Capítulo 3: Modelización del subsuelo

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1 Capítulo 3: Modelización del subsuelo 3. Parámetros del subsuelo Para estudiar los fenómenos electromagnéticos en el subsuelo, ocasionados por inyecciones de corriente permanentes o transitorias en el sistema de puesta a tierra, es necesario determinar los parámetros electromagnéticos del terreno. Obtener estos valores no es una tarea fácil, debido a que los parámetros que rigen el comportamiento electromagnético del subsuelo dependen de variables tales como la temperatura, la humedad, la composición química, el grado de impurezas, etc. Además, el terreno muy pocas veces es uniforme y en general se presenta en estratos compuestos por diferentes materiales con variadas características. De las características electromagnéticas de la tierra tal vez la más uniforme es la permeabilidad [07] ya que si en el terreno no existen materiales magnéticos como el hierro o el níquel, el subsuelo tiene una permeabilidad igual a la del vacío ( µ ο = 4π x 0-7 H/m ). La permitividad puede variar aproximadamente entre y 80 veces la permitividad del vacío ( εο=8.85 x 0-2 F/m), dependiendo del grado de humedad y del tipo de materiales presentes en el subsuelo. La permitividad del terreno es importante en los procesos transitorios de alta frecuencia. La rigidez dieléctrica del subsuelo varía dentro de límites muy estrechos ( kv/cm) y puede ser muy importante durante las descargas atmosféricas a tierra. La resistividad del terreno puede variar para terrenos comunes en cuatro órdenes de magnitud, desde aproximadamente Ω.m a más de Ω.m. La resistividad del terreno tiene gran importancia en el diseño de los sistemas de puesta a tierra, en el estudio de las corrientes de fuga, en los procesos de corrosión galvánica, en la especificación de las protecciones contra descargas atmosféricas o sobretensiones de maniobra, así como en los análisis de interferencias electromagnéticas. La gran variabilidad de la resistividad del subsuelo hace necesario la medición de este parámetro directamente en el terreno. A partir de las medidas se pueden construir modelos en capas que son utilizados por los geólogos para determinar la estructura y los minerales que contiene el terreno. Estas técnicas permiten obtener modelos del subsuelo que puede utilizarse posteriormente para el diseño y evaluación de redes de puesta a tierra o retornos conductivos para los sistemas en corriente alterna [20] o en corriente continua [60,75]. El objetivo fundamental de este trabajo consiste en presentar modelos prácticos para el análisis de los sistemas de puesta a tierra tanto en régimen - -

2 permanente como transitorio. Estos modelos se caracterizan fundamentalmente por los parámetros del subsuelo. Para este fin, es necesario determinar estos parámetros, y por esta razón en el presente capítulo se hace una recapitulación de los métodos y técnicas básicas que permiten alcanzar este objetivo. Así mismo, se sientan las bases metodológicas para algunos desarrollos posteriores. 3.2 Medida de la resistividad del subsuelo La técnica básica utilizada en la determinación de la resistividad del subsuelo a partir de la medición directa, consiste en inyectar una corriente continua en la superficie del terreno entre dos electrodos y medir la tensión que aparece entre dos sondas de potencial colocadas en el interior de la zona de inyección de la corriente. Es importante para la precisión de la medida que las dimensiones físicas de los electrodos utilizados en la determinación de la resistividad sean pequeñas comparadas con las distancias de separación entre ellos. La distancia de separación entre los electrodos depende de la amplitud de la zona en la cual se desea medir la resistividad. Si el subsuelo es uniforme, la resistividad medida es independiente de la separación de los electrodos utilizada en el ensayo. Sin embargo, en condiciones reales, a medida que aumenta la separación entre los electrodos las características del terreno varían y es habitual que la resistividad sea dependiente de la separación de los electrodos. En estos casos se define la resistividad aparente del terreno en función de la separación de los electrodos [07]. Con la información obtenida a partir de las medidas de resistividad aparente es posible realizar una modelización en estratos horizontales del terreno. Mediante las técnicas utilizadas en la estimación de estado se puede obtener una estimación paramétrica de las resistividades de todas las capas del modelo del terreno y de sus respectivos espesores [4,77,78] Medición de la resistividad en un subsuelo uniforme El método más difundido para medir la resistividad del subsuelo es el de Wenner [5,0,22], donde los electrodos de inyección de corriente y de medición de potencial se colocan alineados y equidistantes, siempre en el interior los electrodos de potencial separados una distancia a, y en el exterior los de inyección de corriente separados una distancia 3a entre ellos, como se muestra en la Fig

3 I I V a 2a 3a I Fig. 3. Método de Wenner para la determinación de resistividades en terrenos uniformes La resistividad ρ del terreno es: V ρ = 2π a 23 I 3. Otros métodos de medición utilizados en la práctica [9,0,2,88,06], se fundamentan en el mismo principio pero no mantienen equidistante los electrodos. Las ecuaciones para el cálculo de la resistividad son más complejas pero estos sistemas pueden ofrecer ventajas cuando es difícil mantener constante la separación entre los electrodos. Cuando se aplica el método de Wenner para el cálculo de la resistividad de un terreno no uniforme, los valores de resistividad obtenidos se denominan resistividades aparentes. La resistividad aparente del subsuelo permite identificar el número de capas, el espesor de cada capa y sus resistividades respectivas [07]. En el anexo A se ha determinado la función de resistividad aparente para un terreno biestratificado, en función de las resistividades de las dos capas del subsuelo ρ y ρ 2, la profundidad de la primera capa h y la separación a de los electrodos en las medidas de Wenner. Esta expresión queda en este caso: ρ a (ρ,ρ 2, h, a) = ρ { + 4 n= k n + ( 2nh 2 ) a ( 2nh 2 ) } a 3.2 donde k es el coeficiente de reflexión de los medios y 2 definido mediante la expresión: ρ - ρ 2 k = ρ2 + ρ

4 3.2.2 Medición de la resistividad en un subsuelo multiestratificado Para determinar la resistividad aparente en un terreno con varios estratos horizontales, se plantea la solución general del problema en cada una de las capas con diferente resistividad. Se establecen dos condiciones de contorno por cada superficie de separación entre capas, una para el potencial y otra para la densidad de corriente normal a la superficie. Así, para un terreno de p estratos se tienen 2p condiciones de contorno. Si se considera el aire como un medio más, existen p+ zonas para el cálculo de potenciales y un número igual de soluciones generales, cada una con dos funciones indeterminadas que es necesario calcular. En definitiva se tienen 2(p+) funciones indeterminadas, 2p ecuaciones de contorno y dos condiciones para garantizar que el potencial en el infinito es nulo. z z=0 r φ ο ρ h s I φ d ρ ρ 2 3 h 2 h 3 φ φ 2 3 d d 2 3 h p- ρ p φ p Fig. 3.2 Modelo multiestratificado del terreno. En la figura 3.2 se ha representado esquemáticamente el modelo de terreno multiestratificado horizontalmente con inyección de corriente en la primera capa. Las soluciones generales para los potenciales, son: ρ I φ (z,r) = 4π 0 ( e -m z+s + f e -mz + g e mz ) J o (mr) dm ; 0 z -h

5 ρ I φ (z,r) = (f e - mz + g e mz ) J k 4π o k k o (mr) dm ; -h z -h ; k k- k (h o = 0 ; h = - ; h - p = ) 3.5 para z 0, la función g o debe ser nula, de igual forma que para el sustrato más profundo k=p, la función f p también debe ser cero. Las condiciones de contorno para los potenciales en las superficies de separación son: y para las densidades de corriente: φ k (-h k, r) = φ k+ (-h k, r) ; k = 0,,2,, p- 3.6 φ (-h, r) φ (-h, r) σ k k = σ k+ k ; k = 0,,2,, p- k z k+ z 3.7 Cuando se aplican las condiciones de contorno 3.6 y 3.7 se tiene, para el plano k=0: f f - g = - [ -] g = para el plano k =: f g = 2σ y para cualquier otro plano k: σ + σ 2 k e k e 2mh -2mh f 2 g f k g k = E k f k+ g k+ ; k = 2, 3,, p- 3.0 donde: y: E = k + kk k e - 2mh k k 2mh k k e k 3. σ - σ k = k k+ k σk + σ ; k =,2,, p- k+ 3.2 Sustituyendo la ecuación 3.0 en 3.9 se pueden calcular las funciones indeterminadas f y g en función de g p : - 5 -

6 f g p- = E 0 k k= g p - 0 = P 0 g p Mediante las ecuaciones 3.8 y 3.3 es posible despejar la función indeterminada g p : g p = - 2 [ -] P 0 - = 2 P - P Las funciones P 22 y P 2 corresponden a los elementos de la segunda columna de la matriz P, que a su vez se origina en las p- multiplicaciones de las matrices E k. Finalmente, si se reemplaza en la ecuación 3.3 el valor de la función g p obtenido en 3.4, se pueden determinar las funciones f y g : f P g = 2 2 P - P P Tanto la inyección de corriente, como la medición de los potenciales se realiza en la superficie del terreno, por esta razón la coordenada z, y la profundidad del punto de inyección s son cero. De esta forma el potencial en un punto de la superfice del terreno se puede evaluar sustituyendo las funciones obtenidas en 3.5 en la ecuación 3.4: ρ I P + P φ (0, r) = 22 2 J 2π o P - P o (m.r) dm Evaluar numericamente la expresión 3.6 presenta una dificultad importante para valores grandes de la variable de integración m. La matriz E k incluye un término de valor k k e 2mh k que crece muy rapidamente con el valor de m. Sin embargo se puede observar de igual forma que el término k k e -2mhk tiende a cero con la misma rapidez y, por esta razón, cada vez que se multiplica la matriz Ek por el vector [0 ] T se obtiene nuevamente para valores grandes de m el vector [0 ] T con gran aproximación, (ver Anexo C). De esta forma, para un valor de m = m max, tal que el valor de 2m max h es tan grande que excede el argumento máximo de la función exponencial, la ecuación 3.6 se puede expresar aproximadamente como: - 6 -

7 φ (0, r) 2π m max ρ I o P 22 + P 2 P 22 - P 2 J o (m.r) dm + J o (m.r) dm m max 3.7 Para evaluar más rápidamente la ecuación 3.7 se puede simplificar mediante la integral de Lipschitz [,95]: de esta forma se obtiene: o e -mz J o (mr) dm m max J o (m.r) dm = J o o z 2 + r 2 o (m.r) dm + m max ; z, r > 0 J o (m.r) dm = r Haciendo uso de la expresión 3.9, se puede simplificar la ecuación 3.7: ρ I φ (0, r) 2π r m max + o 2 P 2 P 22 - P 2 J o (m.r) dm En la medida que el valor del límite superior m max tiende a infinito, la expresión 3.20 se hace cada vez más exacta. Si se considera que ζ es el valor positivo más grande que se puede considerar para todos los fines prácticos como cero y que ζ 2 es el valor más grande que puede ser calculado sin exceder la precisión numérica del ordenador que se esté utilizando, se puede deducir a partir de los términos (,2) y (2,) de la matriz E que m max debe cumplir: - ln 2h k ln 2h k 3.2 La expresión 3.20 permite calcular eficientemente los potenciales en la superficie de un terreno multiestratificado, debidos a una inyección puntual de corriente en la misma superficie. Cuanto más grande es ζ, la aproximación empeora pero la integración numérica puede ser realizada más rápidamente. Resulta interesante observar que de acuerdo con esta ecuación, el comportamiento de un terreno multiestratificado, es similar al del terreno uniforme de resistividad ρ, más una corrección debida a la estratificación. La ecuación 3.20 requiere tan sólo de la resolución numérica de una integral definida entre dos límites finitos, y estos límites son además independientes de la distancia r a la cual se desea calcular el ζ Š m max Š ζ 2-7 -

8 potencial. Sunde [07] y Takahashi [,2] han obtenido el potencial en la superficie del terreno en forma exacta a partir de las ecuaciones 3.4 a 3.7: donde: ρ I φ (0, r) = 2π o F J 23 p o (m.r) dm F 23 p = - k 23 p e -2mh + k 23 p e -2mh ρ - ρ 2 F 23 p k 23 p = ρ + ρ 2 F 23 p F 23 p = - k 23 p e -2m(h 2 - h ) + k 23 p e -2m(h 2 - h ) ρ 2 - ρ 3 F 3 p k 23 p = ρ2 + ρ 3 F 3 p F (p-)p = -2m(h -h ) p- p-2 - k e (p-)p -2m(h - h ) p- p-2 + k e (p-)p ρ p- - ρ p k (p-)p = ρp- + ρ p La resistividad aparente para un terreno multiestratificado horizontalmente, según el método de Wenner se puede calcular, a partir de las ecuaciones 3. y 3.22 como: - 8 -

9 ρ a = ρ - 4a o k 23 p e -2mh + k 23 p e -2mh (J o (m.a) - J o (2.m.a)) dm 3.29 o haciendo uso de la expresión aproximada 3.20: ρ a = ρ + 4a o m max P 2 P 22 - P 2 ( J o (m.a) - J o (2.m.a) ) dm 3.30 Para determinar el valor de k p en función de la variable de integración m, se utilizan las ecuaciones 3.23 a Para calcular los términos P 2 y P 22 se evalúa la multiplicatoria P de la ecuación 3.3. En el caso biestratificado p=2, la ecuación 3.29 coincide exactamente con la expresión 3.2 si se expande en serie de funciones exponenciales el denominador de la integral, y se integra analíticamente cada uno de los términos de la serie haciendo uso de la expresión 3.8, como se demuestra en el Anexo A. Si el subsuelo es uniforme p=, el coeficiente k p es nulo y la ecuación 3.29 indica para este caso que la resistividad aparente es siempre constante e igual a la resistividad del primer y único medio del subsuelo. En cualquier otro modelo de estratificación horizontal con un número de estratos p mayor que dos, es necesario resolver numéricamente la integral definida entre cero e infinito de la ecuación 3.29, o la aproximación definida por la expresión 3.30, para determinar la resistividad aparente de un terreno utilizando el método de Wenner como sistema de medida. Cuando se analiza la expresión 3.29 se observa que requiere una integración numérica en un intervalo infinito. Por el contrario, la expresión aproximada, desarrollada en este trabajo, está definida en un intervalo de integración acotado. Las dos soluciones producen en la práctica resultados similares. Sin embargo, se demostrará en secciones siguientes que la aproximación 3.30, permite obtener resultados numéricos con menor esfuerzo de cálculo. Además, la metodología empleada para desarrollar esta expresión será utilizada en los siguientes capítulos para determinar expresiones prácticas, que permitan calcular potenciales en régimen permanente y transitorio Integración numérica Las expresiones anteriores deben ser integradas numéricamente, debido a que se desconoce una solución analítica cerrada. Para este fin, es necesario - 9 -

10 evaluar las funciones de Bessel y disponer de un método de integración adecuado a las peculiaridades de las funciones con que se está trabajando. Las funciones de Bessel pueden ser evaluadas mediante sus expansiones en serie, por aproximaciones polinómicas o por aproximaciones asintóticas definidas mediante combinaciones de funciones elementales [07]. Las librerias de algoritmos matemáticos modernos disponen de rutinas que permiten calcular las funciones de Bessel con rapidez y precisión. Estos algoritmos combinan diferentes métodos de cálculo según el valor del argumento. En los algoritmos desarrollados en este trabajo se ha utilizado el conjunto de subrutinas de la librería IMSL [50] para la evaluación de las funciones de Bessel. Los algoritmos de integración numérica explícita, evalúan varias veces la función en un intervalo de integración. La elección del intervalo de integración es muy importante ya que si se define un intervalo pequeño, se requiere un número muy grande de evaluaciones de las funciones a ser integradas. Si por el contrario el intervalo de integración se escoge demasiado grande el error de integración cometido en cada paso puede ser excesivo. Resulta conveniente utilizar métodos de integración numérica con paso variable, ya que la función que está siendo integrada posee infinitas raíces y cambios repentinos en sus derivadas. Los métodos de paso variable analizan el error cometido para un intervalo de integración determinado y reducen el paso hasta que el error no supere el valor máximo especificado. Dos de los algoritmos más utilizados en la técnica de integración numérica con predicción y corrección de errores son el de Gear [37] y el de Adams [7]. La librería IMSL [50] dispone de rutinas para la integración numérica de ecuaciones diferenciales con estas dos metodologías que pueden ser adaptadas a la solución de las integrales definidas en las expresiones 3.29 y La integral de la ecuación 3.29 se debe evaluar en el intervalo comprendido entre cero e infinito. El algoritmo debe ser capaz de detectar para qué valor de la variable m se alcanza el valor final de la integral dentro de la precisión deseada para así proceder a detener el cálculo. Una técnica que puede ser empleada para determinar este valor se fundamenta en generar una serie con los valores de las integrales de la función entre dos raíces consecutivas [53]: m S = f. J o dm o

11 m 2 S = 2 f. J o dm m 3.32 m n S = n m n- f. J o dm 3.33 Como la sucesión es alternada debido a que m, m 2, m 3,..., m n,... son raíces consecutivas de la función a ser integrada en la variable de integración m, la serie será convergente según el teorema de Leibniz [6] si los módulos de los términos de la sucesión son decrecientes y el límite del n-ésimo término de la serie tiende a cero cuando n tiende a infinito. Por otra parte el valor absoluto del residuo de una serie alternada decreciente desde el término n+ hasta el infinito es menor que el módulo del término n+ de la sucesión. En otras palabras: f J o dm = 0 i=0 m n i+ f J m i o dm + R n donde R n+ es el residuo o sumatoria del resto de los términos de la serie desde el término n+ hasta el infinito. El residuo de la serie se puede evaluar mediante el valor de la integral entre las dos últimas raices consideradas: R n+ < m n+2 f J m n+ o dm 3.35 Cuando se establece un criterio de convergencia a un valor determinado del error ε, se puede dividir el valor de la integral calculada entre las dos últimas raíces y dividir este resultado por la integral acumulada hasta ese momento. Si el valor absoluto del cociente es menor que el error especificado, la integral tiene su valor final. En caso contrario es necesario continuar el proceso. El principal problema que se plantea al utilizar este procedimiento es que la solución de la integral converge lentamente debido a que cada vez que se evalúa un nuevo intervalo la integral oscila en una forma practicamente simétrica por encima y por debajo de la solución final. Conociendo esto, es posible acelerar considera-blemente el proceso de integración calculando la media de las integraciones entre un paso y siguiente. Si la diferencia - -

12 entre las integrales entre dos pasos consecutivos es menor que un error ε previamente especificado, resulta razonable considerar que la solución de la integral está muy cercana al promedio de las integrales calculadas en el paso anterior y en el paso actual. Si la función f no posee raíces reales, las únicas raíces de la función que está siendo integrada son los ceros de la función de Bessel J o y pueden ser obtenidas mediante la siguiente expansión en serie [7]: m i = 4 π a { + donde: 2 π 2 a π 4 a } 5 π 6 a 6 05 π 8 a 8 35 π 0 a a = 4. i Las diez primeras raíces de la función de Bessel J o son , 5.520, ,.795, , 8.07, 2.26, , y Para valores muy grandes de m las raíces se encuentran separadas en un valor muy cercano a π. En la figura 3.3 se presenta la rutina utilizada para el cálculo del coeficiente de reflexión k 23...p necesaria en la evaluación de la integral de la ecuación El método analizado para realizar la integración de la ecuación 3.29 también puede ser utilizado para evaluar la expresión aproximada En este caso la integral posee un límite superior finito y no es necesario revisar la convergencia de la integral, pero la partición del rango de integración en los subintervalos comprendidos entre raíces consecutivas de la función de Bessel facilita la obtención de la solución, debido a que siempre resulta muy complejo desde el punto de vista numérico la integración de funciones con raíces múltiples

13 Lectura del nº de capas p, resistividades ρ(i), espesores de capa d(i) y m i = p F(i) = ρ(i - ) - ρ(i) x F (i) k(i) = ρ(i - ) + ρ(i) x F (i) i = i - RETORNO si i =? no F(i) = - k(i) x e -2md(i) + k(i) x e -2md(i) Fig. 3.3 Cálculo del coeficiente de reflexión k 23...p 3.3 Cálculo de resistividades aparentes Se han elaborado tres programas que permiten comparar y evaluar el cálculo de la resistividad aparente por el método de Wenner en terrenos multiestratificados, RESAP para el cálculo de resistividad aparente en terrenos biestratificados mediante el método de las Imágenes de Maxwell, RESAP2 evalúa la resistividad aparente de terrenos multiestratificados utilizando la ecuación 3.29 y RESAP3 que calcula la resistividad aparente de terrenos multiestratificados a partir de la expresión aproximada En las tablas 3. y 3.2 se presentan dos ejemplos de cálculo de resistividades aparentes para terrenos biestratificados utilizando los tres algoritmos. Los resultados del programa RESAP sirven como base para el cálculo de los errores. Se han ajustado los criterios de convergencia utilizados por los dos métodos de integración analizados para que los resultados de estos algoritmos tengan aproximadamente la misma precisión y poder comparar las ventajas de cada uno. El patrón de medida se ha establecido a través de la velocidad requerida por cada algoritmo para encontrar todas las resistividades aparentes solicitadas

14 En las tablas 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6 se resumen algunos de los resultados obtenidos con estos algoritmos, para varios terrenos multiestratificados analizados por Takahashi y Kawase []. Estos resultados se presentan en forma gráfica en las Fig. 3.4 y 3.5. En la Fig. 3.6 se reproducen los gráficos correspondientes de la referencia []. Espaciam. a [m] Resistividades Aparentes ρ a [Ωm] ρ = 00 Ωm ; ρ 2 = 500 Ωm ; h = 3.0 m RESAP ρ a RESAP2 ρ a error % RESAP3 ρ a error % Tiempo T. s 26 s 4 s =200 ε = e-6, Simpson =30 Simpson =0 Tabla 3. Espaciam. a [m] Resistividades Aparentes ρ a [Ωm] ρ = 300 Ωm ; ρ 2 = 20 Ωm ; h = 5.0 m RESAP ρ a RESAP2 ρ a error % RESAP3 ρ a error % Tiempo T. s 9 s 8 s =200 ε = e-6, Simpson =30 Simpson =0 Tabla 3.2 Parámetros del Subsuelo h =5, h 2 =5, h 3 =35, h 4 =75, [m] ρ ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 [Ω.m] - 4 -

15 0 00 A B C D Tabla 3.3 Resistividad Aparente [Ω.m] Espaciamiento a [m] A B C D RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP Tiempo Total 7 s 8 s 24 s s 2 s 3 s 25 s 0 s Tabla A Resistividad aparente [Ω.m] C D B Espaciamiento inter-electródico a [m] Fig. 3.4 Gráfico de resistividades aparentes de los subsuelos de la tabla 3.3 Parámetros del Subsuelo h =5, h 2 =5, h 3 =35, h 4 =75, [m] - 5 -

16 ρ ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 [Ω.m] 00 0 A B C D Tabla 3.5 Resistividad Aparente [Ω.m] Espaciamiento a [m] A B C D RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP3 RESAP2 RESAP Tiempo Total 9 s 8 s 24 s s 24 s 3 s 27 s 0 s Tabla B Resistividad aparente [Ω.m] D C 0 A 0 Espaciamiento inter-electródico a [m] 00 Fig. 3.5 Gráfico de resistividades aparentes de los susbsuelos de la tabla

17 Fig. 3.6 Gráficos de las resitividades aparentes de los subsuelos de las tablas 3.3 y 3.5 [] De los resultados anteriores se puede concluir, que el método aproximado propuesto en este capítulo, para el cálculo de las resistividades aparentes en terrenos con múltiples capas, es más eficiente desde el punto de vista de su evaluación numérica, que el método exacto presentado por Sunde y Takahashi. No puede competir con el método de las imágenes de Maxwell en terrenos biestratificados, pero es práctico cuando se trata de analizar la resistividad de subsuelos con un número mayor de capas. Además, como ya se ha indicado, la formulación utilizada puede extenderse facilmente al análisis permanente y transitorio de las redes de puesta a tierra, tal como se mostrará más adelante. 3.4 Cálculo optimizado de los parámetros del subsuelo para la modelización del terreno en estratos múltiples La determinación del modelo del subsuelo a partir de la medición de resistividades aparentes, es un problema que ha sido estudiado durante varias décadas y por diversos autores. Sunde [07] desarrolló métodos gráficos que permiten la determinación del modelo del subsuelo en terrenos biestratificados. Blattner [9,0,] por otra parte, demuestra que la técnica gráfica no permite obtener un modelo preciso del terreno, debido entre otras razones, a que en la práctica el terreno no se comporta siempre como biestratificado. Más recientemente Meliopoulus [77,78] ha desarrollado métodos para la determinación de estos modelos que simplifican el trabajo e incorporan sistemas estadísticos que permiten analizar los errores de medición y las discrepancias existentes entre los modelos teóricos y los substratos reales. Prácticamente todos las herramientas comerciales utilizadas en el cálculo de las redes de puesta a tierra desarrolladas hasta el momento representan el subsuelo mediante un modelo biestratificado. En artículos recientes [29, 86,, 2] se ha - 7 -

18 incrementado notablemente el interés por el estudio de modelos multiestratificados del terreno. Uno de los propósitos de este trabajo consiste precisamente en analizar el comportamiento en régimen permanente y transitorio de los sistemas de puesta a tierra en terrenos multiestratificados, y por este motivo es necesario disponer de herramientas capaces de evaluar los parámetros del subsuelo. En las secciones precedentes de este capítulo se desarrollaron y revisaron métodos para la determinación de la resistividad aparente en terrenos multiestratificados. En esta sección analizaremos como es posible estimar los parámetros del modelo a partir de medidas de resistividad aparente Fundamentación teórica del método Mediante la ecuaciones 3.2 para subsuelo biestratificado y la 3.29 o 3.30, para terrenos con más estratos, se puede calcular la resistividad aparente, si son conocidos los parámetros que definen el modelo del subsuelo. En la práctica, el problema se presenta en sentido inverso, determinar el modelo y los parámetros del terreno a partir de las medidas de resistividad aparente realizadas en la superficie. Debido a que el modelo del subsuelo no se adapta exactamente a la realidad y a que existen errores, muchas veces importantes, en las medidas de resistividad aparente, no es posible determinar los parámetros del modelo a partir de la solución de un sistema de ecuaciones. En esta situación se puede recurrir a las técnicas de estimación de estado para resolver este problema[4,36,77,78,98]. Si partimos de un modelo en p estratos y se efectuan n medidas de la resistividad aparente, cada una de las cuales se realiza con diferentes espaciamientos entre los electrodos y con una determinada precisión, el problema a resolver consiste en: Minimizar Ψ: 2 n ρ m (a ) - ρ i c (a i ) ρ Ψ = m (a i ). σ i i= 3.38 donde: ρ m (a i ) es la i-ésima resistividad medida por el método de Wenner. ρ c (a i ) es la i-ésima resistividad calculada mediante el modelo. a i es la separación de los electrodos en la i-ésima medida. σ i es el factor de ponderación debido a la precisión de la i-ésima medida. i es el número correspondiente a cada una de las medidas realizadas y, n es el número total de medidas

19 donde: La ecuación 3.38 se puede escribir matricialmente como: Ψ = f T. f 3.39 f T = [ f (x,a ) f (x,a ) f (x,a ) f n (x,a n ) ] 3.40 y ρ m (a ) - ρ f (x,a ) = f (ρ,ρ,, ρ i i i 2 p, h, h,, h, a ) = i c (a ) i 2 p- i ρ m (a ). i σ i 3.4 Considerando que la ecuación 3.4 no es lineal en el caso general, las derivadas primeras de la función de costos Ψ con respecto a cada una de las variables de estado [x] del modelo se pueden calcular de la siguiente forma: Ψ T x = g(x) = 2 A(x) f(x) 3.42 donde la matriz A(x) definida en la ecuación 3.42 es la matriz Jacobiana del vector de errores ponderados f(x). La matriz Jacobiana es de dimensión nxm, donde n es el número de medidas y m el número total de variables de estado o parámetros del modelo. Esta matriz se puede representar para un terreno con p capas de diferente resistividad como: A = f f f f ρ ρ p h h p- f n f n f n ρ ρp h h p- f n 3.43 El incremento de los parámetros que minimiza la función de costos 3.39 utilizando el método de Gauss-Newton es de esta forma [98]: x = - A(xk ) T -. A(x k ) A(x k ) T f(x k ) 3.44 y el vector de variables de estado o parámetros del modelo en la iteración k+ se calcula como: x k+ = x k + x 3.45 Si en la iteración k, el módulo del vector x es menor que un cierto error ε especificado, el problema converge al mínimo local más cercano de la función de costos Ψ. Este método presenta ciertos problemas de convergencia, en particular - 9 -

20 cuando el peso de las segundas derivadas en la matriz Hessiana es importante. Para garantizar la convergencia del método es recomendable modificar la ecuación 3.45 de la siguiente forma: x k+ = x k + α. x 3.46 Sustituyendo la ecuación 3.46 en el vector de errores ponderados f(x k+ ) se puede obtener mediante la ecuación 3.42 una función de costos para la iteración k+ en función de las variables de estado obtenidas en la iteración k y del parámetro unidimensional α: Ψ(x k+ ) = Ψ(x k +α. x) = f(x k +α. x) T. f(x k +α. x) = Ψ(α) 3.47 Para obtener el nuevo vector de corrección α x, es necesario encontrar el valor del parámetro α que minimiza la función de costos. Una vez obtenido el valor de las variables de estado que minimizan la función de costos en la iteración k+ se prosigue el cálculo determinando una nueva dirección mediante la ecuación 3.47 y un nuevo proceso de búsqueda del mínimo. Cuando el módulo del vector de dirección es inferior a la precisión requerida en los cálculos, termina el proceso de minimización con la mejor estimación de los parámetros del modelo. El proceso de búsqueda del mínimo en línea recta puede ser acelerado realizando una aproximación polinómica en segundo grado de cada uno de los términos del vector de error ponderado f(α) en función del parámetro unidimensional α. Si el vector de errores se representa mediante un vector de polinomios de segundo grado, la función Ψ, queda definida mediante un polinomio de cuarto grado [36]. El polinomio resultante es: Ψ(α) = A + Bα + Cα 2 + Dα 3 + Eα Para determinar los valores de los coeficientes A, B, C, D y E de la ecuación 3.48, resulta ventajoso en este caso, evaluar la función Ψ para los valores de α, -, -/2, 0, /2 y respectivamente. De esta forma se puede obtener el sistema de ecuaciones:

21 Ψ(-) = Ψ(- A ) 2 B Ψ(0) C Ψ( D ) E Ψ() 3.49 Despejando los coeficientes indeterminados del polinomio de cuarto grado de la ecuación 3.49 se obtiene: Ψ(-) A B Ψ(- 2 ) C = Ψ(0) D Ψ( E ) Ψ() El mínimo está definido por: Ψ(α) = B + 2Cα + 3Dα 2 + 4Eα 3 = 0 α 3.5 Uno de los inconvenientes que presenta el método de Gauss-Newton modificado es la necesidad de un valor inicial para las variables de estado. La función de costos Ψ, definida para terrenos biestratificados o multiestratificados puede tener, en general, múltiples mínimos locales. La mejor solución para el modelo es aquella que produce el menor de los mínimos locales. Para que el algoritmo sea eficiente, debe ser capaz de generar automáticamente los puntos de arranque y comparar las diferentes soluciones obtenidas. Los valores de arranque pueden ser generados de forma aleatoria teniendo en cuenta la forma de variación y los límites de fluctuación de las resistividades aparentes o mediante una estimación inicial de tipo determinístico que puede ser realizada mediante los métodos tradicionales de Newton-Raphson para los sistemas no lineales. De todas formas, el método de Newton-Raphson requiere de un valor inicial cercano a la solución para garantizar su convergencia. En este trabajo se emplearon varios métodos para este fin, pero los mejores resultados se obtuvieron introduciendo externamente el vector inicial mediante un proceso de ensayo y error. Con la práctica, la persona que utiliza el algoritmo es capaz generalmente, de encontrar con mayor rapidez un punto de - 2 -

22 arranque favorable a la convergencia, que con búsquedas sistemáticas o estocásticas realizadas por el ordenador. Es necesario investigar más extensamente este problema, con la finalidad de simplificar el manejo del algoritmo. Otro problema que presenta el algoritmo consiste en la determinación del número de estratos p en que está dividido el terreno. Cuando la resistividad aparente es una función monótona creciente o decreciente con la separación de los electrodos es posible que una modelación biestratificada del terreno permita obtener buenos resultados, pero el uso de un mayor número de capas pueden mejorar el modelo. Si la función de resistividad aparente no es monótona, es necesario utilizar modelos con mayor número de capas. Siempre debe tenerse en cuenta que si un modelo con menor número de capas permite la representación de un terreno dentro de los límites del error de la medición realizada, no es conveniente aumentar el número de estratos ya que esto complica los cálculos posteriormente. En la figura 3.7 se ha representado el diagrama de flujo del algoritmo desarrollado en este trabajo para la determinación de los parámetros del modelo de un terreno multiestratificado. Este algoritmo en primer lugar debe leer las n resistividades aparentes medidas mediante el método de Wenner a diferentes separaciones de los electrodos y de ser posible en varios puntos del terreno. Analizando previamente los valores de resistividad aparente, se puede determinar el número mínimo tentativo de capas y el valor de arranque de los parámetros del subsuelo, este proceso puede ser llevado a cabo por el algoritmo o por el usuario en forma interactiva. Determinado o definido el primer vector de parámetros del modelo, se calcula la matriz Jacobiana A(x). Si se excede el número máximo de iteraciones, el algoritmo regresa al punto donde se determina un nuevo vector inicial de parámetros. Con la matriz Jacobiana A(x) se calcula el vector gradiente g(x) y la matriz Hessiana aproximada H(x). Mediante la información contenida en el vector gradiente y en la matriz Hessiana aproximada se obtiene la dirección de cambio x. Si el módulo del vector de corrección de los parámetros x es inferior al error máximo especificado, la solución para el modelo del subsuelo está contenida en el vector de variables de estado x+ x. Si se desea una nueva solución del problema es necesario recomenzar el proceso definiendo un nuevo punto de arranque para los parámetros del terreno, si no se desean más soluciones el algoritmo finaliza

23 Lectura de: - Nº de medidas 'n' - Nº de capas 'p' - ρ a (a i ) k = 0 Cálculo de los valores iniciales del vector x k Evaluación de A. k=k+ no g(x k ) = 2 A T f H(x k ) 2 A T A k>k max si x k = - H - g x k+ = x k + α x k si Fin no Otra Solución? si x < ε? no Obtención de α que min. Ψ (x + α x) busqueda lineal Fig. 3.7 Algoritmo para la estimación de los parámetros del subsuelo. Cuando los valores absolutos de cada uno de los términos del vector de corrección x exceden la precisión deseada, se calcula el nuevo vector de parámetros x k+ sumando el vector anterior x k al vector de corrección α. x k. Se determina de esta forma una función de costos Ψ(x k +α x k )=Ψ(α) que depende de un solo parámetro desconocido α. La función de costos se minimiza con respecto al valor de α y se obtiene el nuevo vector de las variables de estado x k+. Puede entonces comenzar una nueva iteración incrementando en uno el valor de k. Si se desea asegurar la convergencia del método, es conveniente limitar la corrección máxima α x k para que ninguno de los parámetros del modelo definidos en el vector x k pueda aumentar o disminuir en más de un cincuenta por ciento. Esto puede reducir la velocidad del algoritmo, pero asegura que los parámetros han de ser siempre positivos y evita divergencias debido a la no linealidad del modelo. Se ha desarrollado el algoritmo PARATERR2 para la estimación paramétrica de

24 terrenos en dos estratos y PARATERRM para terrenos con múltiples estratos. El programa PARATERR2 utiliza la ecuación 3.2 para evaluar la resistividad aparente del terreno biestratificado, así como las matrices Jacobiana A y Hessiana H calculadas mediante derivación analítica de esta expresión. En el algoritmo PARATERRM se emplea en cambio la ecuación 3.30 para determinar la resistividad aparente del terreno multiestratificado, las matrices Jacobiana y Hessiana se calculan por derivación numérica de esta ecuación mediante el método conocido como fórmula de los tres puntos [7] Ejemplos de estimación paramétrica de los modelos Para probar los algoritmos desarrollados para la estimación paramétrica del modelo del terreno se han utilizado como ejemplo algunas medidas de resistividad aparente publicadas por Del Alamo [29], para los cuales el modelo en dos estratos del terreno no es la mejor alternativa. En particular se reproducen los datos de dos mediciones analizadas en esa referencia y los resultados obtenidos mediante los programas PARATERR2 y PARATERRM desarrollados en este trabajo. En el primer caso se analizan los resultados de las mediciones presentadas para la subestación RE320T#4 de la referencia mencionada anteriormente. En este caso se muestra claramente como las medidas ajustan mejor a un modelo en tres estratos que al clásico modelo en dos estratos. Los resultados obtenidos se han presentado en las tablas 3.7 y 3.8, así como en el gráfico de la figura 3.8. En segundo lugar se analiza el comportamiento paramétrico del terreno de la subestación REPKOF#3, en este caso se puede observar que a medida que se incrementa el número de estratos mejora la estimación, sin embargo en las tablas 3.9 y 3.0, así como en la figura 3.9 se puede observar que esta mejora es mas bien teórica que práctica al considerar subsuelos con más de tres estratos. En general es necesario limitar al mínimo posible el número de estratos que deben ser considerados en el análisis para reducir los tiempos de cálculo involucrados en el proceso de evaluación en régimen permanente y transitorio de la redes de puesta a tierra

25 a. Caso RE320T#4[29] Estimación Biestratificada Tres Estratos ρ = 25.0 Ω.m ρ 2 = 6.90 Ω.m ρ 3 = 0.5 Ω.m Valores Iniciales Valores Finales ρ = 6.6 Ω.m ρ 2 = 7.50 Ω.m h = 2.50 m ρ = Ω.m ρ 2 = 7.73 Ω.m h =.597 m h = 4.4 m h 2 = 3.64 m ρ = 9.09 Ω.m ρ 2 = 6.52 Ω.m ρ 3 = Ω.m h = 2.8 m h 2 = m Función de Costo Ψ Número de Iteracc. 6 9 Tabla 3.7 Estimación paramétrica del terreno RE320T#4 Medidas Dos Estratos Tres Estratos ρa[ωm] ρa[ωm] ρa[ωm] a [m] error % error % Tabla 3.8 Comparación entre medidas y modelos en el terreno RE320T#4-25 -

26 25 Resistividad Aparente [Ω.m] Mediciones de Campo Modelo en Tres Estratos Modelo Biestratificado Espaciamiento a [m] Fig.3.8 Resultados de la tabla 3.8 para el terreno RE320T#4 b. Caso REPKOF#3 [29] Espaciamiento Interelectródico a [m] Medidas de la Resistividad Aparente [Ωm] Tabla 3.9 Mediciones de resistividad aparente realizadas en la subestación REPKOF#3-26 -

27 Estimación Valores Iniciales Valores Finales Dos Estratos ρ = Ω.m ρ = Ω.m error =x0-3 ρ 2 = 55.0 Ω.m ρ 2 = Ω.m h = 7.5 m h = 4.23 m Iter. No.= 2 Ψ = Ψ = Tres Estratos error =x0-3 Iter. No.= 6 Cuatro Estratos error =x0-3 Iter. No.= 2 Cinco Estratos error =x0-3 Iter. No.= 8 ρ = 500 Ω.m ρ 2 = 300 Ω.m ρ 3 = 00 Ω.m h = 7.00 m h 2 = 20.0 m Ψ =.698 ρ = 500 Ω.m ρ 2 = 400 Ω.m ρ 3 = 00 Ω.m ρ 4 = 50 Ω.m h = 3.0 m h 2 = 20 m h 3 = 50 m Ψ = ρ = Ω.m ρ 2 = Ω.m ρ 3 = Ω.m ρ 4 = Ω.m ρ 5 = 5.47 Ω.m h = 2.73 m h 2 =.80 m h 3 = 36.7 m h 4 = m Ψ = ρ = Ω.m ρ 2 = Ω.m ρ 3 = 20.4 Ω.m h =.5 m h 2 = 62.0 m Ψ = ρ = Ω.m ρ 2 = Ω.m ρ 3 = 2.94 Ω.m ρ 4 = 4.76 Ω.m h = 4.64 m h 2 = 22.2 m h 3 = m Ψ = ρ = Ω.m ρ 2 = Ω.m ρ 3 = Ω.m ρ 4 = Ω.m ρ 5 = Ω.m h = 2.55 m h 2 = 0.4 m h 3 = m h 4 = m Ψ = Tabla 3.0 Resultados de la estimación paramétrica del modelo de la subestación REPKOF#3 500 Resistividad aparente [ Ω.m] Medidas de Campo Dos Estratos Tres Estratos Cuatro Estratos Cinco Estratos Espaciamiento a [m] Fig.3.9 Modelación en dos, tres, cuatro y cinco estratos del caso REPKOF#3-27 -

28 En los ejemplos anteriores se observa como el modelo biestratificado, se aleja considerablemente de las medidas realizadas y a medida que se incrementan las capas, el modelo se acerca más a la realidad. Sin embargo, cuando se considera el rango de errores que se comete durante el proceso de medición y la variabilidad de los parámetros, es necesario encontrar un compromiso entre la precisión del modelo y su complejidad. Incrementar el número de estratos dificultará posteriormente el análisis de la red de tierra en régimen permanente y transitorio. Las soluciones encontradas son muy cercanas a las publicadas cuando se parte de los mismos puntos de arranque. En algunos casos es posible encontrar varias soluciones diferentes que reproducen con gran precisión las medidas de resistividad. Estas soluciones dependen fundamentalmente del punto de arranque del algoritmo. Algunos puntos de arranque, alcanzan soluciones que producen un ajuste pobre del modelo y las medidas. En esta situación es recomendable variar el punto de arranque. Si reiteradamente se obtienen ajustes similares, y no son satisfactorios, es recomendable incrementar el número de capas del modelo. También es posible filtrar aquellas medidas que resulten sospechosas de contener errores excesivos