Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica

Transcripción

1 Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica Ondas en una cuerda Felipe Valencia Hernandez fvalenciah@unal.edu.co Departamento de física, Universidad Nacional de Colombia Septiembre de 2014 F. Valencia 1/39 1 / 39

2 Introducción El acople entre diferentes osciladores lleva a la noción de modos normales de oscilación. Este acople permite la transmisión de energía de una parte del sistema a las demás. Qué pasa cuándo la cantidad de osciladores se hace muy grande, y pasamos de un conjunto discreto a un medio continuo? cómo se transmite la energía? cuál es la generalización de un modo de oscilación? F. Valencia 2/39 2 / 39

3 Ejemplos de fenómenos ondulatorios Consideremos Las vibraciones de una cuerda de guitarra. Las ondas de presión en un gas (sonido, por ejemplo). Las ondas de radio. Qué tienen en común? Por qué las agrupamos todas como fenómenos ondulatorios? F. Valencia 3/39 3 / 39

4 Oscilaciones acopladas En la clase anterior vimos que las ecuaciones de movimiento de un sistema de osciladores acoplados (o, los movimientos cerca al punto de equilibrio estable de un sistema de partículas), forman un sistema lineal: ( s1... s n ) + M ( s1... s n ) = ( donde s i = mi M T q i,los q i son los desplazamientos desde el equilibrio,m ij = kij mim j,y las constantes de fuerza k ij = ) 2 U x iox jo F. Valencia 4/39 4 / 39

5 Modos normales El sistema tiene soluciones especiales, en las que todas las partes del sistema se mueven armónicamente y con la misma frecuencia: s iλ = a iλ cos(ω λ t) que son los modos normales de oscilación.para encontrar los modos debemos diagonalizar la matríz M.Las frecuencias de los modos están dadas por los eigenvalores: det((m ω 2 λ I)) = 0 y los eigenvectores dan las relaciones entre las amplitudes de los diferentes desplazamientos en cada modo: M a = ω 2 λ a λ Los vectores se escogen siempre normalizados a iλ a iν = δ λν i F. Valencia 5/39 5 / 39

6 Ejemplo Añadamos un tercer bloque a nuestro ejemplo anterior: m m k k k La matriz de acoples ahora seriá: M = k m m x Que podemos resolver fácilmente a mano, pero también usando cualquier programa de cálculo, como el Scilab F. Valencia 6/39 6 / 39

7 Ejemplo Graficando las amplitudes de las vibraciones para cada partícula en los distintos modos, y tomando los extremos como partículas 0 y 4, tenemos algo como: y para cadenas mas largas F. Valencia 7/39 7 / 39

8 Superposición de modos normales Cualquier movimiento del sistema se puede escribir como combinacion de diferentes modos normales: n MT q i (t) = C ν a iν cos(ω ν t + φ ν ) i = 1,.., n m i q i (t) = ν=1 n ν=1 MT m i ω ν C ν a iν sin(ω ν t + φ ν ) U(t) = 1 2 m T E K (t) = 1 2 m T E = n ωνc 2 ν 2 cos 2 (ω ν t + φ ν ) ν=1 n Cνω 2 ν 2 sin 2 (ω ν t + φ ν ) ν=1 n ν=1 1 2 m T C 2 νω 2 ν i = 1,.., n F. Valencia 8/39 8 / 39

9 Cadena lineal de osciladores Considere ahora una cadena larga de osciladores identicos, separados entre sí por la longitud de equilibrio:... y i 1 y i y i+1 m m m k k k k... a o mÿ i = k(y i y i 1 ) + k(y i+1 y i ) ÿ i = 2 k m y i + k m y i 1 + k m y i+1 Recuerde que según vimos la clase anterior, para estas oscilaciones transversales k = kr(ao L) a o = T a o F. Valencia 9/39 9 / 39

10 Modos normales Si tenemos N osciladores, y suponemos que en los extremos hay soportes fijos, podemos introducir y 0 (t) 0 y y N+1 (t) 0, de forma que las ecuaciones anteriores se cumplen para todos los osciladores i = 1,..., N.Podemos comprobar rápidamente que las amplitudes para cada modo normal son: νπ A jν = C sin(j N + 1 ) ν = 1, 2,...N F. Valencia 10/39 10 / 39

11 Modos normales y frecuencias En efecto, usando: νπ y j (t) = C sin(j N + 1 ) cos(ω νt) en las ecuaciones de movimiento, nos queda: osea: m k ( ω2 ν + 2k m ) sin jνπ (j + 1)νπ (j 1)νπ = sin + sin N + 1 N + 1 N + 1 (2 m k ω2 ν) sin( jνπ jνπ ) = 2 sin( N + 1 N + 1 ) cos( νπ N + 1 ) F. Valencia 11/39 11 / 39

12 Modos normales y frecuencias.. Así que tenemos que las soluciones y νπ A jν = C sin(j N + 1 ) ν = 1, 2,...N ων 2 = 2k νπ (1 cos( m N + 1 )) = 4k νπ m sin2 ( 2(N + 1) ) nos dan los modos normales. Problemita: use estos resultados para nuestro caso anterior de 2 osciladores. Concuerdan las repuestas? F. Valencia 12/39 12 / 39

13 Normalización de los modos Haciendo el ejercicio sencillo pero tedioso de trigonometria, podemos comprobar que los modos definidos son normales N νπ sin(j N + 1 ) sin(j λπ N + 1 ) = N j=1 δ ν,λ así que podemos poner, para dejar bien normalizada nuestra respuesta: 2 a iν = N + 1 sin(j νπ N + 1 ) F. Valencia 13/39 13 / 39

14 Descomposición en modos normales En general, entonces, el movimiento estará dado por y i (t) = ν 2 N + 1 C νπ ν sin(i N + 1 ) cos(ω νt + φ ν ) con velocidad: ẏ i (t) = ν 2 N + 1 ω νπ νc ν sin(i N + 1 ) sin(ω νt + φ ν ) y energías E k = ν 1 2 m T ω 2 νc 2 ν sin 2 (ω ν t + φ ν ) U = ν 1 2 m T ω 2 νc 2 ν cos 2 (ω ν t + φ ν ) E = ν 1 2 m T ω 2 νc 2 ν F. Valencia 14/39 14 / 39

15 Condiciones iniciales Obviamente, los valores de las amplitudes y fases de cada modo están dados por las condiciones iniciales: y i (0) = ν ẏ i (0) = ν 2 N + 1 C νπ ν sin(i N + 1 ) cos(φ ν) 2 N + 1 ω νπ νc ν sin(i N + 1 ) sin(φ ν) Que se pueden resolver fácilmente haciendo uso de las relaciones de ortogonalidad. F. Valencia 15/39 15 / 39

16 Condiciones iniciales... En efecto, si en cada una de las ecuaciones anteriores multiplicamos 2 µπ por los a iµ = N+1 sin(i N+1 ) y sumamos sobre todas las partículas i, tenemos: a iµ y i (0) = ν i C ν cos(φ ν ) i a iµ a iν = ν C ν cos(φ ν )δ νµ = C µ cos(φ µ ) y, análogamente a iµ ẏ i (0) = ω µ C µ sin(φ µ ) i Los términos al lado izquierdo de cada ecuación, corresponden simplemente a las proyecciones de los vectores posición y velocidad (en n dimensiones) sobre los vectores que representan los modos normales y(0) a µ y y(0) a µ F. Valencia 16/39 16 / 39

17 Condiciones iniciales... Como ejemplo consideremos un caso en el que todas las velocidades iniciales son nulas: a iµ ẏ i (0) = 0 = ω µ C µ sin(φ µ ) φ µ = 0 µ i y las amplitudes de cada modo estarían dadas directamente por: C µ = i a iµ y i (0) Ok, veamos entonces cómo sería el movimiento de nuestra cadena para unas condiciones iniciales en las que el primer oscilador tiene una amplitud no nula y los demás están en el punto de equilibrio. scilab F. Valencia 17/39 17 / 39

18 Límite continuo Ahora veamos qué pasa con las ecuaciones y las soluciones si consideramos muchísimos osciladores, todos muy cerca, con una longitud finita, formando un sistema continuo (como una cuerda)... y i 1 y i y i+1 m m m k k k k... y a o x F. Valencia 18/39 18 / 39

19 Variables continuas Tenemos, entonces: a o dx (N + 1)a o L y i (t) y(x, t) ÿ i (t) 2 y(x, t) t2 m dm = λdx ka o kdx = T Recordemos que para la cadena las ecuaciones tienen la forma: ÿ i = k m (y i+1 y i ) k m (y i y i 1 ) Cómo quedan en el continuo? F. Valencia 19/39 19 / 39

20 Ecuación en el continuo y i+1 y i y(x + dx, t) y(x, t) = dx y i y i 1 y(x, t) y(x dx, t) = dx Entonces, podemos escribir: 2 y(x, t) = T t2 ( y(x, t) x λdx x 2 t 2 y(x, t) = T 2 y(x, t) λ x2 y(x, t) x x y(x, t) x dx x ) y(x, t) x dx x F. Valencia 20/39 20 / 39

21 Ecuación de D Alambert La ecuación: 2 t 2 y(x, t) = T 2 y(x, t) λ x2 Se conoce como ecuación de D Alambert. Cómo son sus soluciones?en realidad ya las conocemos, simplemente tenemos que pasar los resultados de la cadena finita a este límite continuo! F. Valencia 21/39 21 / 39

22 Modos normales En el límite que estamos considerando tenemos: j N + 1 x L A jν = C sin( jνπ N + 1 ) C sin(νπ L x) Es decir que para los modos normales, las amplitudes en cada punto varían armónicamente en el espacio. F. Valencia 22/39 22 / 39

23 Frecuencias de los modos Y para las frecuencias: pues ωn 2 = 4 k nπ dm sin2 ( 2(N + 1) ) 4 k dm (dlnπ 2L )2 (N + 1)a o (N + 1)dl = L N + 1 L dl ω n kdl dm/dl nπ T L = nπ λ L F. Valencia 23/39 23 / 39

24 Solución general Para una cadena continua (una cuerda!) con extremos fijos, las desviación vertical en cada punto, para oscilaciones pequeñas, debe poderse escribir como superposición de modos normales: y(x, t) = n C n sin( nπ L x) cos( T λ nπ L t) Cómo se comportan estos paquetes? F. Valencia 24/39 24 / 39

25 Ejemplo y(x, t) = 10 n=0 sin( nπ L x) cos( T λ nπ L t) play gnuplot F. Valencia 25/39 25 / 39

26 Ondas en una cuerda tensa Veremos a continuación que si derivamos directamente la ecuación de movimiento para la cuerda, tenemos los mismos resultados.considere los desplazamientos verticales de una cuerda con densidad de masa λ y tensión T uniformes, como se ilustra en la figura: y y(x,t) x x T x dx dm= λdx x x+dx T y(x dx,t) y(x) y(x+dx,t) F. Valencia 26/39 26 / 39

27 Ecuación de movimiento α 1 T dm= λdx y(x dx) y(x) y(x+dx) x dx x α 2 x+dx T dmÿ(x) = T sin(α 1 ) T sin(α 2 ) F. Valencia 27/39 27 / 39

28 Pequeños desplazamientos tenemos, entonces sin(α 1 ) sin(α 1) cos(α 1 ) = tan(α 1) = dy(x) dx sin(α 2 ) sin(α 2) cos(α 2 ) = tan(α 2) = dy(x) dx x dx/2 x+dx/2 entonces: ( dy(x) λdxÿ(x) = T dx x+dx/2 dy(x) ) dx x dx/2 F. Valencia 28/39 28 / 39

29 Nuevamente D Alambert! dividiendo por dx y llevando al límite dx 0 tenemos: que podemos escribir como 2 t 2 y(x, t) = T 2 y(x, t) λ x2 definiendo 2 2 y(x, t) = v2 y(x, t) t2 x2 v = T λ F. Valencia 29/39 29 / 39

30 Soluciones Entonces ya sabemos que la forma general de la solución, cuando los extremos de la cuerda están fijos es: y(x, t) = n C n sin( nπ L x) cos(v nπ L t) Además, vamos a mostrar que cualquier solución puede escribirse como suma de perturbaciones que viajan hacia la derecha y hacia la izquierda: y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt) F. Valencia 30/39 30 / 39

31 Ondas viajeras En efecto, definamos una variable u = x ± vt entonces: De la misma forma: x f(u) = u f(u) x u = u f(u) 2 2 f(u) = x2 u 2 f(u) t f(u) = u f(u) t u = ±v u f(u) F. Valencia 31/39 31 / 39

32 Ondas viajeras... y entonces, 2 f(u) = v2 f(u) = v2 t2 u2 x 2 f(u) Tal como queríamos. Es decir, que la solución de la ecuación de onda de D Alambert es una suma de ondas viajeras que se propagan hacia la derecha o a la izquierda. Problemita, dibuje en su cuaderno el comportamiento de una función cualquiera f(x-vt) en distintos instantes del tiempo F. Valencia 32/39 32 / 39

33 Modos normales, de nuevo Consideremos, nuevamente una solución que consistiera en un sólo modo normal: y n (x, t) = C sin(k n x) cos(ω n t) k n = nπ L ω n = k n v También debe poderse escribir como suma de ondas viajeras. En efecto: y n (x, t) = C 2 (sin(k nx ω n t) + sin(k n x + ω n t)) y n (x, t) = C 2 (sin(k n(x vt)) + sin(k n (x + vt))) F. Valencia 33/39 33 / 39

34 Nodos Los modos normales, entonces, son superposiciones especiales de ondas viajeras. Para este caso, tenemos que en cada punto del espacio donde k n x = lπ la amplitud vale 0 en todos los tiempos.estos puntos se llaman nodos. Problemita: cuántos nodos, diferentes a los extremos, tiene cada modo normal? F. Valencia 34/39 34 / 39

35 Nodos... Muy bien! Cada modo normal, n, tiene n 1 nodos diferentes a los extremos. F. Valencia 35/39 35 / 39

36 Número y longitud de onda Para un modo normal, podemos definir, entonces k n = nπ L λ n = 2π k n = 2L n k n se llama número de onda, y λ n longitud de onda.en efecto, λ n es el periodo espacial de la función, si dejamos el tiempo fijo.es decir, y n (x + λ, t) = y n (x, t) F. Valencia 36/39 36 / 39

37 Frecuencia y periodo También tenemos, ω n = vk n T n = 2π = 2L ω n nv = λ n v T es el período temporal: y n (x, t + T ) = y n (x, t) F. Valencia 37/39 37 / 39

38 Problemita Escriba las energías cinéticas, potencial y total de la onda descompuestas en sus modos normales, tal como hicimos en el caso discreto. F. Valencia 38/39 38 / 39

39 Final, final, final! Es todo por hoy. Gracias por su atención! F. Valencia 39/39 39 / 39