Interferencia y Difracción

Transcripción

1 Interferencia y Difracción Difracción de Franhofer en rendijas y redes Felipe Valencia Hernandez fvalenciah@unal.edu.co Departamento de física, Universidad Nacional de Colombia Noviembre 2014 F. Valencia 1/30 1 / 30

2 Interferencia y difracción no-one has ever been able to define the difference between interference and diffraction satisfactorily. It is just a question of usage, and there is no specific, important physical difference between them. R. Feynman. Wikicommons Son fenómenos asociados a la superposición de ondas y al hecho de que en general la intensidad de una superposición no es la suma de las intensidades F. Valencia 2/30 2 / 30

3 Difracción de Fresnel y Fraunhofer Llamamos difracción a una multitud de fenómenos asociados con la interferencia de muchas ondas, como la que ocurre cuando una onda interactúa con rendijas y objetos grandes.cuando se observa el patron de interferencia en regiones cercanas al obstáculo, se habla de difracción de Fresnel o de campo cercano.cuando se observa a grandes distancias, se habla de difracción de Fraunhofer o de campo lejano.nosotros restringiremos nuestros resultados cuantitativos al régimen de Fraunhofer por simplicidad. F. Valencia 3/30 3 / 30

4 Difracción en una ranura delgada D/2 R r 1 θ φ P D/2 Consideremos inicialmente la luz proveniente de una abertura muy,muy, delgada, de forma que podamos considerar cada punto en la abertura como una fuente puntual de ondas (estamos usando el principio de Huygens-Fresnel). F. Valencia 4/30 4 / 30

5 Difracción en una ranura Podemos asumir que cada segmento con longitud y i de la rendija, contribuye con un campo E i = ɛ L y i r i sin(ωt kr i ) donde ɛ L es la potencia de la fuente por unidad de longitud El campo total en el punto P sería, entonces: E = i ɛ L r i sin(ωt kr i ) y i Si ahora vamos al límite infinitesimal, tendrìamos: E = D/2 D/2 ɛ L sin(ωt kr(y))dy r(y) F. Valencia 5/30 5 / 30

6 Difracción de Fraunhofer en una ranura En el règimen de campo lejano, tendremos R >> D y r(y) se mantiene cerca a R, podemos entonces aproximar: de(y) = ɛ L r(y) sin(ωt kr(y))dy ɛ L sin(ωt kr(y))dy R Pregunta: por qué no aproximamos r(y) R en la fase? F. Valencia 6/30 6 / 30

7 Difracción de Fraunhofer en una ranura Cómo aproximar r(y) en el término de la fase? D y r(y) R θ Así que de nuevo ponemos:r(y) R y sin(θ) Nótese que como las fuentes tienen una geometría completamente lineal, el diagrama es simétrico con respecto a rotación alrededor de esa linea, es decir que se vé igual en planos diferentes a los del tablero. Pregunta: Los siguientes términos son todos despreciables en la aproximación de Fraunhofer, pero: cuáles serían? F. Valencia 7/30 7 / 30

8 Difracción de Fraunhofer en una ranura Tenemos, entonces que encontrar: E = ɛ D/2 L sin(ωt k(r y sin(θ)))dy R D/2 Problemita: resuelva esta integral, usando el cambio de variable u = ωt kr ky sin(θ) F. Valencia 8/30 8 / 30

9 Difracción de Fraunhofer en una ranura El resultado es: E = ɛ LD R sin((kd/2) sin θ) (kd/2) sin θ que se puede reescribir como: E = ɛ LD R sin β β sin(ωt kr) sin(ωt kr) con β = (kd/2) sin θ La intensidad promediada en un periodo (irradiancia) será entonces: I = ɛv (ɛ LD R ) ( sin β 2 β ) F. Valencia 9/30 9 / 30

10 Difracción de Fraunhofer en una ranura Obviamente tenemos que los mínimos de la intensidad aparecen en los ceros del numerador de la expresión (diferentes del central), es decir para β = ±mπ m = 1, 2, 3... Problema para el tablero Encontrar la posición de los máximos en función de β Están espaciados uniformemente? F. Valencia 10/30 10 / 30

11 Difracción de Fraunhofer en una ranura I = I(0)( sin β β ) 2 Ι/Ι(0) π 0 π 5 10 Cómo es el comportamiento en función del ángulo de observación θ? Recordemos que β = β kd sin(θ) 2 F. Valencia 11/30 11 / 30

12 Difracción de Fraunhofer en una ranura Obviamente tenemos que el máximo de intensidad aparece en sin(x) β = 0 θ = 0, pues sabemos que lim x 0 x = 1. El pico central está limitado por los primeros ceros de la función ( sin β β ),que aparecen en β = ±π: kd sin(θ) 2 = π = 2πD sin(θ) λ2 sin(θ) = λ D Obviamente, para λ > D, la función no toma nunca el valor cero, y está limitada por su valor en los extremos (θ = ± π 2 ) ( sin( πd λ ) πd λ ) 2 D/λ 0 1 Así que para ranuras mucho más pequeñas que la longitud de onda (es decir, pequeños agujeros), la intensidad es idependiente del ángulo θ, mientras que la fase es ωt kr: el agujero hace las veces de una fuente puntual de ondas. F. Valencia 12/30 12 / 30

13 Difracción de Fraunhofer en una ranura... Por el contrario, cuando D >> λ, el ancho del pico tiende a cero: la intensidad es casi nula en los puntos con θ 0 y toda la intensidad está concentrada en el plano perpendicular a la ranura que pasa por su centro. En ese plano, la onda igualmente tiene una fase ωt kr, que correspondería a frentes circulares en dicho plano. D>> λ D/2 R D/2 D/λ 100 f(x,y)** θ F. Valencia 13/30 13 / 30

14 Difracción de Fraunhofer en una rendija b l>>λ l r 1 R θ Ok, hasta ahora hemos considerado solo fuentes a lo largo de una línea, una rendija real tiene un ancho finito.si suponemos que uno de las longitudes es mucho mayor que la longitud de onda, podemos dividir la rendija en muchas ranuras delgadas que emiten ondas circulares con intensidad fija: E = ɛ b/2 L sin(ωt k(r y sin(θ)))dy R b/2 F. Valencia 14/30 14 / 30

15 Difracción de Fraunhofer en una rendija Que tiene exactamente la misma forma que ya usamos, así que podemos reciclar nuestro resultado para la intensidad ( ) 2 sin(β) I = I(0) β = kb β 2 sin(θ) b l>> λ l r 1 R θ F. Valencia 15/30 15 / 30

16 Difracción en una rendija doble b b l θ a R P F. Valencia 16/30 16 / 30

17 Rendija doble (Franhoufer) Ok, podemos repetir el procedimiento que hicimos para encontrar los campos que provienen de cada rendija. Pero en realidad estaremos calculando y sumando dos integrales cuyos resultados ya conocemos. En efecto, en cada punto de observación P el campo eléctrico debe ser la suma de los campos producidos por cada rendija: E = E 1 + E 2 F. Valencia 17/30 17 / 30

18 Rendija doble (Franhoufer) Recordemos que para una rendija simple teníamos: E = CD R sin β β sin(ωt kr) con β = (kb/2) sin θobviamente, entre los campos producidos por cada rendija hay una diferencia adicional de fase (por qué).en el régimen de Fraunhofer podemos usar nuevamente nuestra trigonometrìa sencilla para encontrar la diferencia de camino correspondiente como: Asi que tendríamos: a sin θ E = CD R sin β (sin(ωt kr) + sin(ωt kr + ka sin θ) β F. Valencia 18/30 18 / 30

19 Rendija doble (Franhoufer) Nuevamente, lo que nos interesa es la intesidad promediada en el tiempo, asi que tenemos: I = 4I o cos 2 ( δ 2 )sin2 β β 2 donde δ = ka sin θque simplemente combina nuestros resultados para la difracciòn de Young por dos rendijas muy pequeñas (puntuales): I = 4I o cos 2 ( δ 2 ) y nuestro resultado para la rendija de difracción de tamaño finito. I = I o sin 2 β β 2 F. Valencia 19/30 19 / 30

20 Rendija doble (Franhoufer) 1 b=5 a=3b λ θ F. Valencia 20/30 20 / 30

21 Rendija doble (Franhoufer) wiki commons F. Valencia 21/30 21 / 30

22 Múltiples rendijas Consideremos entonces ahora N rendijas delgadas y largas, separadas entre sí una distancia a y estudiemos la difracciòn nuevamente en el régimen de Fraunhofer. b R j ja a θ R F. Valencia 22/30 22 / 30

23 Múltiples rendijas (Fraunhofer) Cada rendija contribuye en el punto de observación con un campo del estilo: E j = C sin β β (sin(ωt kr + δ j) donde la fase para cada rendija estarìa nuevamente dada por la diferencia de camino, que para R largo serìa simplemente δ j = k(ja sin θ) El campo total es la suma de todos los campos: E = C N 1 j=0 sin β (sin(ωt kr + jka sin θ) β F. Valencia 23/30 23 / 30

24 Múltiples rendijas (Fraunhofer) La suma anterior es fácil de calcular usando exponenciales complejas: sin(ωt kr+jka sin θ) = Im(e i(ωt kr+jka sin θ) ) = Im(e i(ωt kr) e ijka sin θ ) N 1 E = C j=0 sin β β sin β (sin(ωt kr+jka sin θ) = C β Im e i(ωt kr) j N 1 Im e i(ωt kr) (e ika sin θ ) j E = C sin β β j=0 e ijka sin θ F. Valencia 24/30 24 / 30

25 Repasito (serie geométrica) Si hacemos s = N 1 j=0 x j = 1 + x + x x N 1 x s = x + x x N s x s = s(x 1) = x N 1 s = xn 1 x 1 en nuestro caso x = e ika sin θ : N 1 j=0 x j = einka sin θ 1 e ika sin θ 1 = einka sin θ/2 (e inka sin θ/2 e inka sin θ/2 ) e ika sin θ/2 (e ika sin θ/2 e ika sin θ/2 ) N 1 (e ika sin θ ) j i(n 1)ka sin θ/2 sin(nka sin θ/2) = e sin(ka sin θ/2) j=0 F. Valencia 25/30 25 / 30

26 Múltiples rendijas (Fraunhofer) Entonces tenemos para el campo total E = C sin β ( β Im e i(ωt kr) i(n 1)ka sin θ/2 e sin(nka/2) ) sin(ka sin θ/2) E = C sin β β sin(nka sin θ/2) sin(ka sin θ/2) sin(ωt kr + (N 1)ka/2) y la intensidad promediada en un periodo nos darìa I = I o sin 2 β β 2 sin 2 (Nka sin θ/2) sin 2 (ka sin θ/2) Los máximos de sin2 (Nka sin θ/2) ocurren en los sin 2 (ka sin θ/2) puntoska sin θ/2 = 0, ±π, ±2π,... ± mπ osea en la condición a sin θ max = mλ F. Valencia 26/30 26 / 30

27 Múltiples rendijas (Franhoufer) Hecht Zajac F. Valencia 27/30 27 / 30

28 Difracción de rayos X (Bragg) Wikicommons F. Valencia 28/30 28 / 30

29 Difracción de rayos X (Bragg) Tarea: Muestre que debe haber picos de intensidad cuando se tenga que: mλ = 2d sin(θ) donde d es la distancia entre planos cristalinos. Esta se conoce como la ley de Bragg y es la base para el anàlisis de estructuras cristalinas usando difracción de rayos X! F. Valencia 29/30 29 / 30

30 Final, final, final! Es todo por hoy. Gracias por su atención! F. Valencia 30/30 30 / 30