Tema 6. Interferencia y difracción de ondas

Transcripción

1 Tema 6. Interferencia y difracción de ondas Superposición de ondas Ondas coherentes Dispositivos de ondas coherentes. Interferencias debidas a dos fuentes sincrónicas Interferencias debidas a varias fuentes sincrónicas. Láminas delgadas Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular Difracción de Fraunhofer por varias rendijas Redes de difracción Difracción de rayos X

2 Superposición de ondas El resultado de la superposición de ondas depende de la diferencia entre sus fases. Sean dos fuentes puntuales de ondas S 1 y S que oscilan en fase con la misma frecuencia y con amplitudes o1 y o, dando lugar a ondas armónicas de la forma: = o1 sen(k 1 r 1 -t) = o sen(k r -t) r S 1 1 P Al llegar a P hay un desfase entre ellas: = k r -k 1 r 1 k (r -r 1 )= = (r -r 1 ) r r 1, r >> S

3 Suma de ondas armónicas: Fasores Las interferencias se forman como consecuencia de la superposición de ó más ondas en un punto del espacio. Estas ondas tienen fases diferentes. Sus funciones de onda en es punto son: E 1 =A 1 sen E =A sen() =t Para sumarlas recurrimos a los fasores, en los que representamos las ondas como vectores, cuyo módulo es la amplitud y cuya fase es el ángulo que forma con el eje x Al sumarlos nos dará otro fasor de módulo diferente y fase tambien diferente A sen( ) =A 1 sen+a sen()

4 La amplitud en P es: o = o1 + o + o1 o1 cos 0 0 kr 1 01 La amplitud resultante está comprendida entre o1 + o y o1 - o, según el valor que tome cos. kr = (r -r 1 )= n máximo (n+1) mínimo (r -r 1 )= n (n+1) Para r -r 1 = La amplitud alcanza máximos. Para r -r 1 = La amplitud alcanza mínimos

5 Ondas coherentes Las interferencias aparecen cuando se superponen dos ondas provenientes de distintas fuentes. Ondas coherentes son ondas de la misma frecuencia y amplitud. Doble rendija de Young Biprisma de Fresnel Principio de Huygens S1 S S

6 Interferencias por una doble rendija de Young a<<d, las amplitudes y las frecuencias son iguales: o = 1o + o + 1o o cos 1o o 10 cos 1o + 1o cos S1 a S r 1 r D o 1o 1 cos cos (1 cos ) <<, sentg=x/d 1o cos r 1 -r =a senax/d x

7 =(/ (r 1 -r )= ax/d) Como la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud: I δ I I o o cos cos πax ( ) D I o es la intensidad para x=0, (=0), I o =4 1o Se produce un máximo de intensidad cuando cos(ax/d)=+1 (ax/d)=nx=(nd/a), ó asenn a senn La separación entre dos franjas consecutivas es: Δx D a

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9 Interferencias producidas por varias fuentes sincrónicas Por cada rayos hay un desfase de =(r 1 -r )= ( a sen La amplitud resultante la obtenemos sumando los sucesivos desfases. a S5 S4 S3 S S1 C O 1o N o Q P

10 ξ ξ o 1o OP Para N= ρ sen QP δ ρ ξ o sen ξ 1o Nδ senδ δ sen ξ 1o ξ o sen δ ξ sen 1o cos δ Nδ sen δ sen δ ξ 1o cos O δ 1o N Q P Para N fuentes la intensidad la intensidad resultante se puede poner como I I 0 Nδ sen δ sen I 0 Nπ a senθ sen πasenθ sen I o 10 Los máximos corresponden a los mínimos del denominador y aparecen para asen/= n

11 Nα I sen Io sen α π a senθ α α n π sennα senα N Todos los 1o son paralelos o =N 1o Además, la intensidad se anula cuando el numerador se hace 0 N=m; α m N π m toma los valores 1,,3, 4 N-1, N+1, N+, N-1, N+1..., se excluyen los valores N, N, 3N..., pues corresponden a los máximos

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13 Láminas delgadas Control de calidad de lentes mediante el estudio de los anillos de Newton. Película de aire de espesor variable. Cuando la lente se iluminada desde arriba con luz monocromática, en el centro el espesor de la película de aire es nulo, el rayo reflejado en la superficie inferior aire-vidrio sufre un desfase de radianes que no ocurre en la superficie superior vidrio-aire, por tanto se produce interferencia destructiva y el centro es un punto oscuro. A partir de ese punto, aparece un patrón de franjas claras y obscuras a medida que se van alternando las condiciones de interferencia constructiva y destructiva.

14 La lámina tiene espesor a e índice de refracción n. Las sucesivas reflexiones y refracciones son equivalentes a un problema de N fuentes sincrónicas. Las interferencias se producen entre las onda reflejadas en la superficie superior y la inferior. Los máximos de interferencia ocurren cuando =n. B D=BD sen i BD=a tg t Ley de Snell B D= a tg t sen i, sen θi n sen θt B D= a n tg t sen t = a n (sen t /cos t ) BCD= BC= a/cos t t 1 = B D/c= (a n/c) (sen t /cos t ) t =BCD/v= (a n/c) (1/cos t ) t an c 1 cosθ t1 (1 sen θt) t an c cosθ t

15 δ ω(t an t1) ω cosθ c t 4π an cosθt Además al pasar de un medio menos denso a uno más denso se produce un cambio de fase de en la onda reflejada. δ 4π an cosθ La condición de máximo es =l, siendo l un entero. 4an l cosθt π; 4a n cosθt (l 1) t π Se podría haber hecho lo mismo para los rayos transmitidos y se habría obtenido a n cos t =l En la onda transmitida no hay desfase. La luz reflejada y la transmitida no son iguales

16 En esta configuración el rayo 1 está desfasado con respecto al En este caso los dos están desfasados, Por consiguiente ese desfase no contribuye

17 El interferómetro de Michelson, inventado por Albert Abraham Michelson, permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente en dos haces para que recorran caminos diferentes y luego converjan nuevamente en un punto. De esta forma se obtiene lo que se denomina la figura de interferencia que permitirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los haces. Este interferómetro fue usado por Michelson junto con Edward Morley para intentar probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson-Morley.

18 D d d 1 d 1 ) ( : ) ( : ) ( cos cos ) ( 4 ) ( ) ' ( ) ' ( m d d Max m d d Max d d I I I d d r d d d d D d d D r r r

19 Difracción La difracción es un fenómeno de interferencia entre los rayos de un número infinito de fuentes. El fenómeno se produce cuando la onda se distorsiona por un obstáculo de dimensiones comparables a la longitud de onda.

20 Dispositivo de Fraunhofer En el caso general, la llamada difracción de Fresnel, la fuente y la pantalla de detección están a distancias finitas, por lo que ni los rayos incidentes ni los difractados son paralelos entre sí. Esta situación es difícil de tratar, por ello se recurre a la difracción de Fraunhofer, que opera con rayos, paralelos, lo que permite hacer un estudio del fenómeno de la difracción mucho más sencillo.

21 Difracción de Fraunhofer por una rendija rectangular Al variar el ángulo de observación se altera la distribución de franjas claras y obscuras. Además la distribución depende de la dimensión de la rendija y de la longitud de onda. La interferencia destructiva se producía cuando r 1 -r =(l+1)/ Vamos a ver que sucede para los rayos que provienen del extremo y del centro de la rendija. b r 1 -r = b/ sen=(l+1)/ extinción bsen=(l+1) l bsen=nn=1, 3, 5, 7..)

22 Entre los rayos que están separados una distancia b/4 podemos hacer algo similar y buscar la correspondiente condición de extinción r 1 -r = b/4 sen=(l+1)/ extinción bsen= (l+1) l bsen=nn=, 6, 10, 14...) Haciendo el mismo cálculo para rayos separados por otras distancias se llegan a completar todos los enteros, de forma que la condición general se puede poner: bsen=n, (n= 1,, 3,...), n # 0

23 Cálculo de la intensidad Dividimos la anchura en intervalos dx x dx El desfase entre A y B viene dado por: =/ xsen, A B C El desfase entre A y C es =bsen/ ρ sen α ρ sen ( πbsen ) =0; todos los vectores son paralelos y la amplitud es la suma de todos ellos

24 o es la amplitud para =0, por consiguiente nos permite poner en función de los parámetros de la difracción ππb senθ arco OP ρα ρ ; ρ 0 o ππb senθ 0 πb sen θ sen πb sen θ I I o πb senθ sen πb senθ I o sen πbsenθ

25 Los ceros de intensidad se producen cuando el numerador se anula πbsenθ sen=n; bsen=n, n0 nπ Los máximos se obtienen haciendo la derivada de la intensidad e igualando a cero di d cos 0; πbsenθ di d I o cos I πbsenθ sen πbsenθ o sen 0 ; cos 1,43 sen ;,459 3,471 tg 0,047 0,017 0,008 Los sucesivos máximos se producen para valores de j cada vez mayores, 4,477 0,005 por consiguiente va disminuyendo la intensidad. 5,48 0,003 0 (sen/ 1

26 Cuando <<b, bsen=n, senθ n b ; senθ θ b Esta expresión nos da el poder separador de una rendija. Se observan las dos fuentes cuando el máximo de una fuente, coincide con el mínimo de la otra

27 Si tomamos un orificio circular Criterio de Rayleigh θ 1. D

28 Difracción de Fraunhofer por dos rendijas b a Calculamos la amplitud debida a cada una de las rendijas y luego las sumamos A1 A0 πb sen θ sen πb sen θ Entre dos rayos equivalentes de las dos rendijas hay una diferencia de fase de β π a senθ

29 A A1 A A1 A cosβ Si las dos rendijas son iguales A 1 =A 1 A1 (1cosβ) A cos A 1 β A 0 πbsenθ asenθ sen πbsenθ I 0 I cos A πbsenθ sen πbsenθ cos π asenθ

30 El primer factor es el que obtuvimos al estudiar una rendija, el segundo factor introduce ceros adicionales: πasenθ (l 1) π ; asenθ (l 1) Y máximos: πasenθ n' π; asenθ n'

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32 Redes de difracción Cuando hay más de tres rendijas decimos que hay una red de difracción. El ancho de las rendijas es b y la separación entre ellas a. Para el caso de N rendijas, la expresión de la intensidad viene dada por: I I o πbsenθ sen( ) πbsenθ Nπasenθ sen( ) πasenθ sen Difracción Interferencias La diferencia con las interferencias por N rendijas, consiste en que en el estudio de las interferencias las rendijas no tenían anchura.

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34 Cuando sobre una red de difracción incide luz policromática se producen máximos de difracción a distintos ángulos para las distintas longitudes de onda que componen la luz incidente, excepto para el orden cero que es igual para todas. Un monocromador no puede trabajar con el máximo principal (orden cero). El conjunto de los máximos para un orden dado constituye un espectro. Cuanto mayor es la longitud de onda mayor es la dispersión. La dispersión de una red se define como: asen=n dθ D d n senθ a ; Dispersión angular de la red cosθ dθ d n a ; D n a cosθ D aumenta cuando aumenta n, pero la intensidad es menor. Tambien aumenta cuando disminuye a, es decir cuanto más próximas entre sí están las rendijas. Las redes de difracción son de 150, 300, 600, 100, 1800, 400, 300 líneas /mm. A más líneas por mm más dispersión y más resolución espectral.

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37 Particle detection and measurement by diffraction

38 Difracción de rayos X por los cristales La longitud de onda de los rayos X es muy corta, por consiguiente las redes de difracción convencionales no sirven, sin embargo las redes cristalinas constituyen redes de difracción naturales para los rayosx

39 Las distancias interatómicas son de unos pocos A, por lo que esta n en el orden de magnitud de la longitud de onda de los rayos X. Cuando éstos pasan a través de un cristal se produce difracción por los átomos ó moléculas del mismo. Como puede haber átomos ó moléculas de diferente naturaleza, la contribución de cada uno de ellos será diferente. Suponiendo que solo tenemos una clase de átomos: A C d B

40 ABC=d sen El desfase es δ π ABC π dsenθ La condición de interferencia constructica es: =n dsen=n Ley de Bragg Diagrama de Laue Diagrama de Debye-Scherrer

41 Moon coronas are due to diffraction. When the moon looks a bit hazy, you re seeing a corona. It s a diffraction effect.