Capítulo 6: Validación de la metodología de cálculo

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1 Capítulo 6: Validación de la metodología de cálculo Los ejemplos que se incluyen en el presente capítulo, tienen por objeto validar el algoritmo de análisis transitorio PTT desarrollado en este trabajo. Debido a la carencia de resultados presentados por otros autores, se ha considerado conveniente realizar un proceso de validación en varios niveles. En primer lugar se verifica que el algoritmo interno de integración, predice los resultados con suficiente precisión. Para lograr este objetivo se han integrado expresiones con solución analítica cerrada, con las ecuaciones de Sommerfeld para dipolos aéreos en la presencia de medios conductivos, y las soluciones analizadas en el capítulo cinco de este trabajo, a diferentes niveles de precisión en el algoritmo de integración. Por otra parte se demuestra que el algoritmo es capaz de calcular campos eléctricos producidos por dipolos enterrados en un medio conductivo semi-infinito. Se evaluan impedancias propias y mútuas de electrodos inmersos en el terreno mediante el algoritmo desarrollado. El siguiente paso consiste en comprobar que los resultados obtenidos por el algoritmo para configuraciones rectilíneas, coinciden con los modelos analíticos basados en los modelos de la línea de transmisión en un medio con pérdidas. Se verifica que utilizando el programa en la versión multiestrato, con una sola capa, y en la versión de terreno homogéneo, los resultados coinciden. Además se comparan los resultados obtenidos para subsuelos con diferentes estratificaciones. Finalmente se analiza una red de tierra mallada, para verificar los resultados del algoritmo en sistemas de puesta a tierra complejos. 6.1 Integración numérica de funciones de Bessel Para verificar el comportamiento de la rutina de integración de expresiones que incluyen funciones de Bessel, se ha realizado la integración númerica de tres expresiones para las cuales se conoce la solución analítica cerrada y que se comportan de forma semejante a las funciones reales que deben ser integradas por el programa PTT. Las expresiones escogidas para realizar esta verificación han sido [1]: I = e 1 - mz J o (mr) dm 1 ; z, r 0 o z 2 + r

2 I = e 2 o - mz J o (mr) m dm I = e 3 - mz J o (mr) m 2 dm o z z 2 + r 2 3 ; z 0 2z 2 - r 2 ; z, r 0 z 2 + r Las tres expresiones 6.1, 6.2 y 6.3 se integraron numéricamente mediante la misma rutina descrita en la sección 3.2.3, fijando el error relativo de convergencia de la serie de términos alternados en 10-4, e integrando los subintervalos comprendidos entre raices consecutivas de Bessel con la regla de Simpson. Cada subintervalo se dividió en diez partes iguales. Los resultados obtenidos para la integración numérica y analítica se presentan en las tablas 6.1, 6.2 y 6.3. Se estudia un rango amplio de variación para las variables r y z. 6.2 Integración numérica de la ecuación 6.1 [ I 1 ] z = 1.0 z = 0.1 z = 0.01 r numérico exacto numérico exacto numérico exacto E E E E E E E E-2 Tabla 6.1 Integración numérica de la ecuación 6.2 [ I 2 ] z = 1.0 z = 0.1 z = 0.01 r numérico exacto numérico exacto numérico exacto E E E E E E E E E E E E E E E E-8 Tabla

3 Integración numérica de la ecuación 6.3 [ I 3 ] z = 1.0 z = 0.1 z = 0.01 r numérico exacto numérico exacto numérico exacto E E E E E E E E E E E E E E E E-6 Tabla 6.3 Se puede observar que para los parámetros de integración definidos, los resultados numéricos son aceptables desde valores de la variable r comprendidos entre m y más de 10.0 m, y para valores de la variable z entre 0.01 m y 1.0 m. Valores menores de z y mayores de r requieren incrementar el número de subintervalos. Sin embargo, es necesario recordar que para todos los fines prácticos, en el análisis de las redes de tierra la variable z está asociada con la profundidad de los electrodos en el medio conductivo y se encuentra generalmente entre 0.3 m y 1.0 m. El valor mínimo de la distancia r queda definido por el radio de los conductores y el máximo por la separación entre los electrodos más distantes que mantengan una influencia apreciable, que en terrenos conductivos normales suele ser inferior a los m. 6.2 Evaluación numérica de las integrales de Sommerfeld Para verificar que el algoritmo de integración numérica puede evaluar con precisión las integrales de Sommerfeld se procedió a estudiar el comportamiento de dos de estas expresiones. Los resultados se comparan con los publicados por Johnson y Dudley [53]. Además de variar las variables r y z, tal como se realizó en la sección 6.1, se analiza el comportamiento de la integración numérica para tres valores de división de los subintervalos en, 10, 100 y 1000 divisiones. Las expresiones analizadas han sido: c I = 2 o m 4 f o e - λ o z J λ o + λ o (mr) ; r, z 0 1 c I = - 2 o m 3 e - λ o z J 5 f o 2 2 o (mr) dm ; r, z 0 γ o λ1 + γ λo

4 siendo: λ i = m 2 + γ i 2 ; i = 0, γ = ωµo (-ωε i o ε + j ri ρi ) 6.7 donde: γ i es la constante de propagación del medio i, ρ i es la resistividad del medio i, ε ri es la permitividad relativa del medio i, c o el la velocidad de la luz en el vacío, y f es la frecuencia de la excitación. Integración numérica de la ecuación 6.4 [ I 4 ] z = 30.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r1 = 16 Ref [53] E-2 + j3.03e E-2 + j3.03e E-2 + j3.03e E-2 + j2.99e E-2 + j3.06e e-2 + j3.49e e-2 - j3.48e e-2 - j3.53e E-2 - j 3.16E E-2 - j 1.48E E-2 - j 1.37E E-2 - j 1.27E E-2 - j E-2 + j1.22e E-2 - j 1.40E E-2 - j 5.87E-4 Tabla 6.4 Integración numérica de la ecuación 6.5 [ I 5 ] z = 30.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r1 = 16 Ref. [53] E-4 - j 2.44E E-4 - j 1.51E E-4 - j 1.540E E-4 - j 1.52E E-4 + j7.23e E-4 - j 7.18E E-5 - j 6.33E E-5 - j 6.31E E-3 - j 9.36E E-4 - j 5.19E E-4 + j1.89e E-4 + j2.63e E-2 - j e-3 + j3.38e E-4 + j6.24e E-6 + j3.20e-4 Tabla 6.5 Integración numérica de la ecuación 6.4 [ I 4 ] z = 9.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r1 = 16 Ref [53] E-4 + j 7.50E E-4 - j 7.18E E-4 - j 7.18E E-4 - j 7.19E E-2 - j E-2 - j E-2 - j E-2 - j 1.06E j j 5.58E j 5.58E E-1 - j 6.64E j j 3.98E j 6.25E E-1 - j 5.27E-3 Tabla

5 Integración numérica de la ecuación 6.5 [ I 5 ] z = 9.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r = 16 Ref [53] E-4 - j 1.41E E-4 - j 1.10E E-4 - j 1.10E E-4 - j 1.10E E-3 - j 8.28E E-3 - j 1.63E E-3 - j 1.51E E-3 - j 1.48E E-2 + j 7.60E E-4 + j 5.73E E-4 + j 3.64E E-4 + j 3.53E E-2 + j 8.30E E-3 + j 5.98E E-4 + j 3.67E E-4 + j 3.54E-3 Tabla 6.7 Integración numérica de la ecuación 6.4 [ I 4 ] r = 3.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r = 16 z [m] n = 10 n = 100 n = 1000 Ref [53] j 9.06E j 8.98E j 8.98E E-1 - j 9.06E E-2 - j 2.23E E-2 - j 2.20E E-2 - j 2.20E E-2 - j 2.19E E-3 + j 4.36E E-3 + j 4.36E E-3 + j 4.37E-2 Tabla 6.8 Integración numérica de la ecuación 6.5 [ I 5 ] r = 3.0 m f = 100 MHz ρ = Ωm ε r = 16 z [m] n = 10 n = 100 n = 1000 Ref [53] E-2 - j 2.01E E-2 - j 1.81E E-2 - j 1.80E E-2 - j 1.81E E-2 - j 4.91E E-2 - j 4.54E E-2 - j 4.53E E-2 - j 4.52E E-2 - j 5.13E E-2 - j 4.75E E-2 - j 4.74E E-2 - j 4.72E-2 Tabla 6.9 En las tablas 6.4 a 6.9 se presentan varias comparaciones de resultados para las dos integrales que se estan considerando. Existe una gran concordancia entre los resultados, en particular cuando se incrementa el número de subintervalos. Obtener los resultados de otros autores [53] es posible, en la medida que se incrementa la precisión del algoritmo de integración. Sin embargo en el caso práctico de la redes de puesta a tierra la convergencia se acelera notablemente debido a que en este caso el electrodo excitador se encuentra inmerso en un medio de resistividad finita. De esta forma los términos exponenciales poseen una atenuación que facilita la convergencia de la integral

6 Para analizar el comportamiento de la integración numérica de las expresiones de Sommerfeld con la excitación y la observación en el interior de medios conductivos, se evaluaron dos de las integrales que aparecen más frecuentemente en los cálculos del campo eléctrico E y de los potenciales vectoriales A. Se consideraron frecuencias de 1.0, 10.0 y 100 MHz. Se estudiaron resistividades del terreno de 100 y 1000 Ωm, y permitividades relativas de 1.0 y Se realizaron las evaluaciones asumiendo profundidades de los electrodos excitadores y del punto de medida de 0.5 m y 2.5 m. Las distancias entre los puntos de excitación y de observación se variaron desde m hasta 50 m. El número de divisiones por subintervalo en la integración de Simpson se fijaron en 10, 100 y 1000 subdivisiones. Las integrales evaluadas numericamente han sido: I 7 = - o λ I = m o 6 λ1 o mλ λ γ 1 o +λo γ 1 1 λ 1 + λ o e - λ 1 (s-z) J o (mr) dm. 1 λ 1 + λ. e - λ 1 (s-z) J o (mr) dm o 6.9 En las tablas 6.10 a 6.32 se presenta un resumen de los resultados más relevantes. Se puede observar claramente en este caso la mejor convergencia de las integrales 6.8 y 6.9 cuando se comparan con las tablas 6.4 a 6.9 correspondientes a las integrales 6.4 y 6.5 referentes a medios no conductivos en presencia de terrenos con resistividad finita. Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 10 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j E-2 - j E-2 - j E-2 - j E-3 + j 1.692E E-3 + j 1.689E E-3 + j 1.689E E-4 - j 1.734E E-4 - j 1.732E E-4 - j 1.732E E-5 - j E E-5 - j 3.919E E-5 - j 3.920E-5 Tabla

7 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j E-2 + j E E-2 + j 7.268E E-2 + j 7.268E E-2 - j E E-2 - j 3.924E E-2 - j 3.924E E-4 - j E E-4 - j E E-4 - j E-4 Tabla 6.11 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 1 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j 9.725E j e E-4 - j E E-3 - j E E-3 - j 2.888E E-3 + j 4.384E E-3 + j E E-3 + j E E-4 - j 8.682E E-4 - j 8.718E E-4 - j E-4 Tabla 6.12 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 10 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m E-3 + j 5.24E E-3 + j 5.20E E-3 + j 5.20E E-3 + j 5.23E E-3 + j 5.20E E-3 + j 5.199E E-3 + j 5.02E E-3 + j 4.98E E-3 + j 4.981E E-3 - j 8.04E E-3 - j 8.00E E-3 - j 8.00E E-4 + j 3.157E E-4 + j 3.155E E-4 + j 3.155E E-6 + j 5.22E E-6 + j 5.285E E-6 + j 5.287E-6 Tabla

8 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m E-2 + j 3.37E E-2 + j 2.23E E-2 + j 2.226E E-2 + j 3.37E E-2 + j 2.23E E-2 + j 2.229E E-2 + j 3.539E E-2 + j 2.56E E-2 + j 2.56E E-2 + j 3.22E E-2 + j 3.23E E-2 + j 3.23E E-2 - j 3.13E E-2 - j 3.13E E-2 - j 3.136E E-4 - j 7.489E E-4 - j 7.487E E-4 - j 7.478E-4 Tabla 6.14 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 1 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j E j 9.556E j 9.555E j E j 9.545E j 9.545E j E j E j E E-4 - j E E-4 - j E E-4 - j 2.997E E-2 - j E E-2 - j E E-2 - j E E-5 + j 1.073E E-5 + j E E-5 + j E-4 Tabla 6.15 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 1 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j E j 4.787E j E j E j 4.786E j E j E j 4.684E j 4.677E E-2 - j E E-2 - j E E-2 - j E E-2 - j E E-2 - j E E-2 - j 2.51E E-4 + j E E-4 + j E E-4 + j E-3 Tabla

9 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 1 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m E-2 - j 2.76E E-2 - j 2.81E E-2 - j 2.81E E-2 - j 2.76E E-2 - j 2.81E E-2 - j 2.81E E-2 - j 2.68E E-2 - j 2.72E E-2 - j 2.72E E-3 - j 1.29E E-3 - j 1.30E E-3 - j 1.30E E-3 + j 9.74E E-3 + j 9.96E E-3 + j 9.96E E-5 + j 1.50E E-5 + j 1.49E E-5 + j 1.49E-5 Tabla 6.17 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 1 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m E-2 - j 3.70E E-2 - j 3.349E E-2 - j 3.345E E-2 - j 3.708E E-2 - j 3.35 E E-2 - j 3.35E E-2 - j 3.68E E-2 - j 3.32E E-2 - j 3.32E E-2 - j 2.86E E-2 - j 2.88E E-3 - j 2.88E E-3 - j 2.046E E-3 - j 2.042E E-3 - j 2.042E E-4 + j 2.26E E-4 + j 2.26E E-4 + j 2.267E-3 Tabla 6.18 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 100 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 1 s =.5 m z = -0.5 m E-2 - j E E-2 - j 5.317E E-2 - j 5.371E E-2 - j 5.199E E-2 - j 5.156E E-2 - j 5.156E E-2 + j 7.09E E-2 + j 7.163E E-2 + j 7.164E E-3 - j 3.469E E-3 - j 3.548E E-3 - j 3.543E E-4 - j 3.176E E-4 - j 3.173E E-4 - j 3.173E E-5 - j 1.035E E-5 - j 9.736E E-5 - j 9.757E-7 Tabla

10 Integración numérica de la ecuación 6.7 [I 6 ] f = 100 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j E-2 + j 9.85E E-2 + j 9.85E E-2 + j 9.85E E-3 - j 4.22E E-3 - j 4.23E E-3 - j 4.23E E-4 + j 9.549E E-4 + j 9.59E E-4 + j 9.59E E-6 - j 6.66E E-6 - j 6.62E E-6 - j 6.63E-6 Tabla 6.20 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 10 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j E-2 - j 9.938E E-2 - j E-2 - j 5.156E E-2 - j 5.26E E-2 - j 5.258E E-4 + j 9.96E E-4 + j 1.01E E-4 + j 1.01E-2 Tabla 6.21 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j E-2 - j E-2 - j j 6.88E j 7.07E j 7.07E E-2 + j 1.685E E-2 + j 1.707E E-2 + j 1.707E-2 Tabla

11 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 1 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j j j E-2 - j e-2 - j e-2 - j E-2 + j 4.78E E-2 + j 4.817E E-2 + j 4.818E-2 Tabla Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 10 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m E-2 - j 1.348E E-2 - j 7.325E E-2 - j 6.341E E-2 - j 1.346E E-2 - j 7.306E E-2 - j 6.322E E-2 - j 1.15E E-2 - j 5.433E E-2 - j 4.460E E-2 + j 1.44E E-2 + j 1.374E E-2 + j 1.383E E-3 + j 7.568E E-3 + j E E-3 + j 7.714E E-5 - j 1.396E E-7 - j 1.416E E-6 - j 1.416E-3 Tabla Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 10 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m j j j j j j j j j j j j E-2 + j E-2 + j E-2 + j E-4 - j 1.67E E-4 - j 1.70E E-3 - j 1.702E-2 Tabla

12 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 1 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j j j j j j j 9.41E j 2.96E j E-2 Tabla 6.26 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 1 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j j j j j j j j j.3709 Tabla 6.27 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 1 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 1 s =.5 m z = -0.5m j j j j j j j j j j j j j j j j j j.4642 Tabla

13 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 1 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m j j j j j j j j j j j j j j j E-2 - j 3.210E E-2 - j 5.692E E-2 - j 5.677E-2 Tabla 6.29 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 1 MHz ρ = 1000 Ωm ε r = 10 s = 2.5 m z = -2.5m j j j j j j j j j j j j j j j j j j.7777 Tabla 6.30 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 100 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 1 s =.5 m z = -0.5m E-3 - j 1.134E E-3 - j 1.154E E-3 - j 1.154E E-3 - j 1.11E E-3 - j 1.13E E-3 - j 1.13E E-3 + j 1.50E E-3 + j 1.47E E-3 + j 1.47E E-4 + j 1.64E E-4 + j 1.64E E-3 + j 1.64E E-5 + j 2.38E E-5 + j 2.38E E-5 + j 2.38E E-6 - j 5.28E E-6 - j 5.30E E-6 - j 5.30E-6 Tabla

14 Integración numérica de la ecuación 6.8 [I 7 ] f = 100 MHz ρ = 100 Ωm ε r = 10 s =.5 m z = -0.5m E-2 + j 2.34E E-2 + j 1.80E E-2 + j 1.79E E-2 + j 1.96E E-2 + j 1.43E E-2 + j 1.41E E-3 - j 1.27E E-3 - j 1.28E E-3 - j 1.28E E-5 + j 1.28E E-5 + j 1.30E E-5 + j 1.30E E-4 - j 1.15E E-4 - j 1.16E E-4 - j 1.16E E-5 + j 1.90E E-5 + j 1.896E E-5 + j 1.896E-5 Tabla 6.32 En estas tablas se puede apreciar que no existen diferencias importantes en los resultados obtenidos al dividir en 100 o 1000 partes la integración de Simpson. Al realizar una partición en 10 segmentos, se incrementa el error en la integración, pero los resultados siguen siendo suficientemente precisos. Los errores más importantes ocurren al disminuir la frecuencia, debido a que se reduce la atenuación del integrando. También aumentan los errores al incrementar la distancia r; debido a que se requiere un mayor número de raíces de las funciones de Bessel. Al aumentar la profundidad del electrodo se mejora la precisión, gracias al efecto atenuador que introduce esta variable en los términos exponenciales. 6.3 Cálculo del campo eléctrico E en un medio conductivo Para verificar que las rutinas desarrolladas son capaces de integrar con precisión, se evaluó el campo eléctrico E producido por un dipolo unitario de corriente a una distancia x, cuando el dipolo y el punto de observación se encuentra a profundidades z y s, respectivamente. Para esta comprobación se utilizó la expresión Se analizaron tres frecuencias, 1, 10 y 100 MHz, para un dipolo situado a una profundidad de 0.15 m en un terreno uniforme de 2.5, 25.0, 250 y Ωm y con permeabilidades relativa de 20 y 80. El punto de observación se encuentra también a una profundidad de 0.15 m y a una distancia variable x de la excitación. Algunos de los resultados obtenidos se presentan en las fig. 6.1 y 6.3. Estos resultados se pueden comparar con los publicados por King [57] en las fig. 6.2 y 6.4 respectivamente. Ambos métodos producen resultados similares

15 20 log 10 E x1 [db] ε = 80 1 σ = 4.0 x 10-3 S/m Hz s = - z = 0.15 m 10 6 Hz x [m] Fig. 6.1 Cálculo del campo eléctrico E x1 en la dirección x según la expresión para 1 y 10 MHz Fig. 6.2 Campo eléctrico E 1x calculado por King & all. [57], para 1 y 10 MHz

16 50 20 log 10 E x1 [db] x10-3 σ 1 = 0.4 S/m 4x ε = 20 1 f = 100 MHz s = -z = 0.15 m x [m] 8 10 Fig. 6.3 Cálculo del campo eléctrico E x1 en la dirección x, para 100 MHz y cuatro conductividades. Fig. 6.4 Campo eléctrico E 1x calculado por King & all. [57] para 100 MHz y cuatro conductividades

17 6.4 Cálculo de las impedancias propias y mutuas Para verificar que el algoritmo desarrollado es capaz de calcular con precisión las impedancias propias y mutuas de electrodos enterrados, se integró numéricamente el campo eléctrico que produce un electrodo excitador horizontal, sobre otro electrodo horizontal. Para este fin se ha utilizado la expresión 5.114, realizando una integral doble mediante Simpson. Los resultados se comparan con los obtenidos mediante el programa PTT que utiliza la expresión Se calcularon las impedancias propias y mutuas de cada uno de los segmentos en que se subdivide un electrodo de 10 m longitud, m de radio, enterrado a una profundidad de 1.0 m de la superficie, en un terreno uniforme de 100 Ωm de resistividad y 10ε o de permitividad. El electrodo se ha dividido en 10 segmentos iguales y en las tablas 6.33, 6.34 y 6.35 se reproducen los resultados obtenidos mediante el programa PTT y mediante la doble integración del campo eléctrico, utilizando la regla de Simpson con N = 10, para tres frecuencias de excitación 50.0 Hz, 1.0 y 9.0 MHz, respectivamente. Impedancias del electrodo [Ω] Hz PTT Integración. de E Z j 7.882E j E-3 Z j 4.580E j E-3 Z j 2.014E j1.5146e-5 Z j 1.112E j 1.24E-5 Z j 7.925E j 8.60E-6 Z j 6.210E j 6.61E-6 Z E-2 - j 5.120E E-2 - j 5.38E-6 Z E-2 - j 4.357E E-2 - j 4.55E-6 Z E-2 - j 3.789E E-2 - j 3.95E-6 Z E-2 - j 3.349E E-2 - j 3.49E-6 Tabla

18 Impedancias del electrodo [Ω] MHz PTT Int. del Campo E. Z j j Z j j Z j j.2994 Z j j.1729 Z j j 9.83E-2 Z E-2 - j 7.28E E-2 - j 6.15E-2 Z E-2 - j 4.86E E-2 - j 4.02E-2 Z E-2 - j 3.44E E-2 - j 2.68E-2 Z E-3 - j 2.40E E-3 - j 1.80E-2 Z E-4 - j 1.70E E-3 - j 1.21E-2 Tabla 6.34 Impedancias del electrodo [Ω] MHz PTT Int. del Campo E. Z j j Z j j Z j j Z j e-2 - j.4395 Z j 1.601E E-2 - j 7.262E-2 Z E-2 + j 7.001E E-2 + j E- 3 Z E-2 + j 6.533E E-2 + j 1.271E-2 Z E-2 + j 4.443E E-2 + j5.530e-4 Z E-2 + j 2.519E E-2 - j 9.311E-3 Z E-2 + j E E-2 - j1.407e-2 Tabla 6.35 Mediante el programa PTT se calcularon las impedancias propias para frecuencias comprendidas entre 50 Hz y 45 MHz de un electrodo cuya longitud es de 1.0 m, y su radio m. El conductor en cuestión se encuentra inmerso en un terreno homogeneo de 100 Ωm y 10 ε o. Los resultados del programa se contrastan en la tabla 6.36 mediante la expansión en serie utilizada por Sunde [107] para un terreno homogeneo:

19 1/ r - 1/ l Z(ω) 2π(σ+j ωε) ω µ l + j 2π 2l 3 ω µ γ l 2 ( ln r - ) - j + 2 6π 6.10 Impedancia Propia Z [Ω] Frec. [Hz] Ecuación 6.10 Programa PTT j E j E x E j j x E j j x E j j x E j j x E j j x E j j x E j j x E j j x E j j Tabla 6.36 En las tablas anteriores, se observa que las diferencias obtenidas integrando el campo eléctrico directamente, o utilizando la expresión son inferiores al 1.0%, cuando se analizan las impedancias propias, pero crecen notablemente a medida que aumenta la distancia entre los electrodos. Al comparar los resultados obtenidos entre el programa y la ecuación 6.10 para la impedancia propia, el margen aun es menor. Sin embargo, para frecuencias superiores a 25 MHz, las diferencias entre los dos métodos pueden superar ampliamente el 8 %. Esto se debe a que la expresión 6.10 no consideran la existencia de corrientes de desplazamiento, además de que la expansión en serie se trunca en el tercer término. 6.5 Respuesta en frecuencia de un electrodo horizontal El algoritmo desarrollado ha sido utilizado para determinar la respuesta en frecuencia de un electrodo horizontal de 10 m de longitud, inmerso en un terreno homogeneo de resistividad 100 Ωm y pemitividad 10ε o. En uno de sus extremos el electrodo se excita mediante una fuente de corriente de 1.0 A y con frecuencia variable de 50 Hz, 1, 5, 10, 20 y 30 MHz respectivamente. Los resultados se pueden comparar con los obtenidos mediante el modelo de la línea de transmisión en un medio con pérdidas desarrollado por Sunde [107]. Según esta formulación, la distribución de las corrientes a lo largo del electrodo horizontal, para una excitación sinusoidal de frecuencia ω es:

20 donde: I (x) = I (0) e - Γx 1 - e - 2Γ(s-x) 1 - e - 2Γs 6.11 I(0) es la amplitud de la inyección en el extremo del electrodo. Γ(ω) es el coeficiente de propagación en el medio para la frecuencia ω. s es la profundidad del conductor enterrado, y x es la posición en el conductor. El coeficiente de propagación Γ, en función de la frecuencia y de los parámetros del subsuelo, para un medio conductivo homogeneo es [107]: Γ(ω) = jωµ o (σ+jωε) 6.12 Si el conductor se encuentra ubicado horizontalmente, en la superficie o a una cierta profundidad s de la superficie de un terreno uniforme, el cálculo de la constante de propagación se complica notablemente. La ecuación trascendente que satisface con aproximación las condiciones del problema es: donde: Γ 2 (ω) Y(Γ)*Z(Γ) = jωµ Z + ln 1.85 i 2π a γ 2 + Γ 2 1 Y + 1 ī π(σ+jωε) ln 1.12 Γa 6.13 Zi es la impedancia interna serie longitudinal del conductor. Yi es la admitancia interna paralelo longitudinal del conductor. γ es la coeficiente de propagación en un medio homogeneo (Ec. 6.14). a es el radio equivalente del conductor, a = [r 2 + 4s 2 ] 1/2. s profundidad del conductor medida desde la superficie. Para altas frecuencias, es posible despreciar la impedancia interna del conductor en comparación con su impedancia externa. De esta forma se simplifica un poco el cálculo del coeficiente de propagación Γ. Cuando el conductor se encuentra semi enterrado en la superficie del subsuelo, el coeficiente de propagación se puede aproximar a: Γ 2 1 γ 2 = 1 jωµo (σ+ jωε) El coeficiente de propagación se encuentra entre un máximo y un mínimo teórico definido por las ecuaciones 6.12 y 6.14 respectivamente. El primero corresponde al conductor enterrado a una profundidad infinita y el segundo, al

21 conductor en la superficie del terreno. En profundidades intermedias, es preciso recurrir a la expresión 6.13 para determinar el coeficiente de propagación que corresponde al modelo de la línea de transmisión con pérdidas. En las figuras 6.5 a 6.10 se muestra la distribución de la corriente en el electrodo considerado, calculada mediante el modelo de la línea de transmisión en un medio con pérdidas, y mediante el algoritmo PTT. Los puntos aislados corresponden siempre al programa desarrollado. En la figura 6.11 se reproduce la respuesta en el tiempo para un pulso trapezoidal. La curva marcada con x = 0.0 m, representa la forma temporal de la corriente inyectada Parte Real Subsuelo homogéneo f = 50 Hz 100 Ωm ε o Intensidad [A] PTT Modelo de la línea de transmisión 0 Parte Imaginaria x [m] Fig. 6.5 Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo. f = 50 Hz

22 Parte Real Terreno homogéneo f = 1MHz 100 Ωm 10 ε o Intensidad [A] Parte Imaginaria PTT x [m] Fig. 6.6 Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo. f = 1.0 MHz Parte Real Terreno homogéneo f = 5 MHz 100 Ωm 10 ε o Intensidad [A] Parte Imaginaria PTT x [m] Fig. 6.7 Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en terreno homogéneo. f = 5.0 MHz

23 Parte Real Terreno homogéneo f = 10 MHz 100 Ωm 10 ε o Intensidad [A] PTT Parte Imaginaria x [m] 10 Fig. 6.8 Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo. f = 10.0 MHz Parte Real Terreno homogéneo f = 20 MHz 100 Ωm 10 ε o Intensidad [A] PTT -0.3 Parte Imaginaria x [m] Fig. 6.9 Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo. f = 20.0 MHz

24 Intensidad [A] Parte Real PTT Terreno homogéno f = 30MHz 100 Ωm 10 ε o Parte Imaginaria x [m] Fig Distribución de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo. f = 30.0 MHz Modelo de la Línea de Transporte x = 0.0 m x = 2.5 m Intensidad [A] PTT x = 5.0 m x = 7.5 m x = 10 m Medio conductivo homogéneo t [µs] Fig Distribución espacial y temporal de la corriente para un lectrodo de10 m en un medio homogéneo Los resultados del algoritmo PTT reproducen con un error inferior al 8%, en el peor caso, a los resultados obtenidos mediante el modelo analítico de la línea de transmisión en un medio con pérdidas

25 6.6 Cálculo de la impedancia de entrada de un electrodo horizontal en un terreno uniforme En la Fig se muestra un electrodo horizontal de 10.0 m de longitud, en un terreno uniforme con una resistividad de 100 Ω.m y una permitividad relativa de 10ε o, enterrado a 0.15, 0.30, 1.0 y m de profundidad. El electrodo se excita mediante una fuente senoidal de corriente de valor eficaz igual a 1.0 A, a todas las frecuencias que se muestran en la tabla En estas condiciones se calcula el potencial, con respecto a tierra infinita, del punto central del primer subelectrodo en que se ha discretizado este elemento. Para integrar el campo se ha seguido una trayectoria paralela al eje z, con inicio en la superficie del electrodo. Los cálculos se han realizado mediante el programa PTT. El cálculo de la tensión se realiza superponiedo las contribuciones de los 10 subelectrodos. Si la fuerza electromotriz se evalúa siguiendo una trayectoria paralela al eje z, es suficiente con calcular las contribuciones en el punto ( L/20, 0.0, (s+r) ), debido a que el campo eléctrico E z en esta trayectoria se puede integrar analíticamente. En la tabla 6.38 se representa la misma información que en la tabla 6.37 pero los datos se han obtenido mediante las rutinas para el cálculo de terrenos multiestratificados, particularizando para una sola capa. De esta forma se verifica la concordancia entre la solución directa de las ecuaciones del terreno uniforme, y la planteada para el cálculo en terreno multiestratificado. Se puede observar que a medida que crece la profundidad del electrodo, los dos métodos prácticamente coinciden. Si el electrodo está muy cerca de la superficie, las discrepancias aumentan levemente debido a la imprecisión en el cálculo de las integrales de Sommerfeld, especialmente en el caso multiestratificado. Subsuelo z = 0 x = 0 I 1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 I10 s Aire x - z V r Z entr = Iiny ρ = 100 Ω.m ε = 10 ε o r = m x = 10 m Fig Impedancia de entrada de un electrodo horizontal a diferentes profundidades en terreno uniforme Impedancia de entrada del electrodo Z entr [Ω] - Terreno Uniforme Frecuencia [Hz] s = 0.15 m s = 0.30 m s = 1.00 m s = 100. m 5x j j j j

26 1x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j Tabla 6.37 Impedancia de entrada del electrodo Z entr [Ω] - Terreno Multiestrato - p=1 Frecuencia [Hz] s = 0.15 m s = 0.30 m s = 1.00 m s = 100. m 5x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j Tabla 6.38 En la tabla 6.40 se presentan los resultados del cálculo de la impedancia de entrada, obtenidos mediante el programa PTT para cuatro terrenos con diferente estratificación. En los cuatro casos el electrodo de 10.0 m se encuentra enterrado a la profundidad de 1.0 m. La tabla 6.39 indica los parámetros utilizados en la modelización de cada uno de los terrenos considerados. Parámetros del subsuelo ( ρ [Ωm] - ε r - h [m] ) Modelo Terreno Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4 A B C D Tabla 6.39 Impedancia de entrada del electrodo Z entr [Ω] - Terreno Multiestrato Frecuencia [Hz] A B C D 5x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j

27 5x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j x j j j j Tabla 6.40 Como se puede observar, los resultados obtenidos en los diferentes terrenos son diferentes, a pesar de que en todos los casos la capa superficial posse el mismo valor de resistividad y permitividad. Este ejemplo refuerza la necesidad de analizar el problema de los sistemas de puesta a tierra con modelos más complejos. Sin embargo, a medida que aumenta la frecuencia se observa que las diferencias se reducen considerablemente. En frecuencias elevadas, puede ser justificable utilizar el modelo de subsuelo uniforme

28 6.7 Cálculo de la distribución de la corriente en función de la frecuencia en una red compleja de puesta a tierra, en un terreno uniforme Para verificar el comportamiento del algoritmo desarrollado en configuraciones complejas de los electrodos, se analizó la red que se presenta en la figura Esta red simétrica está constituida por electrodos horizontales y verticales, orientados en diferentes direcciones e interconectados en varios nudos. En el punto central, se excita la red mediante una fuente de corriente de amplitud unitaria y de frecuencia variable. Los electrodos horizontales se encuentran a 1.0 m de profundidad de la superficie del terreno. Las picas se encuentran ubicadas entre 1.0 m y 4.0 m de profundidad. Los electrodos y las picas de la red son de un material conductor ideal, con un diámetro 1.0 cm. La resistividad del terreno es de 100 Ωm y la permitividad de 10ε o. En las figuras 6.14, 6.15 y 6.16 se han representado las distribuciones de la corriente por los electrodos para tres frecuencias representativas, 50 Hz, 1.0 MHz y 10 MHz, respectivamente. Los electrodos se han dividido en segmentos de 1.0 m, con la finalidad de aplicar correctamente el método de los momentos. La inyección se ha realizado mediante un electrodo adicional de 0.5 m de longitud. En la tabla 6.41 se presentan las impedancias de entrada de la red, medidas en el punto donde se está inyectando la corriente. i Superficie 1.00 m r = 5.0 mm electrodos horizontales Subsuelo 100 Ωm 10 ε o r = 5.0 mm picas 6.00 m Fig Red compleja de puesta a tierra en terreno uniforme

29 Fig Distribución de las corrientes. f = 50.0 Hz Fig Distribución de las corrientes. f = 1.0 MHz

30 Fig Distribución de las corrientes. f = 10.0 MHz Frecuencia [Hz] Z ent [Ω] 5x j x j x j x j x j x j x j x j x j x j Tabla 6.41 La corrientes por los electrodos de la red se alejan del punto de inyección para frecuencias reducidas. Sin embargo a medida que aumenta la frecuencia, la distribución se complica notablemente debido al acoplamiento inductivo y capacitivo de los electrodos. En la tabala 6.41 se puede observar que la impedancia de la red aumenta con la frecuencia, este hecho se explica debido a que la distribución de las corrientes con la frecuencia drena mayor cantidad de corriente a tierra en las cercanías del punto de inyección. De esta forma los electrodos cercanos al punto de

31 inyección son los responsables de la impedancia en alta frecuencia. En frecuencias reducidas, los electrodos más alejados también participan y reducen la impedancia