Cinemática de las ondas electromagnéticas

Transcripción

1 Cinemática de las ondas electromagnéticas Ondas planas, etc Felipe Valencia Hernandez Departamento de física, Universidad Nacional de Colombia Octubre 2014 F. Valencia 1/30 1 / 30

2 Definición de los campos(otra vez) Cualquier partícula cargada que se mueve en el espacio siente una fuerza electromagnética dada por la ley de Lorentz: F = q E + q v B E es el campo eléctrico y B es el campo magnético. q E q E B q v x B v F = q E + q v x B F. Valencia 2/30 2 / 30

3 Leyes de Maxwell Gauss: E = ρ ɛ o Ausencia de monopolos magnéticos: Ley de Ampere-Maxwell: B = 0 B = µ o J + µo ɛ o E t Ley de Faraday: E = B t F. Valencia 3/30 3 / 30

4 Ecuación de ondas en el vacío En el vacio, ρ y J son nulos y tenemos: E = 0 B = 0 E = B t B = µ o ɛ o E t Tomando cualquiera de las ecuaciones para los rotacionales, aplicando nuevamente el rotacional y usando que ( F ) = 2 F + ( F ), obtenemos las ecuaciones de onda: 2 B = µo ɛ o 2 B t 2 2 E = µo ɛ o 2 E t 2 F. Valencia 4/30 4 / 30

5 Ecuación de onda en el vacío Las ecuaciones anteriores tienen caracter vectorial, es decir, cada componente obedece una ecuación análoga. Vamos a escribirlas todas una sola vez para que no se nos olvide: 2 B x x B x y B x z 2 = µ oɛ o 2 B x t 2 2 B y x 2 2 B z x 2 2 E x x 2 2 E y x 2 2 E z x B y y B z y E x y E y y E z y B y z B z z E x z E y z E z z 2 = µ oɛ o 2 B y t 2 = µoɛo 2 B z t 2 = µ oɛ o 2 E x t 2 = µoɛo 2 E y t 2 = µoɛo 2 E z t 2 F. Valencia 5/30 5 / 30

6 Ecuación de ondas en el vacío... Para no tener que escribir tanto, escribiremos, cuando haga falta, simplemente 2 Ψ = 1 c 2 2 Ψ t 2 donde Ψ es cualquiera de las componentes de los campos. Ojo: aunque cada componente tiene una ecuación separada de las demás, las distintas componentes deben estar relacionadas por las condiciones dadas en las ecuaciones de Maxwell. B = E = 0 B = 1 c 2 E t E = B t F. Valencia 6/30 6 / 30

7 Ondas viajeras Para la ecuación unidimensional 2 y(x, t) x 2 = 1 2 y(x, t) v 2 t 2 las soluciones se podían escribir como superposiciones de ondas viajeras: y(x, t) = y 1 (x + vt) + y 2 (x vt) Esto también es cierto para la ecuación en tres dimensiones. Uno estaría tentado a escribir una onda viajera en dirección arbitraria como: Ψ( r, t) = Ψ( r ct) Esta forma, sin embargo, no resulta adecuada, por qué? F. Valencia 7/30 7 / 30

8 Ondas viajeras... Ok: nuestra demostración de que las ondas viajeras son soluciones de la ecuación en 3D se basa en el uso de un único argumento escalar (no vectorial) u = n r ct que podamos factorizar en todas las derivadas que aparecen. Las soluciones del tipo: Ψ( r, t) = Ψ(ˆn r ct) = Ψ(ˆn ( r ct)) si tienen la forma adecuada, y representan ondas que viajan en la dirección ˆn.Simplemente recuerde que el producto ˆn r es la componente del vector r en la dirección ˆn.Así que en el caso unidimensional de hecho ya teníamos: Ψ(x, t) = Ψ(x ± vt) = Ψ(ˆx r ± vt) F. Valencia 8/30 8 / 30

9 Ondas viajeras... Las leyes de Maxwell implican, como vimos la clase anterior, que para cualquier onda viajera los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propagación, así que las ondas electromagnéticas son ondas transversales y, además, si: E = E( n r ct) B = 1 c n E Los campos son, entonces, perpendiculares entre sí. F. Valencia 9/30 9 / 30

10 Ondas esféricas Podemos mostrar que la ecuación también admite soluciones que sólo dependen de la distancia al origen de coordenadas, de la forma: Ψ( r, t) = 1 r F (r ct) + 1 G(r + ct) r En efecto, en coordenadas esféricas, y para una función que no depende de las coordenadas angulares, tenemos 2 = 1 r f(r) (r2 r r ) 2 ( 1 r F (r ct)) = 1 2 F (u) r u 2 (con u = r ct, como siempre) y 2 t 2 (1 c2 2 F (u) F (u)) = r r u 2 Problemita: comprobar en el cuaderno cómo se propagan estas ondas? pulso tren cómo deben ser las direcciones de B y E? F. Valencia 10/30 10 / 30

11 Ondas monocromáticas Ahora, busquemos los modos normales, es decir soluciones en que los campos varíen de forma armónica y en fase: Ψ( r, t) = F ( r)e iωt hemos usado la forma exponencial compleja sólo para simplificar el álgebra, pero recuerde que los campos físicos son números reales, así que debemos sumar siempre los complejos conjugados. En la ecuación de onda, tenemos entonces: 2 F ( r)e iωt = 1 c 2 2 t 2 F ( r)e iωt = ω2 c 2 F ( r)e iωt 2 F ( r) = ω2 c 2 F ( r) F. Valencia 11/30 11 / 30

12 Modos normales La forma de los modos normales dependerá, como en todos nuestros casos anteriores, de las condiciones de frontera. Se trata de resolver la ecuación diferencial parcial F ( r) + F ( r) + F ( r) = ω2 x2 y2 z2 c 2 F ( r) con ciertas condiciones de frontera.el método estandar es hacer una separación de las variables, es decir, asumir que: y se tendría: F ( r) = X(x)Y (y)z(z) X (x)y (y)z(z)+x(x)y (y)z(z)+x(x)y (y)z (z) = ω2 X(x)Y (y)z(z) c2 F. Valencia 12/30 12 / 30

13 Modos normales Como la función no es nula por suposicion, podemos dividir por F y nos queda: X (x) X(x) + Y (y) Y (y) + Z (z) Z(z) = ω2 c 2 pero cada parte del lado izquierdo depende de una variable distinta, así que debemos tener: X (x) X(x) = c x Y (y) Y (y) = c y Z (z) Z(z) = c z con c x + c y + c z = ω2 c 2 F. Valencia 13/30 13 / 30

14 Ondas en una caja Por ejemplo, si tuvieramos una caja cúbica metálica ideal, de lado L, los campos en el exterior se anulan y las condiciones de frontera serían que los campos se hagan cero en las paredes.en ese caso los modos normales tendrían la forma: con F lmn ( r) = sin( lπx L ) sin(mπy L ) sin(nπz L ) ω 2 c 2 = (lπ L )2 + ( mπ L )2 + ( nπ L )2 Por favor compruebe en su cuaderno que esas soluciones son correctas. Estas serían ondas estacionarias, como en el caso de la cuerda con extremos fijos, modos F. Valencia 14/30 14 / 30

15 Ondas planas monocromáticas Ok, no nos interesa resolver otros problemas con condiciones de frontera por ahora!pensemos, en cambio, en cómo debe verse una onda en el espacio libre que es al mismo tiempo una onda viajera en dirección ˆn y monocromática: Ψ( r, t) = Ψ(ˆn r ct) = F ( r)e iωt Ojo: la condición de onda viajera nos dice que en la dependencia de la función con r y t, el primero sólo puede aparecer en la forma de r n = ˆn r, y que r n y t deben aparecer juntos como argumentos de una misma función. F. Valencia 15/30 15 / 30

16 Ondas planas monocromáticas... Entonces, para que los dos argumentos tengan la misma forma, debemos tener: es decir: F ( r) = e iω c ˆn r F ( r)e iωt = e iω c ˆn r e iωt = e i ω c (ˆn r ct) Ψ( r, t) = e i ω c (ˆn r ct) = e i( ω c ˆn r ωt) = e i( k r ωt) donde hemos definido el vector de onda k como un vector en la dirección de propagación y con magnitud k = ω c k = ω c ˆn Preguntica Qué relación tiene este vector de onda con el número de onda que habíamos definido para las ondas en 1d? ondaplana F. Valencia 16/30 16 / 30

17 Ondas planas monocromáticas... Por supuesto, este tipo de onda corresponde a las ondas armónicas que habíamos ya introducido en el caso unidimensional,y que describimos con funciones del estilo y(x, t) = sin(kx ωt), y y(x, t) = cos(kx ωt), con k = ω/v.llamamos fase de la onda al argumento las funciones armónicas que aparecen, es decir a: k r ωt es claro que para este tipo de ondas, cuando tomamos un tiempo fijo t, todos los puntos que tienen el mismo producto k r = cte, tienen la misma fase. Cuales son los puntos en el espacio que cumplen la ecuación k r = cte? F. Valencia 17/30 17 / 30

18 Ondas planas monocromáticas... k k r = cte r Por eso estas ondas se llaman planas F. Valencia 18/30 18 / 30

19 Ondas planas... Recordemos que las ondas planas son un tipo particular de ondas viajeras, que se mueven en la dirección del vector de onda k, entonces, para satisfacer las ecuaciones de Maxwell se necesita también que: E k y B = 1 c ˆk E = 1 ck k E = k ω E Problemita: verifique que las ondas estacionarias que escribimos para la caja metálica se pueden escribir como superposición de ondas planas que viajan en direcciones opuestas. Sugerencia: simplemente recuerde lo que hicimos para las ondas unidimensionales. F. Valencia 19/30 19 / 30

20 Ondas esféricas monocromáticas Y si hacemos lo mismo con las ondas esféricas? Ψ( r, t) = 1 r F (r ct) = 1 r G(r)e iωt usando la misma táctica, tendríamos simplemente: G(r) = e i ω c r Ψ( r, t) = 1 r ei(kr ωt) Nuevamente llamaríamos fase al argumento de las funciones armónicas, que sería kr ωt Cuáles son los puntos en el espacio que tienen la misma fase en un tiempo fijo? F. Valencia 20/30 20 / 30

21 Frentes de onda Para las ondas monocromáticas, llamamos frentes de onda a las superficies formadas por puntos de fase constante. Por supuesto, para las ondas planas estos frentes son planos perpendiculares a la propagación, y para las ondas esféricas serán esferas concéntricas. Si en un tiempo t o consideramos un frente de onda con una fase φ o k r ωto = φ o dónde estará ese frente en un tiempo posterior t? Necesitamos encontrar los puntos que cumplen: k r ωt o ω t = φ o = k r ωt o F. Valencia 21/30 21 / 30

22 Velocidad de fase Tenemos entonces: k ( r r) = ω t Pero, la distancia entre los dos planos paralelos es, justamente: d = ˆk ( r r) = 1 k k ( r r) la velocidad con la que se desplazan los frentes de onda es: v ph = d t = ω k Para la propagación en el vacío, esta velocidad de fase es siempre igual a c, pero en un medio material la velocidad puede ser distinta para cada frecuencia. F. Valencia 22/30 22 / 30

23 Longitud de onda Entonces, la fase de una onda monocromática es el argumento de las funciones armónicas que aparecen en la función que la describe.la forma de los frentes de onda (superficies de fase constante) le da el nombre al tipo de onda (plana, esférica, etc). Para una onda plana la fase esta dada por la frecuencia y el vector de onda: Ψ = A sin( k r ωt + φ) ω k = c Fijando el tiempo, la dependencia con la coordenada espacial r n = ˆk r es armónica y tiene una periodicidad: λ = 2Π k = 2Πc ω = ct donde T = 2Π/ω es el período en el tiempo. Esta cantidad se llama longitud de onda y para la onda plana es también igual a la distancia que recorre un frente de onda en un período temporal. F. Valencia 23/30 23 / 30

24 Superposición de ondas planas Tal como en el caso unidimensional, cualquier onda debe poder escribirse como una superposición de ondas viajeras monocromáticas (ondas planas): E( r, t) = k E k e i( k r ωt) donde, para satisfacer las ecuaciones de Maxwell, E k k y B = k B k e i( k r ωt) con B k = k ω E k F. Valencia 24/30 24 / 30

25 Superposiciones de ondas planas... Las únicas diferencias importantes entre este caso y nuestra discusión para ondas en una dimensión, son: Que las componentes de los campos deben estar relacionadas entre sí por las ecuaciones de Maxwell. Que las superposiciones pueden incluir ondas que viajan en diferentes direcciones en el espacio. F. Valencia 25/30 25 / 30

26 Interferencia Tal como en el caso unidimensional, la superposición de ondas da origen a fenómenos de interferencia. Consideremos el caso en que superponemos dos ondas que se propagan en la misma dirección, con la misma frecuencia, pero con una diferencia de fase (proveniente, por ejemplo de una diferencia de caminos recorridos). Para concretar un poco, consideremos una configuración similar a la del experimento de Michelson y Morley: Espejo L1 Espejo semi transparente Fuente L2 Espejo Detector F. Valencia 26/30 26 / 30

27 Interferencia... Los haces de luz viajan por caminos diferentes, y luego se superponen y se detectan. La diferencia entre las distancias recorridas en este esquema sencillo es simplemente: l = 2 (L 1 L 2 ) Que, suponiendo ondas planas, debe corresponder a una diferencia de fases: ɛ = k( l) = 2Π l λ Las componentes de los campos resultantes que se miden en el detector, serán entonces, de la forma Ψ = A(sin( k r ωt) + sin( k r ωt + ɛ)) F. Valencia 27/30 27 / 30

28 Interferencia... Pero ya mostramos (hace varias semanas) que: y(x, t) = A(sin(k n x ω n t)+sin(k n x ω n t+ɛ)) = 2A cos( ɛ 2 ) sin(k nx ω n t+ ɛ 2 ) Pregunta: cómo será la onda resultante en nuestro ejemplo en función de la relación entre la diferencia de caminos y la longitud de onda? Haga un diagrama en su cuaderno F. Valencia 28/30 28 / 30

29 Interferencia, dos rendijas Problema para resolver/consultar en casa: consideremos dos rendijas por las que pasa luz, que podemos considerar como fuentes puntuales de ondas esféricas. Cómo son las intensidades de los campos medidas en una pantalla muy lejos de las fuentes? s D>>s cubeta F. Valencia 29/30 29 / 30

30 Final, final, final Es todo por hoy, gracias por su atención. F. Valencia 30/30 30 / 30