamen d Organizació d Empresas (OE). Universia Poliècnica de Caalunya (UPC). Avda. Diagonal, 647. Edifici A, plana Barcelona 2 Insiu d Organizació i Conrol de Sisemes Indusrials (IOC). Universia Poliècnica de Caalunya (UPC). Avda. Diagonal, 647. Edifici H, plana Barcelona Resumen La logísica inversa influye significaivamene en el sisema producivo de las compañías. Cuando hay remanufacura, uno de los facores a ener en cuena es la canidad de produco reornado para refabricar. En ese rabajo se muesra un méodo para calcular la capacidad de fabricación y almacenaje ópimos en un sisema con logísica inversa y se aplica para esudiar la dependencia de esos valores ópimos con los reornos. Palabras clave: Logísica inversa, refabricación. Inroducción La legislación española responsabiliza a las empresas fabricanes y disribuidoras de producos de los daños que ésos puedan causar en el medioambiene cuando finaliza su vida úil (Rubio 200). La correca gesión de los producos fuera de uso puede ser renable: por un lado, mejora la imagen de la empresa, ya que su gesión conribuye a la sosenibilidad medioambienal, y por oro lado, los producos pueden ser reuilizados con el consiguiene beneficio económico. En ese senido, la logísica inversa es un área de gesión cada vez más imporane ya que es necesaria para la correca gesión de los residuos y producos fuera de uso. hierry e al. (995) clasifica las areas para la recuperación de lo producos en caegorías, de las cuales, las más imporanes son: reuilización direca, reparación de producos defecuosos, refabricación y reciclaje. Cualquiera de las areas de recuperación de los producos conlleva cambios en la gesión de la producción y almacenaje de los producos. En los úlimos años exise un inerés creciene por la logísica inversa cómo área de invesigación (Rubio e al. 2008; Choi e al., 2007; Kiesmüller e al., 2004), sin embargo, no es frecuene enconrar rabajos que esudien el impaco de la recuperación de producos en la capacidad de fabricación. Es evidene que, al refabricar producos, las compañías deben modificar su sisema producivo, añadiendo cieras capacidades para las areas de recuperación y remanufacura, y que, dependiendo de las areas de reuilización y refabricación que se realicen, habrá una disminución de las necesidades de fabricación de produco nuevo. Con ese enfoque en Quaniaive Mehods 45

2 Benedio y Corominas (2007) se proporciona un méodo para calcular las capacidades de fabricación y refabricación en un sisema con logísica inversa. Uno de los facores que influyen en el cálculo de la capacidad de fabricación, refabricación y almacenaje cuando hay logisica inversa es el comporamieno de los reornos en cuano a la canidad y momeno en que se producen (Rubio y Corominas, 2008). En ese rabajo se describe un méodo para calcular la capacidad de fabricación y de almacenaje en un sisema con logísica inversa en el que la demanda es deerminisa y los reornos dependen de la demanda. Uilizando el méodo descrio, se muesra un ejemplo de la influencia que iene la función de los reornos en las capacidades de fabricación y almacenaje. El reso del rabajo se compone de cinco secciones más. En la segunda sección se describe el sisema que se va a esudiar. En la ercera, se proporciona un méodo para calcular la políica de fabricación ópima, considerando fijadas las capacidades de fabricación y almacenaje. En la cuara, se calculan las capacidades de fabricación y almacén ópimas uilizando el méodo descrio en la sección anerior. En la quina, se aplica el méodo explicado en las secciones aneriores para esudiar la influencia del desfase de los reornos en las capacidades ópimas de fabricación y almacenaje. Finalmene se exponen las principales conclusiones del rabajo. 2. Descripción del sisema Se raa de una compañía que produce y vende un ipo de produco, y que puede recuperar el produco una vez ha finalizado su vida úil y mediane un proceso de refabricación o reuilización, lo puede volver a vender en las mismas condiciones que un produco nuevo. La variable emporal del sisema es coninua. Se definen las siguienes funciones dependienes del iempo: d() Demanda del produco (unidades de produco por unidad de iempo) u r () Producos reornados para refabricar (unidades de produco por unidad de iempo) p() Fabricación de produco nuevo (unidades de produco por unidad de iempo) r() Refabricación de produco reornado (unidades de produco por unidad de iempo) I() Sock de produco acabado (unidades de produco) La compañía dispone de invenario de produco acabado I() que se alimena del sisema de producción a un rimo p() y del sisema de refabricación de producos reornados a un rimo r(); se supone que la compañía no admie rupuras de invenario. El sisema iene las siguienes caracerísicas: La demanda del produco es una función periódica de periodo, no negaiva con primera derivada coninua. La función de los reornos depende de la demanda, siendo u r ( ) = d ( ) dónde es la asa de reorno y es el desfase emporal enre la vena del produco y el reorno. La demanda es mayor que los reornos d ( ) d ( ). Quaniaive Mehods 452

3 La compañía refabrica odo el produco reornado en el momeno que lo recibe, es decir r ( ) = u r ( ) = d ( ). El sisema esá en esado esacionario, es decir, las funciones del sisema que dependen del iempo oman el mismo valor en y en. Función de cose Para la función de coses, se ienen los siguienes: c cose variable de fabricar una unidad de produco nuevo. h cose de invenario final: es el cose por unidad de iempo de ener una unidad de produco final en el invenario. C(P) cose fijo de fabricación de produco nuevo que depende de la capacidad de fabricación P, es decir de la asa máxima de fabricación que se puede alcanzar. H(S) cose fijo del almacén de produco final que depende de la capacidad del almacén de produco erminado S. Se supone que c y h son consanes y C(P) y H(S) son funciones coninuas con primera derivada no negaiva y coninua. Se define la función de demanda nea: d ˆ( ) = d ( ) d ( ) que es una función deerminisa, periódica de periodo, no negaiva, con primera derivada coninua. Los coses incurridos en el periodo son: c ) = C( P) H ( S) hi( d () 0 Deben cumplirse las siguienes resricciones: d I d = p ( ) d ˆ( ) (2) 0 p ( ) P () 0 I ( ) S (4) eniendo en cuena las condiciones expuesas, las capacidades de fabricación y almacén ópimas se obendrán de resolver el programa maemáico que maximiza () sujeo a las resricciones (2), () y (4). Inegrando (2) enre = 0 y = se obiene: 0 p( ) d dˆ( ) d (5) 0 Quaniaive Mehods 45

4 El programa se resolverá en 2 eapas: en primer lugar se deerminará la políica ópima de fabricación para unas capacidades P, S dadas y en segundo lugar se calcularán las capacidades ópimas de fabricación y almacenaje de produco final.. Políica de fabricación ópima Suponiendo que la capacidad de fabricación P y la capacidad del almacén S esán fijadas, en esa sección se deerminará la políica ópima de fabricación. En primer lugar se expone un caso sencillo a modo de ejemplo y a coninuación se generaliza para sisemas con funciones de demanda periódicas... Supueso simplificado Figura : Gráfico de la demanda en un inervalo de 52 semanas. Los punos marcados corresponden a = 7,9, 2 = 29,4 y = 48,6. La línea horizonal roja indica la capacidad de fabricación y la línea horizonal gris indica el valor medio de la demanda. Se empieza considerando el caso de una empresa con una demanda con comporamieno senoidal de periodo 52 semanas con valor medio de 00 uds/semana (figura ). Si se quiere suminisrar oda la demanda, la capacidad de producción será como mínimo de 00 uds/semana. Si ése es el caso, la empresa siempre fabricá al máximo de su capacidad y dispondrá de invenario suficiene para cubrir la demanda enre = 26 y = 52 ya que durane ese inervalo de iempo la demanda será mayor que la capacidad de producción. Figura 2: Gráfico del sock uilizando una políica de producción ópima con capacidad de producción 20 uds/semana. Los punos marcados corresponden a = 7,9, 2 = 29,4 y = 48,6. Quaniaive Mehods 454

5 Para calcular la capacidad del almacén basa darse cuena que el máximo sock se alcanzará en la semana = 26 (ya que a parir de ese momeno la producción no cubre la demanda) y el sock mínimo se alcanzará en = 52. La diferencia de sock enre esas dos semanas es el área delimiada por la curva de la demanda y la de capacidad de producción enre = 26 y = 52 y su valor es 827,6. Por ano, la capacidad de almacén será como mínimo S = 827,6 uds. Se supone ahora que la capacidad de producción es de 20 uds/semana. al como se muesra en la figura 2 el insane de máximo sock es 2 = 29,4 y el del mínimo es = 48,6. Realizando un cálculo análogo al del caso anerior se iene que la capacidad de almacén mínima debe ser de S = 74,7 uds. En algún momeno anes de 2 se empezará a producir al máximo de la capacidad para acumular exisencias y llegar a 2 con el invenario necesario. Sea ese insane que se calcula igualando S al excedene de producción enre y 2. al como muesra la figura, = 7,9. Por ano, la políica de fabricación ópima será producir el máximo posible enre y y fuera de ese inervalo de iempo la producción deberá ser igual a la demanda. Figura : Gráfico de la demanda nea (demanda - reornos) con desfase 0 ( = ). Los punos marcados corresponden a las semanas = 4,, 2 = 27,0 y = 47,7. S = 470,0. La linea horizonal roja indica la capacidad de fabricación y la línea horizonal gris indica el valor medio de la demanda nea. La curva gris es la demanda sin reornos. Supóngase ahora que hay un reorno de produco que se vuelve a vender como nuevo después de pasar por un proceso de refabricación y que son las semanas que ranscurren desde la vena inicial hasa que el produco vuelve a esar disponible para vender. Se supone que se reorna el 20% de las venas ( = 0,2) y se quiere saber la capacidad de almacén necesaria. Para ello se analiza la curva de demanda nea (demanda menos reornos), al como se hecho en los casos aneriores en que no había reornos para res valores de disinos (0, y 26 semanas). En la figura se ve que para cada el requerimieno de capacidad de almacén y el inervalo de iempo enre y en el cual se produce al máximo. En los res casos esudiados se ha fijado una capacidad de producción de 96 uds (es un 20% superior a la demanda nea media). En la abla se muesra el resumen de los resulados obenidos para diferenes valores del desfase de los reornos. abla : iempos y capacidades de almacén requeridas para un sisema con demanda senoidal y reornos del 20% con desfase. Quaniaive Mehods 455

6 Desfase ( ) 2 S 0 7,9 29,4 48,6 299,8 4, 27,0 47,7 470,0 26 4,4 28,2 49,8 62,6 Del esudio expueso se exraen las siguienes conclusiones para una función de demanda periódica con un pico y un valle: La capacidad de fabricación deermina los requerimienos mínimos de almacén. Cuando el sisema iene reornos, los requerimienos de almacén dependen de la capacidad de fabricación y del desfase enre la vena y el reorno del produco. Obsérvese que la capacidad de almacén cuando el desfase es de 26 semanas es el doble que con un desfase de 0 semanas. A coninuación se exienden las conclusiones aneriores al caso general de funciones de demanda periódicas..2. Caso general Dados P y S el programa se resuelve siguiendo a Sehi y hompson (200): Sean I max e I min los valores en los que el sock es máximo y mínimo respecivamene. La solución del programa () deberá cumplir que I min = 0 ya que en el caso que fuera I min > 0 se podría ener una solución del programa con I*() = I() - I min con cose inferior. Sea 2 0, ] un insane en que el sock es máximo, (I( 2 ) = I max ). Si I max = 0, la políica ópima es p ( ) = d ˆ( ). Si I max 0, considérese y los insanes anerior y poserior a 2 respecivamene, más próximos a 2 en que el sock es mínimo (I( ) = I( ) = 0). Se sabe que, 2 y exisen porque I() es coninua y periódica. Para deerminar sus valores se procede según el méodo expueso en Benedio y Corominas (2008). Se disinguen dos casos:. Si P d ˆ( ) 0 0, ], enonces I max = En caso conrario: (a) Deerminar los conjunos U y V definidos como: U = { x 0, ] d ˆ( x ) = P y d ˆ' ( x ) 0} V = { y 0,2 ] d ˆ( y ) = P y d ˆ' ( y ) 0} (b) Calcular I max uilizando la siguiene expresión: y (c) I = max{ ( dˆ( ) P) d x U, y V, x < y < x } (6) max x Quaniaive Mehods 456

7 (d) 2 y son los elemenos de U y V, respecivamene, que cumplen (6) (e) El insane es el más cercano a 2 que cumple 2 y ( P dˆ( )) d = 0 La políica ópima en el inervalo, ] es p() = P ya que cualquier ora políica iene un cose superior según se demuesra en Benedio y Corominas (2008). Debido a que el sisema es periódico, si se conoce la políica ópima en el inervalo, ] es inmediao calcularla en 0, ]. La venaja de uilizar el inervalo, ] es que sólo queda por calcular la políica ópima en el subinervalo, ] que cumple I ) = I ( ) = 0. ( Sea, ] el insanane más próximo a al que d ˆ( ) = P es decir: = max{ V, ]} La políica ópima en el inervalo, ] es p ( ) = d ˆ( ). (Benedio y Corominas, 2008). La políica ópima en el inervalo, ] : sea, ] el insane más próximo a al que ( P dˆ( )) d = 0 (7) Enonces la políica ópima en el inervalo, ] es p ( ) = P. La poliica ópima en el inervalo, ] se calcula de forma recursiva uilizando el razonamieno expueso en esa sección susiuyendo por. 4. Capacidades de fabricación y almacén ópimas Dada una capacidad de fabricación S, la capacidad ópima del almacén S es igual a I max ya que si fuera superior se endría una capacidad de almacén que nunca se iba a uilizar y si fuera inferior se producirían rupuras de invenario. Obsérvese que I max, S, 2 y dependen de P ya que odos ellos dependen del valor de los elemenos de U y V, y esos dependen de P. Se definen Pmin = dˆ( ) d y Pmax = max d ˆ( ). 0 0, ] Para valores de P inferiores a P min no exise ninguna políica de fabricación que cumpla (5) y por ano el el programa maemáico definido por (), (2), () y (4) no iene solución facible. Para P P, I max = 0. Debido a que C(P) es una función creciene, los coses minimos para max P se alcanzan en P = P max. P max Quaniaive Mehods 457

8 Por ano la capacidad ópima de fabricación se encuenra en el inervalo P, P ]. Dado un min max valor de P P min, P max ], el cose c incurrido en un periodo 0, ] se calcula siguiendo los siguienes pasos: *. Se deermina la políica ópima de fabricación p ( P, ) según el procedimeino decrio en la sección * 2. Se calcula I() inegrando (2): I ( ) ( p ( P, ) d ˆ( )) d. Se calcula el cose incurrido en el perido 0, ]: c ) 0 = C( P) H ( S( P)) h I( d (9) La expresión S(P) represena la dependencia enre S y P descria en esa sección y p*(p,) es la políica ópima cuando la capacidad de producción es P descria en la sección. El valor ópimo de la capacidad se calcula numéricamene uilizando los pasos aneriores para valores de P P min, P ]. max 5. Dependencia de las capacidades ópimas respeco del desfase En la sección se mosró que si se maniene fija la capacidad de fabricación y se consideran diferenes valores del desfase, enonces se obienen diferenes valores de la capacidad de almacén, es decir, que hay una dependencia enre la capacidad de almacén y el desfase. En esa sección se muesran los resulados del esudio de la dependencia de las capacidades de fabricación y almacén ópimas respeco del desfase de los reornos en un sisema como el del ejemplo de la sección 4. En primer lugar se han calculado las capacidades de fabricación y almacén ópimas cuando el sisema no iene reornos, obeniendo los valores siguienes: P* = 9,2, S(P*) = 8,6 y c (P*) = A coninuación se han calculado las capacidades ópimas y los coses asociados a las mismas cuando el desfase de los reornos se hace variar enre 0 y 52 semanas. Los resulados obenidos se muesran en las figuras 4, 5 y 6. Figura 4: Dependencia de la capacidad de almacén ópima S respeco del desfase. Los punos corresponden al sisema con reornos y la línea conínua al sisema sin reornos. Quaniaive Mehods 458

9 En la figura 4 se muesra que la capacidad de almacén ópima iene flucuaciones muy imporanes. ambién se observa que la capacidad de almacén ópima cuando el sisema iene reornos puede ser superior a la del sisema sin reornos. Figura 5: Dependencia de la capacidad de fabricación ópima respeco del desfase En cuano a la capacidad de fabricación, las variaciones calculadas son apenas del 0%, al como se puede ver en la figura 5. Se puede observar en la figura 6 que el cose ópimo varía de forma significaiva al variar el desfase. eniendo en cuena el cose calculado para el sisema sin reornos (2595), se podría dar el caso que fuera inferior al del sisema con reornos ya que en el cálculo de esos úlimos falaría añadir los coses de capacidad de refabricación. 6. Conclusiones Figura 6: Dependencia del cose ópimo respeco del desfase En ese rabajo se presena un méodo para deerminar las capacidades de fabricación y almacenaje ópimas en un sisema con logísica inversa en el que se refabrica odo el produco reornado y con demanda periódica. Los aspecos más relevanes del méodo son: Fijando las capacidades de fabricación y almacenaje, el méodo permie calcular la políica de fabricación ópima del sisema. Permie calcular la capacidad de fabricación y almacenaje ópimas. Se raa de un méodo de fácil implemenación y que se uiliza en la sección cinco para esudiar las capaciadades ópimas en función del desfase de los reornos. Quaniaive Mehods 459

10 Oras conclusiones imporanes del rabajo son las que se exraen del esudio realizado en la sección 5, de las cuales la más relevane es que la función de los reornos influye de forma muy significaiva en las necesidades de almacén y en la renabilidad oal del sisema. El méodo descrio se puede uilizar ambién como base para diferenes ipos de análisis como por ejemplo: Esudio de renabilidad de implemenación de un sisema con logísica inversa. Viabilidad de inversiones en políicas que modifiquen el valor del desfase de los reornos. Influencia de la asa de reorno en las capacidades de fabricación y almacenaje. El sisema esudiado es una aproximación de un sisema real y por ano, algunas de las conclusiones pueden exenderse a sisemas más generales. En ese senido el presene rabajo puede ampliarse en el fuuro, analizando sisemas más generales como por ejemplo los que disponen de socks de produco reornado y de capacidad de refabricación limiada. Referencias Benedio, E.; Corominas, A. (2007). Opimal Manufacuring and remanufacuring capaciies of sysems wih reverse logisics and deerminisic demand. Working Paper. Benedio, E.; Corominas, A. (2008). Deerminación de las capacidades de fabricación y almacenaje en un sisema con logísica inversa y demanda periódica. Working Paper. IOC- D-P Choi, D.-W.; Hwan, H.; Koh, S.-G. (2007). A generalized ordering and recovery policy for reusable iems. European Journal of Operaional Research, Vol 82, pp Kiesmüller, G. P.; Minner, S.; Kleber, R. (2004). Managing Dynamic Produc Recovery: An Opimal Conrol Perspecive. In R. Dekker and M. Fleischmann and K. Inderfurh and L. N. Van Wassenhove, ediors, Reverse Logisics. Quaniaive Models for Closed-Loop Supply Chais, pp Springer-Verlag, Germany, Rubio, S. (200). El sisema de logísica inversa en la empresa: análisis y aplicaciones. PhD hesis, Universidad de Exremadura. Rubio, S.; Chamorro, A.; Miranda, F. J. (2008). Characerisics of research on reverse logisics ( ). Inernaional Journal of Producion Research, Vol 4, Num 5, pp Rubio, S.; Corominas, A. (2008). Opimal manufacuring-remanufacuring policies in a lean producion environmen. Compuers & Indusrial Engineering, doi 0.06/j.cie Sehi, P; hompson, G. L. (200). Opimal Conrol heory: Applicaions o Managemen Science and Economics. Kluwer Academic Publishers, Second ediion, 200. hierry, M. C.; Salomon, M.; van Nunen, J.; Van Wassenhove, L. N. (995). Sraegic issues in produc recovery managemen. California Managemen Review, Vol 7, pp Quaniaive Mehods 460